资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
人教版八年级数学上名师点拨精练
第13章 轴对称
13.3.2 含30°角的直角三角形的性质
学习目标
1.知道等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系.
2.掌握等边三角形的性质和判定方法.
3.熟练地运用等边三角形的性质和判定方法解决问题.
重点：探索等边三角形的性质与判定.
难点：等边三角形性质和判定的应用.
老师告诉你
利用含30°角的直角三角形的性质求有关线段的长
依据：直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半。
用途：求线段长度和证明线段倍分关系。
作法：当图形中含有30°角时，通过作垂线构造30°角的直角三角形。
知识点拨
知识点1 的性质
含30°的直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.　
此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
细节剖析:
这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.
应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
【新知导学】
例1-1．如图，在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为 _____．
【对应导练】
1．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：．

2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．
（1）求∠BDC的度数；
（2）求BD的长．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=2∠A，AB=8，CD⊥AB于点D．求BC、AD的长．
4．如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？
知识点2 含30°角的直角三角形的性质的应用
1.若求某直角三角形的边长时，考虑构造30°角的直角三角形。
2.若给出的是15°角，则构造以15°角为底角的等腰三角形，其顶角的外角为30°的角。
3.在同一个三角形中证明一条线段等于另一条线段的二倍，一是证明是直角三角形，二是证明较短的直角边所对的锐角等于30°
【新知导学】
例2-1．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，AD=3cm,则CD的长是 _____cm.
例2-2．如图，在△ABC中，AB=AC=4，且∠BAC=120°，点D是线段BC上的一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=30°，DE交AC于点E．当点D运动到使得∠DEA=90°时，则AD的长为 _____．
【对应导练】
1．已知，如图，为等边三角形，，AD，BE相交于点P，于Q.
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）若，，求AD的长.
2．如图，，均是等边三角形，点B，D，E三点共线，连按CD，CE；.
（1）求证：；
（2）若线段，求线段BD的长.
3．如图，在中，，D、E是内的两点，AD平分，.若，，求BC的长.
4．如图，点P、M、N分别在等边的各边上，且于点P，于点M，于点N，若cm，则CM的长为______________.
二、题型训练
1.含30°角的直角三角形的性质在等边三角形中的应用
1．如图，已知等边 的边长为，现有两点 M、N 分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点 M的速度，点 N的速度为．当点 N 第一次到达 B 点时，M、N 同时停止运动．
（1）当点 N 第一次到达 B 点时，点M的位置在 ；当 M、N运动 秒时，点N追上点M；
（2）当点 M、N 在 边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时 M、N 运动的时间．
（3）当为直角三角形时，运动时间t的值是
2．如图，点，分别是边长为的等边的边，上的动点，点从点向点运动，点从点向点运动，它们同时出发，且速度都为，运动的时间为秒，连接，交于点，则在，运动的过程中，
（1）求证：；
（2）的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（3）当为何值时，是直角三角形？
2.含30°角的直角三角形的性质在证明线段倍数问题的应用
3．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，DE⊥AB，且BE=AE．求证：DC=2BD．
4．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，求证：BD=AB．
3.含30°角的直角三角形的性质在探究条件中的应用
5．如图，在等边三角形中，，P是边上的任意一点，（点P可以与点A重合，不与点B重合）过点P作，垂足为E，过点E作，垂足为F，过点F作，垂足为Q，设．
(1)请将用含的式子表示出来；
(2)当的长等于多少时，点P与点Q重合？
(3)当时，求的长．
6．如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D．
(1)若设的长为x，则_________，____________．
(2)当时，求的长；
(3)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由．
7．【问题呈现】
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，点为轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交轴于点．
【问题提出】
（1）在此过程中，线段与有何数量关系？并证明你的结论；
【尝试探究】
（2）在点的运动过程中，的度数是否会发生变化？如果不变，请求出的度数；如果改变，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）当点运动到什么位置时，以为顶点的三角形是等腰三角形？
三、课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．在△ABC中，AB=AC=4，∠B=30°，点P是线段BC上一动点，则线段AP的长可能是（　　）
A. 1 B.
C. D.
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=1，则AD的长为（　　）
A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠B=30°，D是BC上一点，连接AD，设△ADB和△ADC的面积分别是S1，S2，且S1：S2=2：1，则∠DAC的度数是（　　）
A. 15° B. 25° C. 30° D. 45°
4．已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为（　　）
A. 75°或15° B. 30°或60° C. 75° D. 30°
5 .如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6 .如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，点D在BA的延长线上，CA＝CD，BD＝6，则AD＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7 .如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB的中垂线，AD＝12，则CD的长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
8 .如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，D为BC上任意一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE+DF＝，连接AD，则AB＝　 　．
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．如图，在△ABC中，AB=AC=4，且∠BAC=120°，点D是线段BC上的一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=30°，DE交AC于点E．当点D运动到使得∠DEA=90°时，则AD的长为 _____．
10．在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是△ABC的高，若AD+BC=10，则线段BD的长是 _____．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BD=6，则AC的长为 _____．
12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC且AB⊥AC，BC=BD，则∠DBC=_____．
13．如图，已知∠AOB=60°，点P在OA上，OP=8，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=_____．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，AD平分∠BAC．
（1）求∠B的度数；
（2）求证：CD=BC；
（3）若AC=2，点P是直线AD上的动点，求|PB-PC|的最大值．
15．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=5，求BD的长．
16．（8分）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
17．（8分）如图（1）是某施工现场图，据此构造出了如图（2）所示的数学模型，已知B，C，D三点在同一水平线上，AD⊥CD，∠B＝30°，∠ACD＝60°，BC＝30米．
（1）求点C到AB的距离；
（2）求线段AD的长度．
18．（7分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，于点E
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
19 .（8分）已知：如图，△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点D，过点D的AC的平行线分别交AB于E，交BC于F．
（1）求证：EF＝AE+CF；
（2）若∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，求△BEF的周长．
人教版八年级数学上名师点拨精练
第13章 轴对称
13.3.2 含30°角的直角三角形的性质
学习目标
1.知道等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系.
2.掌握等边三角形的性质和判定方法.
3.熟练地运用等边三角形的性质和判定方法解决问题.
重点：探索等边三角形的性质与判定.
难点：等边三角形性质和判定的应用.
老师告诉你
利用含30°角的直角三角形的性质求有关线段的长
依据：直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半。
用途：求线段长度和证明线段倍分关系。
作法：当图形中含有30°角时，通过作垂线构造30°角的直角三角形。
知识点拨
知识点1 的性质
含30°的直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.　
此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
细节剖析:
这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.
应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
【新知导学】
例1-1．如图，在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为 _____．
【答案】16
【解析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B=AB=8，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA=30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影=S△A1BA+S△A1BC1-S△ABC=S△A1BA，最终得到阴影部分的面积．
解：过A作AD⊥A1B于D，如图：
在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B=AB=8，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°，
∵AD⊥A1B，
∴AD=AB=4，
∴S△A1BA=×8×4=16，
又∵S阴影=S△A1BA+S△A1BC1-S△ABC，且S△A1BC1=S△ABC，
∴S阴影=S△A1BA=16，
故答案为：16．
【对应导练】
1．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：．

【解析】过点D作DH⊥AC于点H，根据等腰三角形的性质得到AD平分∠BAC，根据角平分线的性质得到DE=DH，根据含30°角的直角三角形的性质得到DH=DF，等量代换证明结论．
证明：如图，过点D作DH⊥AC于点H，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DE=DH，
∵DF∥AB，∠BAC=30°，
∴∠DFH=∠BAC=30°，
∴DH=DF，
∴DE=DF．
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．
（1）求∠BDC的度数；
（2）求BD的长．
【解析】（1）由于AB的垂直平分线交AC于点D，根据线段的垂直平分的性质得到DA=DB，然后根据等腰三角形的性质推出∠DBE=∠A，然后利用已知条件即可求出∠BDC的度数；
（2）利用已知条件和30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可求出BD的长．
解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBE=∠A=30°，
∴∠BDC=60°；
（2）在Rt△BDC中，∵∠BDC=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BD=2CD=4．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=2∠A，AB=8，CD⊥AB于点D．求BC、AD的长．
【解析】根据三角形内角和定理求出∠B=60°，∠A=30°，根据直角三角形的性质解答．
解：∵∠ACB=90°，∠B=2∠A，
∴∠B=60°，∠A=30°，
∴BC=AB=4，
∵∠A=30°，∠B=60°
∠BCD=30°
∴BD=BC=2，
∴AD=AB-BD=6．
4．如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？
【解析】根据三角形外角的性质得到∠CAD=∠ADB-∠ACB=15°，根据等腰三角形的性质得到AD=CD=20，由直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵∠ADB=30°，∠ACB=15°，
∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=15°，
∴∠ACB=∠CAD，
∴AD=CD=20，
又∵∠ABD=90°，
∴AB=AD=10，
∴树的高度为10米．
知识点2 含30°角的直角三角形的性质的应用
1.若求某直角三角形的边长时，考虑构造30°角的直角三角形。
2.若给出的是15°角，则构造以15°角为底角的等腰三角形，其顶角的外角为30°的角。
3.在同一个三角形中证明一条线段等于另一条线段的二倍，一是证明是直角三角形，二是证明较短的直角边所对的锐角等于30°
【新知导学】
例2-1．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，AD=3cm,则CD的长是 _____cm.
【答案】6
【解析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A=30°，根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，根据等腰三角形的性质求出∠A=∠ABD=30°，根据角的和差求出∠CBD=90°，根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
解：连接BD．
∵BA=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=×（180°-120°）=30°，
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD=BD=3cm,
∴∠A=∠ABD=30°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=90°，
∴CD=2AD=6（cm），
故答案为：6．
例2-2．如图，在△ABC中，AB=AC=4，且∠BAC=120°，点D是线段BC上的一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=30°，DE交AC于点E．当点D运动到使得∠DEA=90°时，则AD的长为 _____．
【答案】2
【解析】根据三角形内角和定理求出∠DAE=60°，则∠BAD=60°=∠DAE，根据等腰三角形的性质求出AD⊥BC，利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．
解：∵AB=AC，∠BAC=120°
∴B=∠C=30°，
∵∠ADE=30°，∠DEA=90°，
∴∠DAE=180°-90°-∠30°=60°，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=60°=∠DAE，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AD=AB=2，
故答案为：2．
【对应导练】
1．已知，如图，为等边三角形，，AD，BE相交于点P，于Q.
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）若，，求AD的长.
答案：（1）见解析
（2）60°
（3）7
解析：（1）证明：为等边三角形，
，，
在与中，
，
，
；
（2），
，
，
；
（3），，
，
，
，
，
.
2．如图，，均是等边三角形，点B，D，E三点共线，连按CD，CE；.
（1）求证：；
（2）若线段，求线段BD的长.
答案：（1）见解析
（2）6
解析：（1）、是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）是等边三角形，
，
点B，D，E三点共线
，
，
，
，
，
，
，
.
3．如图，在中，，D、E是内的两点，AD平分，.若，，求BC的长.
答案：
解析：延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N，
，AD平分，
，，
，
为等边三角形，，
则，
而，
，
，
.
4．如图，点P、M、N分别在等边的各边上，且于点P，于点M，于点N，若cm，则CM的长为______________.
答案：4cm
解析：是正三角形，，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
cm，是正三角形，
，，
cm，cm，
cm.
二、题型训练
1.含30°角的直角三角形的性质在等边三角形中的应用
1．如图，已知等边 的边长为，现有两点 M、N 分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点 M的速度，点 N的速度为．当点 N 第一次到达 B 点时，M、N 同时停止运动．
（1）当点 N 第一次到达 B 点时，点M的位置在 ；当 M、N运动 秒时，点N追上点M；
（2）当点 M、N 在 边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时 M、N 运动的时间．
（3）当为直角三角形时，运动时间t的值是
【答案】（1）线段的中点，6
（2）存在，当M、N运动8秒时，能得到以为底的等腰三角形
（3），，，9
【解析】（1）先求解N第一次到达B的时间，可得M的位置，再点M、N运动x秒后，M、N两点重合，可得，再解方程即可；
（2）先证明，可得，再建立方程，即可得到答案；
（3）当点N在上运动时，如图3，若，如图4，当，再利用含的直角三角形的性质列方程即可，当点N在上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形：当点N在上运动时，如图5，当点N位于中点处时，由为等边三角形知，如图6，当点M位于中点处时，由时等边三角形知，即是直角三角形，再列方程求解即可．
【小问1详解】
解：当点 N 第一次到达 B 点时，，
此时运动了，
∴点M的位置在线段BC的中点，
设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，，
解得：，
即当M、N运动6秒时，点N追上点M．
【小问2详解】
当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图2，假设是等腰三角形，
∴，
∴．
∴，
∵是等边三角形，
∴，AB=AC，
在和中，
∵，，
∴
∴，
∴，
解得，符合题意．
所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以为底的等腰三角形．
【小问3详解】
当点N在上运动时，如图3，
若，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，解得．
如图4，当，
同理可得：由得，解得；
当点N在上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形：
当点N在上运动时，
如图5，当点N位于中点处时，由为等边三角形知，
即是直角三角形，
则，解得．
如图6，当点M位于中点处时，由时等边三角形知，即是直角三角形，
则；
综上，当，，，9时，可得到直角三角形．
【点睛】本题考查的是动态几何问题，等边三角形的性质，等腰三角形的定义，含的直角三角形的性质，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
2．如图，点，分别是边长为的等边的边，上的动点，点从点向点运动，点从点向点运动，它们同时出发，且速度都为，运动的时间为秒，连接，交于点，则在，运动的过程中，
（1）求证：；
（2）的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（3）当为何值时，是直角三角形？
【答案】（1）见解析 （2）不变，
（3）或
【解析】（1）根据等边三角形的性质得出，，根据点，的运动速度相等，得出，即可证明；
（2）由（1）得，根据三角形的外角的性质，即可求解．
（3）分，两种情况讨论，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵点、的速度相同，
∴，
在和中
∴；
【小问2详解】
解：的大小不发生变化，
∵，
∴，
∴
；
【小问3详解】
∵运动时间为秒，则，
∴，
当时，
∵，则
∴，
∴，解得，
当时，
∵，
∴，则
∴，解得，
∴当为或时，为直角三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
2.含30°角的直角三角形的性质在证明线段倍数问题的应用
3．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，DE⊥AB，且BE=AE．求证：DC=2BD．
【解析】连接AD．在△ABC中，根据等边对等角的性质及三角形内角和定理求出∠B=∠C=（180°-∠BAC）=30°．由DE是AB的垂直平分线得出AD=BD，那么∠BAD=∠B=30°，那么∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°．然后在Rt△ADC中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出DC=2AD，等量代换即可得到DC=2BD．
证明：连接AD．
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=30°．
∵DE⊥AB，BE=AE，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-30°=90°．
∵在Rt△ADC中，∠DAC=90°，∠C=30°，
∴DC=2AD，
∴DC=2BD．
4．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，求证：BD=AB．
【解析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质求出BC=AB，再求出∠BCD=30°，再次利用性质解答即可得证．
证明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=AB，（直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半），
∵CD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=60°，
∴∠BCD=30°，
∴BD=BC，
∴BD=AB．
3.含30°角的直角三角形的性质在探究条件中的应用
5．如图，在等边三角形中，，P是边上的任意一点，（点P可以与点A重合，不与点B重合）过点P作，垂足为E，过点E作，垂足为F，过点F作，垂足为Q，设．
(1)请将用含的式子表示出来；
(2)当的长等于多少时，点P与点Q重合？
(3)当时，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)或．
【分析】本题主要考查了等边三角形和含直角三角形．熟练掌握等边三角形性质，含直角三角形的性质，一元一次方程应用，是解决问题的关键．
（1）根据．，得到，根据，得到，得到，得到，得到，得到，即得；
（2）当点P与点Q重合时，，得，解得，即得；
（3）当点P在点Q右侧时，，得，解得，即得；当点P在点Q左侧时，，得， 解得 ，即得．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴；
在中，
∵，
∴；
在中，
∵，
∴，
故；
（2）解：当点P与点Q重合时，，
∴，
解得：
故；
（3）解：当点P在点Q右侧时，，，
有，
解得：，
∴；
当点P在点Q左侧时，，
有，
解得： ，
∴，
综上所述，当时，的长为：或．
6．如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D．
(1)若设的长为x，则_________，____________．
(2)当时，求的长；
(3)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)点在运动过程中，线段的长不发生变化，，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质并结合题意即可得出答案；
（2）求出是直角三角形，再由含角的直角三角形的性质得出，建立方程计算即可得出答案；
（3）过点作的平行线交于，证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得解．
【详解】（1）解：∵是边长为6的等边三角形，
∴，
设的长为x，则，，
∴；
（2）解：∵是边长为6的等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：点在运动过程中，线段的长不发生变化，，理由如下：
如图，过点作的平行线交于，
∵是边长为6的等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
7．【问题呈现】
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，点为轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交轴于点．
【问题提出】
（1）在此过程中，线段与有何数量关系？并证明你的结论；
【尝试探究】
（2）在点的运动过程中，的度数是否会发生变化？如果不变，请求出的度数；如果改变，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）当点运动到什么位置时，以为顶点的三角形是等腰三角形？
【答案】（1），见解析；（2）点在运动过程中，的度数是个定值，不会发生变化；（3）当点的坐标为时，以为顶点的三角形是等腰三角形
【分析】对于（1），根据等边三角形的性质可得，再说明，可证，进而得出答案；
对于（2），根据等边三角形的性质得，再根据全等三角形的性质得，最后根据得出结论；
对于（3），，先根据全等三角形的性质及等边三角形的性质得，即可得出以为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰，然后根据直角三角形的性质得，进而得出答案．
【详解】（1）答：．
证明：都是等边三角形，
，
，
即，
，
；
（2）点在运动过程中，的度数不会发生变化，理由如下：
是等边三角形，
．
，
，
．
故：点在运动过程中，不变，；
（3），
．
又，
，
，
以为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰.
在中，，
，
，
．
当点的坐标为时，以为顶点的三角形是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，解决本题时要结合等腰三角形的性质注意多种讨论．
三、课堂达标
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．在△ABC中，AB=AC=4，∠B=30°，点P是线段BC上一动点，则线段AP的长可能是（　　）
A. 1 B.
C. D.
【答案】D
【解析】过A作AD⊥BC于D，根据直角三角形的性质即刻得到结论．
解：过A作AD⊥BC于D，
∵∠B=30°，
∴AD=AB=2，
∵点P是线段BC上一动点，
∴AP≥2，
故选：D．
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=1，则AD的长为（　　）
A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BDC=30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD=15°，从而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，从而得解．
解：∵∠DBC=60°，∠C=90°，
∴∠BDC=90°-60°=30°，
∴BD=2BC=2×1=2，
∵∠C=90°，∠A=15°，
∴∠ABC=90°-15°=75°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=75°-60°=15°，
∴∠ABD=∠A，
∴AD=BD=2．
故选：B．
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠B=30°，D是BC上一点，连接AD，设△ADB和△ADC的面积分别是S1，S2，且S1：S2=2：1，则∠DAC的度数是（　　）
A. 15° B. 25° C. 30° D. 45°
【答案】C
【解析】根据直角三角形的边角关系可求出AB，BC，由三角形面积比得出BD：CD=2：1，进而求出CD，再根据特殊锐角三角函数值得出答案．
解：在△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠B=30°，
∴AB=2AC=2，
过D作DE⊥AB与E，
∵S1：S2=2：1，
∴DE=DC，
∴AD是∠BAC的平分线
∴∠CAD=30°，
故选：C．
4．已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为（　　）
A. 75°或15° B. 30°或60° C. 75° D. 30°
【答案】A
【解析】根据题意作图，然后分别从等腰三角形一腰上的高在内部与在外部去分析，根据直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，则此直角边所对的角是30°角，再由等边对等角的知识，即可求得这个三角形的底角．
解：如图①：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵CD=AC
∴∠A=30°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB==75°；
如图②：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵CD=AC，
∴∠CAD=30°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB
∴∠DAC=∠B+∠ACB=2∠B=30°，
∴∠B=∠ACB=15°．
这个三角形的底角为：75°或15°．
故选：A．
5 .如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF＝∠COE＝15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG＝30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半，即可得到EF的长，进而得出OF的长．
【解答】解：∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，
∴CE＝EG＝3，
∵EF∥OB，
∴∠COE＝∠OEF＝15°
∴∠EFG＝15°+15°＝30°，∠EOF＝∠OEF，
∴OF＝EF＝2EG＝2×3＝6．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质，证出∠EFG＝30°是解决问题的关键．
6 .如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，点D在BA的延长线上，CA＝CD，BD＝6，则AD＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】过C点作CE⊥AD于E，由等腰三角形的性质可得AD＝2DE，利用含30°角的直角三角形的性质可求解BE的长，即可求得DE的长，进而可求解．
【解析】解：过C点作CE⊥AD于E，
∵CA＝CD，
∴AD＝2DE，
∵∠ABC＝60°，∠CEB＝90°，
∴∠BCE＝30°，
∴BE＝BC＝5，
∵BD＝6，
∴DE＝BD﹣BE＝6﹣5＝1，
∴AD＝2．
故选：B．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
7 .如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB的中垂线，AD＝12，则CD的长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵∠A＝30°，AD＝12，DE垂直平分AB，
∴DE＝6，DA＝DB，
∴∠DBE＝∠A＝30°，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠CBA＝60°，
∴∠DBE＝∠DBC＝30°，
∴BD平分∠CBE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝6，
故答案为：6，
故选：C．
8 .如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，D为BC上任意一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE+DF＝，连接AD，则AB＝　 　．
【解答】解：过B作BH⊥AC于H，
∵∠BAC＝30°，
∴BH＝AB，
∵AB＝AC，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴＝，
AB＝AB（DE+DF），
AB＝DF+DF＝，
∴AB＝，
故答案为：
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．如图，在△ABC中，AB=AC=4，且∠BAC=120°，点D是线段BC上的一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=30°，DE交AC于点E．当点D运动到使得∠DEA=90°时，则AD的长为 _____．
【答案】2
【解析】根据三角形内角和定理求出∠DAE=60°，则∠BAD=60°=∠DAE，根据等腰三角形的性质求出AD⊥BC，利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．
解：∵AB=AC，∠BAC=120°
∴B=∠C=30°，
∵∠ADE=30°，∠DEA=90°，
∴∠DAE=180°-90°-∠30°=60°，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=60°=∠DAE，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AD=AB=2，
故答案为：2．
10．在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是△ABC的高，若AD+BC=10，则线段BD的长是 _____．
【答案】2
【解析】根据“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”求解即可．
解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，∠B=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD=30°，
∴BC=2BD，
∴AB=4BD，
∵AB=AD+BD，
∴AD=3BD，
∵AD+BC=10，
∴3BD+2BD=10，
∴BD=2 ，
故答案为：2．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BD=6，则AC的长为 _____．
【答案】3
【解析】根据线段垂直平分线的性质可得DA=DB=6，从而可得∠B=∠DAB=15°，然后利用三角形额外角性质可得∠ADC=30°，从而在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可解答．
解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，BD=6，
∴AD=BD=6，
∴∠B=∠DAB=15°，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=30°，
∵∠C=90°，
∴AC=AD=3，
故答案为：3．
12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC且AB⊥AC，BC=BD，则∠DBC=_____．
【答案】30°
【解析】过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，AE=BC，得到DF=BD，求出∠DBC．
解：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD为矩形，
∴AE=DF，
∵AB⊥AC，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，AE=BC，
∵BD=BC，
∴DF=AE=BC=BD，
∴∠DBC=30°，
故答案为：30°．
13．如图，已知∠AOB=60°，点P在OA上，OP=8，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=_____．
【答案】3
【解析】过P作PC垂直于MN，由等腰三角形三线合一性质得到MC=CN，求出MC的长，在直角三角形OPC中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出OC的长，由OC-MC求出OM的长即可．
解：过P作PC⊥MN，
∵PM=PN，
∴C为MN中点，即MC=NC=MN=1，
在Rt△OPC中，∠AOB=60°，
∴∠OPC=30°，
∴OC=OP=4，
则OM=OC-MC=4-1=3，
故答案为：3
三、解答题(共6题，共48分)
14．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，AD平分∠BAC．
（1）求∠B的度数；
（2）求证：CD=BC；
（3）若AC=2，点P是直线AD上的动点，求|PB-PC|的最大值．
【解析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠BAD=∠B，然后利用直角三角形两锐角互余列式求出∠CAD=∠BAD=∠B=30°；
（2）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD=2CD，根据AD=BD，从而得出BD=2CD，得出BC=BD+CD=3CD，即可证得CD=BC；
（3）作C点关于直线AD的对称点C′，作直线BC′交AD于P，此时|PB-PC|的值最大，最大值为AC的长．
解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵∠C=90°，
∴∠B+2∠B=90°，
∴∠B=30°．
（2）∵∠CAD=∠BAD=∠B=30°，
∴AD=2CD，
∵AD=BD，
∴BD=2CD，
∴BC=BD+CD=3CD，
∴CD=BC；
（3）作C点关于直线AD的对称点C′，
∵AD平分∠BAC．
∴C′在直线AB上，连接BC′的直线就是AB，
∴P点就是A点，
此时|PB-PC|的最大值为BC′，
∵AC=AC′=BC′，
∴|PB-PC|的最大值=2．
15．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=5，求BD的长．
【解析】（1）根据全等三角形的判定方法可证明△ACD≌△AED；
（2）求出AD=BD，推出∠B=∠DAB=∠CAD，求出∠B=30°，即可求出BD=2CD=10即可．
（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；
（2）解：∵Rt△ACD≌Rt△AED，
∴DC=DE=5，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=10．
16．（8分）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
【答案】（1）10m （2）20m
【解析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
（2）根据，可得，根据等腰三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
，
【小问2详解】
C，A，D三点共线，
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键．
17．（8分）如图（1）是某施工现场图，据此构造出了如图（2）所示的数学模型，已知B，C，D三点在同一水平线上，AD⊥CD，∠B＝30°，∠ACD＝60°，BC＝30米．
（1）求点C到AB的距离；
（2）求线段AD的长度．
【答案】（1）15米 （2）米
【解析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中，根据含30度的直角三角形的性质即可求出CE的长度；
（2）由角平分线的性质可求出CD，在Rt△ACD中，由含30度的直角三角形的性质可求出AC，再根据勾股定理即可求出AD.
【小问1详解】
解:（1）过点C作CE⊥AB于点E，
∴∠CEB＝90°，
∵∠B＝30°，BC＝30米，
∴CE＝BC＝15（米）
∴点C到AB的距离是15米；
【小问2详解】
解：∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝60°，∠B＝30°，
∴∠CAD＝90°－∠ACD＝30°，∠BAC＝∠ACD－∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵CE⊥AB，
∴CD＝CE＝15米，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝15米，
∴CD＝AC，
∴AC＝2CD＝2×15＝30（米），
由勾股定理得：（米），
答：线段AD的长度是米．
【点睛】本题主要考查了含30度直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，并求出CD的长度是解决问题的关键.
18．（7分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，于点E
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
【答案】（1）见解析（2）BD=2
【解析】（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出两个三角形全等即可．
（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
解：（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°．
∵在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．
（2）∵Rt△ACD≌Rt△AED ，CD=1，
∴DC=DE=1．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2．
19 .（8分）已知：如图，△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点D，过点D的AC的平行线分别交AB于E，交BC于F．
（1）求证：EF＝AE+CF；
（2）若∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，求△BEF的周长．
【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠EAD＝∠DAC，根据平行线的性质得到∠DAC＝∠EDA，等量代换得到∠EAD＝∠EDA，求得EA＝ED，同理，FD＝FC，于是得到结论；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质得到BA＝2BC＝6，根据三角形的周长公司即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∵ED∥AC，
∴∠DAC＝∠EDA，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴EA＝ED，
同理，FD＝FC，
∴ED+DF＝EA+FC，
即EF＝AE+CF；
（2）∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴BA＝2BC＝6，
∴△BEF的周长＝BE+ED+DF+BF＝BE+EA+BF+FC＝BA+BC＝9．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑