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人教版八年级数学上名师点拨精练
轴对称
专题 证明线段相等的思路归纳
思路一 利用全等三角形性质证明线段相等
例1．如图，点D在AB上，点E在AC上，，，求证：
针对练习1
1．如图，点C、D在线段AB上，且，，，连接CE、DE、CF、DF，求证：.
2．如图，，.
（1）求证：；
（2）若，.求的度数.
3．如图，四边中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
4．如图所示，，，.求证：.
5 .如图，点E在上，，且，连接并延长，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
思路二 利用等腰三角形的性质与判定证明线段相等
例2-1 .如图，点，在的边上，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值．
针对练习2
1．如图，在四边形中，，，平分交于点E．求证：．
2．如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：．
3．已知：如图，， 求证：．
4．如图，中，，点D在的延长线上，连接平分交于点E，过点E作，垂足为点F，与相交于点G．．
(1)求证：；
(2)若，，求和的度数；
(3)求证：．
5 .如图，在中，，，D为BC的中点，过D作直线DE交直线AB与E，过D作直线，并交直线AC与F．
(1)若E点在线段AB上（非端点），则线段DE与DF的数量关系是______________；
(2)若E点在线段AB的延长线上，请你作图（用黑色水笔），此时线段DE与DF的数量关系是_____________，请说明理由．
思路三 利用线段垂直平分线的性质和判定证明线段相等
例3-1 .如图8，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F.
求证：BM＝MN＝CN.
图8
针对练习3
1．如图，在中，，，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于点D，E.
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若的周长是13，，求AC的长.
2．如图,△ABC中,∠ABC=45 ,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH,与BE相交于点G.
（1）求证:BF=AC;
（2）求证:CE= BF
3．已知：如图，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD为边BC的垂直平分线，以AC为边作等边三角形ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M．
（1）求证：∠FEA＝∠FBA．
（2）求∠EFC的度数．
（3）猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论．
4．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．求证：．
思路四 利用角平分线的性质与判定证明线段相等
例4 .如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，连接DE、DF，∠EDF＋∠BAC＝180°．求证：DE＝DF．
针对练习4
1．如图，在中，AD是它的角平分线，且，，，垂足分别为E，F.求证.
2．如图,中,AD是的平分线,,,E,F为垂足,连接EF交AD于G.
（1）求证:.
（2）试判断AD与EF的位置关系,并说明理由.
3．如图所示，的外角的平分线CF与的平分线BG相交于点O.求证：点O到三边AB，BC，AC的距离相等.
4．如图，D为BC的中点，于点D，交的平分线AE于点E, 于点F, 交AC的延长线于点G.求证：.
5．如图1，在中，，，AD,CE分别是，的平分线，AD,CE相交于点F.
（1）判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，如果不是直角，其他条件不变，（1）中所得结论是否仍然成立？请说明理由.
人教版八年级数学上名师点拨精练
轴对称
专题 证明线段相等的思路归纳
思路一 利用全等三角形性质证明线段相等
例1．如图，点D在AB上，点E在AC上，，，求证：
答案：证明见解析
解析：证明：在和中，
∵，
，
，
.
针对练习1
1．如图，点C、D在线段AB上，且，，，连接CE、DE、CF、DF，求证：.
答案：见解析
解析：，
，
即：，
，
，
，
，
.
2．如图，，.
（1）求证：；
（2）若，.求的度数.
答案：（1）见详解
（2）
解析：（1）证明：在与中，
，
，
；
（2），
，
，.
，
.
3．如图，四边中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
答案：（1）见解析
（2）3
解析：（1），
，
即：，
在和中，
，
，
；
（2），
，
，，
.
4．如图所示，，，.求证：.
答案：见解析
解析：证明：，
，
即，
在和中，
，
，
.
5 .如图，点E在上，，且，连接并延长，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由得到，证明即可；
（2）推导，即解题即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键．
思路二 利用等腰三角形的性质与判定证明线段相等
例2-1 .如图，点，在的边上，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）过作于点，根据三线合一可得：，，即可证明；
（2）过作于点，易证，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：如图过作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过作于点，
在和中，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质“三线合一”，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
针对练习2
1．如图，在四边形中，，，平分交于点E．求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】根据平行线的性质，等角对等边证明即可．
本题考查了平行线的性质，等角对等边，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】证明：平分，
，
，
，
．
2．如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．延长至点，使，连接．结合题意可证明，得到，．由，可得，结合，得到，即可求解．
【详解】解：如图，延长至点，使，连接．
为的中线，
．
在和中，
，
，
，．
，
．
，
，
，
．
3．已知：如图，， 求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边等等，证明得到，即可证明．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴．
4．如图，中，，点D在的延长线上，连接平分交于点E，过点E作，垂足为点F，与相交于点G．．
(1)求证：；
(2)若，，求和的度数；
(3)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】题目主要考查角平分线的计算及三角形内角和定理，等角对等边，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．
（1）根据等边对等角得出，再由等角的余角相等得出，利用等角对等边即可证明；
（2）根据角平分析及等边对等角得出，再由三角形内角和定理即可求解；
（3）根据三角形内角和定理得出，，即可证明．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵平分，
∴．
∵，
∴．
在中，．
在中，．
（3）证明：在中，
．
在中，
．
∴．
5 .如图，在中，，，D为BC的中点，过D作直线DE交直线AB与E，过D作直线，并交直线AC与F．
(1)若E点在线段AB上（非端点），则线段DE与DF的数量关系是______________；
(2)若E点在线段AB的延长线上，请你作图（用黑色水笔），此时线段DE与DF的数量关系是_____________，请说明理由．
【答案】(1)
(2)图见解析，，理由见解析
【分析】（1）连接，先根据等腰直角三角形的性质可得，，再根据垂直的定义、等量代换可得，然后根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）分①当点在线段的延长线上，且在的下方时，②当点在线段的延长线上，且在的上方时两种情况，参考（1）的思路，根据三角形全等的判定与性质即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，连接，
在中，，，为的中点，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
故答案为：．
（2）解：，理由如下：
①如图，当点在线段的延长线上，且在的下方时，
如图，连接，
在中，，，为的中点，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
；
②如图，当点在线段的延长线上，且在的上方时，
如图，连接，
在中，，，为的中点，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
；
综上，线段与的数量关系是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
思路三 利用线段垂直平分线的性质和判定证明线段相等
例3-1 .如图8，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F.
求证：BM＝MN＝CN.
图8
证明：如图，连接AN，AM.
∵ME垂直平分AB，NF垂直平分AC，
∴BM＝AM，CN＝AN.
∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C.
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°.
∴∠AMN＝∠ANM＝60°，
则△AMN是等边三角形．
∴AM＝AN＝MN.
∴BM＝MN＝CN.
针对练习3
1．如图，在中，，，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于点D，E.
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若的周长是13，，求AC的长.
答案：（1）证明见解析
（2）8
解析：（1）证明：，，
.
DE是AC的垂直平分线，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：的周长是13，
，
，
，即，
，
，
.
2．如图,△ABC中,∠ABC=45 ,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH,与BE相交于点G.
（1）求证:BF=AC;
（2）求证:CE= BF
答案：(1.证明:∵DH垂直平分BC,且∠ABC=45°,∴BD=DC,且∠BDC=90°,
∵∠A+∠ABF=90°,∠A+∠ACD=90°,
∴∠ABF=∠ACD,
∴△BDF≌△CDA,
∴BF=AC.
(2.由第1题得BF=AC,∵BE平分∠ABC,且BE⊥AC,
∴在△ABE和△CBE中,
∠ABE=∠CBE BE=BE
∠AEB=∠CEB=90° ,
∴△ABE≌△CBE(ASA),
∴CE=AE=AC=BF.
3．已知：如图，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD为边BC的垂直平分线，以AC为边作等边三角形ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M．
（1）求证：∠FEA＝∠FBA．
（2）求∠EFC的度数．
（3）猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析
（2）60° （3）FE+FA=2FD，证明见解析
【解析】（1）由等边三角形的性质及线段的垂直平分线的性质证明；
（2）利用角之间的相等关系进行等量代换，再根据等边三角形的性质可得出答案；
（3）在CF上取 N使得FN=FE，利用（2）的结论，证明△EFN是等边三角形，得到∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，再证明△EFA≌△ENC（SAS），得到FA=NC，FE+FA=FN+NC=FC，再利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半得到FC=2FD，结论得证．
【小问1详解】
解：∵AD为边BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∵△ACE为等边三角形，
∴AC=AE，
∴AB=AE，
∴∠FEA=∠FBA；
【小问2详解】
解：∵AD为边BC的垂直平分线
∴AB=AC，FB=FC，
∴∠ABC=∠ACB，∠FBC=∠FCB，
∴∠FBC－∠ABC=∠FCB－∠ACB，即∠ABE=∠ACF，
∵∠ABE=∠AEF，
∴∠AEF=∠ACF，
∵∠FME=∠CMA，
∴∠EFC=∠CAE，
∵等边三角形ACE中，∠CAE=60°，
∴∠EFC=60°．
【小问3详解】
解：FE+FA＝2FD，
证明：CF上取 N使得FN=FE，
由（2）得∠EFM=∠CAM=60°，
∵FN=FE，
∴△EFN是等边三角形，
∴∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，
∵△ACE为等边三角形，
∴∠AEC=60°，EA=EC，
∴∠FEN=∠AEC，
∴∠FEN－∠MEN=∠AEC－∠MEN，即∠AEF=∠CEN，
在△EFA和∠ENC中，
EF＝EN，∠AEF＝∠CEN，EA＝EC，
∴△EFA≌△ENC（SAS），
∴FA=NC，
∴FE+FA=FN+NC=FC，
∵∠EFC=∠FBC+∠FCB=60°，∠FBC=∠FCB，
∴∠FCB=×60°=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠FDC=90°，
∴FC=2FD，
∴FE+FA=2FD．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用及线段的垂直平分线的性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
4．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】如图，连接证明 再求解 可得 从而可得答案.
证明：如图，连接
的垂直平分线分别交于点D，E，
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半”是解本题的关键.
思路四 利用角平分线的性质与判定证明线段相等
例4 .如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，连接DE、DF，∠EDF＋∠BAC＝180°．求证：DE＝DF．
【分析】在AB上截取AG＝AF，先证明△AGD≌△AFD，得出∠AGD＝∠AFD，DG＝DF；再根据角的关系求出∠4＝∠3，证出DE＝DG，即可得出结论DE＝DF．
【解析】证明：在AB上截取AG＝AF，连接DG，如图所示：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2，
在△ADG与△ADF中，
AG＝AF，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△AGD≌△AFD（SAS）
∴∠AGD＝∠AFD，DG＝DF
又∵∠AED＋∠EDF＋∠DFA＋∠FAE＝360°，∠EDF＋∠BAC＝180°．
∴∠AED＋∠AFD＝180°，
又∠4＋∠AGD＝180°，
∴∠4＝∠3，
∴DE＝DG，
∴DE＝DF．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、角的平分线的定义、等腰三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰三角形是解决问题的关键．
针对练习4
1．如图，在中，AD是它的角平分线，且，，，垂足分别为E，F.求证.
答案：证明见解析
解析：证明：是的角平分线，，，
.
在和中，
，
.
2．如图,中,AD是的平分线,,,E,F为垂足,连接EF交AD于G.
（1）求证:.
（2）试判断AD与EF的位置关系,并说明理由.
答案：（1）见解析
（2）AD垂直平分EF,理由见解析
解析:（1）证明:中,的平分线交BC于点D,,,
,
在和中,
,
,
;
（2）AD垂直平分EF;
理由如下:
,,
点D在EF的垂直平分线上,点A在EF的垂直平分线上,
AD垂直平分EF.
3．如图所示，的外角的平分线CF与的平分线BG相交于点O.求证：点O到三边AB，BC，AC的距离相等.
答案：证明：如图，过点O作交BA的延长线于点M，过点O作于点N，过点O作于点H，
的平分线CF与的平分线BG相交于点O，
，，，
即点O到三边AB，BC，AC的距离相等.
4．如图，D为BC的中点，于点D，交的平分线AE于点E, 于点F, 交AC的延长线于点G.求证：.
答案：如图，连接BE,CE.
,D为BC的中点，
.
，且AE平分,.
在和中，
5．如图1，在中，，，AD,CE分别是，的平分线，AD,CE相交于点F.
（1）判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，如果不是直角，其他条件不变，（1）中所得结论是否仍然成立？请说明理由.
答案：（1）.理由如下：
过点F作于点M, 于点N，则，
，，
，的平分线AD,CE交于点F，
点F在的平分线上，
又，
（2）成立.理由如下：
过点F作于点M, 于点N，
则，，
，,
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