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人教版八年级数学上名师点拨精练
第13章 轴对称
13.3.2 等边三角形的性质和判定
学习目标
1.知道等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系.
2.掌握等边三角形的性质和判定方法.
3.熟练地运用等边三角形的性质和判定方法解决问题.
重点：探索等边三角形的性质与判定.
难点：等边三角形性质和判定的应用.
老师告诉你
根据条件判定等边三角形的解题技巧：
若已知三边关系，则考虑用“三边相等的三角形是等边三角形”判定；
若已知三角关系，则根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”判定；
若已知三角形是等腰三角形，则根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，判定。
知识点拨
知识点3 等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
【新知导学】
例1-1．如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC延长线上的动点且BP=CQ，连接AQ、CP，线段PC的延长线交AQ于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）在点P、Q运动过程中，∠QMC大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
【对应导练】
1．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在AC边上．
（1）在图中找一对全等三角形，并说明理由；
（2）在（1）中全等三角形中，其中一个是另一个经过怎样的图形变换得到的？
2．如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD=CE．
3．如图，△ABC和△BDE是等边三角形，连接AD、CE．求证：△ABD≌△CBE．
4．如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB=∠CDA．
（1）求∠BPD的度数．
（2）过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ=3，PE=1，求BE的长．
知识点2 等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【新知导学】
例2-1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，D是AB上的一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
（1）求证：BE垂直平分CD；
（2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形．
【对应导练】
1．如图，在△ABC中，∠B=60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD=60°，求证：△ABC是等边三角形．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．
3．已知，如图，∠B=60°，AB∥DE，EC=ED，求证：△DEC为等边三角形．
知识点3 等边三角形的性质与判定综合
等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
【新知导学】
例3-1．如图所示，设点P为△ABC内一点，∠PBA=10°，∠PCB=30°，∠BAP=20°，∠CBP=40°，求证：△ABC是等腰三角形．
【对应导练】
1．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数．
（2）求证：DC=CF．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，且BE=8cm.
（1）求∠D的度数；
（2）若BC=10cm,求ED的长．
二、题型训练
1.利用等边三角形性质解决边角问题
1．如图，在等边△ABC的顶点B、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别都以每分钟1个单位的速度由C向A和由B向C爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、P处，请问：
（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等吗？
（2）在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA有变化吗？若无变化是多少度？
2．如图，数学老师布置了这样一道作业题：
在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧．BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．
小聪提供了研究：先从特殊问题开始研究：当α=90°，β=30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′，然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形的相关知识可解决这个问题．
（1）请结合小聪研究，画出当α=90°，β=30°时相应的图形；
（2）请结合小聪研究，求出当α=90°，β=30°时∠ADB的度数；
（3）请结合小聪研究，请解决数学老师布置的这道作业题
2.利用等边三角形的性质探究线段大小关系
3．如图，△ABC是等边三角形，D是△ABC内一点，∠BDC=120°．
（1）求作点D关于直线BC的对称点E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下连接AE，BE，CE，延长BE至F，使得EF=EC，求证：AE=BF．
4．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AD=CE，线段BE、CD交于点F，连接AF．
（1）求∠CFE的度数；
（2）当∠AFE=30°时，用等式表示线段CF与BF的数量关系，并证明．
5．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE=BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于F．
（1）求∠EFB的度数；
（2）求证：DE=2DF．
3.利用等边三角形的性质证明线段位置关系
6．已知△ABC和△DEF为等边三角形．点D在△ABC边AB上，点F在直线AC上．
（1）若点C和点F重合（如图①），求证：AE∥BC；
（2）若F在AC的延长线上（如图②），（1）中的结论是否成立．给出你的结论并证明．
7 .如图，△ABC是边长为10cm的等边三角形，动点P从点B出发以3cm/s速度沿着B→A→C→B向终点B运动，同时动点Q从点C出发以2cm/s速度沿着C→B→A→C向终点C运动，运动时间为t秒．
（1）当P在AB边上运动时，BP＝　 　，BQ＝　 　．
（2）当PQ∥AC时，求t的值．
三、课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．如图，已知△ABC是等边三角形，中线BE，CD交于点F，则∠BFD的度数为 （　　）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2．如图，等边△ABC的两条高AD和BE相交于点O，则∠DOE度数为（　　）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
3．如图，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P′BA，则∠PBP′的度数是（　　）
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
4．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=40°，则∠ADB的度数为（　　）
A. 25° B. 60° C. 90° D. 100°
5．下列说法中不正确的是（　　）
A. 有一腰长相等的两个等腰三角形全等
B. 有一边对应相等的两个等边三角形全等
C. 斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等
D. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等
6．如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接FG；下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③△BCF≌△DCF；④∠BOE=120°．其中正确的是（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
7．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OA对称，P2与P于OB对称，则△P1OP2的形状一定是（　　）
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形
D. 钝角三角形
8．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．等腰三角形的一个外角是120°，那么这个等腰三角形是 _____三角形．
10．如图，已知是等边△内一点，是线段延长线上一点，且，=120°，那么_____．
11．在等边△ABC中，BM是AC边上的中线，N为BC的延长线上的一点，且CN=CM，则∠BMN的度数是 _____．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=9cm,DE=3cm,则BC=_____cm.
13．如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．若BE∥AC，则∠C＝　 　．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠ABC=90°，点E是AC的中点．
（1）求证：△BED是等腰三角形；
（2）当∠DAB=_____°时，△BED是等边三角形．
15．（6分）已知，在△ABC中，AB=AC，M是边AC上的点，N是△ABC内一点，MN∥AB，且AM=MN=NB=BC，求证：△NBC是等边三角形．
16．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：DE=EF；
（2）当∠A=44°时，求∠DEF的度数；
（3）当∠A等于多少度时，△DEF成为等边三角形？试证明你的结论．
17．（8分）我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转．这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法，是一种重要而且有效的方法，同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样一道题目：如图，△ABC与△ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，作射线OM与射线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与射线CD相交于点F．
（1）如图1，点，O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，求证：△AEC≌△AFD；
（2）当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：如图2，当点，O在CA的延长线上时，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CO三条线段之间的数量关系，并说明理由．
18．（8分）如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．
（1）求证：∠ECD=∠EDC；
（2）若∠AOB=60°，OE=8，试求EF的长．
19．（9分）在等边△ABC中，
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②求证：PA=PM．
人教版八年级数学上名师点拨精练
第13章 轴对称
13.3.2 等边三角形的性质和判定
学习目标
1.知道等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系.
2.掌握等边三角形的性质和判定方法.
3.熟练地运用等边三角形的性质和判定方法解决问题.
重点：探索等边三角形的性质与判定.
难点：等边三角形性质和判定的应用.
老师告诉你
根据条件判定等边三角形的解题技巧：
若已知三边关系，则考虑用“三边相等的三角形是等边三角形”判定；
若已知三角关系，则根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”判定；
若已知三角形是等腰三角形，则根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，判定。
知识点拨
知识点3 等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
【新知导学】
例1-1．如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC延长线上的动点且BP=CQ，连接AQ、CP，线段PC的延长线交AQ于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）在点P、Q运动过程中，∠QMC大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
【解析】（1）由题意可得AB=AC，∠BAC=∠ABC，AP=BQ，即可证△ABQ≌△CAP；
（2）由△ABQ≌△CAP可得∠APM=∠AQB，即根据三角形内角和定理可求∠QMC=120°
证明：（1）∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=60°=∠BAC
∵BP=CQ
∴AB+BP=BC+CQ
∴AP=BQ且AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°
∴△ABQ≌△CAP（SAS）
（2）不变
∵△ABQ≌△CAP
∴∠APM=∠AQB
∵∠QMC+∠MCQ+∠MQC=180°
∴∠QMC+∠APM+∠BCP=180°
∵∠ABC=∠APM+∠BCP=60°
∴∠QMC=120°
【对应导练】
1．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在AC边上．
（1）在图中找一对全等三角形，并说明理由；
（2）在（1）中全等三角形中，其中一个是另一个经过怎样的图形变换得到的？
【解析】（1）根据等边三角形的性质得出AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠DAE=60°，根据SAS证明△ABD≌△ACE即可；
（2）根据旋转的定义进行判断即可；
解：（1）△ABD≌△ACE；理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）根据解析（1）可知，△ACE可以看作是由△ABD绕着点A逆时针旋转60°得到的（或△ABD可以看作是由△ACE绕着点A顺时针旋转60°得到的）．
2．如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD=CE．
【解析】根据等边三角形的性质得到BD⊥AC，∠ACB=60°，求得∠DBC=30°，根据等腰三角形的性质得到∠E=∠DBC=30°，求得∠E=∠2=30°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
证明：∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD⊥AC，∠ACB=60°，
∴∠DBC=30°，
∵BD=DE，
∴∠E=∠DBC=30°，
∵∠CDE+∠E=∠ACB=60°，
∴∠E=∠2=30°，
∴CD=CE．
3．如图，△ABC和△BDE是等边三角形，连接AD、CE．求证：△ABD≌△CBE．
【解析】根据等边三角形的性质得出AB=BC，BD=BE，进而利用SAS证明△ABD≌△CBE即可．
证明：∵△ABC，△BDE是等边三角形，
∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，BD=BE，
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS）．
4．如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB=∠CDA．
（1）求∠BPD的度数．
（2）过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ=3，PE=1，求BE的长．
【解析】（1）根据等边三角形的性质可得，∠ABC=∠C=60°，又根据∠AEB=∠CDA，进而求得∠EBC=∠BAD，即可得出答案；
（2）根据题意求得∠PBQ=30°，再根据直角三角形中30°的角的性质求出BP的长度，即可得出答案．
解：（1）由△ABC是等边三角形可得，
∠ABC=∠C=60°，
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD，∠AEB=∠C+∠EBC，∠AEB=∠CDA，
∴∠BAD=∠EBC，
∵∠BPD=∠ABE+∠BAD，
∴∠BPD=∠ABE+∠EBC=∠ABC=60°；
（2）∵BQ⊥AD于Q，
∴∠BQP=90°，
∵∠BPD=60°，
∴∠PBQ=90°-∠BPD=30°，
在Rt△BPQ中，
∵PQ=3，∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=6，
又∵PE=1，
∴BE=BP+PE=6+1=7．
知识点2 等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【新知导学】
例2-1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，D是AB上的一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
（1）求证：BE垂直平分CD；
（2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形．
【解析】（1）先证Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），即可得出BE是∠DBC的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证；
（2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知CD=DB，又根据DB=BC，即可证明结论．
证明：（1）∵∠ACB=90，且DE⊥AB，
∴∠EDB=∠ACB=90°，
在Rt△EBC和Rt△EBD中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），
∴∠CBE=∠DBE，
∵BD=BC，
∴△BDC是等腰三角形，
∴BF⊥CD，CF=DF，
∴BE垂直平分CD．
（2）∵D是AB的中点，∠ACB=90°，
∴DC=DB，
又∵BD=BC，
∴DC=DB=BC，
∴△CBD是等边三角形．
【对应导练】
1．如图，在△ABC中，∠B=60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD=60°，求证：△ABC是等边三角形．
【解析】根据两种方法进行证明三角形ABC是等边三角形即可．
证明：证法一：∵CD∥AB，
∴∠A=∠ACD=60°，
∵∠B=60°，
在△ABC中，
∠ACB=180°-∠A-∠B=60°，
∴∠A=∠B=∠ACB．
∴△ABC是等边三角形；
证法二：∵CD∥AB，
∴∠B+∠BCD=180°．
∵∠B=60°，
∴∠BCD=120°．
∴∠ACB=∠BCD-∠ACD=60°
在△ABC中，
∠A=180°-∠B-∠ACB=60°
∴∠A=∠B=∠ACB．
∴△ABC是等边三角形．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．
【解析】证明Rt△ADE≌Rt△BDF得到∠A=∠B，则CA=CB，然后根据等边三角形的判定方法得到结论．
证明：∵D为AB的中点，
∴AD=BD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED=∠BFD=90°．
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），
∴∠A=∠B，
∴CA=CB，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形．
3．已知，如图，∠B=60°，AB∥DE，EC=ED，求证：△DEC为等边三角形．
【解析】先由平行线的性质得∠DEC=∠B=60°，再由等边三角形的判定即可得出结论．
证明：∵AB∥DE，
∴∠DEC=∠B=60°，
∵EC=ED，
∴△DEC为等边三角形．
知识点3 等边三角形的性质与判定综合
等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
【新知导学】
例3-1．如图所示，设点P为△ABC内一点，∠PBA=10°，∠PCB=30°，∠BAP=20°，∠CBP=40°，求证：△ABC是等腰三角形．
【解析】由∠PCB=30°联想到等边三角形，将△BPC沿着PC翻折到△DPC的位置，连接DB、DP、DA，易证△DCB是等边三角形，由此可得到∠PDB=∠PBD=20°=∠BAP，从而可得A、P、B、D四点共圆，根据圆周角定理可得∠ADP=∠ABP=10°，由此可得到∠ADB=30°=∠ADC，从而可证到△ADB≌△ADC，则有AB=AC．
证明：将△BPC沿着PC翻折到△DPC的位置，连接DB、DP、DA，如图，
根据轴对称的性质可得：PD=PB，CD=CB，∠DCP=∠BCP=30°，
∴∠DCB=60°，
∴△DCB是等边三角形，
∴∠DBC=∠BDC=60°，DB=DC，
∴∠PDB=∠PBD=∠DBC-∠PBC=60°-40°=20°，
∵∠BAP=20°，∴∠PDB=∠BAP，
∴A、P、B、D四点共圆，
∴∠ADP=∠ABP=10°，
∴∠ADB=∠PDB+∠ADP=20°+10°=30°，
∴∠ADC=∠BDC-∠ADB=60°-30°=30°，
∴∠ADB=∠ADC．
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【对应导练】
1．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数．
（2）求证：DC=CF．
【解析】（1）利用平行线的性质求出∠EDC，再利用三角形的内角和定理解决问题即可．
（2）想办法证明EC=CD，EC=CF即可解决问题．
（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠B=∠EDC=60°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°-60°=30°．
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵DE∥AB，
∴∠B=∠EDC=60°，
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴CE=CD，
∵∠ECD=∠F+∠CEF，∠F=30°，
∴∠CEF=∠F=30°，
∴EC=CF，
∴CD=CF．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，且BE=8cm.
（1）求∠D的度数；
（2）若BC=10cm,求ED的长．
【解析】（1）延长ED交BC于点F，延长AD交BC于H，由∠EBC=∠E=60°可得△BEF是等边三角形，从而得到EF=BF=BE=8，∠EFB=60°．由AB=AC，AD平分∠BAC可得∠AHC=90°，从而可得∠HDF=30°，根据对顶角相等即可得到∠ADE=∠HDF=30°；
（2）由BC=10可得FC=2，根据等腰三角形的性质（三线合一）可得HC=5，从而可得HF=3．在Rt△DHF中，由∠HDF=30°可得DF=2HF=6，由此即可求出ED的长．
解：（1）延长ED交BC于点F，延长AD交BC于H，如图．
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF=BF=BE=8，∠EFB=60°．
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，即∠AHC=90°，
∴∠HDF=30°，
∴∠ADE=∠HDF=30°；
（2）∵BC=10，
∴FC=2．
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BH=CH=BC=5，
∴HF=5-2=3．
在Rt△DHF中，
∵∠HDF=30°，
∴DF=2HF=6，
∴DE=8-6=2．
∴ED的长为2cm.
二、题型训练
1.利用等边三角形性质解决边角问题
1．如图，在等边△ABC的顶点B、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别都以每分钟1个单位的速度由C向A和由B向C爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、P处，请问：
（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等吗？
（2）在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA有变化吗？若无变化是多少度？
【解析】（1）根据等边三角形性质得出∠CAB=∠C=∠ABP=60°，AB=BC，根据SAS推出△BDC≌△APB即可．
（2）根据△BDC≌△APB得出∠CBD=∠BAP，根据三角形外角性质求出∠DQA=∠ABC，即可求出答案．
解：（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等，
理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB=∠C=∠ABP=60°，AB=BC，
在△BDC和△APB中，
，
∴△BDC≌△APB（SAS），
∴BD=AP．
（2）蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化，
理由：∵△BDC≌△APB，
∴∠CBD=∠BAP，
∴∠DQA=∠DBA+∠BAP=∠DBA+∠CBD=∠ABC=60°，
即蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化，始终是60°．
2．如图，数学老师布置了这样一道作业题：
在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧．BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．
小聪提供了研究：先从特殊问题开始研究：当α=90°，β=30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′，然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形的相关知识可解决这个问题．
（1）请结合小聪研究，画出当α=90°，β=30°时相应的图形；
（2）请结合小聪研究，求出当α=90°，β=30°时∠ADB的度数；
（3）请结合小聪研究，请解决数学老师布置的这道作业题
【解析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）作辅助线构建全等三角形，证明△ABD≌△ABD′得△BD′C是等边三角形，再证明△AD′B≌△AD′C得∠AD′B=∠BD′C=30°，则∠ADB=∠AD′B=30°；
（3）分两种情况进行讨论：第一种情况：当60°＜α≤120°时，利用全等先求∠ABC和∠ABD的度数，从而得∠ABD′和∠D′BC的度数，得到△BD′C是等边三角形，根据（1）同理得出∠ADB=∠AD′B=30°；第二种情况：当0°＜α＜60°时，仍然按此过程求出∠ADB=∠AD′B=150°．
解：（1）如图1，
（2）如图2，作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∵∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=15°，
∵AB=AB，∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，
∴△ABD≌△ABD′（SAS），
∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，
∵BD=BD′，BD=BC，
∴BD′=BC，
∴△D′BC是等边三角形，
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，
∵AB=AC，AD'=AD'，
∴△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∴∠AD′B=∠BD′C=30°，
∴∠ADB=30°，
（3）解：第一种情况：当60°＜α≤120°时，
如图3，作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC==90°-，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=90°--β，
同（1）可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=90°--β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°-=180°-（α+β），
∵α+β=120°，
∴∠D′BC=60°，
以下同（1）可求得∠ADB=30°，
第二种情况：当0°＜α＜60°时，
如图4，
作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC=，
∴∠ABD=∠DBC-∠ABC=，
同（1）可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=，
，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，
∴∠D′BC=∠ABC-∠ABD′=90°-，
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．
同（1）可证△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，
∴∠ADB=∠AD′B=150°．
2.利用等边三角形的性质探究线段大小关系
3．如图，△ABC是等边三角形，D是△ABC内一点，∠BDC=120°．
（1）求作点D关于直线BC的对称点E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下连接AE，BE，CE，延长BE至F，使得EF=EC，求证：AE=BF．
【解析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到CD=CE，BD=BE，根据全等三角形的性质得到∠BCE=∠BCD，∠BEC=∠BDC=120°，根据等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
（1）解：如图所示；
（2）证明：由作图知，BC垂直平分DE，
∴CD=CE，BD=BE，
∵BC=BC，
∴△BDC≌△BEC（SSS），
∴∠BCE=∠BCD，∠BEC=∠BDC=120°，
∴∠CEF=60°，
∵CE=EF，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠F=∠ECF=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF．
4．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AD=CE，线段BE、CD交于点F，连接AF．
（1）求∠CFE的度数；
（2）当∠AFE=30°时，用等式表示线段CF与BF的数量关系，并证明．
【解析】（1）通过SAS证明DBC≌△EAB得出∠ABE=∠BCD，再由∠ABE+∠CBE=60°即可推出结果；
（2）作CH⊥BE交BE于点H，通过AAS证明△AFC≌△CHB得出CF=BH，再根据含30°的直角三角形性质推出CF=2FH即可得出结论．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠CAB=60°，
又∵AD=CE，
∴BD=AE，
在△DBC与△EAB中，
，
∴△DBC≌△EAB（SAS），
∴∠ABE=∠BCD，
∵∠ABE+∠CBE=60°，
∴∠BCD+∠CBF=60°，
∴∠CFE=60°；
（2）CF=2BF，证明如下：
如图，作CH⊥BE交BE于点H，
∵∠AFC=∠AFE+∠CFE=90°=∠CHB，
由（1）知，∠ACF=∠CBF，AC=BC，
∴△AFC≌△CHB（AAS），
∴CF=BH，
在Rt△CHF中，∠CFH=60°，
∴∠FCH=30°，
∴CF=2FH，
∴BH=2FH，
∵BH=FH+BF，
∴BF=FH，
∴CF=2BF．
5．如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE=BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于F．
（1）求∠EFB的度数；
（2）求证：DE=2DF．
【解析】（1）根据等边三角形的性质得出AC=BC，∠ACB=∠B=60°，求出CD=CE，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出∠E=30°，求出∠BFE即可；
（2）连接BD，求出BD=DE，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD=2DF，即可得出答案．
（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=∠B=60°，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD=AC，
∵CE=BC，
∴CD=CE，
∵∠E+∠CDE=∠ACB=60°，
∴∠E=∠CDE=30°，
∵∠B=60°，
∴∠EFB=180°-60°-30°=90°；
（2）证明：连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC=∠ABD=∠ABC=30°，
∵∠E=30°，
∴∠DBC=∠E，
∴DE=BD，
∵∠BFE=90°，∠ABD=30°，
∴BD=2DF，
即DE=2DF．
3.利用等边三角形的性质证明线段位置关系
6．已知△ABC和△DEF为等边三角形．点D在△ABC边AB上，点F在直线AC上．
（1）若点C和点F重合（如图①），求证：AE∥BC；
（2）若F在AC的延长线上（如图②），（1）中的结论是否成立．给出你的结论并证明．
【解析】（1）利用等边三角形的性质可得BC=AC，DC=EC，∠B=∠BCA=∠DCE=60°，再根据全等三角形的判定与性质可得∠B=∠EAC，最后根据平行线的判定方法可得结论；
（2）过点F作FM∥BC交AB的延长线于点M，利用等边三角形的判定与性质及平行线的性质可得结论．
（1）证明：∵△ABC和△DEF为等边三角形，
∴BC=AC，DC=EC，∠B=∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCD+∠DCA=∠ACE+∠DCA，即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠EAC，
∵∠B=∠ACB，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC；
（2）若F在AC的延长线上，（1）中的结论仍然成立．
过点F作FM∥BC交AB的延长线于点M，
∵△ABC为等边三角形，FM∥BC，
∴∠M=∠ABC=60°，∠AFM=∠ACB=60°，
∴△AFM为等边三角形，
同（1）可证AE∥FM，
∵FM∥BC，
∴AE∥BC．
7 .如图，△ABC是边长为10cm的等边三角形，动点P从点B出发以3cm/s速度沿着B→A→C→B向终点B运动，同时动点Q从点C出发以2cm/s速度沿着C→B→A→C向终点C运动，运动时间为t秒．
（1）当P在AB边上运动时，BP＝　 　，BQ＝　 　．
（2）当PQ∥AC时，求t的值．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝BC＝10cm，于是得到结论；
（2）当点P在AB边上运动时，当点P在BC边上时，根据等边三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵△ABC是边长为10cm的等边三角形，
∴AB＝BC＝10cm，
∴当P在AB边上运动时，BP＝3tcm，BQ＝（10﹣2t）cm，
故答案为：3tcm；（10﹣2t）cm；
（2）当点P在AB边上运动时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝∠B＝60°，
当PQ∥AC时，∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
∴△BQP是等边三角形，
∴BQ＝BP，
即10﹣2t＝3t，
解得，t＝2；
当点P在BC边上时，
同理可得10﹣（3t﹣20）＝2t﹣10，
解得，t＝8，
综上所述，当PQ∥AC时，t的值为2或8．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
三、课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．如图，已知△ABC是等边三角形，中线BE，CD交于点F，则∠BFD的度数为 （　　）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】B
【解析】首先利用等边三角形的性质可以求出∠EBC、∠DCB，然后利用三角形的内角和定理即可求解．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵中线BE，CD交于点F，
∴∠EBC=∠DCB=×60°=30°，
∴∠BFD=∠EBC+∠DCB=60°．
故选：B．
2．如图，等边△ABC的两条高AD和BE相交于点O，则∠DOE度数为（　　）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
【答案】C
【解析】根据等边三角形的性质推出AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，则∠BAD=∠BAC=30°，∠ABE=∠ABC=30°，根据三角形内角和定理求出∠AOB=120°，再根据对顶角相等求解即可．
解：∵等边△ABC的两条高AD和BE相交于点O，
∴∠BAC=∠ABC=60°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD=∠BAC=30°，∠ABE=∠ABC=30°，
∵∠AOB+∠ABE+∠BAD=180°，
∴∠AOB=120°，
∴∠DOE=∠AOB=120°，
故选：C．
3．如图，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P′BA，则∠PBP′的度数是（　　）
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
【答案】B
【解析】根据旋转的性质可得：△PBC≌△P′BA，故∠PBC=∠P′BA，即可求解．
解：∠PBP′=∠P′BA+∠PBA，
=∠PBC+∠PBA，
=∠ABC，
=60°．
故选：B．
4．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=40°，则∠ADB的度数为（　　）
A. 25° B. 60° C. 90° D. 100°
【答案】D
【解析】等边三角形的三个角都为60°，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵∠ADB=∠DBC+∠C，∠DBC=40°，
∴∠ADB=40°+60°=100°，
故选：D．
5．下列说法中不正确的是（　　）
A. 有一腰长相等的两个等腰三角形全等
B. 有一边对应相等的两个等边三角形全等
C. 斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等
D. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等
【答案】A
【解析】A、根据已知能得出AB=DE，AC=DF，不能判断两三角形全等；B、根据等边三角形性质和SSS能推出两三角形全等；根据HL能推出两三角形全等，即可判断C；根据等腰直角三角形性质推出∠A=∠D，根据AAS判断即可．
解：A、
AB=DE，AB=AC，DF=DE，
∴AB=DE，AC=DF，但是找不出第三个相等的条件，即两三角形不全等，故本选项正确；
B、∵AB=AC=BC，DE=DF=EF，AB=DE，
∴AB=DE，AC=DF，BC=EF，
∴△ABC和△DEF全等，故本选项错误；
C、根据HL推出两直角三角形全等，故本选项错误；
D、
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
同理∠D=45°，
即∠A=∠D，∠C=∠E=90°，AB=DF，
∴△ACB≌△DEF（AAS），故本选项错误；
故选：A．
6．如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接FG；下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③△BCF≌△DCF；④∠BOE=120°．其中正确的是（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
【答案】B
【解析】首先根据等边三角形的性质，得到BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠BCD=60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；由全三角形的对应角相等，得到∠CBD=∠CAE，根据ASA证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，由于BC≠CD，∠CBF≠∠CDF，于是得到△BCF与△DCF不一定全等，③错误；根据三角形外角性质即可得出④正确．
解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，
在△BCD和△ACE中
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD，∴①正确；
∠CBD=∠CAE，
∵∠BCA=∠ACG=60°，
∴在△BCF和△ACG中
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴AG=BF，∴②正确；
∵BC≠CD，∠CBF≠∠CDF，
∴△BCF与△DCF不一定全等，
∴③错误；
∵∠CDB=∠AEC，∠DCE=60°，
∴∠AOB=∠CBD+∠CEA=∠CBD+∠CDB=∠DCE=60°，
∴∠BOE=120°，
∴④正确．
故选：B．
7．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OA对称，P2与P于OB对称，则△P1OP2的形状一定是（　　）
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形
D. 钝角三角形
【答案】B
【解析】根据轴对称的性质，结合等边三角形的判定求解．
解：∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2，
∴OP=OP1=OP2且∠P1OP2=2∠AOB=60°，
∴△OP1P2是等边三角形．
故选：B．
8．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④
【答案】D
【解析】直接根据等边三角形的判定方法进行判断．
解：①有两个角等于60°的三角形是等边三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
③三个角都相等的三角形是等边三角形；
④三边都相等的三角形是等边三角形；
故选：D．
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．等腰三角形的一个外角是120°，那么这个等腰三角形是 _____三角形．
【答案】等边
【解析】根据已知可求得与这个外角相邻的内角，再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求解．
解：∵等腰三角形的一个外角为120°，
∴与这个外角相邻的角的度数为60°，
∴这个等腰三角形是等边三角形，
故答案为：等边．
10．如图，已知是等边△内一点，是线段延长线上一点，且，=120°，那么_____．
【答案】60°
【分析】由的度数利用邻补角互补可得出，结合可得出为等边三角形，而根据旋转全等模型由易证出，根据全等三角形的性质可得出，再根据即可求出的度数．
【详解】解：为等边三角形，
，．
，，
．
又，
为等边三角形，
，，．
，
．
在和中，
，
，
，
．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角的计算，通过证明，找出是解题的关键．
11．在等边△ABC中，BM是AC边上的中线，N为BC的延长线上的一点，且CN=CM，则∠BMN的度数是 _____．
【答案】120°
【解析】根据等边三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=60°，∠CBM=30°，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求出∠N=30°，根据三角形内角和定理求解即可．
解：∵等边△ABC中，BM是AC边上的中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠CBM=∠ABC，
∴∠CBM=30°，
∵CN=CM，
∴∠N=∠CMN，
∵∠N+∠CMN=∠ACB=60°，
∴∠N=30°，
∵∠CBM+∠BMN+∠N=180°，
∴∠BMN=120°，
故答案为：120°．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=9cm,DE=3cm,则BC=_____cm.
【答案】12
【解析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DG⊥EF，垂足为G，由直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半可知BF=4.5，DG=1.5，然后由等腰三角形三线合一可知AH⊥BC，BH=CH，然后再证明四边形DGFH是矩形，从而得到FH=GD=1.5，最后根据BC=2BH计算即可．
解；过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DG⊥EF，垂足为G．
∵EF⊥BC，∠EBF=60°，
∴∠BEF=30°，
∴BF=，
∵∠BED=60°，∠BEF=30°，
∴∠DEG=30°．
又∵DG⊥EF，
∴GD=cm,
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，且BH=CH．
∵AH⊥BC，EF⊥BC，DG⊥EF，
∴四边形DGFH是矩形．
∴FH=GD=1.5cm.
∴BC=2BH=2×（4.5+1.5）=12cm.
解法二：延长ED交BC于M，延长AD交BC于点H，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，BH=CH，
∴∠DHM=90°，
∵∠E=∠BEM=60°，
∴△BEM是等边三角形，
∴EM=BE=BM=9cm,∠DMH=60°，
∴∠MDH=30°，
∵ED=3cm,
∴DM=EM-ED=9-3=6cm,
∴HM=3cm,
∴BH=BC=BM-HM=9-3=6cm,
∴BC=12cm.
故答案为：12．
13．如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．若BE∥AC，则∠C＝　 　．
【分析】根据平行线的性质证得∠EAC＝90°，由等腰三角形的性质和已知条件证得∠1＝∠2＝∠3＝30°，可得∠BAC＝60°，进而得到△ABC为等边三角形，由等边三角形的性质可得∠C的度数．
【解答】解：∵AE⊥BE，
∴∠E＝90°，
∵BE∥AC，
∴∠EAC＝90°，
∵AB平分∠DAE，
∴∠1＝∠2，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，
∴∠BAC＝∠1+∠3＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，证得∠1＝∠2＝∠3＝30°是解决问题的关键．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠ABC=90°，点E是AC的中点．
（1）求证：△BED是等腰三角形；
（2）当∠DAB=_____°时，△BED是等边三角形．
【答案】30
【解析】（1）由直角三角形的性质可得DE=AC，BE=AC，可得结论；
（2）由等腰三角形的性质可得∠DEB=2∠DAB，∠DAB=30°时，可得∠DEB=60°，可得结论．
（1）证明：∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC 的中点，
∴DE=AC=AE，BE=AC=AE，
∴DE=BE，
即△BED是等腰三角形；
（2）解：∵DE=BE=AE，
∴∠DAE=∠ADE，∠EAB=∠EBA，
∴∠DEC=2∠DAE，∠BEC=2∠EAB，
∴∠DEB=2∠DAB，
当∠DAB=30°时，∠DEB=60°，
又∵BE=DE，
∴△BED是等边三角形，
故答案为：30．
15．（6分）已知，在△ABC中，AB=AC，M是边AC上的点，N是△ABC内一点，MN∥AB，且AM=MN=NB=BC，求证：△NBC是等边三角形．
【解析】连接AN，根据平行线的性质及等腰三角形的性质得出∠BAN=∠CAN，即可根据题意判定△ABN≌△ACN，得到NB=NC，即可得解．
证明：连接AN，
∵AM=MN，
∴∠MAN=∠MNA，
∵MN∥AB，
∴∠BAN=∠MNA，
∴∠BAN=∠MAN，
即∠BAN=∠CAN，
在△ABN和△ACN中，
，
∴△ABN≌△ACN（SAS），
∴NB=NC，
∵NB=BC，
∴NB=NC=BC，
∴△NBC是等边三角形．
16．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：DE=EF；
（2）当∠A=44°时，求∠DEF的度数；
（3）当∠A等于多少度时，△DEF成为等边三角形？试证明你的结论．
【解析】（1）根据AB=AC可得∠B=∠C，即可求证△BDE≌△CEF，即可解题；
（2）根据全等三角形的性质，得出∠BED=∠CFE，再根据三角形内角和定理以及平角的定义，即可求得∠DEF的度数；
（3）根据△DEF为等边三角形，以及△BDE≌△CEF，可得∠C的度数，最后根据等腰三角形ABC，求得其顶角的度数．
解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF；
（2）当∠A=44°时，∠B=∠C=（180°-44°）=68°，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠BED=∠CFE，
∵△CEF中，∠CEF+∠CFE=180°-68°=112°，
∴∠BED+∠CEF=112°，
∴∠DEF=180°-112°=68°；
（3）当∠A等于60度时，△DEF成为等边三角形．
证明：若△DEF为等边三角形，则∠DEF=60°，
∴∠BED+∠CEF=120°，
又∵△BDE≌△CEF，
∴∠BED=∠CFE，
∴△CEF中，∠CEF+∠CFE=120°，
∴∠C=180°-120°=60°=∠B，
∴△ABC中，∠A=180°-60°×2=60°．
17．（8分）我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转．这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法，是一种重要而且有效的方法，同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样一道题目：如图，△ABC与△ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，作射线OM与射线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与射线CD相交于点F．
（1）如图1，点，O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，求证：△AEC≌△AFD；
（2）当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：如图2，当点，O在CA的延长线上时，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CO三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【解析】（1）利用SAS证明△AEC≌△AFD即可得出结论；
（2）过点O作OH∥BC，交CF于H，可知△COH是等边三角形，再利用ASA证明△OHF≌△OCE，从而解决问题．
（1）证明：∵△ABC与△ACD为正三角形，
∴AB=AC=BC=AD=CD，∠BAC=∠BCA=∠ADC=∠DAC=60°，
∵将射线OM绕点O逆时针旋转60°，
∴AE=AF，∠EAF=60°，
∴∠BAC=∠CAD=∠EAF=60°，
∴∠EAC=∠DAE，且AC=AD，AE=AF，
在△AEC与△AFD中，
，
∴△AEC≌△AFD（SAS）；
（2）解：CE+CO=CF，
理由：如图，过点O作OH∥BC，交CF于H，
∴∠HOC=∠BCA=60°，∠OHC=∠HCE=60°，
∴△COH是等边三角形，
∴OC=CH=OH，
∵∠EOF=∠COH=∠CHO=∠BCA=60°，
∴∠COE=∠FOH，∠OCE=∠OHF=120°，OH=OC，
在△OHF与△OCE中，
，
∴△OHF≌△OCE（ASA），
∴CE=FH，
∵CF=CH+FH，
∴CF=CO+CE．
18．（8分）如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．
（1）求证：∠ECD=∠EDC；
（2）若∠AOB=60°，OE=8，试求EF的长．
【答案】（1）见解析 （2）EF=2．
【解析】（1）点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，根据角平分线的性质可知EC=ED，即可求证∠ECD=∠EDC；
（2）首先证明△DOC是等边三角形，进而得出∠EOC=30°，又因为EC⊥OA，所以∠ECO=90°，OE=8，根据直角三角形的性质可求得EF=OE．
【小问1详解】
证明：∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC=ED．
∴△EDC为等腰三角形．
∴∠ECD=∠EDC；
【小问2详解】
解：∵在Rt△DEO和Rt△CEO中，
∵EO=EO，DE=EC（已证），
∴Rt△DEO≌Rt△CEO（HL），
∴DO=CO，
∵∠AOB=60°，OE是∠AOB的平分线，
∴∠EOC=30°，△DOC是等边三角形，
∴∠OCD=60°，
∵EC⊥OA，
∴∠ECO=90°．
∴∠ECF=30°，
∴EC=OE=4，
∴EF=EC=×4=2．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．
19．（9分）在等边△ABC中，
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②求证：PA=PM．
【解析】（1）根据三角形的外角性质得到∠APC，由等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）①根据题意补全图形即可；
②过点A作AH⊥BC于点H，根据等边三角形的判定和性质解答即可．
解：（1）∵△ABC为等边三角形
∴∠B=60°
∴∠APC=∠BAP+∠B=80°
∵AP=AQ
∴∠AQB=∠APC=80°，
（2）①补全图形如图所示，
②证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图．
由△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴∠APQ-∠B=∠AQP-∠C，
即∠PAB=∠QAC，
∵点Q，M关于直线AC对称，
∴∠QAC=∠MAC，AQ=AM
∴∠MAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC=60°，
∵AP=AM，
∴△APM为等边三角形
∴PA=PM．
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