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12.3 角平分线的性质2
文字语言：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质
几何语言：
∵点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴PD=PE
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
复习回顾
我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
探究新知
猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
探究新知
已知，如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
证明：经过点P作射线OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB ,
∴∠PDO=∠PEO=90°,
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO (HL) ,
∴∠POD=∠POE即点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
文字语言：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
※角的平分线的判定
几何语言：
∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，
∴点P 在∠AOB的平分线上.(或∠1=∠2)
【点睛】应用所具备的条件:(1) 位置关系：点在角的内部;(1)数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ，D即为所求.
【点睛】根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
知识精讲
例1.已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
【归纳】三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
典例解析
例2.如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线,它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.求证:BP为∠MBN的平分线.
证明:过P作PE⊥AC于E.
∵PA平分∠MAC，且PD⊥BM，PE⊥AC,
∴PD=PE,
∵PC平分∠NCA，且PF⊥BN，PE⊥AC,
∴PF=PE,
∴PD=PF,
∵PD⊥BM,PF⊥BN,
∴P在∠MBN的平分线上,
即BP为∠MBN的平分线.
典例解析
1.如图，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，当PE=____cm时,点P在∠AOB的平分线上.
2.如图,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°,
则∠PCA=______.
针对练习
3.如图，直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有____处.
4.如图所示，已知△ABC的周长是10，OC、OB分别平分∠ABC和∠ACB，OD上BC于D，且OD=1，则△ABC的面积是_______.
针对练习
5.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置.
解：点P为所求.
针对练习
6.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC．
求证:AD是∠BAC的平分线.
证明:∵DE⊥AB，DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°,
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF (HL),
∴DE=DF,
∴AD是∠BAC的平分线.
针对练习
角的平分线的性质
图形
已知 条件
结论
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
整理小结
作 业 布 置
见精准作业单.中小学教育资源及组卷应用平台
12.3角的平分线的性质2 导学案
一、学习目标：
1.理解角平分线的判定定理.
2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.
3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
重点：角的平分线的判定定理的证明及应用.
难点：角的平分线的判定.　
二、学习过程：
复习回顾
角平分线的性质定理：
文字语言：__________________________________________________.
几何符号：
____________________________________
____________________________________
合作探究
思考：我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？（先独立思考，然后在组内交流分享，通过观察动画演示，确定猜想）
猜想：__________________________________________________.
把猜想转化成具体数学问题，认真填写一下已知和求证：
已知:__________________________________________________________.
求证:________________________________________________.
※角的平分线的判定：
文字语言：________________________________________________.
几何语言：
________________________________
____________________________________
思考：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？
典例解析
例1.如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
例2.如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线,它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.求证:BP为∠MBN的平分线.
针对练习
1.如图，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，当PE=____cm时，点P在∠AOB的平分线上.
2.如图,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°，则∠PCA=______.
3.如图，直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有____处.
4.如图所示，已知△ABC的周长是10，OC、OB分别平分∠ABC和∠ACB，OD上BC于D，且OD=1，则△ABC的面积是_______.
5.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置.
6.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC．求证:AD是∠BAC的平分线.中小学教育资源及组卷应用平台
12.3角的平分线的性质2 教学设计
一、教学目标：
1.理解角平分线的判定定理.
2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.
3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
二、教学重、难点：
重点：角的平分线的判定定理的证明及应用.
难点：角的平分线的判定.　
三、教学准备：
课件、三角尺、圆规等。
四、教学过程：
复习回顾
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何符号语言：
∵ 点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴ PD=PE
知识精讲
思考：我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
动态演示：
猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
已知，如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：经过点P作射线OC.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO=∠PEO=90°，
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO (HL) ，
∴ ∠POD=∠POE，
即点P在∠AOB的平分线上.
知识要点：
性质定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：(1)点在角的内部；(2)该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.(证明两角相等).
几何符号语言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE
∴ 点P在∠AOB的平分线上(或∠1=∠2)
思考：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？
则：这个集贸市场应建于点P处.
典例解析
例1.如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，F.
∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴ PD=PE，
同理，PE=PF，
∴ PD=PE=PF，
即P到三边AB，BC，CA的距离相等.
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
例2.如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线,它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.求证:BP为∠MBN的平分线.
证明:过P作PE⊥AC于E.
∵PA平分∠MAC，且PD⊥BM，PE⊥AC，
∴PD=PE，
∵PC平分∠NCA，且PF⊥BN，PE⊥AC，
∴PF=PE，
∴PD=PF，
∵PD⊥BM,PF⊥BN，
∴P在∠MBN的平分线上，
即BP为∠MBN的平分线.
针对练习
1.如图，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，当PE=____cm时,点P在∠AOB的平分线上.
2.如图,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°,则∠PCA=______.
3.如图，直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有____处.
4.如图所示，已知△ABC的周长是10，OC、OB分别平分∠ABC和∠ACB，OD上BC于D，且OD=1，则△ABC的面积是_______.
5.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置.
6.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC．求证:AD是∠BAC的平分线.
课堂小结：本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
作业布置：
见精准作业
板书设计：中小学教育资源及组卷应用平台
12.3角平分线的性质2 精准作业
课前诊断
角平分线的性质定理：
文字语言：__________________________________________________.
几何符号：
____________________________________
____________________________________
精准作业
2、到三角形各边距离相等的点是三角形的（ ）
A．三条边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三个内角平分线的交点 D．三条高的交点
3、小刚找到不等边三角形三边距离相等的点，依据选项中的尺规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（　　）
A． B． C． D．
4、如图，平分，垂足分别为C，D，连接，则下列关系不一定成立的是（ ）

A． B． C．垂直平分 D．平分
5、如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，，，若，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6、如图①是一个平分角的仪器，其中，．如图②，将仪器放置在上，使点与顶点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点．是的平分线吗？请给出判断并说明理由．
探究题
7、如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为 .（用含的式子表示）
参考答案
课前诊断：略
精准作业：2.C 3.C 4.C 5.C
6.解：是的平分线，
理由如下：
在和中，
，
，
，
平分．
探究题：
7、

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