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3.2.1 双曲线的标准方程（同步练习）-高中数学苏教版（2019）选择必修第一册
一、单选题
1．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（ ）
A．14 B．9 C．4 D．2
2．在平面直角坐标系xOy中，A，B为双曲线右支上两点，若，则中点横坐标的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．P是双曲线的右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为　　
A．12 B．13 C．14 D．15
4．椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值是（ ）
A． B．1或－2 C．1或 D．1
5．已知某曲线的方程为 ，给出下列两个命题：
命题若，则该曲线为双曲线；
命题若，则该曲线为椭圆,则下列叙述错误的是（ ）
A．是真命题 B．的逆命题是真命题 C．是真命题 D．的逆命题是真命题
6．已知圆与圆，动圆同时与圆及相外切，则动圆圆心的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．椭圆和一条直线
C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支
7．双曲线的一个焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点（5，3），则双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知双曲线，如果下列方程表示椭圆，那么该椭圆与双曲线有相同焦点的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线的左、右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，是双曲线上异于的任意一点，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．
B．直线，的斜率之积等于定值
C．使得为等腰三角形的点P有且仅有四个
D．若，则
11．双曲线的方程为，左、右焦点分别为，过点作直线与双曲线的右半支交于点，，使得，则（ ）
A． B．点的横坐标为
C．直线的斜率为或 D．的内切圆半径是
三、填空题
12．若双曲线的焦点分别为，，且点在上，则的实轴长为 ．
13．双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ．
14．若将方程化简为的形式，则 .
四、解答题
15．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)，经过点；
(2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点；
(3)经过两点．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D D D D D D AD BD
题号 11
答案 BCD
1．C
【解题思路】根据给定条件结合椭圆、双曲线方程的特点直接列式计算作答.
解：设椭圆半焦距为c，则，而椭圆与双曲线有共同的焦点，
则在双曲线中，，即有，解得，
所以.
故选：C
2．A
【解题思路】利用双曲线的第二定义可得，即可利用中位线以及三点共线求解最值.
解：双曲线右支上的点到右焦点的距离与到准线的距离之比等于离心率.（双曲线的第二定义）
由双曲线为等轴双曲线，故离心率为，
双曲线右焦点为,连接，取中点为，
过，分别作准线的垂线，垂足分别为,
设，则，
故根据双曲线的第二定义可得： ，
则，当且仅当三点共线时，取最小值，
故此时中点的横坐标最小为，
故选：A

【解题反思】关键点解题反思：利用双曲线第二定义得，即可利用三点共线求解.
3．D
【解题思路】结合图像，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合双曲线的定义与圆的半径即可得到的最大值.
解：双曲线中，易知，
∴，∴，
而由圆和易知，它们的圆心分别为，如图，
∵，，，
∴，
∴.
故选：D.
4．D
【解题思路】椭圆与双曲线有共同焦点，有双曲线方程知焦点在轴上，列出等式关系求解．
解：椭圆与双曲线都是标准方程．有相同焦点，则，
焦点在轴上，且 故选：D
5．D
【解题思路】利用二次曲线，判断命题p,q的真假，然后判断选项的正误
解：曲线的方程为，
若，则该曲线为双曲线，且该曲线为双曲线时，，所以命题是真命题且其逆命题也为真命题，选项A正确，选项B正确；
若，则该曲线为焦点在x轴上椭圆， 是真命题，选项C正确；
若曲线为椭圆，则或，所以命题的逆命题是假命题，选项D错误
故选：D.
6．D
【解题思路】首先设，根据圆同时与圆及相外切，得到，再结合双曲线的概念即可得到答案.
解：圆，，圆心，，
圆，，圆心，，
设，因为圆同时与圆及相外切，
所以，
即的轨迹是以为焦点，的双曲线的左支.
故选：D
7．D
【解题思路】根据双曲线的方程求解.
解：因为双曲线，
所以双曲线的焦点在轴上，且.
故焦点坐标为和.
故选：D
8．D
解：解析由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2-y2=λ（λ≠0），将点（5，3）代入方程，可得λ=52-32=16，所以双曲线方程为x2-y2=16，即-=1.
9．AD
【解题思路】讨论、写出对应双曲线的焦点坐标，再结合各选项椭圆方程写出其焦点坐标，即可判断.
解：由题设，当时双曲线的焦点坐标为，当时双曲线的焦点坐标为，
A：显然不合要求，此时，则椭圆焦点为，符合要求；
B：显然不合要求，此时，则椭圆焦点为，不合要求；
C：显然不合要求，此时，则椭圆焦点为，不合要求；
D：显然不合要求，此时，则椭圆焦点为，符合要求；
故选：AD.
10．BD
【解题思路】由双曲线的定义，可判定A错误；由，结合双曲线的方程，得到，所以B正确；结合双曲线的几何性质，可判定C错误；结合，得到，可判定D正确．
解：由题意，点是双曲线上异于的任意一点，设，
对于A中，由双曲线的定义知，，所以A错误；
对于B中，由，，可得，
又由，所以，可得，所以B正确；
对于C中，若P在第一象限，则当时，，为等腰三角形；当时，，也为等腰三角形，故点P在第一象限且使得为等腰三角形的点P有两个．同理可得，在第二、三、四象限且使得为等腰三角形的点P也各有两个，因此使得为等腰三角形的点P共有八个，所以C错误．
对于D中，由，得，
从而，所以D正确．
故选：BD．
11．BCD
【解题思路】根据双曲线的定义得到方程组，求出、，即可判断A，再由等面积法求出，代入双曲线方程求出，即可判断B，再求出直线的斜率，即可判断C，利用等面积法求出内切圆的半径，即可判断D；
解：解：如图所示，由题意知，解得，故A不正确；
在中，由等面积法知，解得，
代入双曲线方程得，又因为点在双曲右支上，故，故B正确；
由图知，，
由对称性可知，若点在第四象限，则，故C正确；
的内切圆半径
，故D正确．
故选：BCD．
12．
【解题思路】利用双曲线的定义计算即可.
解：双曲线的实轴长为.
故答案为：.
13．/
【解题思路】利用双曲线的定义表达式和余弦定理联立方程组，可求得的值，代入三角形的面积公式计算即得.
解：
由可得：，如图，设则①，
在中，由余弦定理，，即：②
由①②联立，解得：.
则三角形的面积为.
故答案为：.
14．2
【解题思路】根据双曲线的定义即可得到答案.
解：方程表示点到，两点距离差的绝对值为6，∴轨迹为以，为焦点的双曲线，，，∴
故方程为，∴.
故答案为：2.
15．(1)
(2)
(3)
【解题思路】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可；
（2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可；
（3）设双曲线的方程，代入点的坐标，联立解参数即可．
解：（1）由，
当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为，
把点A的坐标代入，得，不符合题意；
当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为，
把点A的坐标代入，得．
故所求双曲线的标准方程为：．
（2）设所求双曲线的方程为．
∵双曲线过点，∴，
解得或（舍去）．
故双曲线的标准方程为．
（3）可设双曲线的方程为，
则有解得
则双曲线的标准方程为．

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