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高三10月数学参考答案：
高三年级数学调研组
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D B D D A D ACD BCD
题号 11
答案 ABD
12． 13．. 14．64
15．（1）显然，的定义域为，求导得，
当时，在上单调递增；
当时，由，得，令，得，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的单调递增区间是；
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）由（1）知，当且仅当时，存在最大值，且最大值为.，
设，求导得，函数在上单调递增，
又，则由，得，
所以的取值范围为.
16． （1）∵，∴．
∵,∴．
∵，∴．
综上，，，．
（2）
任取，设，，
则，
其中，，∴．
∵，
其中，，∴．
综上，，．
17．（1）由题设，
所以，而，
所以
（2）由题设，
则，
所以，又在上单调递增，
当时，，
当时，，
所以，求n的最小值6．
18．（1），
令，得或，又，
所以当时，；
当时，，
所以；
（2）（i）由（1）知，则，
得，令，
由，得，即，
对于方程，，
当即时，无零点；
当即时，有1个零点；
当即时，方程的解为，
若且，即，有2个零点；
若，有1个零点；
若，即，无零点；
综上，当或时，无零点；
当或时，有1个零点；
当时，有2个零点.
（ii）若有2个零点，则是方程的两个根，
由韦达定理得，
又，所以，
而，故，
因为在上单调递减，所以，
故，即证.
19．（1），，，，，
，，
由得，解得，因此.
设，，
，令，则，
因为在上单调递增，且，，
故存在使，且在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以在上存在唯一的零点，使得，
且在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，即.
（2）由（1）知等价于，且，
设，，则，
，
令，则，
令，则，所以在上单调递减，
若，则，
所以在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，所以；
若，则，而，
故存在，使，
从而在上，，单调递增，，
于是单调递增，不符合题意.
综上所述，的取值范围为.
（3）.
由（2）知，，
所以，误差.2025届高三年级10月质量检测考试
数学
命题单位：高三年级数学调研组 2024.10
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本次考试范围：集合与常用逻辑用语；一元二次方程、函数和不等式；函数与导数；三角函数和解三角形；数列。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知函数的定义域为，且，若，则的取值范围为
A． B．
C． D．
3．已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是
A． B．
C． D．
4．已知函数的部分图象如图所示，的解析式为
A．
B．
C．
D．
5．已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为
A． B．0 C．1 D．2
6．若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
7．设且，n为正整数，集合．有以下两个命题：①对任意a，存在n，使得集合S中至少有2个元素；②若存在两个n，使得S中只有1个元素，则，那么
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是假命题 D．①、②都是真命题
8．设数列的前项和为，数学家墨卡托、牛顿、Gregory Saint-Vincen曾分别独立发现当足够大时，会趋向于一常数，先给出以下三个数学事实：①；②如果求数列前项和时存在给其中的某些项用括号括起后得到，，则；③.基于以上数学事实我们可以推出：将数列的项按某种规律重新排列（如：将第个偶数项排到第个奇数项后）后前项和在足够大时
A．最终一定趋于 B．最终一定不趋于任何一个常数
C．最终一定趋于某一常数但不一定是 D．以上均不正确
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数，记的最小值为，数列的前n项和为，下列说法正确的是
A． B．
C． D．若数列满足，则
10．已知，（参考数据），则下列说法正确的是
A．是周期为的周期函数
B．在上单调递增
C．在内共有4个极值点
D．设，则在上共有5个零点
11．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则
A．三个内角满足关系
B．的周长为
C．若的角平分线与交于D，则的长为
D．若O为的外心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知角的终边经过点，则 ， ．
13．函数的最大值为 ．
14．已知，，，为有穷整数数列，对于给定的正整数m，若对于任意的，在中存在，，，使得，则称为“同心圆数列”．若为“同心圆数列”，则k的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若存在最大值，且最大值小于0，求的取值范围.
16．（15分）已知集合A是由元素x组成的，其中，m，．
(1)设，，，试判断，与A之间的关系；
(2)任取，试判断，与A之间的关系．
17．（15分）已知公差d不为0的等差数列的前n项和为.
(1)求的通项公式；
(2)令，记为数列的前n项和，若，求n的最小值.
18．（17分）若，是函数在内的两个零点，则定义的型零点旋转函数为，且.将函数在内所有的零点从小到大排列后，记第个零点为，集合.
(1)请用列举法写出.
(2)设函数是的1型零点旋转函数，函数，，.
（i）讨论的零点个数；
（ii）若有两个零点，，证明：.
19．（17分）拟合（Fittiong）和插值（Imorterpolation）都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法.拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数据可能包含误差的情况，比如线性回归就是一种拟合方法；而插值方法要求近似函数经过所有的已知数据点.适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为移项式插值.例如，为了得到的近似值，我们对函数进行多项式插值.设一次函数满足，可得在上的一次插值多项式，由此可计算出的“近似值”，显然这个“近似值”与真实值的误差较大.为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特（Hermite）插值多项式.已知函数在上的二次埃尔米特插值多项式满足
(1)求，并证明当时，；
(2)若当时，，求实数的取值范围；
(3)利用计算的近似值，并证明其误差不超过.
（参考数据：；结果精确到0.001

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