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第2课时　盈余问题
知识点1　盈余问题
1甲队有工人272人,乙队有工人196人,如果要求乙队的人数是甲队人数的,应从乙队调多少人去甲队.如果设应从乙队调x人到甲队,列出的方程正确的是 ( )
A.272+x=(196-x)
B.(272-x)=196-x
C.(272+x)=196-x
D.×272+x=196-x
2六年级(11)班有60人,其中参加数学小组的人数占全班的,参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少,并且两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的多2人,则同时参加两个小组的人数是 .
3几个人共同种一批树苗,如果每人种13棵,则缺4棵树苗;如果每人种11棵,又剩下6棵树苗未种.求这批树苗的棵数.
知识点2　配套问题
4某车间有44名工人,每人每天可以生产600个螺钉或800个螺母,1个螺钉需要配2个螺母,要求每天生产的螺钉和螺母刚好配套.设安排x名工人生产螺钉,则下面所列方程正确的是 ( )
A.800(44-x)=600x
B.2×800(44-x)=600x
C.800(44-x)=2×600x
D.800(22-x)=600x
5(2023·丽水中考)中国古代的数学专著《九章算术》中有一题:“今有生丝三十斤,干之,耗三斤十二两.今有干丝一十二斤,问生丝几何 ”意思是:“今有生丝30斤,干燥后耗损3斤12两(中国古代1斤等于16两).今有干丝12斤,问原有生丝多少 ”则原有生丝为 斤.
练易错　不能正确地将实际问题抽象出一元一次方程
6机械厂加工车间有68名工人,平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套,那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套
7小刚问妈妈的年龄,妈妈笑着说:“我们两人的年龄和为52岁,我的年龄是你的年龄的2倍多7,你能用学过的知识求出我们的年龄吗 ”小刚想了一会儿,得出的正确结果是 ( )
A.14岁和38岁 B.15岁和37岁
C.16岁和36岁 D.16岁和39岁
8某班分两组去两处植树,第一组22人,第二组26人.现第一组在植树中遇到困难,需第二组支援.问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数和第二组的人数同样多 设抽调x人,则可列方程 ( )
A.22+x=26 B.22+x=26+x
C.22+x=26-x D.22-x=26-x
9七年级某班举行了一次集邮展览,展出的邮票数若平均每人3张多24张,若平均每人4张少26张,则这个班共有 名学生. ( )
A.50 B.45 C.40 D.36
10某校教师举行茶话会.若每桌坐10人,则空出一张桌子;若每桌坐8人,还有4人不能就座.设该校准备的桌子数为x,则可列方程为 ( )
A.10(x-1)=8x-4
B.10(x+1)=8x-4
C.10(x-1)=8x+4
D.10(x+1)=8x+4
11已知每支钢笔15元,每支圆珠笔5元,小华用80元买了这两种笔共10支,设买了x支钢笔,则可列方程: .
12程大位是我国明朝商人,珠算发明家.他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著.详述了传统的珠算规则,确立了算盘用法.书中有如下问题:
一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚得几丁.
意思是:有100个和尚分100个馒头,如果大和尚1人分3个馒头,小和尚3人分1个馒头,正好分完,求大、小和尚各有多少人.设小和尚有x人,则可列方程为 .
13应用意识,推理能力(2024·南昌质检)小敏和小强假期到某厂参加社会实践,该工厂用白板纸做包装盒,设计每张白板纸做盒身2个或者做盒盖3个,且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒.为了充分利用材料,要求做成的盒身和盒盖正好配套.
(1)现有14张白板纸,问最多可做几个包装盒 (用一元一次方程的应用解答)
(2)现有27张白板纸,问最多可做几个包装盒
为了解决这个问题,小敏和小强各设计了一种解决方案:
小敏:把这些白板纸分成两部分,一部分做盒身,一部分做盒盖;
小强:先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖,余下白板纸分成两部分,一部分做盒身,一部分做盒盖.
请探究:小敏和小强设计的方案是否可行 若可行,求出最多可做包装盒的个数;若不行,请说明理由.第2课时　盈余问题
知识点1　盈余问题
1甲队有工人272人,乙队有工人196人,如果要求乙队的人数是甲队人数的,应从乙队调多少人去甲队.如果设应从乙队调x人到甲队,列出的方程正确的是 (C)
A.272+x=(196-x)
B.(272-x)=196-x
C.(272+x)=196-x
D.×272+x=196-x
2六年级(11)班有60人,其中参加数学小组的人数占全班的,参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少,并且两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的多2人,则同时参加两个小组的人数是　12　.
3几个人共同种一批树苗,如果每人种13棵,则缺4棵树苗;如果每人种11棵,又剩下6棵树苗未种.求这批树苗的棵数.
解:设有x人参与种树,
依题意,得13x-4=11x+6,解得:x=5.
所以13x-4=13×5-4=61.
答:这批树苗有61棵.
知识点2　配套问题
4某车间有44名工人,每人每天可以生产600个螺钉或800个螺母,1个螺钉需要配2个螺母,要求每天生产的螺钉和螺母刚好配套.设安排x名工人生产螺钉,则下面所列方程正确的是 (C)
A.800(44-x)=600x
B.2×800(44-x)=600x
C.800(44-x)=2×600x
D.800(22-x)=600x
5(2023·丽水中考)中国古代的数学专著《九章算术》中有一题:“今有生丝三十斤,干之,耗三斤十二两.今有干丝一十二斤,问生丝几何 ”意思是:“今有生丝30斤,干燥后耗损3斤12两(中国古代1斤等于16两).今有干丝12斤,问原有生丝多少 ”则原有生丝为 　斤.
练易错　不能正确地将实际问题抽象出一元一次方程
6机械厂加工车间有68名工人,平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套,那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套
解:设需要安排x名工人加工大齿轮,则需要安排(68-x)名工人加工小齿轮,
依题意有3×16x=2×10(68-x),
解得x=20,
68-x=68-20=48.
故需要安排20名工人加工大齿轮,需要安排48名工人加工小齿轮.
7小刚问妈妈的年龄,妈妈笑着说:“我们两人的年龄和为52岁,我的年龄是你的年龄的2倍多7,你能用学过的知识求出我们的年龄吗 ”小刚想了一会儿,得出的正确结果是 (B)
A.14岁和38岁 B.15岁和37岁
C.16岁和36岁 D.16岁和39岁
8某班分两组去两处植树,第一组22人,第二组26人.现第一组在植树中遇到困难,需第二组支援.问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数和第二组的人数同样多 设抽调x人,则可列方程 (C)
A.22+x=26 B.22+x=26+x
C.22+x=26-x D.22-x=26-x
9七年级某班举行了一次集邮展览,展出的邮票数若平均每人3张多24张,若平均每人4张少26张,则这个班共有　　　名学生. (A)
A.50 B.45 C.40 D.36
10某校教师举行茶话会.若每桌坐10人,则空出一张桌子;若每桌坐8人,还有4人不能就座.设该校准备的桌子数为x,则可列方程为 (C)
A.10(x-1)=8x-4
B.10(x+1)=8x-4
C.10(x-1)=8x+4
D.10(x+1)=8x+4
11已知每支钢笔15元,每支圆珠笔5元,小华用80元买了这两种笔共10支,设买了x支钢笔,则可列方程:　15x+5(10-x)=80　.
12程大位是我国明朝商人,珠算发明家.他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著.详述了传统的珠算规则,确立了算盘用法.书中有如下问题:
一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚得几丁.
意思是:有100个和尚分100个馒头,如果大和尚1人分3个馒头,小和尚3人分1个馒头,正好分完,求大、小和尚各有多少人.设小和尚有x人,则可列方程为 x+3(100-x)=100　.
13应用意识,推理能力(2024·南昌质检)小敏和小强假期到某厂参加社会实践,该工厂用白板纸做包装盒,设计每张白板纸做盒身2个或者做盒盖3个,且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒.为了充分利用材料,要求做成的盒身和盒盖正好配套.
(1)现有14张白板纸,问最多可做几个包装盒 (用一元一次方程的应用解答)
(2)现有27张白板纸,问最多可做几个包装盒
为了解决这个问题,小敏和小强各设计了一种解决方案:
小敏:把这些白板纸分成两部分,一部分做盒身,一部分做盒盖;
小强:先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖,余下白板纸分成两部分,一部分做盒身,一部分做盒盖.
请探究:小敏和小强设计的方案是否可行 若可行,求出最多可做包装盒的个数;若不行,请说明理由.
解:(1)设x张白板纸做盒身,则有(14-x)张做盒盖,
根据题意得:2x×2=3(14-x),
解得:x=6,
所以用6张白板纸做盒身,8张白板纸做盒盖,则最多可做12个包装盒;
(2)小敏的方案不行,设x张白纸做盒身,则有(27-x)张做盒盖,
根据题意得:2x×2=3(27-x),
解得:x=,
因为x为正整数,
所以该方案不符合题意;
小强的方案可行,
设余下的白纸板x张做盒身,
则(26-x)张做盒盖,
根据题意得:2(2x+1)=3(26-x)+1,
解得:x=11,
所以11×2+1=22+1=23,
则最多做23个包装盒.3　一元一次方程的应用
第1课时　形积变化问题
知识点1　等积变形问题
1(2024·成都质检)一个底面半径为4 cm的圆柱形储油器中,用油浸泡了若干个钢珠,从中捞出一个体积为80π cm3的钢珠后,油面将下降 ( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
2(2024·青岛期末)如图①,是边长为12 cm的正方形纸板,裁掉阴影部分后折叠成如图②所示的长方体盒子,已知该长方体宽是高的2倍,则它的体积是 cm3.
3两个圆柱体容器如图所示,它们的底面直径分别为4 cm和8 cm,高分别为39 cm和10 cm.把容器一倒满水,然后将容器一中的水倒入容器二中,求容器二中的水面离容器口有多少厘米.
练易错　忽略度量的单位转化而致错
4对一个长为0.8 m,宽为0.4 m的长方形进行改造,若使其面积不变,其宽度增加为50 cm,则该长方形的长度要减少多少厘米
知识点2　等长变形问题
5(2024·佛山期末)墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物,如图实线所示(单位:cm).小颖将梯形下底的钉子去掉,并将这条彩绳钉成一个长方形,如图虚线所示.小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米 如果设长方形的长为x cm,根据题意,可得方程为 ( )
A.2(x+10)=10×4+6×2
B.2(x+10)=10×3+6×2
C.2x+10=10×4+6×2
D.2(x+10)=10×2+6×2
6(2024·盐城中考)中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题,大意是:现有一根竿子和一条绳索,用绳索去量竿子,绳索比竿子长5尺;若将绳索对折去量竿子,绳索就比竿子短5尺,问绳索、竿子各有多长 该问题中的竿子长为 尺.
7《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术,其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.现有一个长方形的周长为20 cm,这个长方形的长减少2 cm,宽增加3 cm,就可以变成一个正方形,设长方形的宽为x cm,可列方程为 ( )
A.x+3=(20-x)-2　B.x-2=(-x)+3
C.x+3=(-x)-2 D.x-2=(20-x)+3
8某小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间,设置一块周长为120米的长方形绿地,并且长比宽多10米.设绿地的宽为x米,根据题意,下面列出的方程正确的是 ( )
A.2(x-10)=120
B.2[x+(x-10)]=120
C.2(x+10)=120
D.2[x+(x+10)]=120
9(2024·河源期末)把一个长、宽、高分别为8 cm,7 cm,6 cm的长方体铁块和一个棱长为5 cm的正方体铁块,熔炼成一个底面直径为20 cm的圆锥(圆锥体积=×底面积×高),则圆锥的高为 ( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
10有两根同样长度但粗细不同的蜡烛,粗蜡烛可以燃烧6小时,细蜡烛可以燃烧4小时,一次停电,同时点燃两根蜡烛,来电后同时吹灭,发现剩下的粗蜡烛长度是细蜡烛长度的两倍,则停电时间是 小时.
11从一个内直径为12 cm的圆柱形茶壶向一个内直径为6 cm、内高为12 cm的圆柱形茶杯中倒水,茶杯中的水满后,茶壶中的水下降了 cm.
12(2024·杭州质检)如图,一个瓶子的容积为1 L,瓶内装着一些溶液.当瓶子正放时,瓶内溶液的高度为30 cm,将瓶子倒放时,空余部分的高度为10 cm,现把溶液全部倒在一个底面半径为10 cm的圆柱形杯子里.
求:(1)瓶内溶液的体积是多少
(2)圆柱形杯子溶液的高度是多少 (结果保留π)
13推理能力,应用意识《乌鸦喝水》的故事我们都听过,聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中,水位上升后,喝到了水.根据图中给出的信息,解答下列问题:
(1)放入一个小球水面升高 cm;
(2)如果放入10个球且使水面恰好上升到52 cm,应放入大球 个;
(3)若放入一个钢珠可以使液面上升k cm,当在玻璃桶内同时放入相同数量的小球和钢珠时,水面上升到39 cm,则k的整数值为 .(球和钢珠完全在水面以下) 第3课时　追赶小明
知识点1　工程问题
1(2024·重庆质检)一件工程单独完成甲要10小时,乙要15小时,则甲、乙合作完成所需的时间是 ( )
A.4小时 B.5小时
C.6小时 D.7小时
2甲、乙两工程队开挖一条水渠各需10天、15天,两队合作2天后,甲有其他任务,剩下的工作由乙队单独做,还需多少天能完成任务 设还需x天,可得方程 ( )
A.×2+=1　B.+=1
C.++x=1 D.+=1
知识点2　顺水、逆水(顺风、逆风)问题
3(2024·临沂期末)某轮船在两个码头之间航行,已知顺水航行需要4小时,逆水航行需要5小时,水流速度是3千米/时,求两个码头之间的距离,若设两个码头之间的距离为x千米,则可得方程为 ( )
A.+3=-3 B.=
C.-3=+3 D.=
4(2024·大同质检)一架飞机在两个城市之间飞行,顺风飞行需2 h,逆风飞行需3 h,若风速是24 km/h,求两城市间的距离,若设两城市间的距离为x(km),根据题意,所列方程是 .
5轮船沿江从A港顺流行驶到B港,比从B港返回A港少用3 h,若静水时船速为26 km/h,水速为2 km/h,则A港和B港相距 km.
知识点3　相遇和追及问题
6(2024·南京质检)运动场环形跑道周长400米,小林跑步的速度是爷爷的倍,他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发,5 min后小林第一次与爷爷相遇,小林跑步的速度是________米/分. ( )
A.120 B.160 C.180 D.200
7一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一条公路同方向行驶,客车的行驶速度是70 km/h,卡车的行驶速度是60 km/h,客车比卡车早1 h经过B地.求A,B两地间的距离是多少 若设A,B两地相距x km,可列方程 .
练易错　在行程问题中忽略分类讨论的思想
8(2024·成都期末)甲、乙两地相距560 km,A车从甲地开往乙地,每小时行80 km;B车从乙地开往甲地,每小时行60 km.若两车同时出发,多长时间相距140 km
9(2024·茂名质检)A,B两地相距37千米,甲从A地步行到B地,乙从B地步行到A地,甲比乙晚出发1小时,乙出发5小时后两人在途中相遇,已知甲每小时比乙多走1千米,设甲每小时走x千米.根据题意可得方程 ( )
A.4x+5(x-1)=37 B.5x+4(x-1)=37
C.4x+5(x+1)=37 D.5x+4(x+1)=37
10某制药厂制造一批药品,如用旧工艺,则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t;如用新工艺,则废水排量要比环保限制的最大量少100 t.新、旧工艺的废水排量之比为2∶5,两种工艺的废水排量各是多少 如果设新工艺的废水排量为2x t,旧工艺的废水排量为5x t.那么下面所列方程正确的是 ( )
A.5x-200=2x+100
B.5x+200=2x-100
C.5x+200=2x+100
D.5x-200=2x-100
11某种出租车的收费标准:起步价7元(即行驶距离不超过3千米都需付7元车费),超过3千米后,每增加1千米,加收2.4元(不足1千米按1千米计).某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元,那么甲地到乙地的路程是 ( )
A.5千米 B.7千米
C.8千米 D.15千米
12博文中学学生郊游,学生沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进,每小时走4 500米,一列火车以每小时120千米的速度迎面开来,测得从车头与队首学生相遇,到车尾与队末学生相遇,共经过60秒,如果队伍长500米,那么火车长为 米. ( )
A.2 075 B.1 575 C.2 000 D.1 500
13现在有一面7尺厚的墙,大小两只老鼠分别从两面相对着打洞,第一天两只老鼠都打相同距离的洞,从第二天开始,大老鼠每天打洞的距离是前一天的2倍,小老鼠每天打洞的距离是前一天的一半,第三天结束洞刚好被打通,小老鼠第一天打洞的距离为 尺.
14已知A,B两地相距450千米,甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,已知甲车速度为115千米/时,乙车速度为85千米/时.
(1)两车相向而行,几小时后相遇
(2)两车同向而行,几小时后相距420千米
15模型观念,推理能力,运算能力如图,AB=30 cm,点P从点A出发,沿AB以3 cm/s的速度匀速向终点B运动;同时点Q从点B出发,沿BA以5 cm/s的速度匀速向终点A运动,设运动时间为t.
(1)填空:PA=________cm;BQ=________cm(用含t的代数式表示)
(2)当P,Q两点相遇时,求t的值.
(3)直接写出P,Q两点相距6 cm时,t的值为________. 3　一元一次方程的应用
第1课时　形积变化问题
知识点1　等积变形问题
1(2024·成都质检)一个底面半径为4 cm的圆柱形储油器中,用油浸泡了若干个钢珠,从中捞出一个体积为80π cm3的钢珠后,油面将下降 (D)
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
2(2024·青岛期末)如图①,是边长为12 cm的正方形纸板,裁掉阴影部分后折叠成如图②所示的长方体盒子,已知该长方体宽是高的2倍,则它的体积是　64　cm3.
3两个圆柱体容器如图所示,它们的底面直径分别为4 cm和8 cm,高分别为39 cm和10 cm.把容器一倒满水,然后将容器一中的水倒入容器二中,求容器二中的水面离容器口有多少厘米.
解:设倒完以后,第二个容器中的水面离容器口有x cm,
则:π×()2×(10-x)=π×()2×39,解得:x=0.25.
答:第二个容器中的水面离容器口有0.25 cm.
练易错　忽略度量的单位转化而致错
4对一个长为0.8 m,宽为0.4 m的长方形进行改造,若使其面积不变,其宽度增加为50 cm,则该长方形的长度要减少多少厘米
解:设该长方形的长度减少了x cm.
0.8 m=80 cm,0.4 m=40 cm,
可列方程80×40=(80-x)×50,
解得x=16.
答:该长方形的长度要减少16 cm.
知识点2　等长变形问题
5(2024·佛山期末)墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物,如图实线所示(单位:cm).小颖将梯形下底的钉子去掉,并将这条彩绳钉成一个长方形,如图虚线所示.小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米 如果设长方形的长为x cm,根据题意,可得方程为 (A)
A.2(x+10)=10×4+6×2
B.2(x+10)=10×3+6×2
C.2x+10=10×4+6×2
D.2(x+10)=10×2+6×2
6(2024·盐城中考)中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题,大意是:现有一根竿子和一条绳索,用绳索去量竿子,绳索比竿子长5尺;若将绳索对折去量竿子,绳索就比竿子短5尺,问绳索、竿子各有多长 该问题中的竿子长为　15　尺.
7《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术,其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.现有一个长方形的周长为20 cm,这个长方形的长减少2 cm,宽增加3 cm,就可以变成一个正方形,设长方形的宽为x cm,可列方程为 (C)
A.x+3=(20-x)-2　B.x-2=(-x)+3
C.x+3=(-x)-2 D.x-2=(20-x)+3
8某小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间,设置一块周长为120米的长方形绿地,并且长比宽多10米.设绿地的宽为x米,根据题意,下面列出的方程正确的是 (D)
A.2(x-10)=120
B.2[x+(x-10)]=120
C.2(x+10)=120
D.2[x+(x+10)]=120
9(2024·河源期末)把一个长、宽、高分别为8 cm,7 cm,6 cm的长方体铁块和一个棱长为5 cm的正方体铁块,熔炼成一个底面直径为20 cm的圆锥(圆锥体积=×底面积×高),则圆锥的高为 (B)
A. cm B. cm
C. cm D. cm
10有两根同样长度但粗细不同的蜡烛,粗蜡烛可以燃烧6小时,细蜡烛可以燃烧4小时,一次停电,同时点燃两根蜡烛,来电后同时吹灭,发现剩下的粗蜡烛长度是细蜡烛长度的两倍,则停电时间是　3　小时.
11从一个内直径为12 cm的圆柱形茶壶向一个内直径为6 cm、内高为12 cm的圆柱形茶杯中倒水,茶杯中的水满后,茶壶中的水下降了　3　cm.
12(2024·杭州质检)如图,一个瓶子的容积为1 L,瓶内装着一些溶液.当瓶子正放时,瓶内溶液的高度为30 cm,将瓶子倒放时,空余部分的高度为10 cm,现把溶液全部倒在一个底面半径为10 cm的圆柱形杯子里.
求:(1)瓶内溶液的体积是多少
(2)圆柱形杯子溶液的高度是多少 (结果保留π)
解:(1)1 L=1 000 cm3,
设瓶内溶液的体积为x cm3.
根据题意,得x+x=1 000,解得x=750,
答:瓶内溶液的体积是750 cm3;
(2)该圆柱形杯子溶液的高度为h cm,则π×102·h=750,解得h=,
答:圆柱形杯子溶液的高度是 cm.
13推理能力,应用意识《乌鸦喝水》的故事我们都听过,聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中,水位上升后,喝到了水.根据图中给出的信息,解答下列问题:
(1)放入一个小球水面升高　2　cm;
(2)如果放入10个球且使水面恰好上升到52 cm,应放入大球　6　个;
(3)若放入一个钢珠可以使液面上升k cm,当在玻璃桶内同时放入相同数量的小球和钢珠时,水面上升到39 cm,则k的整数值为　11　.(球和钢珠完全在水面以下) 第3课时　追赶小明
知识点1　工程问题
1(2024·重庆质检)一件工程单独完成甲要10小时,乙要15小时,则甲、乙合作完成所需的时间是 (C)
A.4小时 B.5小时
C.6小时 D.7小时
2甲、乙两工程队开挖一条水渠各需10天、15天,两队合作2天后,甲有其他任务,剩下的工作由乙队单独做,还需多少天能完成任务 设还需x天,可得方程 (A)
A.×2+=1　B.+=1
C.++x=1 D.+=1
知识点2　顺水、逆水(顺风、逆风)问题
3(2024·临沂期末)某轮船在两个码头之间航行,已知顺水航行需要4小时,逆水航行需要5小时,水流速度是3千米/时,求两个码头之间的距离,若设两个码头之间的距离为x千米,则可得方程为 (C)
A.+3=-3 B.=
C.-3=+3 D.=
4(2024·大同质检)一架飞机在两个城市之间飞行,顺风飞行需2 h,逆风飞行需3 h,若风速是24 km/h,求两城市间的距离,若设两城市间的距离为x(km),根据题意,所列方程是 -24=+24　.
5轮船沿江从A港顺流行驶到B港,比从B港返回A港少用3 h,若静水时船速为26 km/h,水速为2 km/h,则A港和B港相距　504　km.
知识点3　相遇和追及问题
6(2024·南京质检)运动场环形跑道周长400米,小林跑步的速度是爷爷的倍,他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发,5 min后小林第一次与爷爷相遇,小林跑步的速度是________米/分. (D)
A.120 B.160 C.180 D.200
7一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一条公路同方向行驶,客车的行驶速度是70 km/h,卡车的行驶速度是60 km/h,客车比卡车早1 h经过B地.求A,B两地间的距离是多少 若设A,B两地相距x km,可列方程 -=1　.
练易错　在行程问题中忽略分类讨论的思想
8(2024·成都期末)甲、乙两地相距560 km,A车从甲地开往乙地,每小时行80 km;B车从乙地开往甲地,每小时行60 km.若两车同时出发,多长时间相距140 km
解:设经过x h后两车相距140 km,
根据题意得:
①没有相遇之前:80x+60x+140=560,解得:x=3;
②相遇之后:80x+60x-140=560,解得:x=5.
答:出发3 h或5 h后,两车相距140 km.
9(2024·茂名质检)A,B两地相距37千米,甲从A地步行到B地,乙从B地步行到A地,甲比乙晚出发1小时,乙出发5小时后两人在途中相遇,已知甲每小时比乙多走1千米,设甲每小时走x千米.根据题意可得方程 (A)
A.4x+5(x-1)=37 B.5x+4(x-1)=37
C.4x+5(x+1)=37 D.5x+4(x+1)=37
10某制药厂制造一批药品,如用旧工艺,则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t;如用新工艺,则废水排量要比环保限制的最大量少100 t.新、旧工艺的废水排量之比为2∶5,两种工艺的废水排量各是多少 如果设新工艺的废水排量为2x t,旧工艺的废水排量为5x t.那么下面所列方程正确的是 (A)
A.5x-200=2x+100
B.5x+200=2x-100
C.5x+200=2x+100
D.5x-200=2x-100
11某种出租车的收费标准:起步价7元(即行驶距离不超过3千米都需付7元车费),超过3千米后,每增加1千米,加收2.4元(不足1千米按1千米计).某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元,那么甲地到乙地的路程是 (C)
A.5千米 B.7千米
C.8千米 D.15千米
12博文中学学生郊游,学生沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进,每小时走4 500米,一列火车以每小时120千米的速度迎面开来,测得从车头与队首学生相遇,到车尾与队末学生相遇,共经过60秒,如果队伍长500米,那么火车长为　　　米. (B)
A.2 075 B.1 575 C.2 000 D.1 500
13现在有一面7尺厚的墙,大小两只老鼠分别从两面相对着打洞,第一天两只老鼠都打相同距离的洞,从第二天开始,大老鼠每天打洞的距离是前一天的2倍,小老鼠每天打洞的距离是前一天的一半,第三天结束洞刚好被打通,小老鼠第一天打洞的距离为 　尺.
14已知A,B两地相距450千米,甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,已知甲车速度为115千米/时,乙车速度为85千米/时.
(1)两车相向而行,几小时后相遇
(2)两车同向而行,几小时后相距420千米
解:(1)设两车相向而行,x小时后相遇,
则(115+85)x=450,
所以200x=450,解得x=2.25.
答:两车相向而行,2.25小时后相遇.
(2)设两车同向而行,x小时后相距420千米,
①(115-85)x=450-420,
所以30x=30,解得x=1;
②(115-85)x=450+420
所以30x=870,解得x=29.
答:两车同向而行,1小时或29小时后相距420千米.
15模型观念,推理能力,运算能力如图,AB=30 cm,点P从点A出发,沿AB以3 cm/s的速度匀速向终点B运动;同时点Q从点B出发,沿BA以5 cm/s的速度匀速向终点A运动,设运动时间为t.
(1)填空:PA=________cm;BQ=________cm(用含t的代数式表示)
(2)当P,Q两点相遇时,求t的值.
(3)直接写出P,Q两点相距6 cm时,t的值为________.
解:(1)因为点P从点A出发,沿AB以3 cm/s的速度匀速向终点B运动;同时点Q从点B出发,沿BA以5 cm/s的速度匀速向终点A运动,所以当运动时间为t秒时,
PA=3t cm,BQ=5t cm.
答案:3t　5t
(2)根据题意得:3t+5t=30,解得:t=.
答:当P,Q两点相遇时,t的值为.
(3)当点P在点Q左侧时,
3t+5t=30-6,解得:x=3;
当点P在点Q右侧时,
3t+5t=30+6,
解得:t=.
答案:3或

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