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专题15.1 分式的混合运算与化简求值
【典例1】阅读理解：
材料1：已知，求分式的值．
解：活用倒数，∵．
∴．
材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母，可设，则．
∵对于任意上述等式成立，
∴解得
∴．
根据材料，解答下面问题：
（1）已知，则分式的值为 ．
（2）已知，求分式的值 ．
（3）已知，则分式的值为 ．
【思路点拨】
（1）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；
（2）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；
（3）根据材料1和材料2，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解题过程】
（1）解：∵
∴
∴
故答案为：；
（2）∵
∴，即：，
∴
则：
∴
故答案为：；
（3）
由分母，可设，
则：
对于任意上述等式成立，
∴，解得，，
∴
又∵，即：
∴
∴，
故答案为：．
1．（2022秋·八年级课时练习）已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（　　）
A．12 B．14 C． D．9
2．（2022秋·八年级课时练习）已知，，，则的值为（ ）
A．-1 B． C．2 D．
3．（2022·福建·九年级统考竞赛）若正数a，b，c满足abc1，，则______．
4．（2022秋·上海徐汇·七年级上海市田林第三中学校考阶段练习）（1）计算：
（2）
5．（2022·广东深圳·统考一模）先化简：（）÷，再从，，0，1中选出合适的数代入求值．
6．（2022春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考自主招生）先化简，后求值：，其中x，y满足．
7．（2023春·八年级单元测试）先阅读，再答题：
，
，
……
一般地，有.
（1）计算：；
（2）计算：．
8．（2022秋·全国·七年级期末）求
9．（2022春·八年级课时练习）已知，且，求的值．
10．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知 为整数，且满足 ，求 的值．
11．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）已知，，，求的值．
12．（2022·福建·九年级专题练习）已知，，．
（1）当，，时，求的值；
（2）当时,求的值．
13．（2022·七年级单元测试）已知、、为实数，且满足下式：
①；
②.
求的值.
14．（2023春·江苏·八年级专题练习）为的各位数字之和，例．
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的最小值；
（3）当时，求的最小值．
15．（2022秋·全国·八年级专题练习）数学小组遇到这样一个问题：若，均不为零，求的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母，的正负作出讨论，又注意到，在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．
解：①当两个字母，中有2个正，0个负时，
②当两个字母，中有1个正，1个负时，
③当两个字母，中有0个正，2个负时．
（1）根据小明的分析，求的值．
（2）若均不为零，且，求代数式的值．
16．（2023春·浙江·七年级专题练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是 （填序号）．
① ② ③ ④
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
（3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．
17．（2023春·八年级课时练习）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．
（1）已知分式，试说明是的“关联分式”；
（2）小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
设的“关联分式”为，则，
∴，∴．
请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”．
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______．
②若是的“关联分式”，则的值为______．
18．（2023春·八年级课时练习）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数.例如：类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：．
（1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式：　 　.　 　．
（2）解分式方程：；
（3）当x取什么整数值时，分式的值为整数．
（4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能整除这个两位数，求满足条件的三位数m．
19．（2023春·八年级课时练习）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式
解：将“”看成一个整体，令
原式
例2：已知，求的值．
解：
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
（1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解；
（2）计算：______
（3）①已知，求的值；
②若，直接写出的值．
20．（2022·全国·九年级专题练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：∵，∴即
∴∴
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若，且，求的值．
解：令则，，，∴
根据材料回答问题：
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
（3）若，，，，且，求的值．
专题15.1 分式的混合运算与化简求值
【典例1】阅读理解：
材料1：已知，求分式的值．
解：活用倒数，∵．
∴．
材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母，可设，则．
∵对于任意上述等式成立，
∴解得
∴．
根据材料，解答下面问题：
（1）已知，则分式的值为 ．
（2）已知，求分式的值 ．
（3）已知，则分式的值为 ．
【思路点拨】
（1）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；
（2）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；
（3）根据材料1和材料2，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解题过程】
（1）解：∵
∴
∴
故答案为：；
（2）∵
∴，即：，
∴
则：
∴
故答案为：；
（3）
由分母，可设，
则：
对于任意上述等式成立，
∴，解得，，
∴
又∵，即：
∴
∴，
故答案为：．
1．（2022秋·八年级课时练习）已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（　　）
A．12 B．14 C． D．9
【思路点拨】
把两边加上3，变形可得，两边除以得到，则，从而得到的值．
【解题过程】
解：，
，
即，
，
而，
，
．
故选：C．
2．（2022秋·八年级课时练习）已知，，，则的值为（ ）
A．-1 B． C．2 D．
【思路点拨】
观察所给算式可得,代入整理之后对算式进行通分即可．
【解题过程】
解：由可得：，
则
，
，
故原式．
故选：D．
3．（2022·福建·九年级统考竞赛）若正数a，b，c满足abc1，，则______．
【思路点拨】
计算，然后整体代入求解即可；或者把已知条件组成方程组，解方程组求出，，代入计算即可．
【解题过程】
解：解法一：因为
所以，
解得．
故答案为：．
解法二：由，得，
因此，．
由此可得，．
所以
故答案为：．
4．（2022秋·上海徐汇·七年级上海市田林第三中学校考阶段练习）（1）计算：
（2）
【思路点拨】
（1）先分解因式，再化简计算；（2）先计算括号里面的，再分解因式，计算除法.
【解题过程】
解：（1）
（2）
5．（2022·广东深圳·统考一模）先化简：（）÷，再从，，0，1中选出合适的数代入求值．
【思路点拨】
直接将括号里面进行加减运算，再利用分式的除法运算法则计算得出答案，注意分式的有意义 ．
【解题过程】
解：
，
，
，
当时，原式．
6．（2022春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考自主招生）先化简，后求值：，其中x，y满足．
【思路点拨】
利用因式分解和整式运算法则逐步化简整式，再借助已知条件计算x，y的值，代入求解即可．
【解题过程】
解：原式
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，，
解得：，，
将其代入，可得
原式.
7．（2023春·八年级单元测试）先阅读，再答题：
，
，
……
一般地，有.
（1）计算：；
（2）计算：．
【思路点拨】
（1）根据题目提供结论化简为，先进行同分母分式加减，再进行异分母分式加减运算即可求解；
（2）根据题目提供结论将原式变形为，逆用分配率得到，
再进行同分母分式加减，最后进行异分母分式加减，化简即可求解．
【解题过程】
（1）解：
；
（2）
．
8．（2022秋·全国·七年级期末）求
【思路点拨】
对已知等式求倒数变形，整理求出的值，进而分别求出、、的值，从而确定x，y，z的值，即可求出x+y+z的值.
【解题过程】
解：∵，
∴，即，
∴，即，
∴，
∴，
∴.
9．（2022春·八年级课时练习）已知，且，求的值．
【思路点拨】
先根据已知，求得x=2z，y=z，之后再化简式子，化简之后将我们求到的值代入即可求到最后的答案．
【解题过程】
解：由，得，．
∴原式
将，代入得．
10．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知 为整数，且满足 ，求 的值．
【思路点拨】
根据平方差公式和约分法则把原式化简，根据取整法则解答即可．
【解题过程】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
由，得，
由于 x，y 为整数，
当y=1时，x为整数-2，则x+y=-1；
当y=-1时，x为-，不是整数，不符合题意，舍去；
当y=2时，x为整数-1，则x+y=1；
当y=-2时，x为-，不是整数，不符合题意，舍去；
综上，x+y的值为0或±1．
11．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）已知，，，求的值．
【思路点拨】
先根据完全平方公式得到，进一步推出，由得到，进而推出，同理可得，
，由此代入所求式子中并化简得到，由此即可得到答案．
【解题过程】
解： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
．
12．（2022·福建·九年级专题练习）已知，，．
（1）当，，时，求的值；
（2）当时,求的值．
【思路点拨】
（1）分别对x、y进行化简，然后求值即可；
（2）分别求出、、和值，然后代入化简即可.
【解题过程】
解：（1），
当时，
（2），
，
，
∵，
∴
=1.
13．（2022·七年级单元测试）已知、、为实数，且满足下式：
①；
②.
求的值.
【思路点拨】
先对②式进行变形，主要是给等式左边每一大项一个1，再整理成两式积等于0的形式，讨论每个式子等于0的情况，最后可求出a＋b＋c的所有值．
【解题过程】
解：将②式因式分解变形如下：
，
即，
所以，
即.
所以或，
若，
则 ，
所以，
所以的值为0、1、.
14．（2023春·江苏·八年级专题练习）为的各位数字之和，例．
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的最小值；
（3）当时，求的最小值．
【思路点拨】
（1）设两位数的十位数字为，个位数字为，则，要使最小，则为最大，然后求值即可；
（2）设这个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字为，根据（1）中的方法进行求值即可；
（3）设这个四位数的千位数字是，百位数字是，十位数字为，个位数字是，参照（1）中的方法进行求解即可．
【解题过程】
解：（1）设两位数的十位数字为，个位数字为，则，
要使的值最小，则则为最大；
， ， 最小为；
（2））设这个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字为；
要使的值最小，即的值为最小，
， ， ，
， ；
（3）设这个四位数的千位数字是，百位数字是，十位数字为，个位数字是；
则，其值最小，
则， ，类似分析时符合题意，
的最小值为．
15．（2022秋·全国·八年级专题练习）数学小组遇到这样一个问题：若，均不为零，求的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母，的正负作出讨论，又注意到，在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．
解：①当两个字母，中有2个正，0个负时，
②当两个字母，中有1个正，1个负时，
③当两个字母，中有0个正，2个负时．
（1）根据小明的分析，求的值．
（2）若均不为零，且，求代数式的值．
【思路点拨】
（1）根据a，b，是非零实数，分三种情况进行讨论：①两正零负；②一正一负时；③零正2负时；分情况讨论求值即可．
（2）根据a，b，c是非零实数，分两种情况进行讨论：①分两正一负；②一正两负；分情况讨论求值即可．
【解题过程】
解：（1）①当中有2个正，0个负时，
原式；
②当中有1个正，1个负时，
原式；
③当中有0个正，2个负时，
原式；
综上所述，的值为或0或2．
（2）∵，
∴，，，
不可能都为正或都为负，
∴．
①当中有两正一负时，
原式，
②当中有一正两负时，
原式．
综上所述的值为1或．
16．（2023春·浙江·七年级专题练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是 （填序号）．
① ② ③ ④
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
（3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．
【思路点拨】
（1）把给出的各式进行处理，根据和谐分式的定义判断；
（2）把分式先变形为，再写成整式与分式分子为常数的形式；
（3）先算除法，把分式转化成和谐分式，再确定x的值．
【解题过程】
解：（1）①；②；③；④；
∴①③④属于和谐分式，②不属于和谐分式；
故答案为：②；
（2）原式；
（3）原式
；
根据题意得：原式；
当原式的值为整数时，应该是2的因数，
∴或或或
解得：或或或，
∵且且且，
∴当时，该式的值为整数．
17．（2023春·八年级课时练习）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．
（1）已知分式，试说明是的“关联分式”；
（2）小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
设的“关联分式”为，则，
∴，∴．
请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”．
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______．
②若是的“关联分式”，则的值为______．
【思路点拨】
（1）根据“关联分式”的定义进行判断即可；
（2）仿照小聪的方法进行求解即可；
（3）①根据解析（2）找规律求出的关联分式即可；
②根据关联分式分子，分母规律可知，，然后整理求出结果即可．
【解题过程】
（1）解：∵，
，
∴是的关联分式．
（2）解：设的关联分式是，则：，
∴，
∴，
∴．
（3）解：①根据解析（2）可知，的关联分式为：
；
故答案为：；
②∵是的“关联分式”，
∴，
由①得，
由②得：，
即，
把代入得：，
解得：．
故答案为：．
18．（2023春·八年级课时练习）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数.例如：类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：．
（1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式：　 　.　 　．
（2）解分式方程：；
（3）当x取什么整数值时，分式的值为整数．
（4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能整除这个两位数，求满足条件的三位数m．
【思路点拨】
（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式利用材料中的方法变形化简方程即可求解；
（3）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时，整数x的值；
（4）设三位数的百位数字为x，十位数字为y，然后表示出m，n的表达式，再计算，然后利用材料中的方法变形，进行讨论即可．
【解题过程】
解：（1）
（2）
∴x2-x-6=x2-4x+4，
∴3x=10，
∴
经检验：是原方程的解；
（3）
∴当x=0时，原式=2为整数；
（4）设三位数的百位数字为x，十位数字为y，则个位数字为2x，n=10x+y，m=100x+10y+2x=102x+10y，
∵2x＜10，
∴x＜5，
∵是整数，
∴为整数，
∵0＜x＜5且x为整数，0＜y＜10且y为正整数，
当x=3，y=6时，为正整数，
∴m=366．
19．（2023春·八年级课时练习）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式
解：将“”看成一个整体，令
原式
例2：已知，求的值．
解：
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
（1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解；
（2）计算：______
（3）①已知，求的值；
②若，直接写出的值．
【思路点拨】
（1）将看成一个整体，令，代入计算即可；
（2）将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，代入计算即可；
（3）①将代入求解即可；②将，代入中得到原式，再将代入，进一步得到原式，计算即可．
【解题过程】
（1）解：将看成一个整体，令，
则原式．
（2）解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，
则原式
．
（3）解：①∵，
∴
．
②∵，
∴
．
20．（2022·全国·九年级专题练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：∵，∴即
∴∴
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若，且，求的值．
解：令则，，，∴
根据材料回答问题：
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
（3）若，，，，且，求的值．
【思路点拨】
（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；
（2）仿照材料二，设，则，，，代入所求式子即可；
（3）解法一：设，化简得：①，②，③，，相加变形可得x、y、z的代入中，可得k的值，从而得结论；
解法二：取倒数得：，拆项得，从而得，，代入已知可得结论．
【解题过程】
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴．
（2）设，则，，，
∴
（3）解法一：设，
∴①，②，③，
①+②+③得：，
④，
④-①得：，
④-②得：，
④-③得：，
∴，，代入中，得：，
，则，
∴，，，
∴
解法二：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
将其代入中得：，，，
∴，，
∴．
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