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2024年中国台湾数学奥林匹克试题解析
2024年中国台湾数学奥林匹克决赛于2024年1月31日举行.时间为4小时
本次试题难度跨度较大，前四题相当于全国高中数学联赛第一题至第二题的难度，
第五题与中国数学奥林匹克第三或第六题难度相当.下面我们整理了试题与解答
并做了简要评析.囿于笔者水平.若有不当之处.恳请读者指正
I.试题
1.令n与k为正整数.宝宝用n2个数字积木拼成一个n×n的方阵，每块积
木都是一个不超过k的正整数，路过的宝爸一看，发现：
(1)方阵上每一横列的数字都可以视为以最左边数字为首项的等差数列.且其
公差都不同：
(2)方阵上每一直排的数字都可以视为以最上方数字为首项的等差数列.且其
公差都不同
试求k的最小可能值（以关于n的函数表示），
2.我们称一个正整数为杰出数.若其等于1.2.·，n的最小公倍数，其中n
为正整数.找出所有符合x+y=z的杰出数x,y,之.
3.试求所有从实数映射至实数的函数f,满足：
2f(x+y)2)=f(x+)+(f(x)2+(4y-1)f(x)-2y+4y2
对所有实数x,y均成立
4.如图.设O为△ABC的外心.令E.F≠A分别为线段CA.AB上的点
P为一点满足PB=PF且PC=PE.设直线OP分别交CA.AB于Q.R.过点
P且垂直于EF的直线分别交CA.AB于S,T.证明：Q,R.S,T四点共圆
1
T
B
S
5.对于平面上有限多个三角形所成的集合，若其中任两个三角形内部的交集
非空，则称这个三角形集合相交.证明：对于平面上两组相交的三角形集合，必存
在一条直线同时通过两个集合中所有三角形的内部
II.解答与评注
题1令n与k为正整数，宝宝用n2个数字积木拼成一个n×n的方阵，每块
积木都是一个不超过k的正整数，路过的宝爸一看、发现：
(1)方阵上每一横列的数字都可以视为以最左边数字为首项的等差数列.且其
公差都不同：
(2)方阵上每一直排的数字都可以视为以最上方数字为首项的等差数列.且其
公差都不同
试求k的最小可能值（以关于的函数表示）
解k的最小值为1+(n-1)儿」
一方面.我们给出构造：第一行第一列处为“1”
第i行公差为L2+1-i,第1列公差为L2」（亿=1,2…，n),下图为n=4
的例子
下面验证构造：
2
①构造的合理性：设a为第i行j列的值(i.j∈{1,2.·，n}),则由于
a+1-aj-1=a+1j+1-a+1(行公差)有a+1-a-1=a+1j+1-aj+1(列
公差)
又由第1列公差为)，我们知第m列公差为」+1-m(m∈{1,2.·，n):
②方格表中最大值为1+(m-1儿」，这是因为最大值一定在边界处取，而
a1n=an.1=1+(n-1)儿」为边界上的最大数
另一方面，我们给出证明：设每行公差为d.d2.··dn,由于每行公差不同且
为整数，于是存在i∈{1,2.…，n}使得|d山≥」（否则至多有1+2(L」-1个不同值).考虑第i行中最大数.不妨设d≥0，则记第i行中数依次为
a1,a2,·,an,有
k2a=a+n-1)2引≥1+n-0|引
证毕。
综上所述.k的最小值为1+(n-1)儿别
口
评注本题是基础的组合问题，对于构造只需观察到行列的对称性，而证明方
面利用公差两两不同及整数的离散性即可.
题2我们称一个正整数为杰出数，若其等于1.2.··n的最小公倍数，其中n
为正整数.找出所有符合x十y=之的杰出数x,,之
解设an=lcm(1.2.…,n.则a:|a,对ia+1=a+2或a+2≥2a+1,即对于i(*)
若x+y=之.则z>x且之>y.由(*)知x+y=之≥2x.x+y=之≥2y.故
x=y,2=2x
我们知道
v2(1cm(1.2.·.n)=v2(1cm(1.2.·,n-1)+1
当且仅当(m）之1x,)
设2m≤n<2n+1,由2(n)≤2(2m）)知n=2m,且此时(*)式等号成立，有
an 2an-1.
于是知所有的杰出数组(x,y,)为
(1cm(1.2.·,2m-1).lcm(1.2..2m-1).lcm(1.2.·.2m).
其中m为任意正整数
0
评注本题是简单的数论问题.用到了整除关系中的大小放缩
3

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