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第26章反比例函数
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，y是x的反比例函数的是
A. B. C. D.
2.已知反比例函数的图象的两分支分别在第二、四象限内，则k的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4.某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温为时，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.当水温为时，接通电源后，水温和时间的关系如图所示，水温从降到所用的时间是( )
A. 27分钟 B. 20分钟 C. 13分钟 D. 7分钟
5.如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，点P是反比例函数图象上的一点，轴于F点，且面积为若点也是该图象上的一点，则m的值为( )
A.
B.
C. 2
D. 4
7.已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OD：：3，则k的值为( )
A. 12
B.
C. 16
D.
9.若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为( )
A. B. C. D.
10.方程的根可视为直线与双曲线交点的横坐标，根据此法可推断方程的实数根所在的范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知函数是反比例函数，则__________.
12.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点B在y轴上，点C在反比例函数的图象上，则菱形OABC的面积为__________.
13.如图，点M是函数与的图象在第一象限内的交点，，则k的值为__________.
14.如图，在矩形ABCD中，，，P为边AD上一动点，于点设，，则y关于x的函数解析式为__________.
15.如图，在平面直角坐标系中， OABC的边OA在y轴的正半轴上，反比例函数的图象与 OABC分别交AB于其中点D，交OC于点E，且，连接AE，DE，若，则k的值为__________.
16.将双曲线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则__________.
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
如图，小明想要用撬棍撬动一块石头，已知阻力为1500 N，阻力臂为设动力为y N，动力臂为杠杆平衡时，动力动力臂=阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计
求y关于x的函数解析式；
当动力臂为2 m时，撬动石头至少需要多大的力？
18.本小题8分
如图，点A、B分别在函数、的图象上，点C在第二象限内，轴于点P，轴于点Q，连接AB、PQ，已知点A的纵坐标为
求点A的横坐标；
记四边形APQB的面积为S，若点B的横坐标为2，试用含k的代数式表示
19.本小题8分
如图所示，已知，是一次函数和反比例函数的图象的两个交点.
求一次函数和反比例函数的解析式.
观察图象，直接写出方程的解.
求的面积.
观察图象，直接写出不等式的解集.
20.本小题8分
如图，在矩形OABC中，，，F是AB上的一个动点不与A，B重合，过点F的反比例函数的图象与BC边交于点
当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
当k为何值时，的面积最大，最大面积是多少？
21.本小题8分
九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质共探究过程如下：
绘制函数图象，如图
列表：下表是x与y的几组对应值，其中______；
x … 1 2 3 …
y … 1 2 4 4 2 m …
描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；
通过观察图1，写出该函数的两条性质；
①______；
②______；
①观察发现：如图若直线交函数的图象于A，B两点，连接OA，过点B作交x轴于则______；
②探究思考：将①中“直线”改为“直线”，其他条件不变，则______；
③类比猜想：若直线交函数的图象于A，B两点，连接OA，过点B作交x轴于C，则______.
22.本小题8分
如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为，，直线CD：与反比例函数的图象交于C，两点．
求该反比例函数的解析式及m的值；
判断点B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
23.本小题8分
如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从D点滑出，运动轨迹近似抛物线某运动员7次试跳的轨迹如图在着陆坡CE上设置点与DO相距作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
求线段CE的函数表达式写出x的取值范围
当时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．
在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图
①猜想a关于的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少时，运动员的成绩恰能达标精确到？参考数据：，
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是反比例函数的定义有关知识，利用反比例函数的定义进行解答即可.
【解答】
解：属于正比例函数，错误，
B.错误，不属于反比例函数，
C.属于反比例函数，正确，
D.y属于的反比例函数，故错误.
故选
2.【答案】C
【解析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键
解：函数的图象的两分支分别在第二、四象限内，
，
故选
3.【答案】A
【解析】略
4.【答案】C
【解析】【分析】
略
【解答】
解：设反比例函数关系式为，将代入，得，
，将代入，得
水温从降到35所用的时间是分钟.
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征．
将点P的坐标代入两个函数解析式中得出，，再将所求代数式变形，并将已知条件整体代入求值即可.
【解答】
解：由题意得，函数与的图象交于点，
，，
，
故选：
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标的特征是正确解答的前提．
根据反比例函数系数k的几何意义求出k的值，再代入计算即可．
【解答】
解：由反比例函数系数k的几何意义可知，，而，
，
反比例函数的关系式为，
把点代入得，
，
故选：
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了反比例函数的性质．
根据反比例函数性质，反比例函数的图象分布在第二、四象限，则最小，最大．
【解答】
解：反比例函数的图象分布在第二、四象限，
在每一象限中，y随x的增大而增大，
而，
即
故选：
8.【答案】D
【解析】解：如图，连接CD，过点D作于E，
矩形OABC的面积为36，
，
：：3，
，
，，
，
，
，
双曲线图象过点D，
，
又双曲线图象在第二象限，
，
，
故选：
由矩形的性质求出的面积，由平行线分线段成比例可求，可求的面积，由反比例函数的性质可求解．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，平行线分线段成比例等知识，求出的面积是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了函数的图象与系数的关系的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大．
首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．
【解答】
解：由函数的图像，得
由函数的图像，得，对称轴为直线，所以
所以函数的大致图像经过第二、三、四象限.
10.【答案】A
【解析】【分析】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
首先根据题意推断方程的实根是函数与的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点，即可判定推断方程实根x所在范围．
【解答】
解：依题意得方程的实根是函数与的图象交点的横坐标，
这两个函数的图象如图所示，
它们的交点在第一象限，
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方;
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方;
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方;
…
的实根所在的范围
故选：
11.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查反比例函数的定义，熟记反比例函数解析式的一般式是解决此类问题的关键．根据反比例函数的定义列出方程，解出k的值即可．
【解答】
解：若函数是反比例函数，
则，
解得，
故答案为：2
12.【答案】12
【解析】【分析】
见答案
【解答】
见答案
13.【答案】
【解析】解：根据题意设点M的坐标为，其中，
，，
解得或舍去，
点M的坐标为，
把代入得，
故答案为：
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】解：连接AC，，，四边形AOCB是平行四边形，，，，设，，则，，由，，，，，，，，
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移之前，相应的两点关于原点对称是解决问题的关键.
由于一次函数过定点，恰好是原点向右平移1个单位长度，再向下平移
平移2个单位长度得到的，双曲线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线相交于两点，这两点在平移之前是关于原点对称的，表示出这两点坐标，根据中心对称两点坐标之间的关系求出答案.
【解答】
解：一次函数，
当时，，
一次函数的图象过定点，
恰好是原点向右平移1个单位长度，再向下平移平移2个单位长度得到的，
将双曲线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线相交于两点，
这两点在平移前是关于原点对称的，平移前，这两个点的坐标分别为，，
，
，
故答案为：
17.【答案】【小题1】
由题意，可得，则，即y关于x的函数解析式为
【小题2】
，当时，当动力臂为2 m时，撬动石头至少需要300 N的力

【解析】见答案
见答案
18.【答案】解：点A在函数的图象上，点A的纵坐标为，
，解得
点A的横坐标为
点B在函数的图象上，点B的横坐标为2，
又轴于点P，轴于点Q，
，
，
，
，

【解析】见答案.
19.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，解得
反比例函数的解析式为
点在反比例函数的图象上，
点A的坐标为
一次函数的图象经过点，，
解得
一次函数的解析式为
方程的解是，
设直线与y轴交于点C，可得点C的坐标为，
不等式的解集为或

【解析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再把点的坐标代入所求的反比例函数解析式即可求出n的值，最后把A，B两点的坐标分别代入一次函数的解析式，即可求出解析式;
通过观察可发现所求方程的解应为所给函数图象的两个交点的横坐标;
先求出直线与y轴交点C的坐标，然后利用进行计算;
观察函数图象，找出一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，对应的自变量x的取值范围即可.
20.【答案】解：在矩形OABC中，，，
，
为AB的中点，
，
点F在反比例函数的图象上，
，
该函数的解析式为；
由题意知E，F两点坐标分别为，，
，
，
点F在边AB上，不与A，B重合，
即，解得，
当时，S有最大值.
当时，的面积最大，最大面积是
【解析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求反比例解析式以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
当F为AB的中点时，点F的坐标为，由此代入求得函数解析式即可；
根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可.
21.【答案】解：；
补全图象如图所示：
函数的图象关于y轴对称；当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
；4；
【解析】【分析】
本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的．
根据表格中的数据的变化规律得出当时，，而当时，，求出m的值；补全图象；
根据中的图象，得出两条图象的性质；
由图象的对称性，和四边形的面积与k的关系，得出答案．
【解答】
解：当时，，而当时，，
，
故答案为1；补全图象见答案；
由函数图象的对称性可知，函数的图象关于y轴对称，
从函数的增减性可知，在y轴的左侧，y随x的增大而增大；在y轴的右侧，y随x的增大而减小；
故答案为①函数的图象关于y轴对称，②当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，
且，
②同①可知：，
③，
故答案为4，4，
22.【答案】解：把代入得：，解得，
反比例函数的解析式为，
在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，；
在反比例函数的图象上，理由如下：
连接AC，BD交于H，如图：
把，代入得：
，解得，
直线CD的解析式是，
在中，令得，
，
四边形ABCD是菱形，
是AC中点，也是BD中点，
由，可得，
设，
，
，解得，
，
在中，令得，
在反比例函数的图象上．
【解析】本题考查反比例函数与一次函数综合，涉及待定系数法，菱形的性质及应用，函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是求出点B的坐标．
把代入可得反比例函数的解析式为，即得；
连接AC，BD交于H，由，得直线CD的解析式是，即得，根据四边形ABCD是菱形，知H是AC中点，也是BD中点，由，可得，设，有，可解得，从而可知B在反比例函数的图象上．
23.【答案】解：由图2可知：，，
设CE：，
将，代入得：，解得，
线段CE的函数表达式为
当时，，
由题意得，
解得舍去，
的横坐标为
，
成绩未达标．
①猜想a与成反比例函数关系．
设，
将代入得，解得，
将代入验证：，
能相当精确地反映a与的关系，即为所求的函数表达式．
②由K在线段上，得，代入得，得
由得，
又，
当时，运动员的成绩恰能达标．
【解析】本题属于函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数的应用及二次函数综合应用，一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法求函数解析式是解题关键．
由图2可知：，，利用待定系数法可得出结论；
当时，，联立，可得出点P的横坐标，比较即可得出结论；
①猜想a与成反比例函数关系．将代入表达式，求出m的值即可．将代入进行验证即可得出结论；
②由K在线段上，得，代入得，得，由得，开根号运算即可．
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