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三角函数、解三角形
一、任意角和弧度制及任意角的三角函数
1.任意角的概念
(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角．
①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角．
②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角．
③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角．
(2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
(3)象限角：角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限.
象限角
轴线角
2．弧度制
(1)1度的角：__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角__.
(2)1弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__.
(3)角度与弧度的换算：
360°＝__2π__rad,1°＝____rad,1rad＝(____)≈57°18′.
(4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|·r__，面积S＝__|α|r2__＝__lr__.
3．任意角的三角函数定义
(1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝____，cosα＝____，tanα＝____.
(2)三角函数在各象限的符号是：
sinα cosα tanα
Ⅰ __＋__ __＋__ __＋__
Ⅱ __＋__ __－__ __－__
Ⅲ __－__ __－__ __＋__
Ⅳ __－__ __＋__ __－__
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线．
4．终边相同的角的三角函数
sin(α＋k·2π)＝__sinα__，
cos(α＋k·2π)＝__cosα__，
tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中k∈Z)，
即终边相同的角的同一三角函数的值相等．
重要结论
1．终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角α终边相同的角时，单位必须一致．
2．确定(k∈N*)的终边位置的方法
(1)讨论法：
①用终边相同角的形式表示出角α的围．
②写出的围．
③根据k的可能取值讨论确定的终边所在位置．
(2)等分象限角的方法：已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求是第几象限角．
①等分：将每个象限分成k等份．
②标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴．
③选答：出现数字m的区域，即为所在的象限．
如判断象限问题可采用等分象限法．
二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：__sin2x＋cos2x＝1__. (2)商数关系：__＝tanx__.
2．三角函数的诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sinα __－sinα__ __－sinα__ __sinα__ __cosα__ __cosα__
余弦 cosα __－cosα__ __cosα__ __－cosα__ __sinα__ __－sinα__
正切 tanα __tanα__ __－tanα__ __－tanα__
重要结论
1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sinx＝tanx·cosx，tan2x＋1＝，(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx等．
2．特殊角的三角函数值表
角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 270°
角α的弧度数 0 π
sinα 0 1 0 －1
cosα 1 0 － － －1 0
tanα 0 1 － － 0
3.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·＋α中，将α看成锐角时k·＋α所在的象限．
4.sinx＋cosx、sinx－cosx、sinxcosx之间的关系
sinx＋cosx、sinx－cosx、sinxcosx之间的关系为(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx，(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx，(sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2.
因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．　
三、两角和与差的三角函数　二倍角公式
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝__2sinαcosα__；
(2)cos2α＝__cos2α－sin2α__＝__2cos2α__－1＝1－__2sin2α__；
(3)tan2α＝____(α≠＋且α≠kπ＋，k∈Z)．
3．半角公式(不要求记忆)
(1)sin＝±；
(2)cos＝±；
(3)tan＝±＝＝.
重要结论
1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1 tanα·tanβ)．
＝tan(－α)；＝tan(＋α)
cosα＝，sin2α＝，cos2α＝，1±sin2α＝(sinα±cosx)2.
4．辅助角(“二合一”)公式：
asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，
其中cosφ＝____，sinφ＝____.
5.三角形中的三角函数问题
在三角形中，常用的角的变形结论有：A＋B＝π－C；2A＋2B＋2C＝2π；＋＋＝.
三角函数的结论有：sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sin＝cos，cos＝sin.
A>B sinA>sinB cosA四、三角函数的图象与性质
1．周期函数的定义及周期的概念
(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做__周期函数__.非零常数T叫做这个函数的__周期__.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小__正周期__.(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，__2kπ(k∈Z，k≠0)__都是它们的周期，最小正周期是__2π__.
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
图象
定义域 x∈R x∈R x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z
值域 __{y|－1≤y≤1}__ __{y|－1≤y≤1}__ __R__
单调性 在__ [－＋2kπ，＋2kπ] __，k∈Z上递增；在__ [＋2kπ，＋2kπ] __，k∈Z上递减 在__ [(2k－1)π，2kπ] __，k∈Z上递增；在__ [2kπ，(2k＋1)π] __，k∈Z上递减 在(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z上递增
最值 x＝__＋2kπ(k∈Z)__ 时，ymax＝1；x＝__－＋2kπ(k∈Z)__ 时，ymin＝－1 x＝__2kπ(k∈Z)__ 时，ymax＝1；x＝__π＋2kπ(k∈Z)__ 时，ymin＝－1 无最值
奇偶性 __奇__ __偶__ __奇__
对称性 对称中心 __(kπ，0)，k∈Z__ __, k∈Z __ (，0)，k∈Z__
对称轴 __x＝kπ＋，k∈Z__ __x＝kπ，k∈Z__ 无对称轴
最小正周期 __2π__ __2π__ __π__
重要结论
1．函数y＝sinx，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是__(0,0)__、__(，1)__、__(π，0)__、__(，－1)__、__(2π，0)__.
函数y＝cosx，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是__(0,1)__、__(，0)__、__(π，－1)__、__(，0)__、__(2π，1)__.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.
3．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．
4．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．
五、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
1．五点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的图象
(1)列表：
X＝ω·x＋φ 0 π 2π
x __－__ __－__ __－__ __－__ __－__
sinx 0 1 0 －1 0
y __0__ __A__ __0__ __－A__ __0__
(2)描点：__(－，0)__，__(－，A)__，(－，0)，(－，－A)__，(－，0)__.
(3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y＝Asin(ωx＋φ)在区间长度为一个周期的图象．
(4)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象
2．由函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞)的物理意义
(1)振幅为A. (2)周期T＝____.
(3)频率f＝____＝____. (4)相位是__ωx＋φ__. (5)初相是φ.
重要结论
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间的“长度 ”为.
2．“五点法”作图中的五个点：①y＝Asin(ωx＋φ)，两个最值点，三个零点；②y＝Acos(ωx＋φ)，两个零点，三个最值点．3．正弦曲线y＝sinx向左平移个单位即得余弦曲线y＝cosx.
六、正弦定理、余弦定理
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
容 __＝＝__＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝__b2＋c2－2bccosA__b2＝__a2＋c2－2accosB__c2＝__a2＋b2－2abcosC__
常见变形 ①a＝__2RsinA__，b＝__2RsinB__，c＝__2RsinC__；②sinA＝____，sinB＝____，sinC＝____；③a?b?c＝__sinA?sinB?sinC__④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA＝____；cosB＝____；cosC＝____
解决解斜三角形的问题 (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求各角；(2)已知两边一角，求第三边和其他两个角
2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a< bsinA a＝bsinA bsinA< ab a≤b
解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解
3．三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．
(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为切圆半径)．
重要结论
在△ABC中，常有以下结论
1．∠A＋∠B＋∠C＝π.
2．在三角形边对大角，大角对大边．
3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin＝cos，cos＝sin.
5．tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.
6．∠A>∠B a>b sinA>sinB cosA7．三角形式的余弦定理sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，
sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，
sin2C＝sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC.
8．若A为最大的角，则A∈[，π)；若A为最小的角，则A∈(0，]；若A、B、C成等差数列，则B＝.
9.三角形形状的判定方法
(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的角关系，如sinA＝sinB A＝B；sin(A－B)＝0 A＝B；sin2A＝sin2B A＝B或A＋B＝等．
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinA＝，cosA＝等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．
(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．