资源简介

贵阳市第一中学2025届高三上学期高考适应性月考（二）数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名 准考证号 考场号 座位号在答題卡上填写清楚.
2.每小题远出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.已知200个数据的分位数是2.7，则下列说法正确的是（ ）
A.把这200个数据从大到小排列后，2.7是第130个数据
B.把这200个数据从小到大排列后，2.7是第130个数据
C.把这200个数据从小到大排列后，2.7是第130个数据和第131个数据的平均数
D.把这200个数据从大到小排列后，2.7是第130个数据和第131个数据的平均数
3.若函数，则的值是（ ）
A.9 B.25 C.8 D.4
4.砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻 气韵生动 极富书卷气.一扇环形砖雕如图所示.若，且扇形的弧长为，则该扇环的面积为（ ）
A. B.4 C. D.
5.若函数与函数的图象存在唯一的公共点，且点落在角的终边上，则的值是（ ）
A.0或 B. C.0或 D.
6.已知正项数列的前项和为，且，则（ ）
A.38 B.39 C.20 D.
7.为贯彻落实国家关于开展中小学研学旅行的文件精神，搭建中学与高校交流的平台，拓展学生视野，今年某中学计划开展暑期“双高互动”之旅夏令营活动，学生可自愿报名.其中有4名教师和6名学生报名，将报名的教师和学生分成2个组，分别安排到两所高校，要求每个组由2名老师和3名同学组成，则学生甲和学生乙不去同一所高校的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数关于直线对称，当时，，设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列说法正确的是（ ）
A.函数且的图象恒过定点
B.函数的定义域是
C.函数的最小值为6
D.函数的单调增区间为
10.已知双曲线的左 右焦点分别为，离心率为2，点是上的一点，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则或1
B.不存在点为线段的中点
C.若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率
D.内切圆圆心的横坐标为
11.已知函数，下列选项正确的是（ ）
A.若函数的最小正周期不小于，则的最大值为
B.“”是“曲线关于直线对称”的充要条件
C.若函数的图象向左平移个单位后所得函数在区间上单调递增，则的可能取值为
D.当时，设为方程在区间上的两个解，则
三 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.（其中的展开式中的常数项为40，则__________.
13.已知函数若方程有且仅有5个不相等的整数解，则方程所有整数解之和等于__________.
14.已知抛物线，点，过点作两条相互垂直的直线交于和，其中的中点为的中点为，则面积的最小值为__________.
四 解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
已知数列满足：，数列满足：.
（1）求数列的前15项和；
（2）求数列的前项和.
16.（本小题满分15分）
已知函数有两个极值点.
（1）求的取值范围；
（2）证明：.
17.（本小题满分15分）
如图，是正三角形的一条中位线，，将沿折起，得到四棱锥.
（1）证明：平面；
（2）若求点到平面的距离.
18.（本小题满分17分）
同学参加学校举办的数学比赛活动，比赛规则是：该同学每轮比赛都需要回答2道“圆锥曲线”和2道“导数”相关的题目.在每一轮比赛中，若答对题数不少于3题，则可以晋级一次，已知该同学答对每道“圆锥曲线”和“导数”题的概率分别为，且每道题答对与否相互独立.
（1）若，则在第一轮比赛中，求同学能晋级的概率；
（2）若，且每轮比赛互不影响，如果同学在此次数学比赛活动中要想晋级9次，那么理论上至少要进行多少轮比赛？
19.（本小题满分17分）
“曲线”：由半椭圆与半椭圆组成，其中，.如图，设点是相应椭圆的焦点，和分别是“曲线”与轴的交点，为线段的中点.
（1）若等边三角形的重心坐标为，求“曲线”的方程；
（2）设是“曲线”的半椭圆上任意的一点.求证：当取得最小值时，在点或处；
（3）作垂直于轴的直线与“曲线”交于两点，求线段中点的轨迹方程.
贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（二）
数学参考答案
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D A C B B C
【解析】
1.因为，所以的取值范围是，故选D.
2.由百分位数的定义，故选C.
3.令，则，则，故选D.
4.，弧长为.又扇环的面积为，
故选A.
5.当与相交和相切时有唯一公共点，公共点分别为或，则或，故选C.
6.当时，，即.由数列为正项数列可知，，又，即数列是首项为1，公差为1的等差数列，即，则.当时，；当时，成立，所以，故选B.
7.将4名教师和6名学生分成2个组，再将两组分别安排到两所高校共有：种分配方式；甲和乙不去同一所高校共有：种方法，所以，学生甲和乙不去同一所高校的概率为：，故选B.
8.关于直线对称，则是偶函数，当时，，函数在上单调递增.由，比较和的大小，构造函数，则，所以，故选C.
二 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 BD BCD ACD
【解析】
9.根据题意，依次分析选项：A.函数，当，即时，，则函数的图象恒过定点错误，不符合题意；B.解得，所以函数的定义域为，B正确；C.，设，则，又由，结合对勾函数的性质可得在区间上递增，则，C错误，不符合题意；D.函数，有，解得，即函数的定义域为；设，则，在区间上，为增函数，在区间上，为减函数，由于为定义域为的减函数，故有，故函数的单调增区间为，D正确，符合题意，故选BD.
10.对于A，离心率为，解得：，则或1.又因为，故A错；对于B，假设存在点为线段的中点，则，又，线段，联立与双曲线，整理计算得，，矛盾，所以不存在点为中点的弦，故B正确（方法2，数形结合）；对于C，由于双曲线的渐近线斜率为，结合图象易知，直线与双曲线的两支各有1个交点，则直线的斜率，故C正确；对于的内切圆与轴相切于点，则由双曲线定义得：，所以，即内切圆圆心的横坐标为，所以D正确，故选BCD.
11.A.因为，所以，解得，所以A正确；B.由曲线关于直线对称，得，解得，所以“”是“曲线关于直线对称”的充分不必要条件，所以B错误；C.因为图象平移后令，在区间上单调递增，令，所以即又因为，所以，所以C正确；D.因为，又因为，所以，则，因为，所以，所以，所以D正确，故选ACD.
三 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
答案 2 1
【解析】
12.二项式的展开式通项为，由于该二项式的展开式中常数项为40，则解得.
13.先作出的大致图象，如图，令，则，根据的图象可知：要满足题意必须有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根，结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数
相切时符合题意.因为，当且仅当时取得等号，又，易知其定义域内单调递减，即，此时有两个整数根或，而要满足有三个整数根，结合的图象知必有一根小于2，显然只有符合题意，当时，有，则，解方程，得的另一个正根为.又，此时五个整数根依次是，显然根和为.
14.设的直线方程为，则由与抛物线的方程消得：.，同理可得：，当且仅当，即时，面积有最小值为1.
四 解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
解：（1）因为，解得，
所以
.
（2），
，
当时，，
两式相减，得，即.
又当时，符合题意，
所以.
，
，
故，
两式作差得，
即，
化简得.
16.（本小题满分15分）
（1）解：，令，
即，
令，则是方程的两个正根，
则，即，
有，即.
（2）证明：，
令，
则.
令，则，
则在上单调递减.
又，
故存在，使，即，则当时，；
当时，，故在上单调递增，在上单调递减，
则.
又，则，
故，
即.
17.（本小题满分15分）
（1）证明：因为，
所以.
又因为，所以平面.
（2）解：如图，点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
三角形的边长为2，
则.
设，因为，
所以
所以.
因为，所以，
所以.
设平面，
所以
故.
又，
所以点到平面的距离为.
方法二：等体积法（略）.
18.（本小题满分17分）
解：（1）第一轮比赛中同学能晋级有两种情况：答对题为3道或4道，
概率为：
.
（2）同学在第一轮比赛中晋级的概率为
.
，
由于，
因此，
故.
令，则，
当时，可得，
同学在轮比赛中晋级的次数，
由，知，
即要想晋级9次，那么理论上至少要进行16轮比赛.
19.（本小题满分17分）
（1）解：因为等边的重心坐标为，
.
在半椭圆中，
由，
，
解得，
因此“曲线”的方程为.
（2）证明：设，则，.
，开口向下，
对称轴为：，
当或时，
取得最小值时，即在点或处.
（3）解：由题可知，直线的斜率，则设直线，
设在上，
当时，.
设在半椭圆上，
当时，.
的中点为
即线段中点的轨迹方程为：.

展开更多......

收起↑