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2025高考数学专项复习马尔科夫链含答案
马尔科夫链
1. (2024·高三·广东·开学考试)马尔科夫链因俄国数学家安德烈 马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的
性质，即第 n+ 1次状态的概率分布只跟第 n次的状态有关，与第 n- 1,n- 2,n- 3, 次状态无关.马尔
科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金
融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有A,B两个盒子，各装有 2个黑球和 1个红球，现从
A,B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行 n n∈N * 次这样的操作后，记A盒子中
红球的个数为Xn，恰有 1个红球的概率为 pn.
(1)求 p1,p2的值；
(2)求 pn的值 (用n表示)；
(3)求证：Xn的数学期望E Xn 为定值.
1
2.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处
理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是
Xt-2,Xt-1,Xt,Xt+1， ，那么Xt+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt，即P Xt+1 ,Xt-2,Xt-1,Xt
=P Xt+1 Xt ．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为 50%，且每局赌赢可以赢得 1元，每
一局赌徒赌输的概率为 50%，且赌输就要输掉 1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结
束赌博游戏：记赌徒的本金为A A∈N *,A徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的
数轴所示．
当赌徒手中有n元 -A≤n≤B,n∈Z 时，最终欠债A元 (可以记为该赌徒手中有-A元)概率为P(n)，
请回答下列问题：
(1)请直接写出P(-A)与P(B)的数值．
(2)证明 {P(n)}是一个等差数列，并写出公差 d．
(3)当A= 100时，分别计算B= 300,B= 1500时，P(A)的数值，论述当B持续增大时，P(A)的统计含
义．
2
3.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个
状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由
当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有 1个黑球和 2个白球，现
从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行 n n∈N * 次这样的操作，记口袋甲中黑球
的个数为Xn，恰有 1个黑球的概率为 pn．
(1)求 p1,p2的值；
(2)求 pn的值 (用n表示)；
(3)求证：Xn的数学期望E Xn 为定值．
4. (2024·高三·江西·开学考试)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下
一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第 n+ 1次状态的概率分布只与第 n次的状态有关，与第 n
- 1,n- 2,n- 3， 次的状态无关，即P(Xn+1|X1,X2, ,Xn-1,Xn) =P(Xn+1|Xn)．已知甲盒中装有 1个
白球和 2个黑球，乙盒中装有 2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取 1个球交换放入对方的盒中，重复 n
次 (n∈N )这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为Xn，甲盒中恰有 2个白球的概率为 an，恰有 1个白
球的概率为 bn．
(1)求 a1,b1和 a2,b2．
(2)证明： an+2b -
6
n 5 为等比数列．
(3)求Xn的数学期望 (用n表示)．
3
5.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德
雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若 ξ是只取非负值的随机变量，则对 a> 0，都有P ξ≥a ≤
E ξ
.某市去年的人均年收入为 10万元，记“从该市任意选取 3名市民，则恰有 1名市民去年的年收入
a
超过 100万元”为事件A，其概率为P A .则P A 的最大值为 ( )
A. 27 B. 243 C. 4 D. 4
1000 1000 27 9
6. (2024·广东肇庆·模拟预测)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基
石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：
下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有 1
个黑球和 2个白球，乙口袋中装有 2个黑球和 1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一
口袋，重复进行 n(n∈N *)次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为Xn，恰有 1个黑球的概率为 pn，则 p1
的值是 ；Xn的数学期望E Xn 是 .
7.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个
状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当
前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有 1个黑球和 2个白球，现从
甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行 n n∈N 次这样的操作，记甲口袋中黑球个
数为Xn，恰有 1个黑球的概率为 pn，则 p1= ；pn= ．
8.马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为:假设序列状态是...，Xt-2,Xt-1,Xt,Xt+1, ，那
么Xt+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt，即P Xt+1∣ ,Xt-2,Xt-1,Xt =P Xt+1∣Xt .著名的赌
徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为
50%，每局赌赢可以赢得 1金币，赌输就要输掉 1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会
结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的 1000金币，出现这两种情况赌徒都会停
止赌博.记赌徒的本金为 70金币，求赌徒输光所有金币的概率 .
4
9. (2024·广东茂名·二模)马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，
即第 n+ 1次状态的概率分布只跟第 n次的状态有关，与第 n- 1,n- 2,n- 3, 次状态是“没有任何关
系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的 2个红球和 1个黑球.从两个盒子中各
任取一个球交换，重复进行 n n∈N * 次操作后，记甲盒子中黑球个数为Xn，甲盒中恰有 1个黑球的概率
为 an，恰有 2个黑球的概率为 bn.
(1)求X1的分布列；
(2)求数列 an 的通项公式；
(3)求Xn的期望.
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10.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个
状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当
前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲、乙两口袋中各装有 1个黑球和 2个白球，现从
甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行 n n∈N * 次这样的操作，记口袋甲中黑球的
个数为Xn，恰有 1个黑球的概率为 pn，恰有 2个黑球的概率为 qn，恰有 0个黑球的概率为 rn.
(1)求 p1,p2的值；
(2)根据马尔科夫链的知识知道 pn= a pn-1+ b qn-1+ c rn-1，其中 a,b,c∈ 0,1 为常数，同时 pn+ qn+
rn= 1，请求出 pn；
(3)求证：Xn的数学期望E Xn 为定值.
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11. (2024·云南·模拟预测)材料一：英国数学家贝叶斯 1701 1763 在概率论研究方面成就显著，创立了贝
叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来
描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设A1,A2, ,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪ ∪An=
P Ai P B∣AΩ，且 P Ai > 0,i= 1，2, ,

n i，则对任意的事件 B Ω,P B > 0，有 P Ai∣B = =
P(B)
P Ai P B∣Ai
n ,i= 1，2, ,n.
∑P Ak P B∣Ak
k=1
材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然
语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是
，Xt-2,Xt-1,Xt,Xt+1, ，那么Xt+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt，即
P Xt+1∣ ,Xt-2,Xt-1,Xt =P Xt+1∣Xt .
请根据以上材料，回答下列问题.
(1)已知德国电车市场中，有 10%的车电池性能很好.W公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比
3%，其中有 25%的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是
W公司的，求该汽车电池性能很好的概率；(结果精确到 0.001)
(2)为迅速抢占市场，W公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有 11个排成一行的格子，编号
从左至右为 0,1, ,10 3 1，有一个小球在格子中运动，每次小球有 的概率向左移动一格；有 的概率向
4 4
右移动一格，规定小球移动到编号为 0或者 10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在
10号格子，则赢得 6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在 0号格子，则客户获得一个纪念品.记Pi为
以下事件发生的概率：小球开始位于第 i个格子，且最终停留在第 10个格子.一名顾客在一次游戏中，小
球开始位于第 5个格子，求他获得代金券的概率.
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马尔科夫链
1. (2024·高三·广东·开学考试)马尔科夫链因俄国数学家安德烈 马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的
性质，即第 n+ 1次状态的概率分布只跟第 n次的状态有关，与第 n- 1,n- 2,n- 3, 次状态无关.马尔
科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金
融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有A,B两个盒子，各装有 2个黑球和 1个红球，现从
A,B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行 n n∈N * 次这样的操作后，记A盒子中
红球的个数为Xn，恰有 1个红球的概率为 pn.
(1)求 p1,p2的值；
(2)求 pn的值 (用n表示)；
(3)求证：Xn的数学期望E Xn 为定值.
【解析】(1)设第n n∈N * 次操作后A盒子中恰有 2个红球的概率为 qn，则没有红球的概率为 1- pn- qn.
= C
1
2C
1
2+C1C1 5 C1C1由题意知 p 1 1 = ，q = 2 11 = 2 ,
C13C
1
3 9
1
C1C13 3 9
1 1 1 1 1 1
= C C +C C C C C
1C1
p2 p 2 2 1 1 + q 2 3 + 1-p -q 3 21 1 1 1 = 49．
C13C
1
3 C
1C1 C13 3 3C
1
3 81
1 1 1 1 1 1 1 1
(2)因为 pn= pn-1
C2C2+C1C1 + Cq 2C3 + C Cn-1 1-p -q 3 2n-1 n-1 =- 1 pn-1+ 2 .
C1 1 1 1 1 13C3 C3C3 C3C3 9 3
所以 pn- 3 =- 1 p 35 9 n-1- .5
3 2 3 2 1
又因为 p1- =- ≠ 0，所以 p - 是以- 为首项，- 为公比的等比数列.5 45 n 5 45 9
n-1
p - 3 =- 2 × - 1 p =- 2 1
n-1
所以 n ， × -5 45 9 n 45 9 +
3
．
5
1 1 1 1
(3)因为 qn=
C2C1 + C1Cp 3n-1 q = 2 p + 1 q ，①
C1C1 C1C1
n-1 n-1 n-1
3 3 3 3 9 3
1
- - = C1C
1 C1C1
1 q p 2 p 3 1 2n n n-1+ 1-qn-1-pn-1 = p 11 1 1 1 n-1+ 1-q9 3 n-1-pn-1 ,②．C3C3 C3C3
1
所以①一②，得 2qn+ pn- 1= 2qn-1+pn-1-1 .3
1-p
又因为 2q1+ p1- 1= 0，所以 2qn+ pn- 1= 0，所以 q = nn .2
Xn的可能取值是 0,1,2，
P Xn=
1-p
0 n = 1- pn- qn= ,2
P Xn=1 = pn,
P Xn=
1-p
2 = q nn= ．2
所以Xn的概率分布列为
Xn 0 1 2
1-p
p n
1-p
p n
2 n 2
1-pn 1-p所以E n Xn = 0× + 1× p2 n+ 2× = 1.2
所以Xn的数学期望E Xn 为定值 1.
1
2.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处
理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是
Xt-2,Xt-1,Xt,Xt+1， ，那么Xt+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt，即P Xt+1 ,Xt-2,Xt-1,Xt
=P Xt+1 Xt ．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为 50%，且每局赌赢可以赢得 1元，每
一局赌徒赌输的概率为 50%，且赌输就要输掉 1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结
束赌博游戏：记赌徒的本金为A A∈N *,A徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的
数轴所示．
当赌徒手中有n元 -A≤n≤B,n∈Z 时，最终欠债A元 (可以记为该赌徒手中有-A元)概率为P(n)，
请回答下列问题：
(1)请直接写出P(-A)与P(B)的数值．
(2)证明 {P(n)}是一个等差数列，并写出公差 d．
(3)当A= 100时，分别计算B= 300,B= 1500时，P(A)的数值，论述当B持续增大时，P(A)的统计含
义．
【解析】(1)当n=-A时，赌徒已经欠债-A元，因此P(-A) = 1．
当n=B时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率P(B) = 0；
(2)记M :赌徒有n元最后输光的事件，N :赌徒有n元上一场赢的事件，

P 1 1 M =P N P M N +P N P M N ，即P(n) = P(n- 1) + P(n+ 1)，2 2
所以P(n) -P(n- 1) =P(n+ 1) -P(n)，
所以 {P(n)}是一个等差数列，
设P(n) -P(n- 1) = d，则P(n- 1) -P(n- 2) = d, ,P(-A+ 1) -P(-A) = d，
累加得P(n) -P(-A) = (n+A)d，故P(B) -P(-A) = (A+B)d，得 d=- 1
A+ ；B
(3)A= 100，由 (2)P(n) -P(-A) = (n+A)d=- n+A ，
A+B
代入n=A可得P(A) -P(-A) =- 2A+ ，即P(A) = 1-
2A
A B A+ ，B
当B= 300 P A = 1时， ，当B= 1500时，P(A) = 7 ，
2 8
当B增大时，P(A)也会增大，即输光欠债的可能性越大，因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会 100%的概率输光并负债．
3.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个
状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由
当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有 1个黑球和 2个白球，现
2
从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行 n n∈N * 次这样的操作，记口袋甲中黑球
的个数为Xn，恰有 1个黑球的概率为 pn．
(1)求 p1,p2的值；
(2)求 pn的值 (用n表示)；
(3)求证：Xn的数学期望E Xn 为定值．
【解析】(1)设恰有 2个黑球的概率为 qn，则恰有 0个黑球的概率为 1- pn- qn．
C1C1+C1 1 1 1
由题意知 p = 2 2 1C1 = 5 = C2C 21 ，q 11 = ，
C1 1 1 13C3 9 C3C3 9
= C
1C1+C1C1 C1C1 C1C1
所以 p 2 2 1 12 p
2 3
1+ q + 3 2 1-p -q = 49．
C1C1 C1C1
1 1 1 1 1
3 3 3 3 C3C3 81
1 1 1 1 1 1 1 1
( ) = C2C2+C1C1 C2 p p 2C3 C3C2 1 2因为 n 1 1 n-1+ q1 1 n-1+ 1 1 1-pn-1-qn-1 =- pn-1+ ，C3C3 C3C3 C3C3 9 3
3
所以 pn- =- 1 p 3n-1- ．5 9 5
p - 3 =- 2 ≠ 0 p - 3 - 2 1又因为 1 ，所以 n 是以 为首项，- 为公比的等比数列．5 45 5 45 9
3 2 1 n-1 2 n-1
所以 pn- =- × - ，p =- ×5 45 9 n 45 -
1 + 3．9 5
C1C1( C
1C1
3)因为 q 2 1 1 3 2 1n= pn-1+ qn-1= pn-1+ qn-1①，
C13C
1 1
3 C3C
1
3 9 3
C1- C
1 C1C1
1 qn- p 1 2 3 1 2 1n= p + 1-q1 1 n-1 1 1 n-1-pn-1 = p + 1-q -p ②．C3C3 C3C3 9
n-1 3 n-1 n-1
所以①-②，得 2qn+ pn- 1= 1 2q +p3 n-1 n-1-1 ．
又因为 2q1+ p1- 1=
1-p
0，所以 2qn+ pn- 1= 0．所以 q = nn ．2
所以Xn的概率分布列为：
Xn 0 1 2
- - 1-pn 1-pp 1 p p nn 2 n 2
1-p 1-p
所以E Xn = 0× 1-pn- n + 1× pn+ 2× n = 1．2 2
所以Xn的数学期望E Xn 为定值 1．
4. (2024·高三·江西·开学考试)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下
一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第 n+ 1次状态的概率分布只与第 n次的状态有关，与第 n
- 1,n- 2,n- 3， 次的状态无关，即P(Xn+1|X1,X2, ,Xn-1,Xn) =P(Xn+1|Xn)．已知甲盒中装有 1个
白球和 2个黑球，乙盒中装有 2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取 1个球交换放入对方的盒中，重复 n
次 (n∈N )这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为Xn，甲盒中恰有 2个白球的概率为 an，恰有 1个白
球的概率为 bn．
(1)求 a1,b1和 a2,b2．
(2)证明： an+2b
6
n- 5 为等比数列．
3
(3)求Xn的数学期望 (用n表示)．
【解析】(1)若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为 2白 1黑，乙盒中的球变为 1白 1黑，概率 a1
= 2；
3
1
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为 1白 2黑，乙盒中的球仍为 2白，概率 b1= ，3
研究第 2次交换球时的概率，根据第 1次交换球的结果讨论如下：
2
①当甲盒中的球为 2白 1黑，乙盒中的球为 1白 1黑时，对应概率为 a1= ，3
此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为 2白 1黑，
1 1 1
乙盒中的球仍为 1白 1黑，概率为 a1× × = a3 2 6 1；
1 1 1
若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为 3白，乙盒中的球变为 2黑，概率为 a1× × = a；3 2 6 1
2 1
若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为 1白 2黑，乙盒中的球变为 2白，概率为 a1× × =3 2
1 a；
3 1
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为 2白 1黑，乙盒中的球仍为 1白 1黑，概率为 a1× 2 × 13 2
= 1 a ，
3 1
1
②当甲盒中的球为 1白 2黑，乙盒中的球为 2白时，对应概率为 b1= ，3
此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为 2白 1黑，
2 2
乙盒中的球变为 1白 1黑，概率为 b1× = b3 3 1
1 1
若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为 1白 2黑，乙盒中的球仍为 2白，概率为 b1× = b1，3 3
a = 1 a + 1 a + 2 b = 5 ,b = 1 a + 1综上， 2 1 1 1 2 1 b1= 1 .6 3 3 9 3 3 3
(2)依题意，经过 n次这样的操作，甲盒中恰有 2个白球的概率为 an，
恰有 1个白球的概率为 bn，则甲盒中恰有 3个白球的概率为 1- an- bn，
研究第n+ 1次交换球时的概率，根据第 n次交换球的结果讨论如下：
①当甲盒中的球为 2白 1黑，乙盒中的球为 1白 1黑时，对应概率为 an，
此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为 2白 1黑，
1 1 a × 1 × 1 = 1乙盒中的球仍为 白 黑，概率为 n a ；3 2 6 n
3 2 a × 1 × 1 = 1若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为 白，乙盒中的球变为 黑，概率为 n an；3 2 6
2 1
若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为 1白 2黑，乙盒中的球变为 2白，概率为 an× × =3 2
1 a ；
3 n
2 1
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为 2白 1黑，乙盒中的球仍为 1白 1黑，概率为 an× ×3 2
= 1 a
3 n
，
②当甲盒中的球为 1白 2黑，乙盒中的球为 2白时，对应概率为 bn，
2
此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为 2白 1黑，乙盒中的球变为 1白 1黑，概率为 bn× 3
= 2 bn；3
4
1 1
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为 1白 2黑，乙盒中的球仍为 2白，概率为 bn× = bn，3 3
③当甲盒中的球为 3白，乙盒中的球为 2黑时，对应概率为 1- an- bn，
此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为 2白 1黑，
乙盒中的球变为 1白 1黑，概率为 1- an- bn，
a = 1 a + 1 2综上， n+1 n an+ bn+ 1- an- bn= 1- 1 a - 1 b ,b = 1 a + 1n n n+1 n b3 6 3 2 3 3 3 n
则 a 6 1 1 2 2 6 1 1 1n+1+ 2bn+1- = 1- an- b5 2 3 n+ a + b - = a3 n 3 n 5 6 n+ bn- ，3 5
6 1
整理得 an+1+ 2bn+1- = an+2b 65 6 n- 5
6 2
，又 a1+ 2b1- = > 0，5 15
a +2b - 6 1所以数列 n n 是公比为 的等比数列.5 6
n-1 n-1
(3)由 (2)知 an+ 2bn- 6 = 2 × 1 6 2 1，则 a + 2b5 15 6 n n= + ×5 15 ，6
随机变量Xn的分布列为
Xn 1 2 3
P bn an 1- an- bn
9 2 1 n-1
所以E(Xn) = bn+ 2an+ 3- 3bn- 3an= 3- (an+ 2bn) = - × .5 15 6
5.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德
雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若 ξ是只取非负值的随机变量，则对 a> 0，都有P ξ≥a ≤
E ξ
.某市去年的人均年收入为 10万元，记“从该市任意选取 3名市民，则恰有 1名市民去年的年收入
a
超过 100万元”为事件A，其概率为P A .则P A 的最大值为 ( )
A. 27 B. 243 C. 4 D. 4
1000 1000 27 9
【答案】B
【解析】记该市去年人均收入为X万元，从该市任意选取 3名市民，年收入超过 100万元的人数为Y.
设从该市任选 1名市民，年收入超过 100万元的概率为 p，
E X
则根据马尔可夫不等式可得 p=P X≥100 ≤ = 10 = 1 ，
100 100 10
∴ 0≤ p≤ 1 ，
10
因为Y~B(3,p)，
所以P A =P Y=1 =C13p 1-p 2 = 3p 1-p 2 = 3p3- 6p2+ 3p，
令 f(p) = 3p3- 6p2+ 3p，则 f (p) = 9p2- 12p+ 3= 3(3p- 1) (p- 1)，
∵ 0≤ p≤ 1 , ∴ 3p- 1< 0,p- 1< 0，即 f (p)> 0，
10
∴ f(p) 0, 1在 上单调递增.10
2
∴ f(p) 1max= f = 3× 1 × 1- 1 = 243 P(A) = 243，即 .10 10 10 1000 max 1000
故选：B
6. (2024·广东肇庆·模拟预测)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基
石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：
5
下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有 1
个黑球和 2个白球，乙口袋中装有 2个黑球和 1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一
口袋，重复进行 n(n∈N *)次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为Xn，恰有 1个黑球的概率为 pn，则 p1
的值是 ；Xn的数学期望E Xn 是 .
4 3 - 1 1
n
【答案】
9 2 2 3
1 2 2 1 4
【解析】考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，由全概率公式可得 p1= × + × = ；3 3 3 3 9
记Xn-1取 0，1，2，3的概率分别为 p0，p1，p2，p3，
推导Xn的分布列：
P Xn=1 = p + 4 p + 40 1 p2，P Xn=2 = 4 p + 4 p + p P X =3 = 11 ， p ，9 9 9 9 2 3 n 9 2
则E Xn = 0 P Xn=0 + 1 P Xn=1 + 2 P X 4 5n=2 + 3 P Xn=3 = p0+ p + p + 2p3 1 3 2 3
= 1+ 1 p1+2p2+3p 13 = 1+ E Xn-1 ，3 3
则E 3 1 3 Xn - = E X 2 3 n-1 - 2 ，
n-1
故E Xn - 3 = E X - 3 × 12 1 2 3
n
给合E X = 4 3 1 11 ，可知E Xn = -3 2 2 3 .
4 n
故答案为： ; 3 - 1 1 .9 2 2 3
7.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个
状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当
前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有 1个黑球和 2个白球，现从
甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行 n n∈N 次这样的操作，记甲口袋中黑球个
数为Xn，恰有 1个黑球的概率为 pn，则 p1= ；pn= ．
5 2 - 1
n
+ 3【答案】
9 5 9 5
C1C1+C1C1 5
【解析】由题意，p1= 2 2 1 1 = ；
C13C
1
3 9
1 1 1 1 1 1 1 1
当n≥ 2 n∈N
C
时，p = 2
C2+C1C1 + Cp 2C3 C3C2n 1 1 n-1 P X =0 + P X =2C C C1 1
n-1 1 1 n-1
3 3 3C3 C3C3
= 5 p 2 5n-1+ P Xn-1=0 +P Xn-1=2 = pn-1+ 2 1-p 1 2n-1 =- pn-1+ ，9 3 9 3 9 3
3
整理得 pn- =- 1 p - 3 3 5，p - = - 3 =- 2 ，5 9 n-1 5 1 5 9 5 45
故可知 p
3
n- - 2 - 1 2 1
n
是以 为首项，以 为公比的等比数列，所以 pn= -5 45 9 5 9 +
3 .
5
5 2 n
故答案为： ；
9 5 -
1
9 +
3
5
8.马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为:假设序列状态是...，Xt-2,Xt-1,Xt,Xt+1, ，那
么Xt+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt，即P Xt+1∣ ,Xt-2,Xt-1,Xt =P Xt+1∣Xt .著名的赌
徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为
6
50%，每局赌赢可以赢得 1金币，赌输就要输掉 1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会
结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的 1000金币，出现这两种情况赌徒都会停
止赌博.记赌徒的本金为 70金币，求赌徒输光所有金币的概率 .
93
【答案】 /0.93
100
【解析】设当赌徒手中有 n元 0≤n≤1000,n∈N 时，最终输光的概率为P(n)，
当n= 0时，赌徒已经输光了，所以P(0) = 1，
当n= 1000时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率为P(1000) = 0，
记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元下一次赢的事件，

所以P M =P N P(M |N ) +P N P(M |N )，
即P(n) = 1 P(n- 1) + 1 P(n+ 1)，所以P(n+ 1) -P(n) =P(n) -P(n- 1)，
2 2
所以 P(n) 为等差数列，设P(n) -P(n- 1) = d，
由于P(1000) =P(0) + 1000d= 1+ 1000d= 0 1，所以 d=- ，
1000
所以P(n) =P(0) +nd= 1- n ，
1000
故P(70) = 1- 70 = 93
1000 100
93
故答案为：
100
9. (2024·广东茂名·二模)马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，
即第 n+ 1次状态的概率分布只跟第 n次的状态有关，与第 n- 1,n- 2,n- 3, 次状态是“没有任何关
系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的 2个红球和 1个黑球.从两个盒子中各
任取一个球交换，重复进行 n n∈N * 次操作后，记甲盒子中黑球个数为Xn，甲盒中恰有 1个黑球的概率
为 an，恰有 2个黑球的概率为 bn.
(1)求X1的分布列；
(2)求数列 an 的通项公式；
(3)求Xn的期望.
【解析】(1) (1)由题可知，X1的可能取值为 0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：
P X
1 2 2
1=0 = × = ；P 1 1 2 2 5 X1=1 = × + × = ；P X1=2 = 2 × 1 = 2 ，3 3 9 3 3 3 3 9 3 3 9
故X1的分布列如下表：
X1 0 1 2
2 5 2
P
9 9 9
(2)由全概率公式可知：
P Xn+1=1
=P Xn=1 P Xn+1=1 Xn=1 +P Xn=2 P Xn+1=1 Xn=2 +P Xn=0 P Xn+1=1 Xn=0
= 1 × 1 + 2 × 23 3 3 3 P X
2 2
n=1 + ×1 P Xn=2 + 1× P Xn=0 3 3
= 5 P 2 2 Xn=1 + P X9 3 n=2 + P Xn=0 ，3
7
a = 5 a + 2 2即： n+1 9 n b3 n+ 1-a3 n-bn ，
所以 a 1n+1=- an+ 2 ，9 3
3
所以 an+1- =- 1 an- 3 ，5 9 5
a 5又 1=P X1=1 = ，9
3 3 2 1
所以，数列 an- 为以 a1- =- 为首项，以- 为公比的等比数列，5 5 45 9
n-1 n
所以 an- 3 =- 2 - 1 = 2 5 45 9 5 -
1
，
9
n
即：a = 3 + 2n - 1 .5 5 9
(3)由全概率公式可得：
P Xn+1=2
=P Xn=1 P Xn+1=2 Xn=1 +P Xn=2 P Xn+1=2 Xn=2 +P Xn=0 P Xn+1=2 Xn=0
= 2 × 1 P Xn=1 + 1 ×1 P Xn=2 + 0 P Xn=0 ,3 3 3
即：bn+1= 2 a + 1n b9 3 n,
a = 3 2
n
又 n + - 15 5 9 ,
n
所以 b = 1 b + 2 3 + 2 1n+1 3 n -9 5 5 9 ,
b - 1 + 1 - 1
n+1
= 1 b - 1 + 1 - 1
n
所以 n+1 ,5 5 9 3 n 5 5 9
b =P X =2 = 2又 1 1 ,9
1 1
所以 b1- + × - 1 = 2 - 1 - 1 = 0,5 5 9 9 5 45
1 1 1 n
所以 bn- + - = 0,5 5 9
n
所以 b = 1 - 1n 5 5 -
1
9 ,
所以E Xn = an+ 2bn+ 0 1-an-bn = an+ 2bn= 1.
10.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个
状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当
前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲、乙两口袋中各装有 1个黑球和 2个白球，现从
甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行 n n∈N * 次这样的操作，记口袋甲中黑球的
个数为Xn，恰有 1个黑球的概率为 pn，恰有 2个黑球的概率为 qn，恰有 0个黑球的概率为 rn.
(1)求 p1,p2的值；
(2)根据马尔科夫链的知识知道 pn= a pn-1+ b qn-1+ c rn-1，其中 a,b,c∈ 0,1 为常数，同时 pn+ qn+
rn= 1，请求出 pn；
(3)求证：Xn的数学期望E Xn 为定值.
【解析】(1)由题意恰有 0个黑球的概率为 1- pn- qn.
C1C1+C1C1 5 C1 1
由题意知 p = 2 2 1 1 = ,q = 2C1 = 21 ，
C13C
1
3 9
1
C1C13 3 9
8
C1C1+C1C1 C1C1 C1 1
所以 p = 2 2 1 1 p + 2 3 q 3C22 1 1+ 1-p1-q 491 1 1 1 1 1 1 = .C3C3 C3C3 C3C3 81
1 1 1 1 1 1 1 1
( C2)因为 p = 2C2+C1C1 + Cp 2C3 + C3C2n n-1 qn-1 1-pn-1-q 1 21 1 1 1 1 1 n-1 =- pn-1+ ，C3C3 C3C3 C3C3 9 3
所以 p 3n- =- 1 p 35 9 n-1- .5
3 2
又因为 p1- =- ≠ 0，所以 pn-
3 2 1 是以- 为首项，- 为公比的等比数列.5 45 5 45 9
p - 3
n-1 n-1
所以 n =- 2 × - 1 ,pn=- 2 ×5 45 9 45 -
1 + 3 .9 5
C1C1 C1 1(3)因为 q = 2 1 p + 1C3n n-1 q = 2 p 11 1 1 1 n-1 9 n-1+ q3 n-1①，C3C3 C3C3
C1C1 C1- - = 1 2 + 3C
1
1 q p p 1n n n-1 1-qn-1-pn-1 = 2 p 1n-1+ 1-q1 1 1 1 9 3 n-1-pn-1 ②C3C3 C3C3
1
所以①-②，得 2qn+ pn- 1= 2q3 n-1+pn-1-1 .
1-p
又因为 2q1+ p1- 1= 0，所以 2qn+ pn- 1= 0.所以 q = nn .2
所以Xn的概率分布列为：
Xn 0 1 2
1-p 1-p
p 1- pn- n p n2 n 2
1-p 1-p
所以E Xn = 0× 1-p n nn- + 1× pn+ 2× = 1.2 2
所以Xn的数学期望E Xn 为定值 1.
11. (2024·云南·模拟预测)材料一：英国数学家贝叶斯 1701 1763 在概率论研究方面成就显著，创立了贝
叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来
描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设A1,A2, ,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪ ∪An=
P A P B∣A
Ω，且 P Ai > 0,i= 1，2, ,n
i i
，则对任意的事件 B Ω,P B > 0，有 P Ai∣B = =
P(B)
P Ai P B∣Ai
n ,i= 1，2, ,n.
∑P Ak P B∣Ak
k=1
材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然
语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是
，Xt-2,Xt-1,Xt,Xt+1, ，那么Xt+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt，即
P Xt+1∣ ,Xt-2,Xt-1,Xt =P Xt+1∣Xt .
请根据以上材料，回答下列问题.
(1)已知德国电车市场中，有 10%的车电池性能很好.W公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比
3%，其中有 25%的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是
W公司的，求该汽车电池性能很好的概率；(结果精确到 0.001)
(2)为迅速抢占市场，W公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有 11个排成一行的格子，编号
9
0,1, ,10 3 1从左至右为 ，有一个小球在格子中运动，每次小球有 的概率向左移动一格；有 的概率向
4 4
右移动一格，规定小球移动到编号为 0或者 10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在
10号格子，则赢得 6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在 0号格子，则客户获得一个纪念品.记Pi为
以下事件发生的概率：小球开始位于第 i个格子，且最终停留在第 10个格子.一名顾客在一次游戏中，小
球开始位于第 5个格子，求他获得代金券的概率.
【解析】(1)记事件A为一辆德国市场的电车性能很好，事件B为一辆德国市场的车来自W公司.由全概率公

式知：P A =P A|B P B +P A|B P B ,
P A -P A|B P B
故：P A|B = = 10%-0.25×3% ≈ 0.095.
P B 97%
(2)记事件Ai i=0,1, ,10 表示小球开始位于第 i个格子，且最终停留在第 10个格子，
事件C表示小球向右走一格.小球开始于第 i格，此时的概率为Pi，则下一步小球向左或向右移动，
当小球向右移动，即可理解为小球始于Pi+1，当小球向左移动，即可理解为小球始于Pi-1，
P= 1 3即 i Pi+ 1+ Pi-1.由题知P4 4 0= 0,P10= 1，
又 4Pi= 3Pi-1+Pi+1，故Pi+1-Pi= 3 Pi-Pi-1 ，
所以 Pi-Pi-1 是以P1-P0为首项，3为公比的等比数列，
即：Pi-Pi-1= 3i-1 P1-P0 ，
即：P 910-P9= 3 P1-P0 ，
P9-P 88= 3 P1-P0 ，

P1-P0= 30 P1-P0 ，
10
故P = 39+3810 + +30 3 -1 P1-P0 = P2 1，
5
P5= 34+33+ +30 P1-P0 = 3 -1P，2 1
5
则P5=
P5 = 3 -1 = 1 = 1 ，
P 31010 -1 35+1 244
1
故这名顾客获得代金券的概率为 .
244
10