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人大附中深圳学校2025届高三10月检测
数学试卷
注意事项：
本卷共19道题目，考试用时120分钟，满分150分，请在答题卡上作答，选择题用2B铅笔填涂，要求把选项填黑填满，主观题用0.5毫米黑色签字笔答题，主观题要答写在对应题框内，不在框内答题无效.
一 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.）
1.已知集合，则的元素数量是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
2.已知，则（ ）
A.1 B. C.2 D.
3.小明在某一天中有七个课间休息时段，为准备“小歌手”比赛他想要选出至少一个课间休息时段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个课间不唱歌让他休息，则小明一共有（ ）种练习的方案.
A.31 B.18 C.21 D.33
4.已知均为正实数.则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
5.深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：，其中，表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18.经过18轮迭代学习时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A.71 B.72 C.73 D.74
6.如图所示，直线与曲线相切于两点，其中.若当时，，则函数在上的极大值点个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
7.若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点，为坐标原点，的面积为，则该双曲线的离心率（ ）
A. B. C. D.
8.已知对恒成立，则的最大值为（ ）
A.0 B. C. D.1
二 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或未选的不得分.）
9.设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.已知为坐标原点，点，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.抛物线焦点为，且过点，斜率互为相反数的直线分别交于另一点和，则下列说法正确的有（ ）
A.直线过定点
B.在两点处的切线斜率和为
C.上存在无穷多个点到点和直线的距离和为6
D.当都在点左侧时，面积的最大值为
三 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.已知对任意实数，均有，写出一组满足条件的__________.
13.已知函数有两个零点，则的取值范围为__________.
14.设实数满足不等式，则的最小值为__________.
四 解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.（13分）
已知数列的前项和为.
（1）求的通项公式：
（2）若等比数列满足，求的前项和.
16.（15分）
海水受日月引力会产生潮汐.以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低.现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）
时刻：（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24
水深：（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0
（1）根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式；
（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米.安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长.
17.（15分）
如图，边长为4的两个正三角形所在平面互相垂直，分别为的中点，点在棱上，，直线与平面相交于点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面的距离.
18.（17分）
设函数为的导函数，有唯一零点.
（1）的图像在处的切线方程为，求的最小值及此时的取值；
（2）若对任意满足的都有，证明：.
19.（17分）
已知集合，对于任意，
操作一：选择中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续个1或连续个0，得到
操作二：删去中连续个1或连续个0，得到；
进行一次操作一或者操作二均称为一次“10月变换”，在第次“10月变换”的结果上再进行1次“10月变换”称为第次“10月变换”.
（1）若对进行两次“10月变换”，依次得到.直接写出和的所有可能情况.
（2）对于和至少要对进行多少次“10月变换”才能得到？说明理由.
（3）证明：对任意，总能对进行不超过次“10月变换”得到.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B A D D A D ABC ABC
题号 11
答案 BCD
12.（答案不唯一）
13.
14.
15.（1）
（2）
16.（1）
（2）最早可行的进港时间为1时2分，5时10分出港；这条货船一天中最多可以在港口中停靠的总时长为8小时16分.
17.（1）证明见解析
（2）.
【详解】（1）因为分别为的中点，所以，
又平面平面，则平面，
又平面，平面平面，所以.
（2）由（1）知，平面，
则点到平面的距离即为与平面的距离，
连接，由均为正三角形，为的中点，得，
又平面平面，平面平面.平面，
于是平面，又平面，则，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，又，
又，可得，
所以，
设平面的一个法向量为，则，
令，得，
设点到平面的距离为，则，
所以与平面的距离为.
18.（1）最小值为3，此时
（2）证明见解析
【详解】
（1）
故的图像在处的切线方程为，
又，故，
，最小值为3
当且仅当取等，故时取得等号，故.
（2）证明即证明
且单调递增即证明，
由题得在单调递减，单调递增，由，
故，
，
由，令故在恒成立，
又
单调递增，
时
假设在存在唯一零点，
则在上为正，在上为正，
在上，同理
与在恒成立矛盾，
故，则得证!
19.（1），或，或.
（2）51
（3）证明见解析
【详解】（1）由于对进行一次”10月变换“后就得到了，说明一定含有2个相同且相邻的数，从而只可能是，对应的分别是，.
（2）对每个中的元素，将其所有连续的0和连续的1各自记为一个段落，则容易得到：若对某个进行一次操作一得到，则的段落数或者和的段落数相等，或者比A的段落数多1，或者比A的段落数多2；
若对某个A进行一次操作二得到，则的段落数或者和A的段落数相等，或者比A的段落数少1，或者比A的段落数少2.
这表明，每次”10月变换“下，变换前后元素的段落数之差的绝对值不超过2.
现在，的段落数为的段落数为100.
故若对进行次”10月变换“后可以得到，则由前面的结论知包含的段落数之差的绝对值不超过，所以，得.
如果，则再次由前面的结论可知，变换过程中每次都是操作二，且有49次变换后相比变换前的段落数多2，有1次变换后相比变换前的段落数多1.
但在只进行操作二的情况下，0的数量不可能减少，但包含的0的个数分别是100，50，矛盾.
所以.
下面的变换过程表明是可行的：
，
，
，
，
...
，
.
所以，至少要对进行51次”10月变换“才能得到.
（3）由于能通过”10月变换“得到，当且仅当能通过”10月变换“得到，所以我们不妨设的段落数不小于的段落数，则.
此时，我们再不妨设中0的段落数不超过1的段落数，从而中0的段落数不超过.
显然，如果不含1，则只需要一次操作使含1的个数与相等，然后再插入至多个连续的0构成的段落即可，由知结论成立.
下面考虑含1的情况，进行如下操作：
第一步：如果的1的个数小于，则在的任意一个1右侧增加若干个1使得二者含1数量相等，否则跳过该步骤；
第二步：我们不断对进行增加或删除连续若干个0的操作.
准备工作：如果和开头的数码不同，则在开头增加或删去若干个0，否则跳过该步骤.然后反复进行以下步骤：
情况1：如果当前的的第一个和不一致的段落对应的数字是由1组成的，则在的该段落中间添加若干个0（数量与的下一个段落的0的个数相等），或者在该段落末尾删去的下一个由0组成的段落；
情况2：如果当前的的第一个和不一致的段落对应的数字是由0组成的，则在的该段落中间添加或删去若干个0，使得该段的0的个数与的该段落的0的个数相等.
如此反复后，如果第一步进行了操作，则最终和一致；如果第一步没有进行操作，则最终相比在末尾多出若干个1.
第三步：如果相比在末尾多出若干个1，则删除多余的1，否则跳过该步骤.
至此，我们就将操作变成了.
由于每执行一次第二步的操作时，使得段落数增加1的准备工作和段落数减少2的删除0的操作的总次数不超过，而增加0的操作的次数不超过，同时第一步和第三步不可能同时进行操作，所以总的操作次数不会超过，故需要的操作次数不超过.

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