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3.1.1椭圆及其标准方程——高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时优化训练
1.如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C.或 D.且
2.长轴长为10，焦点坐标为，的椭圆方程为( )
A. B. C. D.
3.若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
4.已知椭圆方程为的一个焦点是，那么( )
A. B. C.1 D.
5.若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
6.已知，是两个定点，且（a是正常数），动点P满足，则动点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.线段 C.椭圆或线段 D.直线
7.（多选）若椭圆的焦距是2，则m的值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.（多选）已知，分别是椭圆的上，下焦点，点P在椭圆M上，则( )
A.M的长轴长为 B.M的短轴长为
C.的坐标为 D.的最小值为
9.（多选）彗星是太阳系中具有明亮尾巴的天体，它们的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.某彗星测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心约2个天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心约6个天文单位，且近日点、远日点及太阳中心同在一条直线上，则轨道方程可以为（以“天文单位”为单位）( )
A. B. C. D.
10.已知椭圆的焦点在x轴上且焦距为2，则m的值为________
11.已知椭圆的一个焦点坐标为，则______.
12.已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是__________.
13.如图所示分别为椭圆的左、右两个焦点， 为两个顶点，已知椭圆上的点到两点的距离之和为4.
(1)求椭圆的方程
(2)过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于两点，求的面积
14.已知P是离心率为的椭圆上任意一点，F是椭圆C的右焦点，且的最小值是1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若，求直线l的方程.
15.已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的四边形面积为．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线交椭圆于，，且，求证为定值．
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以，即，解得且.故选：D.
2.答案：B
解析：由题得椭圆焦点在y轴上，且，所以，由焦点坐标为，，
所以，所以，所以椭圆的标准方程为：，故选：B.
3.答案：C
解析：变形为，要表示椭圆需要满足，解得.故选：C.
4.答案：A
解析：将椭圆方程化为标准方程得.因为一个焦点坐标为，所以，，.又，所以，解得.故选A.
5.答案：A
解析：由题意，得点到点与点的距离之和为8.又，所以动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，所以，所以椭圆的方程为.故选A.
6.答案：C
解析：因为（当且仅当时，等号成立），所以，
当且时，，此时动点P的轨迹是椭圆；当时，，此时动点P的轨迹是线段.故选C.
7.答案：AC
解析：当椭圆的焦点在x轴上时，，，.
又因为，所以.所以，所以；
当椭圆的焦点在轴上时，，，
所以，所以.故选：AC
8.答案：ABD
解析：由椭圆，可得，，则，
所以，椭圆M的长轴长为，M的短轴长为，上焦点的坐标为，
根据椭圆的几何性质，得到的最小值为.故选：ABD.
9.答案：AC
解析：由已知可得，，则，，，
当椭圆焦点在x轴上时，椭圆方程为；当椭圆焦点在y轴上时，椭圆方程为，即；故选：AC.
10.答案：5
解析：由题意知，即.因为椭圆的焦点在x轴上，所以.
11.答案：1
解析：由已知知椭圆的焦点在y轴上，且半焦距，则，解得.
故答案为：1.
12.答案：且
解析：由方程表示椭圆，则，可得且.故答案为：且
13.答案：(1)；(2).
解析：(1)由已知∴
又点在椭圆上，
故椭圆方程为
(2)由1知
所以，
所以所在直线方程为，
由，得
设则，所以，所以.
14.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得，，故，
又，故，
设，，则，即，
，
故当时，取得最小值，最小值为，故，
则，，椭圆方程为；
（2）当过点F的直线l的斜率为0时，，不合要求，
当过点F的直线l的斜率不为0时，设为，
联立得，恒成立，
设，，则，
故，
故，解得，故直线l方程为.
15.答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由椭圆的离心率为，可设，，则．
四个顶点构成的四边形为菱形，其面积为，
即，即椭圆方程为：．
（2），
联立直线与椭圆，消去y可得，
，，
得，
整理得，
而，
所以为定值．

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