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高中数学常用公式及常用结论大全
一． 集合， （第 1 周）
1. 元素与集合的关系
x A x CUA , x CU A x A .
2.德摩根公式
CU (A B) CU A CUB;CU (A B) CU A CUB .
3.包含关系
A B A A B B A B CUB CUA
A CUB CU A B R
2．集合{a1,a2 , ,an}的子集个数共有 2
n 个；真子集有 2n –1 个；
非空子集有 2n –1 个；非空的真子集有 2n –2 个.
二． 二次函数，（第 1 周）
3.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式 f (x) ax2 bx c(a 0) ;
(2)顶点式 f (x) a(x h)2 k(a 0) ;
(3)零点式 f (x) a(x x1)(x x2)(a 0) .
4.充要条件
（1）充分条件：若 p q，则 p是 q充分条件.
（2）必要条件：若 q p，则 p是 q必要条件.
（3）充要条件：若 p q，且 q p，则 p 是 q充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
5.若将函数 y f (x)的图象右移 a、上移b个单位，得到函数 y f (x a) b的图
象；若将曲线 f (x, y) 0 的图象右移 a、上移b个单位，得到曲线 f (x a, y b) 0
的图象.
三．指数函数（第 2 周）
6.分数指数幂
m
(1) a n 1 （ a 0,m,n N ，且 n 1）.
n am
m

(2) a n 1 m （ a 0,m,n N
，且 n 1）.
a n
7．根式的性质（1） ( n a )n a；（2）当 n为奇数时， n an a ；
a,a 0
当 n n an | a | 为偶数时， .
a,a 0
8．有理指数幂的运算性质
(1) ar as ar s (a 0,r ,s Q) .
(2) (ar )s ars (a 0, r, s Q) .
(3) (ab)r arbr (a 0,b 0, r Q) .
9.指数式与对数式的互化式 log ba N b a N (a 0,a 1,N 0) .
四．对数函数（第 3 周）
10.对数的换底公式
log N logm Na ( a 0 ,且 a 1 ,m 0 ,且m 1, N 0 ).logm a
推论 log bn nm log a b (a 0 ,且 a 1 ,m,n 0 ,且m 1, n 1 , N 0 ).a m
11．对数的四则运算法则
若 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1) loga (MN) loga M loga N ;
(2) log Ma loga M loga N ;N
(3) log na M n loga M (n R) .
五．等差，等比数列，（第 3 周）
12.数列的同项公式与前 n 项的和的关系
s1, n 1an ( 数列{an}的前 n 项的和为 sn a1 a2 as s n
).
n n 1,n 2
13.等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d dn a1 d (n N
*) ；
其前 n 项和公式为 s n(a1 an ) na n(n 1) d d n2 1n 1 (a d )n .2 2 2 1 2
14.等比数列的通项公式 a a qn 1 a 1n 1 q
n (n N * ) ；
q
a n1(1 q ) a a,q 1 1 n
q ,q 1
其前 n 项的和公式为 s 1 q 或 s n n 1 q .

na1,q 1 na1,q 1
六．三角函数同角，诱导公式，和角与差，倍角和半角公式公式（第 4 周）
15.同角三角函数的基本关系式，诱导公式
⑴ tan sin
cos
⑵ sin2 cos2 1
⑶ 1 tan 2 sec2
诱导公式
角 A
A 3A A A 2
函数 2 2
sin A cos sin cos sin
cos A sin cos sin cos
tan A cot tan cot tan
cot A tan cot tan cot
16.和角与差角公式
sin( ) sin cos cos sin ；
cos( ) cos cos sin sin ；
tan( ) tan tan 。
1 tan tan
a sin bcos = a2 b2 sin( ) (辅助角 所在象限由点 (a,b)的象限决
定, tan b ).
a
17. 倍角和半角公式
sin 2 sin cos ；
cos 2 cos2 sin 2 2cos2 1 1 2sin 2 ；
tan 2 2 tan .
1 tan 2
sin 1 cos
2 2
cos 1 cos
2 2
18.三角函数的周期公式
函数 y sin( x )，x∈R 及函数 y cos( x )，x∈R(A,ω, 为常数，且 A
≠0，ω＞0)的周期T 2 ；

函数 y tan( x ) ， x k ,k Z (A,ω, 为常数，且 A≠0，ω＞0)的周
2
期T .

七．正弦定理，余弦定理（第 5 周）
19.正弦定理 a b c 2R .
sin A sin B sinC
20.余弦定理
a2 b2 c2 2bc cosA；b2 c2 a2 2ca cosB； c2 a2 b2 2ab cosC .
21.三角形面积定理
（1） S 1 ah 1 bh 1 a b chc （ ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高）.2 2 2
（2） S 1 ab sinC 1 bc sin A 1 ca sinB .
2 2 2
22.三角形内角和定理
在△ABC 中，有 A B C C (A B )
C A B
2C 2 2(A B) 。
2 2 2
八．平面向量向量相关知识点（第 6 周）
23.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
24.向量的数量积的运算律：
(1) a·b= b·a （交换律）;
(2)（ a）·b= （a·b）= a·b= a·（ b）;
(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
25．向量平行的坐标表示
设 a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 )，且 b 0，则 a b(b 0) x1 y2 x2 y1 0 .
26. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ．
27.平面向量的坐标运算
(1)设 a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 )，则 a+b= (x1 x2 , y1 y2 ) .
(2)设 a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 )，则 a-b= (x1 x2 , y1 y2 ) .

(3)设 A (x1, y1) ，B (x2 , y2 ) ,则 AB OB OA (x2 x1, y2 y1) .
(4)设 a= (x, y), R ，则 a= ( x, y) .
(5)设 a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 )，则 a·b= (x1x2 y1y2 ) .
28.两向量的夹角公式 cos x1x2 y1y 2 (a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 ) ).
x21 y
2
1 x
2 y22 2
29.平面两点间的距离公式

dA,B = | AB | AB AB (x2 x1)
2 (y2 y1)
2 (A (x1, y1) ，B (x2 , y2 ) ).
30.向量的平行与垂直
设 a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 )，且 b 0，则
A||b b=λa x1 y2 x2 y1 0 .
a b(a 0) a·b=0 x1x2 y1y2 0 .
九．常用不等式相关知识点（第 7 周）
31.常用不等式：
（1） a,b R a2 b2 2ab (当且仅当 a＝b 时取“=”号)．
（2） a,b a b R ab (当且仅当 a＝b 时取“=”号)．
2
（3）柯西不等式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 ,a,b,c,d R.
（4） a b a b .
32.最值定理
已知 x, y都是正数，则有
（1）若积 xy是定值 p，则当 x y 时和 x y有最小值 2 p ；
（2）若和 x y是定值 s，则当 x y 时积 xy有最大值 1 s 2 .
4
十．直线，圆相关知识（第 7 周）
33.斜率公式 k y2 y 1 （ P1(x1, y1)、 P2 (x2 , y2 )）.x2 x1
34.直线的五种方程
（1）点斜式 y y1 k (x x1) (直线 l过点 P1(x1, y1)，且斜率为 k )．
（2）斜截式 y kx b (b 为直线 l在 y 轴上的截距).
（3）两点式 y y1 x x 1 ( y1 y2 )( P1(x1, y1)、P2 (x2 , y ) ( xy y x x 2 1
x2 )).
2 1 2 1
(4)截距式 x y 1( a、b分别为直线的横、纵截距， a、b 0 )
a b
（5）一般式 Ax By C 0 (其中 A、B 不同时为 0).
35.两条直线的平行和垂直
(1)若 l1 : y k1x b1 ， l2 : y k2x b2
① l1 || l2 k1 k2 ,b1 b2 ;
② l1 l2 k1k2 1 .
(2)若 l1 : A1x B1y C1 0 , l2 : A2x B 2 y C2 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,
① l1 || l
A1 B1 C1
2 ；A2 B2 C2
② l1 l2 A1A2 B1B2 0；
36.点到直线的距离
d | Ax0 By0 C | (点 P(x0 , y0 ) ,直线 l： Ax By C 0 ).
A2 B2
37. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 (x a)2 (y b)2 r 2 .
（2）圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E 2 4F ＞0).
十一。圆锥曲线相关知识（第 8 周）
2 2 x a cos
38.椭圆 x y2 2 1(a b 0) 的参数方程是a b
.
y b sin
39．椭圆的的内外部
x2 2 2 2（1）点 P(x0 , y0 )在椭圆
y x y
2 2 1(a b 0) 的内部
0 02 2 1 .a b a b
2 2 2 2
（2）点 P(x0 , y0 )在椭圆
x y
2 2 1(a b 0) 的外部
x0 y 0 1 .
a b a2 b2
40.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB (1 k 2)(x x )22 1 | x1 x2 | 1 tan
2 | y1 y2 | 1 co t
2 （弦端点
A (x1 , y1 ),B(x2 , y2 ) ，
43.双曲线的方程与渐近线方程的关系
2 2 2 2
(1）若双曲线方程为 x y2 2 1 渐近线方程：
x y
0 y b2 2 x .a b a b a
2
(2)若双曲线与 x y
2 2 2
2 2 1有公共渐近线，可设为
x y
2 2 （ 0，焦点a b a b
在 x 轴上， 0，焦点在 y 轴上）.
十二。空间向量向量相关知识点（第 9 周）
44.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
45.共线向量定理
对空间任意两个向量 a、b(b≠0 )，a∥b 存在实数λ使 a=λb．
47.空间向量基本定理
如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有
序实数组
x，y，z，使 p＝xa＋yb＋zc．
48.向量的直角坐标运算
设 a＝ (a1,a2 ,a3)，b＝ (b1,b2 ,b3)则
(1)a＋b＝ (a1 b1,a2 b2 ,a3 b3) ；
(2)a－b＝ (a1 b1,a2 b2 ,a3 b3) ；
(3)λa＝ ( a1, a2 , a3) (λ∈R)；
(4)a·b＝ a1b1 a2b2 a3b3 ；

49.设 A (x1, y1, z1) ，B (x2 , y2 , z2 ) ，则 AB OB OA= (x2 x1, y2 y1, z2 z1) 。
50．空间的线线平行或垂直
x1 xr r r r r r r r 2
设 a (x1, y1, z1)，b (x , y , z

2 2 2 ) ，则 aPb a b(b 0) y1 y2 ；

z1 z2
r r r r
a b a b 0 x1x2 y1y2 z1z2 0 .
51.空间两点间的距离公式
若 A (x1, y1, z1) ，B (x , y , z ) ，则 d (x x )
2 (y y )2 (z 22 2 2 A,B 2 1 2 1 2 z1) .
52. 十三。初等几何相关知识点（第 10 周）
在下列公式中，字母 R、r 表示半径，h 表示高，l 表示斜高，s 表示弧长。
1）．圆；扇形
圆周长 2 r ；圆面积 r 2
扇形：
圆弧长 s r （圆心角 以弧度计）
r
（圆心角 以度计）
180
扇形面积 1 rs 1 r 2
2 2
2）．正圆锥；正棱锥
正圆锥：体积 1 r 2h
3
侧面积 rl
全面积 r(r l)
正棱锥：体积 1 底面积 高
3
侧面积 1 斜高 底周长
2
3）．圆台：体积 h (R2 r 2 Rr)；侧面积 l(R r)
3
4）．球：体积 4 r3 ；表面积 4 r 2
3
十四。排列，组合相关知识点（第 11 周）
53.分类计数原理（加法原理） N m1 m2 mn .
54.分步计数原理（乘法原理） N m1 m2 mn .
55.排列数公式
Amn = n(n 1) (n m
n！
1)= .( n，m∈N*，且m n )．
(n m)！
注:规定0! 1.
56.组合数公式
AmC m= n = n(n 1) (n m 1) = n！n m ( n∈N
*，m N ，且m n ).
Am 1 2 m m！ (n m)！
57.组合数的两个性质
(1)C mn =C
n m ；(2) C m+C m 1n n n =C
m
n 1 。 注:规定C
0
n 1 .
58.二项式定理 (a b)n C 0a n C1a n 1b C 2a n 2b 2 r n r r n nn n n Cna b Cnb ；
二项展开式的通项公式 T r n r rr 1 Cna b (r 0，1，2 ，n) .
十五。概率相关知识点（第 12 周）
59.等可能性事件的概率 P(A) m .
n
60.互斥事件 A，B 分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
n个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
61.独立事件 A，B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).
62.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 Pn (k) C
kP kn (1 P)
n k .
63.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1） Pi 0(i 1,2, ) ；（2） P1 P2 1 .
64.数学期望 E x1P1 x2P2 xnPn
65.数学期望的性质 E(a b) aE( ) b .
66.方差 D x1 E
2 p 21 x2 E p2 x n E
2 p n
67.方差的性质 D a b a 2D ；
68.标准差 = D .
69. 函数 y f (x)在点 x0 处的导数的几何意义
函数 y f (x)在点 x0 处的导数是曲线 y f (x)在 P(x0 , f (x0 ))处的切线的斜率
f (x0 ) ，相应的切线方程是 y y0 f (x0 )(x x0 ) .
十六。导数相关知识点（第 13 周）
70.几种常见函数的导数
(1) C 0（C 为常数）。
(2) (xn )
' nxn 1(n Q) 。
(3) (sin x) cos x。
(4) (cos x) sin x。
(5) (ln x) 1 ； (loga x ) 1 log e
x x a
。
(6) (ex ) ex ; (a x ) a x lna .
71.导数的运算法则
（1） (u v) ' u ' v ' .
（2） (uv) ' u 'v uv ' .
u u 'v uv '（3） ( ) ' (v 0) .
v v2
72.判别 f (x0 )是极大（小）值的方法
当函数 f (x)在点 x0 处连续时，
（1）如果在 x0 附近的左侧 f (x) 0，右侧 f (x) 0，则 f (x0 )是极大值；
（2）如果在 x0 附近的左侧 f (x) 0，右侧 f (x) 0，则 f (x0 )是极小值.
十七。定积分相关知识点（第 13 周）
1．定积分性质和运算
b b b
⑴ [k1 f (x) k2g(x)]dx k1 f (x)dx k g(x)dxa a 2 a
其中 k1 ,k2 为任意常数。
b c b
⑵ f (x)dx f (x)dx f (x)dxa a c
2．牛顿-莱布尼兹公式
若函数 f(x)在区间[a，b]上连续，F(x)是 f(x)的一个原函数，即 F (x) f (x)，
则
b
f (x)dx F (x) |ba F (b) F (a)a
十八。复数相关知识点（第 14 周）
73.复数的相等 a bi c di a c ,b d .（ a,b,c,d R）
74.复数 z a bi的模（或绝对值） | z |= | a bi |= a2 b2 .
75.复数的四则运算法则
(1) (a bi) (c di) (a c) (b d )i ;
(2) (a bi) (c di) (a c) (b d )i ;
(3) (a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i ;
(4) (a bi) (c di) ac bd bc ad
c2 d 2
2 2 i(c di 0) .c d
76．几个统计常量
（1）样本均值. ;
（2）样本方差. ;

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