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【提升版】北师大版数学九年级上册 4.2平行线分线段成比例 同步练习
一、选择题
1．（2024九上·金沙期末）如图，直线，直线a，b相交于点，且与分别相交于点B，C和点D，E．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·铜仁期末）如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023九上·南山月考）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（　　）
A． B．2 C． D．5
4．（2024九上·嘉兴期末）如图，点是等边三角形的重心，，是边上一点，当时，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．2
5．（2023九上·衡阳期末）如图，若，则下列各式错误的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九上·威远期末）如图，，，则下列比例式不正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023九上·溆浦期中）如图，已知，它们依次交直线于点A、B、C和点D、E、F，如果，那么的长等于（　　）
A．2 B．4 C． D．
8．（2024九上·平顶山期末）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且相邻两直线间距离相等．若，，则，之间的距离为（　　）．
A．5 B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·长春开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的面积为 　 　．
10．（2024九上·长春汽车经济技术开发期末）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点、、都在横格线上若线段，则线段　 　．
11．（2024九上·仁寿期末）如图，在中，，，则　 　．
12．（2024九上·永修模拟）如图，已知菱形的边长为4，，E为的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于　 　．
13．（2024九上·泸县模拟）如图，是的中线，点E在上，交于点F．若，则　 　．
三、解答题
14．（2024九上·德惠期末）如图，，直线，交于点，且分别与直线，，交于点、、和点、、，已知，，，，求的长度是？
15．（2024九上·钟山期末）如图，在四边形ABCD中，，，，，．
（1）求证：四边形ABCD时菱形；
（2）延长BC至点M，连接OM交CD于点N，若，求．
16．（2019九上·太原期中）阅读下列材料，完成相应的任务：
我们知道，利用尺规作已知线段的垂直平分线可以得到该线段的中点、四等分点、……怎样得到线段的三等分点呢？如图，已知线段MN，用尺规在MN上求作点P，使 .
小颖的作法是：
①作射线MK（点K不在直线MN上）；
②在射线MK上依次截取线段MA，AB，使 ，连接BN；
③作射线 ，交MN于点P点P即为所求作的点.
小颖作法的理由如下：
∵ （作法），∴
∵ （已知）， （等量代换）
∵ （线段和差定义），∴ （等量代换，等式性质）
（1）数学思考：
小颖作法理由中所缺的依据是：　 　.
（2）拓展应用：
如图，已知线段a，b，c，求作线段d，使 a. B. C.
17．（2022九上·新昌月考）定义：如图1，点、把线段分割成三条线段、和，若，则称是线段的比例中段，、是线段的中段分点.
（1）已知点、是线段的中段分点.
①若，，则 ▲ ；
②在图1中，若，，求的长.
（2）如图2，在中，是线段的比例中段，、分别是线段、延长线上的点，且，、的延长线分别交线段于点，.探究是否为线段的比例中段，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由..
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴DE=。
故答案为：B。
【分析】根据平行线分线段成比例即可得到DE的长度。
2．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解： ，
，
，当 ，
，
解得：AB=12m.
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例建立方程求解即可.
3．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
4．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图：连接PC，
∵ 点是等边三角形ABC的重心，
∴BD平分∠ABC，PC平分∠ACB，BD⊥AC，
∵三角形ABC是等边三角形，AB=3，
∴∠PBC=∠PCB=PCD=30°，.
∴，
∵PQ⊥BP，
∴∠BPQ=∠ADC=90°，
∴PQ//CD.
∴，即
∴BQ=2.
故答案为：D.
【分析】根据点是等边三角形ABC的重心，可得BD平分∠ABC，BD⊥AC.连接PC，有PC平分∠ACB，PC=PB，于是可根据∠PCD=30°，AB=3，求出PD，PC的长.根据PQ⊥BP，可得PQ//CD.根据平行线分线段成比例即可求出BQ的长.
5．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】，
，
故A、B选项说法正确，不符合题意；
，
，
故C选项说法正确，不符合题意；
，
，
故D选项说法错误，不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例进行逐一判断即可求解.
6．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】A、∵DE//BC，∴，∴A正确，不符合题意；
B、∵DE//BC，EF//AB无法证出，∴B不正确，符合题意；
C、∵DE//BC，∴，∴C正确，不符合题意；
D、∵DE//BC，EF//AB，∴，∴D正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项分析判断即可.
7．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解： ，
，
，
故答案为：C.
【分析】利用平行线分线段成比例先求得AB的值，再根据代入数据计算即可求解.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
9．【答案】12
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平移的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
由平移可得：DF||EC，DF=EC
∴四边形DFCE为平行四边形
∵点F是AB中点
∴点D是AC中点
∴DF是△ACB的中位线
故答案为：12
【分析】根据勾股定理求出AC长，再根据平移性质，平行四边形的判定定理及性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例性质即可求出答案。
10．【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：，
∵AB=2，
∴BC=3AB=3×2=6，
故答案为：6.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再将AB的值代入求出BC的长即可.
11．【答案】
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：过点D作，交于点G，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】过点D作，交于点G进而根据平行线分线段成比例结合题意即可得到，，进而得到，，再结合题意运用比例的性质即可求解。
12．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
13．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
14．【答案】解：，
，
，
，
，
，
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】从已知条件入手，已知一组平行线分线段，马上想到相似三角形的性质定理或平行线分线段成比例的定理，再从问题入手，线段DE是线段DO和线段OE的和，观图易由三角形相似的判定和性质定理可先求得OE，同理可求DO，则DE的长度可求。
15．【答案】（1）证明：∵ 在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD
∴ 四边形ABCD是平行四边形
∵ AB=BC
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
（2）解：如图，过点O作OF∥BC，交CD于点F ，
∵ OB=OD ，
∴
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴在Rt△OCB中，
OC=，OB=
由勾股定理可得BC=10 ，
∴OF=，
∵，
，
∴CM=OC=6，
∵ 点B，C，M在同一条直线上
∴OF∥CM
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形的外角性质；勾股定理；菱形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形 ，结合AB=BC ，由菱形的判定定理即可求解；
（2）过点O作OF∥BC，交CD于点F ，由平行线分线段成比例可得，根据菱形的性质以及勾股定理得到OC、OB、BC的值，进而求的OF的值，结合以及外角性质可得，从而得到CM=OC=6，再根据平行线分线段成比例得到，代入数据进行计算即可求解.
16．【答案】（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
（2）解：答案不唯一； 如图，线段DE即为所求作的线段
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例，即可得到答案；（2）作两条射线，在一条射线上截取AB=a，BC=b，在另一条射线上截取AD=c，连接BD，过点C作CE∥BD，交点为E，则DE=d为所求线段.
17．【答案】（1）解：①；②设，则由题可得：，
解得或4，
的长为1或4；
（2）解：是线段的比例中段.
理由如下：设，
，
，
同理，，，
，，，
是线段的比例中段，
，
，
，
即是线段的比例中段.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；定义新运算
【解析】【分析】（1）①根据MN2=AM·BN可得BN的值；
②设AM=x，则BM=5-x，根据MN2=AM·BN可得x的值，即为AM的长；
（2）设，根据平行线分线段成比例的性质可得，同理可得，，则GK=kBN，KP=kMN，PF=kAM，根据比例中项的概念可得MN2=AM·BN，代入化简可得KP2=GK·PF，据此证明.
1 / 1【提升版】北师大版数学九年级上册 4.2平行线分线段成比例 同步练习
一、选择题
1．（2024九上·金沙期末）如图，直线，直线a，b相交于点，且与分别相交于点B，C和点D，E．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴DE=。
故答案为：B。
【分析】根据平行线分线段成比例即可得到DE的长度。
2．（2024九上·铜仁期末）如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解： ，
，
，当 ，
，
解得：AB=12m.
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例建立方程求解即可.
3．（2023九上·南山月考）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（　　）
A． B．2 C． D．5
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
4．（2024九上·嘉兴期末）如图，点是等边三角形的重心，，是边上一点，当时，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图：连接PC，
∵ 点是等边三角形ABC的重心，
∴BD平分∠ABC，PC平分∠ACB，BD⊥AC，
∵三角形ABC是等边三角形，AB=3，
∴∠PBC=∠PCB=PCD=30°，.
∴，
∵PQ⊥BP，
∴∠BPQ=∠ADC=90°，
∴PQ//CD.
∴，即
∴BQ=2.
故答案为：D.
【分析】根据点是等边三角形ABC的重心，可得BD平分∠ABC，BD⊥AC.连接PC，有PC平分∠ACB，PC=PB，于是可根据∠PCD=30°，AB=3，求出PD，PC的长.根据PQ⊥BP，可得PQ//CD.根据平行线分线段成比例即可求出BQ的长.
5．（2023九上·衡阳期末）如图，若，则下列各式错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】，
，
故A、B选项说法正确，不符合题意；
，
，
故C选项说法正确，不符合题意；
，
，
故D选项说法错误，不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例进行逐一判断即可求解.
6．（2024九上·威远期末）如图，，，则下列比例式不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】A、∵DE//BC，∴，∴A正确，不符合题意；
B、∵DE//BC，EF//AB无法证出，∴B不正确，符合题意；
C、∵DE//BC，∴，∴C正确，不符合题意；
D、∵DE//BC，EF//AB，∴，∴D正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项分析判断即可.
7．（2023九上·溆浦期中）如图，已知，它们依次交直线于点A、B、C和点D、E、F，如果，那么的长等于（　　）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解： ，
，
，
故答案为：C.
【分析】利用平行线分线段成比例先求得AB的值，再根据代入数据计算即可求解.
8．（2024九上·平顶山期末）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且相邻两直线间距离相等．若，，则，之间的距离为（　　）．
A．5 B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
二、填空题
9．（2023九上·长春开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的面积为 　 　．
【答案】12
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平移的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
由平移可得：DF||EC，DF=EC
∴四边形DFCE为平行四边形
∵点F是AB中点
∴点D是AC中点
∴DF是△ACB的中位线
故答案为：12
【分析】根据勾股定理求出AC长，再根据平移性质，平行四边形的判定定理及性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例性质即可求出答案。
10．（2024九上·长春汽车经济技术开发期末）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点、、都在横格线上若线段，则线段　 　．
【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：，
∵AB=2，
∴BC=3AB=3×2=6，
故答案为：6.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再将AB的值代入求出BC的长即可.
11．（2024九上·仁寿期末）如图，在中，，，则　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：过点D作，交于点G，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】过点D作，交于点G进而根据平行线分线段成比例结合题意即可得到，，进而得到，，再结合题意运用比例的性质即可求解。
12．（2024九上·永修模拟）如图，已知菱形的边长为4，，E为的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
13．（2024九上·泸县模拟）如图，是的中线，点E在上，交于点F．若，则　 　．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
三、解答题
14．（2024九上·德惠期末）如图，，直线，交于点，且分别与直线，，交于点、、和点、、，已知，，，，求的长度是？
【答案】解：，
，
，
，
，
，
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】从已知条件入手，已知一组平行线分线段，马上想到相似三角形的性质定理或平行线分线段成比例的定理，再从问题入手，线段DE是线段DO和线段OE的和，观图易由三角形相似的判定和性质定理可先求得OE，同理可求DO，则DE的长度可求。
15．（2024九上·钟山期末）如图，在四边形ABCD中，，，，，．
（1）求证：四边形ABCD时菱形；
（2）延长BC至点M，连接OM交CD于点N，若，求．
【答案】（1）证明：∵ 在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD
∴ 四边形ABCD是平行四边形
∵ AB=BC
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
（2）解：如图，过点O作OF∥BC，交CD于点F ，
∵ OB=OD ，
∴
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴在Rt△OCB中，
OC=，OB=
由勾股定理可得BC=10 ，
∴OF=，
∵，
，
∴CM=OC=6，
∵ 点B，C，M在同一条直线上
∴OF∥CM
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形的外角性质；勾股定理；菱形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形 ，结合AB=BC ，由菱形的判定定理即可求解；
（2）过点O作OF∥BC，交CD于点F ，由平行线分线段成比例可得，根据菱形的性质以及勾股定理得到OC、OB、BC的值，进而求的OF的值，结合以及外角性质可得，从而得到CM=OC=6，再根据平行线分线段成比例得到，代入数据进行计算即可求解.
16．（2019九上·太原期中）阅读下列材料，完成相应的任务：
我们知道，利用尺规作已知线段的垂直平分线可以得到该线段的中点、四等分点、……怎样得到线段的三等分点呢？如图，已知线段MN，用尺规在MN上求作点P，使 .
小颖的作法是：
①作射线MK（点K不在直线MN上）；
②在射线MK上依次截取线段MA，AB，使 ，连接BN；
③作射线 ，交MN于点P点P即为所求作的点.
小颖作法的理由如下：
∵ （作法），∴
∵ （已知）， （等量代换）
∵ （线段和差定义），∴ （等量代换，等式性质）
（1）数学思考：
小颖作法理由中所缺的依据是：　 　.
（2）拓展应用：
如图，已知线段a，b，c，求作线段d，使 a. B. C.
【答案】（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
（2）解：答案不唯一； 如图，线段DE即为所求作的线段
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例，即可得到答案；（2）作两条射线，在一条射线上截取AB=a，BC=b，在另一条射线上截取AD=c，连接BD，过点C作CE∥BD，交点为E，则DE=d为所求线段.
17．（2022九上·新昌月考）定义：如图1，点、把线段分割成三条线段、和，若，则称是线段的比例中段，、是线段的中段分点.
（1）已知点、是线段的中段分点.
①若，，则 ▲ ；
②在图1中，若，，求的长.
（2）如图2，在中，是线段的比例中段，、分别是线段、延长线上的点，且，、的延长线分别交线段于点，.探究是否为线段的比例中段，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由..
【答案】（1）解：①；②设，则由题可得：，
解得或4，
的长为1或4；
（2）解：是线段的比例中段.
理由如下：设，
，
，
同理，，，
，，，
是线段的比例中段，
，
，
，
即是线段的比例中段.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；定义新运算
【解析】【分析】（1）①根据MN2=AM·BN可得BN的值；
②设AM=x，则BM=5-x，根据MN2=AM·BN可得x的值，即为AM的长；
（2）设，根据平行线分线段成比例的性质可得，同理可得，，则GK=kBN，KP=kMN，PF=kAM，根据比例中项的概念可得MN2=AM·BN，代入化简可得KP2=GK·PF，据此证明.
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