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实数及其运算
【知识梳理】
一、实数
1.有理数和无理数统称为实数.
无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….
③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
2.实数的分类
①按定义分类 ②按正负性质分类
3.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
二、实数的运算
先乘方开方，再乘除，最后加减。有括号先算括号里面的。
注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则。
【课堂练习】
选择题
1.下列各数中，不是无理数的是( )
A. B. C. D. 两个之间依次多一个
2.下列说法正确的是( )
A. 无理数是开方开不尽的数 B. 一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数
C. 无理数分为正无理数、、负无理数 D. 绝对值最小的实数是
3.如图，若数轴上的点，，，表示数，，，，则表示数的点应在( )
A. ，之间 B. ，之间 C. ，之间 D. ，之间
4.如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为若将正方形绕点逆时针旋转，使点落到数轴上的点处，则点在数轴上所对应的数为( )
A. B. C. D.
5.实数的整数部分为，小数部分为，则( )
A. B. C. D.
6.如图，四个实数，，，在数轴上对应的点分别是，，，若，则，，，四个实数中，绝对值最大的是( )
A. B. C. D.
7.已知，则，，的大小关系是
A. B. C. D.
8.设，，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
9.绝对值小于的整数有 个．
10.若是无理数，且，请写出一个符合条件的：_______．
11.如图，实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ．
12.如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为平方厘米和平方厘米，那么阴影部分的面积是_________．
13.如图，一个半圆形量角器和直尺的边落在数轴上，量角器的直径的两个端点，分别与直尺的刻度和重合，数轴的原点和直尺上的刻度重合，点表示的数为，则点表示的数为______先将量角器绕抬起，使至，然后将其沿数轴无滑动的滚动，最后点到达数轴上的处，则表示的数为______结果保留
三、计算题
14.计算：
四、解答题
15.如图所示，将两个面积为的小正方形剪开拼成一个大正方形．
求大正方形的边长；
想在这个大正方形的四周粘上彩纸，长的彩纸够吗？请说明理由．
16.阅读理解：
因为，所以的平方根为，即，所以的算术平方根为，即，
计算： ______， ______； ______， ______．
结论： ______； ______填“”，“”，“”
计算：；
．
已知：，，请用含，的式子表示．
17.已知，且与互为相反数，求的值．
【课后巩固】
1.下列说法中，正确的个数有( )
两个无理数的和是无理数； 两个无理数的积是有理数；
无理数与有理数的和是无理数； 有理数除以无理数的商是无理数．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.已知，则以下对的估算正确的( )
A. B. C. D.
3.设记号表示求、算术平均数的运算，即，则下列等式中对于任意实数、、都成立的是( )
；
；
；
．
A. B. C. D.
4.七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”小林将图的一副七巧板拼成图的“衣服”阴影部分，并将它放入方格图中，方格图中的小正方形边长为，则这件“衣服”的周长为___取
5.已知，则的小数部分为__________．
6.计算：； ．
7.【阅读理解】
数形结合是重要的数学思想如：表示与差的绝对值，实际上也可以理解为与在数轴上所对应的两个点之间的距离进一步地，在数轴上，点，所对应的数分别用，表示，那么，两点之间的距离表示为．
利用上述结论，回答以下问题：
【尝试应用】
数轴上表示和的两点之间的距离表示为______；
若，则 ______．
【拓展延伸】
若表示一个实数，则的最小值 ______．
8.数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：折叠纸面，若使表示的点与表示的点重合，则表示的点与_________表示的点重合．
操作二：
折叠纸面，若使表示的点与表示的点重合，回答以下问题：
表示的点与数_________表示的点重合；
若数轴上，两点之间的距离为在的左侧，且，两点经折叠后重合，则，两点表示的数分别是_________．
操作三：在数轴上剪下个单位长度从到的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段如图所示若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是多少？
参考答案
【课堂练习】
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
【解析】先估算出的值，再估算出的值，即可确定出其位置．
解：，，
则可以得到的相反数在与之间，即，
，
表示数的点应在，之间．
4.【答案】
【解析】解：正方形的面积为，
正方形的边长为，即，
点表示的数为，点在点的左边，点表示的数为
根据正方形的面积求出正方形的边长，即可得出的长，从而求得点在数轴上所对应的数．
5.【答案】
【解析】首先得出的取值范围，进而分别得出，的值最后得出答案．
解：，，
，
6.【答案】
【解析】解：，
和互为相反数，在线段的中点处，
绝对值最大的是点表示的数．
根据可以得到、的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最大，本题得以解决．
7.【答案】
【解析】可根据条件，运用取特殊值的方法比较大小．
解：，设，则，．，所．
8.【答案】
【解析】解：，，，，，，
．
本题考查的是算术平方根及数字算式的变化规律，解题的关键是观察式子的结果，由特殊到一般，得出规律．
9.【答案】
10.【答案】答案不唯一
11.【答案】
【解析】解：由数轴可得：，，，，
故原式
．
直接利用算术平方根，立方根、绝对值的性质等知识分别化简得出答案．
12.【答案】
【解析】先根据正方形的面积得到两正方形的边长分别为和，再表示阴影部分的长和宽，然后根据矩形的面积公式求解．
解：根据题意得：．
13.【答案】
【解析】解：量角器的直径的两个端点，分别与直尺的刻度和重合，
，
数轴的原点和直尺上的刻度重合，点表示的数为，
直尺上的个单位等于数轴上个单位，
点表示的数为，
，
量角器的半径为，
量角器的半圆长度为，
，
表示的数为．
故答案为：，．
首先根据题意求出直尺上的个单位等于数轴上个单位，即可得到点表示的数为，然后求出，得到量角器的半径为，，然后即可得到表示的数．
14.【答案】解：原式；
原式．
15.【答案】【小题】解：因为两个面积为的小正方形按如图所示的方式拼成一个大正方形，
所以大正方形的面积为，
所以大正方形的边长为 ．
【小题】解：不够，
理由如下：因为大正方形的边长为 ，
平均分到每条边的彩纸长，
且 ，所以长的彩纸不够．
16.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，，
，
；
，且，，
．
本题考查二次根式的乘法运算，理解算术平方根的概念，准确化简各数是解题关键．
17.【答案】解：，即，
或或，解得：或或，
与互为相反数，即，
当时，；当时，；当时，．
【解析】本题考查了立方根，以及实数的性质，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键，已知第一个等式变形得到立方根等于本身确定出的值，再利用相反数之和为列出等式，将的值代入即可求出的值．
【课后巩固】
1.【答案】
2.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
．
3.【答案】
【解析】解：中，，所以成立；
中，，所以成立；
中，，所以不成立；
中，所以成立．
根据材料新定义运算的描述，把等式的两边进行变形比较即可．
4.【答案】
【解析】本题考查了图形的剪拼和实数的运算．
本题根据七巧板的特点求出图形的直角边的边长，然后根据三角形面积求出图正方形的边长，从而得出答案．
解：由于小正方形边长为，
则图形的两条直角边为，
设图大正方形边长为，
则根据和的面积得：
，解得：，
图形较长的边长为，
则：“衣服”的周长为：．
5.【答案】
【解析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，估算无理数的大小，解答本题的关键是掌握根据二次根式有意义的条件求字母值的思路与方法；首先根据二次根式有意义的条件求出的值、的值，然后估算出的大小范围，即可求解．
解：根据二次根式有意义的条件可得，解得，
，
，
，
，
的整数部分是，小数部分是，
的小数部分为．
6.【答案】解：；
．
7.【答案】 或
【解析】解：由题意得，数轴上表示和的两点之间的距离为．
由题意，，
或．
或．
由题意，当时，；
当时，；
当时，，
当时，的最小值．
依据题意得，数轴上表示和的两点之间的距离为，进而得解；
依据题意，由，从而或，进而可以判断得解；
依据题意，分当时、当时和当时，分别进行判断可以得解．
本题主要考查了实数与数轴、绝对值、实数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用实数的性质是关键．
8.【答案】【小题】
【小题】 ，
【小题】解：设折痕处对应的点所表示的数是，
如图所示，当时，设，，，
， ，
则 ， ， ， ；
如图所示，当时，设，，，
， ，
则 ， ， ， ；
如图所示，当时，设，，，
， ，
则 ， ， ．
综上所述，折痕处对应的点所表示的数可能是 或 或 ．
【解析】本题考查了数轴的知识，根据对折叠的性质找到折痕的点为原点，可以得出与重合；
本题考查了实数与数轴，根据对称性找到折痕的点为，
设表示的点与数表示的点重合，
则， ；
数轴上，两点之间的距离为，
数轴上，两点到折痕表示的点的距离都为，
在的左侧，，，
，两点表示的数分别是和．
本题考查了实数和数轴，分三种情况进行讨论：如图所示，当时，如图所示，当时，如图所示，当时，求出折痕处对应的点所表示的数的值即可．
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