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第06讲 函数的图象及其应用
目录
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 2
第三部分：高频考点一遍过 2
高频考点一：函数的图象变换 2
高频考点二：根据图象确定函数的解析式 4
高频考点三：五点法作图 8
高频考点四：三角函数图象与性质的综合应用 11
高频考点五：三角函数的零点（方程的根）的问题 15
高频考点六：三角函数模型 19
第四部分：新定义题 22
第一部分：基础知识
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数,的图象上,五个关键点是:
(2)在余弦函数,的图象上,五个关键点是:
2、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩　　　　　　 (2)先伸缩后平移
第二部分：高考真题回顾
1．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2．（2022·全国·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的图象变换
典型例题
例题1．（2024·河南·模拟预测）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024·全国·模拟预测）将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（多选）（22-23高一上·陕西渭南·期末）要得到的图象，可以将函数图象上所有的点（ ）
A．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位
练透核心考点
1．（2020高三·全国·专题练习）将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（　　）.
A． B．
C． D．
2．（多选）（2024·云南·一模）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位
C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位
3．（23-24高三上·上海宝山·开学考试）函数（其中，）的图像如图所示，为了得到的图像，则需将的图象向右最小平移 个长度单位．

高频考点二：根据图象确定函数的解析式
典型例题
例题1．（2024·四川成都·二模）已知函数的部分图象如图所示，其中，，现有如下说法：

①函数在上单调递减；
②将函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称；
③当时，，
则正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例题2．（2024·天津·一模）已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论：
① ②函数为偶函数
③ ④在上单调递增
所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③④ C．③④ D．①④
例题3．（多选）（2024·广东·一模）已知函数的图象向左平移个单位后到函数的图象（如图所示），则（ ）
A．
B．在上为增函数
C．当时，函数在上恰有两个不同的极值点
D．是函数的图象的一条对称轴
例题4．（23-24高一上·山西·期末）如图，已知函数的图象与轴相交于点，图象的一个最高点为．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的所有零点之和．
练透核心考点
1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）函数的部分图像如图所示，把函数的图像向右平移得到，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于中心对称
B．在区间上单调递增
C．在上有4个零点，则实数的取值范围是
D．将的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象
3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）函数的部分图象如图所示，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．

(1)若方程在上有解，求实数的取值范围；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
4．（23-24高一上·云南德宏·期末）函数（，，）的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，，求实数的取值范围，并求的值．
高频考点三：五点法作图
典型例题
例题1．（2024高一·全国·专题练习）已知函数．用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图象.

例题2．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数.
(1)求的最大值及取得最大值时对应的的取值集合；
(2)用“五点法”画出在上的图象.
例题3．（23-24高一上·福建三明·期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 2 0 0
(1)根据以上表格中的数据求函数的解析式，并求函数的单调递增区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．当时，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围．
练透核心考点
1．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数周期为，其中．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)请运用“五点法”，通过列表、描点、连线，在所给的直角坐标系中画出函数在上的简图．
2．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函数．

(1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象；
x 0
1 0
(2)将的图象横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位后，得到的图象，求的对称中心．
3．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数．
(1)用“五点法”作出函数在上的图象；
(2)解不等式．
高频考点四：三角函数图象与性质的综合应用
典型例题
例题1．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知函数．
(1)求的对称中心及单调递减区间；
(2)将图象上所有点的横坐标变成原来2倍（纵坐标不变）得到函数，若，且，求．
例题2．（2024高一下·湖南株洲·竞赛）已知向量，，函数．
(1)若，且，求的值；
(2)将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，求函数的单增区间，及函数在的值域．
例题3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）设函数，其中，已知，且.
(1)求的解析式；
(2)求的单调递增区间；
(3)将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若存在，使得，求的取值范围.
例题4．（23-24高一上·云南昭通·期末）函数的一段图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)要得到函数的图象，可由正弦曲线经过怎样的变换得到
(3)若不等式在上恒成立，求实数t的取值范围.
练透核心考点
1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知函数，其图象关于点中心对称．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后再向右平移个单位长度得到的图象．若，，求的值．
2．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知函数
(1)求的最小值和单调递增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围．
3．（2024·甘肃·一模）如图，角的始边为轴非负半轴，终边与单位圆交于点，过点作轴的垂线，垂足为到直线的距离为.若将关于角的函数关系记为.

(1)求的解析式；
(2)将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在的单调递增区间.
4．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知函数，
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)把的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，若在区间上的最大值为3，求实数的取值范围．
高频考点五：三角函数的零点（方程的根）的问题
典型例题
例题1．（23-24高一下·安徽·阶段练习）给出以下三个条件：①直线，是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，②，③对任意的，．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．已知函数，，______．
(1)求的表达式；
(2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围．
例题2．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知函数
(1)求的最小值和单调递增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围．
例题3．（23-24高一上·福建三明·期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 2 0 0
(1)根据以上表格中的数据求函数的解析式，并求函数的单调递增区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．当时，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围．
例题4．（23-24高一下·河南·开学考试）将函数的图象进行如下变换：向下平移个单位长度将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）向左平移个单位长度，得到函数的图象.
(1)当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围；
(2)若函数在区间内恰有2022个零点，求的所有可能取值.
练透核心考点
1．（23-24高一上·山西·期末）如图，已知函数的图象与轴相交于点，图象的一个最高点为．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的所有零点之和．
2．（23-24高一上·云南德宏·期末）函数（，，）的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，，求实数的取值范围，并求的值．
3．（23-24高一下·浙江温州·开学考试）已知函数（其中）的图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若将函数的图象上的所有点向右平移，再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若函数在有零点，求实数的取值范围．
例题2．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）在校园美化、改造活动中，甲、乙两所学校各要修建一个矩形的观赛场地．
(1)甲校决定在半径为30m的半圆形空地的内部修建一矩形观赛场地．如图所示，求出观赛场地的最大面积；
(2)乙校决定在半径为30m、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示，设中点为M，连接交于N，记，请你确定B点的位置，使观赛场地的面积最大，并求出最大面积．
例题3．（23-24高一上·广西贺州·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30．
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为m，已知H关于t的函数解析式满足（其中），求摩天轮转动一周的函数解析式；
(2)若甲、乙两人分别坐1号和9号座舱（即甲乙中间间隔7个座舱），在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．
练透核心考点
1．（23-24高一下·上海·开学考试）如图所示，某市政府决定在以政府大楼为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径，与之间的夹角为．

(1)当时，求边的长.（结果保留两位小数）
(2)求矩形的面积最大值是多少？（结果保留两位小数）
2．（2024高一下·上海·专题练习）某旅游景区拟建一广告牌，将边长为米的正方形和边长为米的正方形在点处焊接，、、、均用加强钢管支撑，其中支撑钢管、垂直地面于点和点，且、、长度相等，（不计焊接点大小）.
(1)若时，求焊接点离地面距离；
(2)若记为，求加强钢管最长为多少？
3．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知一个半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米，且按顺时针方向匀速转动，每秒转动一圈.如果以水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，记点距离水面的高度关于时间的函数解析式为.
(1)在水轮转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式；
(2)在水轮转动的一周内，求点在水面下方的时间段.
第四部分：新定义题
1．（22-23高一下·四川成都·阶段练习）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
(1)设函数，试求的伴随向量；
(2)记向量的伴随函数为，求当且时，的值；
(3)已知将（2）中的函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，若存在，使成立，求a的取值范围.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第06讲 函数的图象及其应用
目录
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 2
第三部分：高频考点一遍过 3
高频考点一：函数的图象变换 3
高频考点二：根据图象确定函数的解析式 6
高频考点三：五点法作图 17
高频考点四：三角函数图象与性质的综合应用 24
高频考点五：三角函数的零点（方程的根）的问题 34
高频考点六：三角函数模型 45
第四部分：新定义题 52
第一部分：基础知识
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数,的图象上,五个关键点是:
(2)在余弦函数,的图象上,五个关键点是:
2、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩　　　　　　 (2)先伸缩后平移
第二部分：高考真题回顾
1．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.
2．（2022·全国·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的图象变换
典型例题
例题1．（2024·河南·模拟预测）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先利用平移规律求函数的解析式，再根据函数是奇函数的性质，即可求解的值.
【详解】由题意可知，，
因为函数关于原点对称，所以，
则，,得，且，
所以.
故选：D
例题2．（2024·全国·模拟预测）将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用两角差的余弦公式化简，再由诱导公式及图象平移即可得解.
【详解】因为，
，
所以把的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，
则的最小值为，
故选：B．
例题3．（多选）（22-23高一上·陕西渭南·期末）要得到的图象，可以将函数图象上所有的点（ ）
A．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位
【答案】BC
【分析】根据三角函数图象平移规律可得答案.
【详解】将图象上所有点向右平移个单位得到的图象，
再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到的图象，故B正确，A错误；
将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到的图象，再将图象上所有点向右平移个单位得到的图象，故C正确，D错误；
故选：BC.
练透核心考点
1．（2020高三·全国·专题练习）将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合对函数图象的影响可得.
【详解】将函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到函数即的图象，
再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，就得到函数的图象，
然后再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍，就得到函数的图象.
故选：A.
2．（多选）（2024·云南·一模）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位
C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位
【答案】ACD
【分析】根据已知条件，逐项分析各个选项，利用诱导公式化简函数解析式即可判断.
【详解】A选项，向左平行移动个单位，有，A正确；
B选项，向左平行移动个单位，有，B错误；
C选项，向右平行移动个单位，有，
，C正确；
D选项，向右平行移动个单位，有，
，D正确；
故选：ACD
3．（23-24高三上·上海宝山·开学考试）函数（其中，）的图像如图所示，为了得到的图像，则需将的图象向右最小平移 个长度单位．

【答案】/
【分析】首先根据函数的图象确定、、的值，进一步确定解析式，然后利用函数图象的平移变换求得结果．
【详解】根据函数的图象：，，所以，
由于，所以,故，
由于，取，得：
因此
要得到的图象，则需将的图象向右最小平移个单位即可．
故答案为：
高频考点二：根据图象确定函数的解析式
典型例题
例题1．（2024·四川成都·二模）已知函数的部分图象如图所示，其中，，现有如下说法：

①函数在上单调递减；
②将函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称；
③当时，，
则正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】通过图象求出的解析式，再利用三角函数的图象和性质逐项判断即得.
【详解】由题意可知，，，
，，，，
，∵，∴，∴.
①因此，当，即时单调递增，当时，，与有交集，故错误；
②的图象向右平移个单位长度可得，，关于轴对称，故正确；
③当时，，，故错误.
综上，只有命题②正确，
故选：.
例题2．（2024·天津·一模）已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论：
① ②函数为偶函数
③ ④在上单调递增
所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③④ C．③④ D．①④
【答案】B
【分析】借助图象可得解析式，结合正弦函数的单调性、最值、奇偶性等逐项判断即可得.
【详解】由图可得，，
且，则，即，
，即，
又，故，即，
对①：，由时，函数取最大值，
故是函数的最大值，故①正确；
对②：，故②错误；
对③：，
则，故③正确；
对④：当时，，
由函数在上单调递增，
故函数在上单调递增，故④正确.
故选：B.
例题3．（多选）（2024·广东·一模）已知函数的图象向左平移个单位后到函数的图象（如图所示），则（ ）
A．
B．在上为增函数
C．当时，函数在上恰有两个不同的极值点
D．是函数的图象的一条对称轴
【答案】BCD
【分析】
根据图象求出解析式，由平移可得解析式即可判断A，根据所给自变量范围及正弦函数的单调性判断B，根据自变量范围及参数范围，确定的范围即可判断C，由三角恒等变换化简，由正弦型函数的对称性判断D.
【详解】根据平移性质，可设，
由图象可得，即，解得，
所以，又，
所以，即，
对于A，则，即，故A错误；
对于B，当时，，由正弦函数单调性知，在上为增函数，故B正确；
对于C，，当时，，
因为，所以，
显然能取到，不能取到，所以函数在上恰有两个不同的极值点，故C正确；
对于D，因为，
所以当时，取得最大值，所以是函数的一条对称轴，故D正确.
故选：BCD
例题4．（23-24高一上·山西·期末）如图，已知函数的图象与轴相交于点，图象的一个最高点为．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的所有零点之和．
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）根据函数图象求出周期，即可求得，再将点代入解析式求出即可；
（2）先根据函数平移的性质求出，将函数的零点问题转化为函数图象交点的问题，根据函数的对称性求解.
【详解】（1）设的最小正周期为，则，
所以，所以，
又因为函数的图象的一个最高点为，
所以，所以，
所以，
因为，所以，所以．
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
所以，
令，得，
考虑与图象的所有交点的横坐标之和，
函数与的图象都关于点对称，
令，解得，
函数与的图象如图所示：
故两函数的图象有且仅有9个交点从左到右分别为，
所以，，，，
所以，故函数的所有零点之和为9.
练透核心考点
1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）函数的部分图像如图所示，把函数的图像向右平移得到，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数图象求得函数的解析式为，再由平移规则即可得.
【详解】根据图像可知，可得，即；
又，可得，
解得，由可知；
即可得，
把函数的图像向右平移得到；
即.
故选：A
2．（多选）（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于中心对称
B．在区间上单调递增
C．在上有4个零点，则实数的取值范围是
D．将的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象
【答案】AD
【分析】不妨设，根据图象求得函数的解析式，逐项验证即可.
【详解】不妨设，则，
解得．又，
所以，
解得，，
取符合条件的的一个值，不妨令，
则．
对于A选项，因为．
所以的图像关于中心对称，故A选项正确；
对于B选项，令，
解得，
所以的单调递增区间为:
，
取，得的一个单调递增区间为．
因为，
所以在上不具有单调性，故B选项错误；
对于C选项，因为，
所以，
所以，解得，
故C选项错误；
对于D选项，将的图象向右平移个单位长度得到:
的图象，
故D选项正确，
故选:AD．
3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）函数的部分图象如图所示，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．

(1)若方程在上有解，求实数的取值范围；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据给定的图象求出函数的解析式，进而求出，再求出在的值域即可得解.
（2）由（1）求出及在上的值域，再换元并分离参数，借助二次函数求出最大值得解.
【详解】（1）观察函数图象知，，函数的周期，则，即，
由，即，得，而，则，
因此，，
则，
由，得，
当时，，，于是，
所以实数的取值范围是．
（2）由（1）知，由，得，则，，
令，则，，不等式恒成立，
等价于，不等式恒成立，
当时，不等式恒成立，则；
当时，不等式恒成立，，
而，当且仅当，即时取等号，于是，
所以的取值范围为.
4．（23-24高一上·云南德宏·期末）函数（，，）的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，，求实数的取值范围，并求的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据三角函数的图象与性质计算即可；
（2）先根据三角函数的图像变换得，结合正弦函数的单调性、对称性可判定的取值范围与的值.
【详解】（1）由图可知，，
∵ ， ∴ ， ，
又， ∴ ，，
解得 ，，由可得，
∴．
（2）将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，则当时，；
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，∴；
由对称性可知，
∴ ，∴，
∴ .
高频考点三：五点法作图
典型例题
例题1．（2024高一·全国·专题练习）已知函数．用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图象.

【答案】作图见解析
【分析】通过列表得函数在内的关键点以及端点值，在所给的坐标系中，描点连线画出图.
【详解】列表：
0
1 2 0 0 1
描点，连线，画出在上的大致图象如图：

例题2．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数.
(1)求的最大值及取得最大值时对应的的取值集合；
(2)用“五点法”画出在上的图象.
【答案】(1)4；
(2)答案见解析
【分析】
（1）根据正弦函数的性质，即可求解；
（2）首先列表，再根据“五点法”作图，即可画出图象.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
则的最大值为4.
此时，
解得.
故当取得最大值时，对应的的取值集合为.
（2）列表如下：
4 1 -2 1

例题3．（23-24高一上·福建三明·期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 2 0 0
(1)根据以上表格中的数据求函数的解析式，并求函数的单调递增区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．当时，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围．
【答案】(1)；单调递增区间为
(2)
【分析】
（1）根据表格中的数据，不难看出值和周期特征，易得值，代入一组对应值与，易求出，再整体处理，计算得到递增区间；
（2）先根据三角伸缩平移变换并化简得到，将方程有根问题转化为两函数图象在给定区间上的交点个数问题解决.
【详解】（1）
由表中数据可得，，
因为，所以，则，
当时，，则，
所以．
由，得，
所以的单调递增区间为．
（2）
将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到，
再将图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则
如图，当时，方程恰有两个实数根，等价于函数，的图象与直线有两个交点，
故可得：．
练透核心考点
1．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数周期为，其中．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)请运用“五点法”，通过列表、描点、连线，在所给的直角坐标系中画出函数在上的简图．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先利用周期求出函数解析式，再利用单调性可得答案；
（2）利用五点法画图可得答案.
【详解】（1）由题意可得，所以；
令，，解得，
故函数的单调递增区间为.
（2）
0
0
0 2 0
描点，连线，其简图如下
2．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函数．

(1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象；
x 0
1 0
(2)将的图象横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位后，得到的图象，求的对称中心．
【答案】(1)表格及图象见解析
(2)，
【分析】
（1）直接根据五点作图法补全表格，然后描点画图；
（2）先通过图象变换得到，然后令可得对称中心．
【详解】（1）
，列表如下：
0
x 0
1 0 0
图象如图：

（2）
的图象横坐标扩大为原来的2倍得，
再向左平移个单位后，得，
令，，得，，
所以函数的对称中心为，．
3．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数．
(1)用“五点法”作出函数在上的图象；
(2)解不等式．
【答案】(1)图象见解析
(2)
【分析】（1）利用“五点作图法”即可得解；
（2）利用整体代入法，结合正弦函数的性质即可得解.
【详解】（1）列表
0
0 1 0 0
又当时，，当时，，
描点作图，如图所示：
（2）因为，
所以，，
解得，，
故不等式的解集为.
高频考点四：三角函数图象与性质的综合应用
典型例题
例题1．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知函数．
(1)求的对称中心及单调递减区间；
(2)将图象上所有点的横坐标变成原来2倍（纵坐标不变）得到函数，若，且，求．
【答案】(1)对称中心为，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）借助三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，借助正弦型函数的性质计算即可得；
（2）结合题意，得到解析式后，可得，借助所给角的范围可计算出，借助计算即可得解.
【详解】（1）
，
令，解得，
令，解得，
故的对称中心为，
单调递减区间为；
（2）由题意可得，
由，即，即，
由，故，
由，故，
即，
则
.
例题2．（2024高一下·湖南株洲·竞赛）已知向量，，函数．
(1)若，且，求的值；
(2)将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，求函数的单增区间，及函数在的值域．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为,在的值域为.
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简，依题意可得，即可求出，最后由利用两角差的余弦公式计算可得.
（2）根据三角函数的变换规则求出解析式，再根据余弦函数的图像性质计算可得.
【详解】（1）因为，
所以若则，所以.
因为，所以，所以，
所以，
故.
（2）将图象上所有的点向右平移个单位得到
然后再向下平移1个单位得到，最后使所有点的纵坐标变为原来的得到函数的图象，则，
由，可得函数的单调递增区间为，
由，则函数在，即上单调递增，在，即上单调递减.
因为，
所以在的值域为.
例题3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）设函数，其中，已知，且.
(1)求的解析式；
(2)求的单调递增区间；
(3)将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】
（1）由已知不等式及函数的最值，可得周期与的关系，从而建立的等量关系求解可得；
（2）结合余弦函数图象与性质，由整体角范围求解单调增区间；
（3）先由图象平移关系得的解析析，再由不等式有解，可得，求出函数在上的最值即可得解.
【详解】（1）由知，，
则，又已知，
所以，
故中恰有一个取最大值，而另一个取最小值.
所以有，
则，
故，则.
因为，且，所以，，
则.
（2）令，
解得，
故的单调递增区间为.
（3）由题意可得.
∵，∴，
此时，，
由题意，要使有解，可得，
即，解得，
故所求的取值范围是.
例题4．（23-24高一上·云南昭通·期末）函数的一段图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)要得到函数的图象，可由正弦曲线经过怎样的变换得到
(3)若不等式在上恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）由图象直接得到，求出函数的周期，即可求出，利用图象经过，结合的范围求出的值，即可得到的解析式；
（2）由三角函数的图象变换规律，结合平移与伸缩的顺序采用方法一或方法二推出结果；
（3）根据的范围，结合三角函数的性质得出的最大值，由题意得到的不等式，求解即可．
【详解】（1）由图象知，，，，
将图象上的点代入中，得，
结合图象可知，则，，
又，所以，故.
（2）法一：将的图象向左平移个单位，得到的图象；
再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象；
再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到的图象.
法二：将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象；
再将所得图象向左平移个单位，得到的图象；
再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到的图象.
（3）∵，∴，
∴当，即时，取最大值3.
又不等式在上恒成立，
∴在上恒成立，
故，即，即或.
∴t的取值范围为.
练透核心考点
1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知函数，其图象关于点中心对称．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后再向右平移个单位长度得到的图象．若，，求的值．
【答案】(1)的单调递减区间为
(2)
【分析】（1）通过三角恒等变换得到，再根据图像关于点中心对称求得，然后利用正弦函数的性质求解；
（2）先利用图象变换得到，再得到，然后利用两角差的余弦公式求解.
【详解】（1），
，
因为图象关于点中心对称，
，，
，
，，，
，
令，
，
的单调递减区间为；
（2）由题意得：，
，，
，，
，
，
.
2．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知函数
(1)求的最小值和单调递增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)最小值为，递增区间位，
(2)
【分析】由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
由题意，利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求出的取值范围．
【详解】（1）函数
，
的最小值为．
令，，
求得，，
可得的单调递增区间为，．
（2）将函数的图象向左平移个单位，
可得的图象；
再将所得的图象上各点的横坐标缩小为原来的，
得到函数的图象．
若函数在上有且仅有两个零点，
即在上有且仅有两个解．
而，则，求得．
故的取值范围为
3．（2024·甘肃·一模）如图，角的始边为轴非负半轴，终边与单位圆交于点，过点作轴的垂线，垂足为到直线的距离为.若将关于角的函数关系记为.

(1)求的解析式；
(2)将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)和
【分析】
（1）根据条件得到直线的方程，利于点到直线的距离公式进行计算即可;
（2）根据函数图象的变换规则得到函数解析式后，整体代入法求解单调区间即可.
【详解】（1）可知，
又直线的方程为，
故根据点到直线距离公式，
即.
（2）可知，
由，
得，
所以当时，函数的单调增区间为和
4．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知函数，
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)把的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，若在区间上的最大值为3，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）由正弦型函数的周期公式可得其周期，将看成整体角，利用正弦函数的单调区间解不等式即得；
（2）根据平移变换求出，取，由求得，作出函数在区间上的图象，须使解之即得.
【详解】（1）
的最小正周期．
由得
的单调递增区间是
（2）把的图象向右平移个单位得到，
再向上平移2个单位长度，得到的图象.
由，得，取，则，
因为在区间上的最大值为3，
所以在区间上的最大值为1.
作出在区间上的图象，可知须使，即，
所以的取值范围为．
高频考点五：三角函数的零点（方程的根）的问题
典型例题
例题1．（23-24高一下·安徽·阶段练习）给出以下三个条件：①直线，是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，②，③对任意的，．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．已知函数，，______．
(1)求的表达式；
(2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先进行三角恒等变换求出，再分别选三个条件，结合正弦函数的性质，分别求解，即可得出函数解析式；
（2）首先根据三角函数的变换规律得到解析式，再由正弦函数的性质求出在区间上的单调性，求出区间端点函数值，依题意函数的图象与直线在区间上有且只有一个交点，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）因为
，
若选条件①，直线，是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，
则，解得，则；
若选条件②，则，则，，
因此，，又，所以，则，
若选条件③，对任意的，，
则有，，解得，，
又，所以当时，则．
（2）将函数的图象向右平移个单位得到，
再将的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到．
由，，解得，，
即函数的单调递增区间为，，
又，
所以函数在上单调递增，则在上单调递减；
因为，，，
因为关于的方程在区间上有且只有一个实数解，
所以函数的图象与直线在区间上有且只有一个交点，
则或.
例题2．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知函数
(1)求的最小值和单调递增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)最小值为，递增区间位，
(2)
【分析】由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
由题意，利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求出的取值范围．
【详解】（1）函数
，
的最小值为．
令，，
求得，，
可得的单调递增区间为，．
（2）将函数的图象向左平移个单位，
可得的图象；
再将所得的图象上各点的横坐标缩小为原来的，
得到函数的图象．
若函数在上有且仅有两个零点，
即在上有且仅有两个解．
而，则，求得．
故的取值范围为
例题3．（23-24高一上·福建三明·期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 2 0 0
(1)根据以上表格中的数据求函数的解析式，并求函数的单调递增区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．当时，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围．
【答案】(1)；单调递增区间为
(2)
【分析】
（1）根据表格中的数据，不难看出值和周期特征，易得值，代入一组对应值与，易求出，再整体处理，计算得到递增区间；
（2）先根据三角伸缩平移变换并化简得到，将方程有根问题转化为两函数图象在给定区间上的交点个数问题解决.
【详解】（1）
由表中数据可得，，
因为，所以，则，
当时，，则，
所以．
由，得，
所以的单调递增区间为．
（2）
将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到，
再将图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则
如图，当时，方程恰有两个实数根，等价于函数，的图象与直线有两个交点，
故可得：．
例题4．（23-24高一下·河南·开学考试）将函数的图象进行如下变换：向下平移个单位长度将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）向左平移个单位长度，得到函数的图象.
(1)当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围；
(2)若函数在区间内恰有2022个零点，求的所有可能取值.
【答案】(1)
(2)2022或2023或1348
【分析】（1）先根据函数的图象变换求的解析式，再利用数形结合的思想求参数的取值范围；
（2）采用换元法，先把问题转化成为二次函数的零点分布问题，再结合三角函数的周期性求的可能值.
【详解】（1）由题意的图象向下平移个单位，得：；再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得：；再把所得函数图象向左平移个单位，可得，
因为
所以，
如图：
方程有两个不等实根时，的图象与直线有两个不同的交点，
作图可得.
故实数的取值范围为.
（2）由题意可得，
设，，则函数等价为，
由，得.
因为，所以有两个不等的实数根，
当时，，此时在上恰有3个零点，
因为，所以，
所以；
当时，因为，.
所以，.
此时在上恰有2个零点，
因为，所以或，
或2023.
综上所述，的可能取值为2022或2023或1348.
练透核心考点
1．（23-24高一上·山西·期末）如图，已知函数的图象与轴相交于点，图象的一个最高点为．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的所有零点之和．
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）根据函数图象求出周期，即可求得，再将点代入解析式求出即可；
（2）先根据函数平移的性质求出，将函数的零点问题转化为函数图象交点的问题，根据函数的对称性求解.
【详解】（1）设的最小正周期为，则，
所以，所以，
又因为函数的图象的一个最高点为，
所以，所以，
所以，
因为，所以，所以．
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
所以，
令，得，
考虑与图象的所有交点的横坐标之和，
函数与的图象都关于点对称，
令，解得，
函数与的图象如图所示：
故两函数的图象有且仅有9个交点从左到右分别为，
所以，，，，
所以，故函数的所有零点之和为9.
2．（23-24高一上·云南德宏·期末）函数（，，）的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，，求实数的取值范围，并求的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据三角函数的图象与性质计算即可；
（2）先根据三角函数的图像变换得，结合正弦函数的单调性、对称性可判定的取值范围与的值.
【详解】（1）由图可知，，
∵ ， ∴ ， ，
又， ∴ ，，
解得 ，，由可得，
∴．
（2）将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，则当时，；
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，∴；
由对称性可知，
∴ ，∴，
∴ .
3．（23-24高一下·浙江温州·开学考试）已知函数（其中）的图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若将函数的图象上的所有点向右平移，再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若函数在有零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数图象，依次求得的值，从而求得的解析式.
（2）根据三角函数图象变换的知识求得，根据在区间上的值域求得正确答案.
【详解】（1）由图可知，，，
，由于，
所以，所以.
（2）将函数的图象上的所有点向右平移，得到，
再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数，
由得，此时，
所以要使函数在有零点，则.
4．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数．
(1)求函数在R上的单调递增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若实数满足，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简函数得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）根据三角函数的图象变换，求得，根据题意，得到为函数的最值，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）解：将函数的图形向左平移个单位长度，
得到，
再将得到的函数图象向上平移1个单位长度，可得，
由实数满足，则为函数的最值，
不妨设，
则，
解得，
则，
当或时，此时.
高频考点六：三角函数模型
典型例题
例题1．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）深圳别称“鹏城”，“湾区之光”摩天轮位于深圳，是目前亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.已知某摩天轮的直径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，摩天轮运行时按逆时针方向匀速旋转，转一周需要．

(1)游客甲从最低点坐上摩天轮的座舱，转动后距离地面的高度为，求在转动过程中，关于的函数解析式；
(2)已知游客在距离地面时的高度能够获得最佳视觉效果，记某游客从坐上摩天轮后达到最佳视觉效果的时刻依次为，求．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由题意以摩天轮中心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系求出解析式即可；
（2）令，解出时间，即为达到最佳视觉效果的时刻，求解即可.
【详解】（1）以摩天轮中心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系．

由题意，摩天轮的角速度
所以甲所在的位置的纵坐标
则．
所以关于的函数解析式
（2）令，则．
或，
或，
可得当时，，．当时，，
综上所述，该游客坐上摩天轮后第四次达到最佳视觉效果的时刻．
例题2．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）在校园美化、改造活动中，甲、乙两所学校各要修建一个矩形的观赛场地．
(1)甲校决定在半径为30m的半圆形空地的内部修建一矩形观赛场地．如图所示，求出观赛场地的最大面积；
(2)乙校决定在半径为30m、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示，设中点为M，连接交于N，记，请你确定B点的位置，使观赛场地的面积最大，并求出最大面积．
【答案】(1)
(2)当时，矩形的面积最大，最大值为.
【分析】（1）首先设，得到，，从而得到，再利用三角函数图象的性质即可得到面积的最大值.
（2）首先，得到，，，，从而得到，再利用三角函数的图象性质即可得到面积的最大值.
【详解】（1）如图所示：
设，则，且，，
易知为的中点，所以，
当，即时，.
故观赛场地的面积的最大值为.
（2）如图所示：
，则，且，，
，，
，
当，即时，，
此时.
故当时，矩形的面积最大，最大值为.
例题3．（23-24高一上·广西贺州·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30．
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为m，已知H关于t的函数解析式满足（其中），求摩天轮转动一周的函数解析式；
(2)若甲、乙两人分别坐1号和9号座舱（即甲乙中间间隔7个座舱），在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．
【答案】(1)，（）
(2)，，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为55米
【分析】（1）根据周期以及即可求解，
（2）根据和差角公式以及三角恒等变换，结合三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系.
设时，游客甲位于，得到以为终边的角为，
根据摩天轮转一周需要30，可知座舱转动的速度约为，
由题意可得，，（），
（2）甲、乙两人的位置分别用点、表示，则，
经过后，甲距离地面的高度为，
点相对于始终落后，
此时乙距离地面的高度，
则甲、乙高度差为
，，
所以当（或）时，的最大值为55，
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为55米
练透核心考点
1．（23-24高一下·上海·开学考试）如图所示，某市政府决定在以政府大楼为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径，与之间的夹角为．

(1)当时，求边的长.（结果保留两位小数）
(2)求矩形的面积最大值是多少？（结果保留两位小数）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题先用表示出，进而表示出,从而得解；
（2）利用（1）中结论用表示，再利用三角函数的性质即可得解.
【详解】（1）由题意可知，点为的中点，所以，，
记与的交点为，，

则，，
则，
当时，
.
（2）因为
，．
因为，则．
所以当，即时，有最大值．
．
故当时，矩形的面积有最大值.
2．（2024高一下·上海·专题练习）某旅游景区拟建一广告牌，将边长为米的正方形和边长为米的正方形在点处焊接，、、、均用加强钢管支撑，其中支撑钢管、垂直地面于点和点，且、、长度相等，（不计焊接点大小）.
(1)若时，求焊接点离地面距离；
(2)若记为，求加强钢管最长为多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用勾股定理求得边长的值，再计算离地面的距离；
（2）在中，由余弦定理得的表达式，在中，由正弦定理求出，结合得出，即可求解．
【详解】（1）支撑钢管垂直地面于点和点，且长度相等，
【分析】（1）根据函数的最大值和最小值可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，求出该函数的最小正周期，可得出的值，再由，结合的取值范围，可得出的值，由此可得出函数的解析式；
（2）在时，解不等式即可得出结论.
【详解】（1）解：由题意知的最大值为，最小值为，
所以，，解得，
由题意可知，函数的最小正周期为，
则，所以.
当时，，即，可得，
又，所以，所以，.
（2）解：令，得.
由，得，所以，解得，
即在水轮转动的一圈内，点在水面下方的时段是秒到秒.
第四部分：新定义题
1．（22-23高一下·四川成都·阶段练习）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
(1)设函数，试求的伴随向量；
(2)记向量的伴随函数为，求当且时，的值；
(3)已知将（2）中的函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，若存在，使成立，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后由函数的伴随向量的定义可求得结果，
（2）由定义求出，由得，再由同角三角函数的关系可求得，然后由化简可得答案，
（3）先利用三角函数图象变换规律求出，由可求得，令，则可化为，然后利用二次函数的性质讨论可求得结果.
【详解】（1）
，
所以.
（2）
依题意，
由得，
，所以，
所以.
（3）将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得，
再把整个图象向右平移个单位长度，得，
所以，
若，则，所以
令，则可化为，
即，
因为函数是开口向上，对称轴为的二次函数，
所以时，函数单调递减；时，函数单调递增，
所以，
又当时，；当时，，
所以；
因为存在，使成立，
所以存在使成立，
因此只需. -
【点睛】
关键点点睛：此题考查三角函数的综合问题，考查三角函数图象变换规律，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是对三角函数恒等变换公式的正确应用，考查计算能力和转化能力，属于较难题.
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