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2024-2025学年山东省实验中学高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，，则( )
A. ， B. ，
C. D.
2.已知命题：“，”，则它的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，是实数，则“且”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为，则的值为( )
A. B.
C. 或 D. 或
5.设，，若，则实数的值不可以为( )
A. B. C. D.
6.设，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
10.下列不等式的解集正确的是( )
A. 的解集是
B. 的解集是
C. 的解集是
D. 的解集是
11.已知，，且，则( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为 ．
13.分段函数可以表示为，分段函数可表示为，仿照上述式子，分段函数可表示为______．
14.对任意的正实数，，，满足，则的最小值为______．
四、解答题：本题共3小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，．
求，；
当时，求的非空真子集个数．
16.本小题分
已知函数．
若不等式的解集为，求，的值；
若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
将全体自然数填入如表所示的行无穷列的表格中，每格只填一个数字，不同格内的数字不同．
第行
第行
第行
对于正整数，，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对任意，都有，，分别在表格的不同行，则称数对为自然数集的“友好数对”．
Ⅰ试判断数对是否是的“友好数对”，并说明理由；
Ⅱ试判断数对是否是的“友好数对”，并说明理由；
Ⅲ若，请选择一个数，使得数对是的“友好数对”，写出相应的表格填法；并归纳给出使得数对是的“友好数对”的一个充分条件结论不要求证明．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，，
则，
．
当时，，
则的非空真子集有，共个．
16.解：原不等式可化为，因为该不等式解集为，
可知的两根为和，
则，即，
故解得；
若对任意的，恒成立，
所以对任意的，恒成立，
即对任意的恒成立，
所以，
又因为，，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以实数的取值范围是；
当时，，
因为，所以函数的值域是，
因为对任意的，总存在，使成立，
所以的值域是的值域的子集，
当时，，则，解得，
当时，，则，解得，
当时，，显然不成立，
综上所述，实数的取值范围是．
17.解：Ⅰ，是，
将第一行放，第二行放，第三行放
显然对，不论被整除余数为，，，都会使，，在不同行，
Ⅱ，不是
不妨将放在第一行，放在第二行，放在第三行，
由题意、、均不同行，
若在第一行，则在第三行，
这与、、不同行矛盾；
若在第三行，则与、、不同行矛盾；
若在第二行，则与、、不同行矛盾；
无解．
Ⅲ存在．令即可
构造方式如下：
，经验证满足要求．
使得数对是的“友好数对”的一个充分条件为：或．
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