河北省邯郸市多校高二(上)2024-2025学年第一次月考数学试卷(10月份)(含答案)

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河北省邯郸市多校高二(上)2024-2025学年第一次月考数学试卷(10月份)(含答案)

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2024-2025学年河北省邯郸市多校高二(上)第一次月考
数学试卷(10月份)
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知圆的圆心坐标为,且过坐标原点,则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
2.已知平面的一个法向量为,直线的一个方向向量为,若,则( )
A. B. C. D.
3.已知直线与直线平行,则它们之间的距离是( )
A. B. C. D.
4.如图,在正三棱锥中,点为的重心,点是线段上的一点,且,记,则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知从点发出的一束光线,经过直线反射,反射光线恰好过点,则反射光线所在的直线方程为( )
A. B. C. D.
6.如图,在直三棱柱中,是等边三角形,,,则点到直线的距离为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知实数,满足,且,则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.在正三棱锥中,,点满足,则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知空间向量,且,则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.直线与曲线恰有两个交点,则实数的值可能是( )
A. B. C. D.
11.如图,在棱长为的正方体中,点,是底面内的一点包括边界,且,则下列说法正确的是( )
A. 点的轨迹长度为
B. 点到平面的距离是定值
C. 直线与平面所成角的正切值的最大值为
D. 的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.若一条过原点的直线被圆所截得的弦长为,则该直线的倾斜角为______.
13.已知向量,若共面,则 ______.
14.如图,在正三棱柱中,,,为棱上的动点包括端点,为的中点,则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为____.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点坐标为,,.
若点是边上的中点,求直线的方程;
求边上的高所在的直线方程.
16.本小题分
如图,在直三棱柱中,,,点,分别为棱,的中点.
求证:平面;
求直线与直线的夹角的余弦值.
17.本小题分
如图,在直四棱柱中,四边形是矩形,,点是棱上的一点,且.
求证:四边形为正方形;
求直线与平面所成角的正弦值.
18.本小题分
已知某圆的圆心在直线上,且该圆过点,半径为,直线的方程为.
求此圆的标准方程;
若直线过定点,点,在此圆上,且,求的取值范围.
19.本小题分
如图,在四棱锥中,四边形为矩形,,平面平面,且,点,分别是棱,的中点.
求证:平面;
若直线与平面所成的角的正弦值为.
求的长;
求平面与平面的夹角的余弦值.
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或.
13.
14.
15.解:因为点是边上的中点,,,
则,
又,
所以,
所以直线的方程为,即;
因为,
所以边上的高所在的直线的斜率为,
所以边上的高所在的直线方程为,即.
16.证明:因是直三棱柱,则,,
又因点,分别为棱,的中点,所以,,
则四边形是平行四边形,所以,
又因平面,平面,
故AF平面;
解:如图,
因直三棱柱中,故可以为原点,
以,,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,
不妨设,则,,,
于是,
,,,
所以,,
设直线与直线的夹角为,,
则,.
故直线与直线的夹角的余弦值为.
17.证明:如图,连接,在直四棱柱中,
平面,平面,所以,
又,,,平面,
所以平面,又平面,
所以,又四边形是矩形,
所以四边形为正方形;
解:以为坐标原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴,
建立空间直角坐标系,如图所示,
则,
所以,
设平面的一个法向量为,
则由,,可得,令,可得,
故平面的一个法向量为,
设直线与平面所成角的大小为,
所以,
即直线与平面所成角的正弦值为.
18.解:因为圆心在直线上,所以设圆心,
又圆过点,半径为,
,解得,
圆的标准方程为;
由直线的方程为,可得,
则有,解得,直线过定点,
取线段中点为,则,
令原点为,则,即,
化简得,即的轨迹是以为圆心,为半径的圆,
到的轨迹的圆心的呀离为,则的取值范围为,
的取值范围为
19.解:证明:在矩形中,,且是的中点,
,故,
又,则,即,
如图,记,连接,
因为是矩形,故是的中点,
又,所以,
又平面平面,平面平面,平面,
故平面,
又平面,
所以,
又,,平面,
所以平面;
如图,以为坐标原点,,所在的直线分别为轴,轴,过点且与平行的直线为轴,建立空间直角坐标系,
设,所以,
故,
设平面的法向量为,
又,
所以,则,
故可取,
因为直线与平面所成的角的正弦值为,
所以,
解得,所以;
如图,因为,
设平面的一个法向量为,
又,
所以,
则,
故可取,
设平面的一个法向量为,
又,
所以,
则,
故可取,
设平面与平面的夹角为,
所以,
即平面与平面的夹角的余弦值为.
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