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人教版八年级数学上名师点拨精练
第13章 轴对称
专题 等腰三角形中的分类讨论问题
老师告诉你
分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为。
1.涉及的数学概念是分类定义的。
2.运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的。
3.求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能。
等腰三角形中的分类讨论
一、腰和底不明时需讨论
在等腰三角形中，没有明确指明边是腰还是底时，要进行分类讨论，且求出未知边的长后，一定要看这三边能否组成三角形；
典例剖析
例1 .一个等腰三角形的周长为20，一边为5，则另两边的长为（ ）
A．7.5，7.5 B．5，10或7.5，7.5 C．10，5 D．10，15
针对训练1
1．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为( )
A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm
2．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足+|b﹣4|＝0，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
3 .若等腰三角形的一边长等于2，另一边长等于3，则它的周长等于（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．7或8
4.已知△ABC是等腰三角形，它的周长为20cm，一条边长6cm，那么腰长是　 　cm．
顶角和底角不明时需讨论
在等腰三角形中，没有明确指明顶角还是底角时，要进行分类讨论。
典例剖析
例2 .等腰三角形的一个角是，则它的底角是（　　）
A． B． C．或 D．或
针对训练2
1．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是( )
A.80° B.80°或20° C.80°或50° D.20°
2．如果等腰三角形有一内角为，那么它的顶角的度数为( )
A.
B.或
C.
D.或
4.一个等腰三角形，一个角的度数是另一个角度数的，这个等腰三角形顶角的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
5.等腰三角形的一个角比另一个角的倍少度，则等腰三角形顶角的度数是（ ）
A． B．或 C．或 D．或或
三、涉及高位置需讨论
在三角形中，高的位置与三角形的形状有关，在等腰三角形中，涉及三角形高时，高的位置没有确定时，要进行分类讨论。
典例剖析
例3 ..已知等腰中，于点，且AD=BC，则底角的度数为( )
45° B.75° C.75°或45°或15° D. 60°或30°
针对训练3
1．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则它的顶角为( )
A.
B.
C.或
D.或
2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为,则它的顶角度数是 .
3 .等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（　　）
A．65° B．105° C．55°或105° D．65°或115°
位置不确定需分类讨论
在等腰三角形中，直线与腰相交，与底相交所得的三角形形状不同，要进行分类讨论。
典例剖析
例4 .如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠A，过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，则∠A的度数为　 　．
针对训练4
1.在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，若，则_________．
2 .已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l，BE⊥l于E，AD⊥l于D．若BE＝2，AD＝6，求DE的长．
数量关系不确定需分类讨论
在等腰三角形中，直线分成的两个三角形的周长的数量关系不确定时，要进行分类讨论。
典例剖析
例5 .已知等腰三角形中，，一腰上的中线把这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的底边的长．
1．等腰三角形底边长为5 cm，一腰上的中线把其分为周长之差为3 cm的两部分.则腰长为( )
A.2 cm B.8 cm C.2 cm或8 cm D.不确定
2．等腰三角形一腰的中线把该三角形的周长分成18cm和12cm两部分，则等腰三角形的底边长为 cm.
3 .已知等腰三角形的底边长为6，一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分长2，则三角形的腰长是　 　．
等腰三角形个数的讨论
在等腰三角形中，腰与底不确定时，所画的等腰三角形不同，要进行分类讨论。
典例剖析
例6 .如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上取一点C使为等腰三角形，符合条件的C点有 个．
针对训练6
1．在平面直角坐标系中，已知点，点，有一动点P在直线上，是等腰三角形，则满足条件的点P共有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
2．在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,2),点P在x轴上运动,当以点为顶点
的三角形为等腰三角形时,点P的个数为( )
A.2 B.3 C.3 D.5
3 .在中，，，以为边画等腰，使P点在的边上，则符合条件的点P共有 个．
动点引起的分类
在三角形中，由动点位置不同，三角形形状不同，涉及三角形动点问题，时，要进行分类讨论。
典例剖析
例7 .如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒．
(1)______（用含的式子表示）；
(2)当点Q在边上运动时．
①出发几秒后，是等腰三角形？
②通过计算说明能否把的周长平分？
(3)当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值．
针对训练7
1.如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是 ．

2 .如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连结AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　 　；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　　（填“大”或“小”）．
（2）当DC的长为多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，请判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．（直接写出结论，不说明理由．）
分割三角形得等腰三角形
在三角形中，不同的位置所分割的三角形形状不同，分割三角形时，分割点不确定时，要进行分类讨论。
典例剖析
例8 .如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，若将△ABC分割成两个等腰三角形，则这两个等腰三角形的顶角的度数分别是（　　）
A．100°、140°或100°、20° B．100°、140°
C．100°、20° D．140°、20°
针对训练8
1．一个大的等腰三角形能被分割为两个小等腰三角形,则该大等腰三角形顶角的度数是__________________
答案：或或或
2．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)，不能得到两个等腰三角形纸片的是( )
A. B.
C. D.
等腰三角形腰的垂直平分线位置不确定分类讨论
由于等腰三角形形状不同时，腰的垂直平分线经过的位置不同，在等腰三角形中，涉及三角形腰的垂直平分线时，要进行分类讨论。
典例剖析
例9 .已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，求此等腰三形的顶角的度数．
针对训练9
1．已知等腰中，，两腰的垂直平分线交于点，已知，则等腰三角形的顶角为（　　）
A． B． C．或 D．或
2．等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的一个底角度数为 ．
3．等腰三角形有一内角的度数为50°，一腰的垂直平分线与另一腰所在直线相交所成的锐角的度数为 ．
人教版八年级数学上名师点拨精练
第13章 轴对称
专题 等腰三角形中的分类讨论问题
老师告诉你
分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为。
1.涉及的数学概念是分类定义的。
2.运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的。
3.求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能。
等腰三角形中的分类讨论
一、腰和底不明时需讨论
在等腰三角形中，没有明确指明边是腰还是底时，要进行分类讨论，且求出未知边的长后，一定要看这三边能否组成三角形；
典例剖析
例1 .一个等腰三角形的周长为20，一边为5，则另两边的长为（ ）
A．7.5，7.5 B．5，10或7.5，7.5 C．10，5 D．10，15
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系，分底边为和腰长为两种情况讨论然后再验证即可得出答案．
【详解】解：当底边为时，设腰长为x，则，
解得：，
当腰长为，设底边为，则，
解得：，
此时，与三角形任意两边之和大于第三边矛盾，故舍去．
综上，另两边长为7.5，7.5．
故选A．
针对训练1
1．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为( )
A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm
答案：A
解析：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为，，不符合三角形的三边关系；
若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为，此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；
故选A.
2．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足+|b﹣4|＝0，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】
解：根据题意得，a-3=0，b-4=0，
解得a=3，b=4，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、3，
∵4+4＞3，
∴能组成三角形，4+4+3=11，
②4是底边时，三角形的三边分别为3、3、4，
能组成三角形，周长=3+3+4=10，
所以，三角形的周长为11或10．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，偶次方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
3 .若等腰三角形的一边长等于2，另一边长等于3，则它的周长等于（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．7或8
【答案】D
【分析】分边长2为腰和边长3为腰两种情况解答，并运用三角形的三边关系验证解答即可．
【详解】解：①当边长2为腰时，三边为2、2、3，由2+2＞3，则可组成三角形，即周长为2+2+3=7；
②当边长3为腰时，三边为3、3、2，由2+3＞3，则可组成三角形，即周长为2+3+3=8；
所以该等腰三角形的周长为7或8．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，正确应用三角形的三边关系是解答本题的关键、也是解答本题的易错点．
4.已知△ABC是等腰三角形，它的周长为20cm，一条边长6cm，那么腰长是　 　cm．
【分析】当腰长＝6cm时，底边＝20﹣6﹣6＝8cm，当底边＝6cm时，腰长＝＝7cm，根据三角形的三边关系，即可推出腰长．
【解答】解：∵等腰三角形的周长为20cm，
∴当腰长＝6cm时，底边＝20﹣6﹣6＝8cm，即6+6＞8，能构成三角形，
∴当底边＝6cm时，腰长＝＝7cm，即7+6＞7，能构成三角形，
∴腰长是6cm或7cm，
故答案为：6或7．
顶角和底角不明时需讨论
在等腰三角形中，没有明确指明顶角还是底角时，要进行分类讨论。
典例剖析
例2 .等腰三角形的一个角是，则它的底角是（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．
【详解】解：当是顶角时，底角：
当是底角时，它的另一个底角等于，
所以它的一个底角是或，
故选：D．
针对训练2
1．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是( )
A.80° B.80°或20° C.80°或50° D.20°
答案：B
解析：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，
②80°角是底角时，顶角为，
综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°.
故选：B.
2．如果等腰三角形有一内角为，那么它的顶角的度数为( )
A.
B.或
C.
D.或
答案：B
解析：当角为顶角，顶角度数即为；当为底角时，顶角度数为故选B
3．已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为___________.
答案：50°或80°
解析：由等腰三角形的一个外角为130°知一个内角为50°.当50°为顶角时，其他两个角都为65°；当50°为底角时，其他两个角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角为50°或80°.
4.一个等腰三角形，一个角的度数是另一个角度数的，这个等腰三角形顶角的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想解决问题是关键．设顶角度数为，分两种情况讨论：①若底角度数是顶角度数的；②若顶角度数是底角度数的，分别列方程求解即可．
【详解】解：设顶角度数为，
①若底角度数是顶角度数的，则底角度数为，
则，
解得：；
②若顶角度数是底角度数的，则底角度数为，
则，
解得：；
即这个等腰三角形顶角的度数是或，
故选：D．
5.等腰三角形的一个角比另一个角的倍少度，则等腰三角形顶角的度数是（ ）
A． B．或 C．或 D．或或
【答案】D
【解析】
【分析】
设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，然后分①x是顶角，2x-20°是底角，②x是底角，2x-20°是顶角，③x与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．
【详解】
设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，
①x是顶角，2x-20°是底角时，x+2（2x-20°）=180°，
解得x=44°，
∴顶角是44°；
②x是底角，2x-20°是顶角时，2x+（2x-20°）=180°，
解得x=50°，
∴顶角是2×50°-20°=80°；
③x与2x-20°都是底角时，x=2x-20°，
解得x=20°，
∴顶角是180°-20°×2=140°；
综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．
三、涉及高位置需讨论
在三角形中，高的位置与三角形的形状有关，在等腰三角形中，涉及三角形高时，高的位置没有确定时，要进行分类讨论。
典例剖析
例3 ..已知等腰中，于点，且AD=BC，则底角的度数为( )
45° B.75° C.75°或45°或15° D. 60°或30°
【参考答案】
【试题解析】 【分析】
分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当时，根据已知条件得出，从而得出底角的度数；当时，先求出的度数，再根据，求出底角的度数；当时，根据，，得出，从而得出底角的度数．此题考查了含度角的直角三角形和等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意不要漏解．
【解答】
解：分三种情况进行讨论：
如图，当时，易知底角的度数为
如图，当且为锐角时，易知底角的度数为
如图，当且为钝角时，易知底角的度数为．
综上，底角的度数为或或．
故选C．
针对训练3
1．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则它的顶角为( )
A.
B.
C.或
D.或
答案：D
解析：①如图1，当等腰三角形为锐角三角形时，
，
，即顶角的度数为；
②如图2，当等腰三角形为钝角三角形时，
，
，，即顶角的度数为；
③等腰三角形为直角三角形时，一腰上的高与另一腰重合，此情况不成立.故选D
2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为,则它的顶角度数是 .
答案：或
解析：分两种情况:①当高在三角形内部时，如图(1),,顶角；②当高在三角形外部时，如图(2),,顶角.
3 .等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（　　）
A．65° B．105° C．55°或105° D．65°或115°
【答案】D
【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+25°＝115°；
②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣25°＝65°．
故选：D．
位置不确定需分类讨论
典例剖析
例4 .如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠A，过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，则∠A的度数为　 　．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，
①如图1，∵∠ACB＝2∠A，
∴AD＝DC＝BD，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝45°；
②如图2，AD＝DC＝BC，
∴∠A＝∠ACD，∠BDC＝∠B，
∴∠BDC＝2∠A，
∴∠A＝36°，
③AD＝DC，BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD，∠A＝∠ACD，
∴∠BCD＝∠BDC＝2∠A，
∴∠BCD＝2∠A，
∵∠ACB＝2∠A，故这种情况不存在．
④如图3，AD＝AC，BD＝CD，
∴∠ADC＝∠ACD，∠B＝∠BCD，
设∠B＝∠BCD＝α，
∴∠ADC＝∠ACD＝2α，
∴∠ACB＝3α，
∴∠A＝α，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+α+3α＝180°，
∴α＝，
∴∠A＝，
⑤如图4，AC＝CD＝DB，
∴∠A＝∠CDA，∠B＝∠DCB，
∵∠CDB＝180°﹣∠CDA＝180°﹣∠A，
∴∠B＝∠DCB＝＝，
∴∠ACB＝∠A＝180°﹣，
∵∠ACB＝2∠A，
∴180°﹣＝2∠A，
∴
综上所述，∠A的度数为45°或36°或或．
故答案为：45°或36°或或．
针对训练4
1.在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，若，则_________．
【参考答案】 或
【试题解析】 解：当为锐角时，如图，设，，
，
，，，
、分别垂直平分、，
，，
，
，
，
；
当为钝角时，如图，
、分别垂直平分、，
，，
，
，
，
，
；
综上所述，或．
故答案为：或．
分两种情况讨论：当为锐角时，如图，设，，根据线段垂直平分线性质可得：，，再运用三角形内角和定理即可求得答案．当为钝角时，如图，根据线段垂直平分线性质可得：，，，再结合三角形内角和定理即可求得答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及分类讨论的思想，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
2 .已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l，BE⊥l于E，AD⊥l于D．若BE＝2，AD＝6，求DE的长．
【分析】分为两种情况，画出图形求出△ADC≌△CEB，推出CD＝BE，AD＝CE，即可得出答案．
【解答】解：分为两种情况：
①如图1，
∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE（同角的余角相等），
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE，AD＝CE．
∵DE＝DC+CE，
∴DE＝AD+BE＝6+2＝8；
②如图2，
∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠BCD＝∠CAD（同角的余角相等）．
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，BE＝CD，
∵DE＝CE﹣CD，
∴DE＝AD﹣BE＝6﹣2＝4，
即DE的长是8或4．
数量关系不确定需分类讨论
典例剖析
例5 .已知等腰三角形中，，一腰上的中线把这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的底边的长．
【答案】底边长是
【分析】设，，则，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系解答即可．
【详解】解：设，，则，
∵上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，如图，

∴有两种情况：
①当，且，
解得，，
∴三边长分别为，，；
②当，且时，
解得，，此时腰为，
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而，故这种情况不存在，
∴综上所述：腰长是，底边长是．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．
针对训练5
1．等腰三角形底边长为5 cm，一腰上的中线把其分为周长之差为3 cm的两部分.则腰长为( )
A.2 cm B.8 cm C.2 cm或8 cm D.不确定
答案：B
解析：如图,在中,为边的中点设腰长为,一腰的中线为,
则或,解得或1，或2.
①三角形三边长为8 cm,8 cm,5cm,符合三角形三边关系;②三角形三边长为2 cm,2 cm,5 cm,,不符合三角形三边关系.
2．等腰三角形一腰的中线把该三角形的周长分成18cm和12cm两部分，则等腰三角形的底边长为 cm.
答案：6或14
解析：设等腰三角形的腰长是，底边长是，
根据题意得或.
解得或.
经检验，均符合三角形的三边关系因此三角形的底边长是6cm或14cm
3 .已知等腰三角形的底边长为6，一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分长2，则三角形的腰长是　 　．
【答案】8或4
【解答】解：等腰三角形一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，这两部分的差即是腰与底的差的绝对值，
∵其中一部分比另外一部分长2，
∴腰比底大2或底比腰大2，
∴腰为8或4．
故答案为：8或4．
等腰三角形个数的讨论
典例剖析
例6 .如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上取一点C使为等腰三角形，符合条件的C点有 个．
【答案】4
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等腰三角形的定义，以点A为圆心，以为半径画弧，以点B为圆心，以为半径画弧，画线段的垂直平分线，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．
【详解】解：观察图形可知，若以点A为圆心，以为半径画弧，与x轴有2个交点，这两个交点中有一个是与B重合的，应舍掉，故只有1个；
若以点B为圆心，以为半径画弧，与x轴有2个交点，故有2个；
线段的垂直平分线与x轴有1个交点；
∴符合条件的C点有：（个），
故答案为：4．
针对训练6
1．在平面直角坐标系中，已知点，点，有一动点P在直线上，是等腰三角形，则满足条件的点P共有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
答案：C
解析：如图，当时，图中满足条件；当时，图中满足条件；当时，图中满足条件.故选C.
2．在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,2),点P在x轴上运动,当以点为顶点
的三角形为等腰三角形时,点P的个数为( )
A.2 B.3 C.3 D.5
答案：C
解析：如图,当时,可得满足条件;当时,可得满足条件;当时,可得满足条件故选C.
3 .在中，，，以为边画等腰，使P点在的边上，则符合条件的点P共有 个．
【答案】4
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，分三种情况：当时，当时，当时，掌握等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】解：分三种情况：
当时，如图，以点为圆心，长为半径作弧，交，分别于点，；

当时，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
当时，作的垂直平分线交于点．
综上，符合条件的点共有4个，
故答案为：4
动点引起的分类
典例剖析
例7 .如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒．
(1)______（用含的式子表示）；
(2)当点Q在边上运动时．
①出发几秒后，是等腰三角形？
②通过计算说明能否把的周长平分？
(3)当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值．
【答案】(1)
(2)①秒；②不能
(3)11或12
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，解题时注意方程思想的应用．
（1）根据题意即可用t可表示出即可求得；
（2）①结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t；②当在上，，如图，，，则，，利用把的周长平分，再建立方程求解即可；
（3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】（1）解：由题意可知，，
∵，
∴，
（2）①当点Q在边上运动，为等腰三角形时，
即，解得，
∴出发秒后；
②当在上，，如图，
而，，
∴，，
∵把的周长平分，
∴，
解得：，不符合题意舍去，
∴点Q在边上运动时．不能把的周长平分．
（3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，

则，
∵，
∴．
，
∴，
∴，
∴（cm），
∴（cm），
∴；
②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，

则（cm），
∴，
综上所述：当t为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形．
故答案为：11或12．
针对训练7
1.如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是 ．

【答案】10°或80°或20°或140°
【分析】分三种情形：，，分别求解即可解决问题．
【详解】解：如图，

在中，，
①当时，，，
②当时，，
③当时，，
综上所述，满足条件的的值为或或或．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
2 .如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连结AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　 　；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　　（填“大”或“小”）．
（2）当DC的长为多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，请判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．（直接写出结论，不说明理由．）
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠BDA＝115°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
由图形可知，∠BDA逐渐变小，
故答案为：25°；小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由如下：∵AB＝2，
∴AB＝DC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形，
当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°；
当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝100°，
此时，点D与点B重合，不合题意；
当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝40°+40°＝80°，
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
分割三角形得等腰三角形
典例剖析
例8 .如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，若将△ABC分割成两个等腰三角形，则这两个等腰三角形的顶角的度数分别是（　　）
A．100°、140°或100°、20° B．100°、140°
C．100°、20° D．140°、20°
【分析】：有两种情况：把120°的角分为100°和20°或40°和80°，分别画出图形，即可求解．
【解析】：分两种情况：
①如图1，把120°的角分为100°和20°，
则△ABD与△ACD都是等腰三角形，其顶角的度数分别是100°，140°；
②把120°的角分为40°和80°，
则△ABD与△ACD都是等腰三角形，其顶角的度数分别是100°，20°
故选：A．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质以及三角形各角之间的关系，难度适中，画出图形是关键
针对训练8
1．一个大的等腰三角形能被分割为两个小等腰三角形,则该大等腰三角形顶角的度数是__________________
答案：或或或
【分析】
分别以点A、点B、点C为顶点做直线将△ABC分成两个等腰三角形，由于AB=AC，故以点B和以点C为顶点作的等腰三角形结果是一样的，所以讨论点A、点B为顶点的情况，根据等腰三角形的性质找出角的关系，由三角形外角以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】
如图1，当过点A的直线交BC于点D，将△ABC分成两个等腰三角形，使，
设，
，
，
，
，，
，
在中，，
，
解得：，
；
如图2，当过点A的直线交BC于点D，将△ABC分成两个等腰三角形，使，，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
；
如图3，当过点B的直线交AC于点D，将△ABC分成两个等腰三角形，使，
设，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
；
如图4，当过点B的直线交AC于点D，将△ABC分成两个等腰三角形，使，，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
，
综上，可为90°或108°或36°或．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定、三角形内角和定理，画出符合条件的图形，根据等腰三角形的判定以及三角形内角和定理找出角的关系是解题的关键．
2．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)，不能得到两个等腰三角形纸片的是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：A选项，如图所示，和都是等腰三角形；
B选项，如图所示，不能分成两个等腰三角形；
C选项，如图所示，和都是等腰三角形；
D选项，如图所示，和都是等腰三角形.
故选B.
等腰三角形腰的垂直平分线位置不确定分类讨论
典例剖析
例9 .已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，求此等腰三形的顶角的度数．
【答案】或
【分析】分情况进行讨论：①等腰三角形为锐角三角形；②等腰三角形为钝角三角形，即可得出答案．
【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图所示：

∵垂直平分，，
∴，
∴；
②当等腰三角形为钝角三角形时，如图所示：

∵垂直平分，，
∴，
∴，
∴；
综上分析可知：等腰三形的顶角的度数为或．
【点睛】本题考查的是等腰三角形，解题的关键是画出图形，注意数形结合，容易忽略的是考虑该等腰三角形为钝角三角形．
针对训练9
1．已知等腰中，，两腰的垂直平分线交于点，已知，则等腰三角形的顶角为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】分两种情况：（1）当在的内部时，连接，根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可以求出相应角度，结合三角形内角和可以求出结果；（2）当在的外部，连接，根据垂直平分线性质，利用等边对等角，问题随之得解．
【详解】解：分两种情况：
当在的内部，如图1，连接，

两腰的垂直平分线交于点P，
，
，，
，
∴，
，
，
，
；
当在的外部，如图2，连接，

由题意得：，
，，
，
，
，
，
，
则等腰三角形的顶角为或，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线性质，三角形内角和定理，分两种情况求解是解题的关键．
2．等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的一个底角度数为 ．
【答案】或
【分析】由于的形状不能确定，故应分是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论.
【详解】如图①,当的中垂线与线段相交时，则可得，

∵,
∴,
∵,
；
如图②，当的中垂线与线段的延长线相交时, 则可得,
∵,
∴,
∴,
∵,
，
∴底角为或.
故答案为: 或.
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键.
3．等腰三角形有一内角的度数为50°，一腰的垂直平分线与另一腰所在直线相交所成的锐角的度数为 ．
【答案】或/10°或40°
【分析】设此三角形为，一腰的垂直平分线与该腰的交点为D，与另一腰所在直线的交点为E．分类讨论①当角为顶角时；②当角为底角时，作出图形结合三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可求解．
【详解】设此三角形为，一腰的垂直平分线与该腰的交点为D，与另一腰所在直线的交点为E．
分类讨论：①如图，当角为顶角时，即，
∵ED为AC的垂直平分线，
∴，即，
∴．
②如图，当角为底角时，即，
∴．
∵ED为AC的垂直平分线，
∴，即，
∴．
综上可知，一腰的垂直平分线与另一腰所在直线相交所成的锐角的度数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．利用分类讨论的思想，并作出图形是解答本题的关键．
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