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第06讲 拓展一：平面向量的拓展应用
目录
高频考点一：平面向量夹角为锐角问题 1
高频考点二：平面向量夹角为钝角问题 2
高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题（定义法） 3
高频考点四：平面向量模的最值（或范围）问题（几何法） 4
高频考点五：平面向量模的最值（或范围）问题（三角不等式法） 5
高频考点六：平面向量模的最值（或范围）问题（坐标法） 6
高频考点七：平面向量数量积最值（或范围）问题（定义法） 7
高频考点八：平面向量数量积最值（或范围）问题（向量数量积几何意义法） 7
高频考点九：平面向量数量积最值（或范围）问题（坐标法（自主建系法）） 8
高频考点十：平面向量数量积最值（或范围）问题（积化恒等式法） 10
高频考点一：平面向量夹角为锐角问题
典型例题
例题1．（2024·陕西·模拟预测）已知：向量与的夹角为锐角．若是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ．
例题3．（2024高一·全国·专题练习）已知，是夹角为的两个单位向量．若，，其中，若，的夹角为锐角，求的取值范围．
练透核心考点
1．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）已知平面向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 ．
2．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）已知与的夹角为.
(1)求在方向上的投影向量;
(2)求的值;
(3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
高频考点二：平面向量夹角为钝角问题
典型例题
例题1．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）已知，与的夹角为，若向量与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（23-24高一下·重庆·阶段练习）若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
例题3．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）已知向量与的夹角为，且.
(1)求；
(2)求与的夹角的余弦值；
(3)若与夹角为钝角，求实数k的取值范围.
练透核心考点
1．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）设两个向量，满足，，，之间的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设两个向量满足，
(1)求在上的投影向量（用坐标表示）；
(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围.
高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题（定义法）
典型例题
例题1．（2024·河南信阳·模拟预测）已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（ ）
A．4 B．2 C． D．5
例题2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）向量满足，，，则的最大值为 .
练透核心考点
1．（2024·全国·模拟预测）在中，，，为的中点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）若、是平面内两个互相垂直，且模长都是2的向量，向量满足，则的最大值是 ．
3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）定义：已知两个非零向量与的夹角为.我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即.
(1)若向量，，求；
(2)若平行四边形的面积为4，求；
(3)若，，求的最小值.
高频考点四：平面向量模的最值（或范围）问题（几何法）
典型例题
例题1．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
例题2．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知向量、垂直，且，若，则的最小值为（ ）
A．34 B．26 C．24 D．14
例题3．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知平面向量满足，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．3
练透核心考点
1．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知向量满足，，则的最大值等于（ ）
A． B． C．2 D．
2．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
高频考点五：平面向量模的最值（或范围）问题（三角不等式法）
典型例题
例题1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知平面向量，，满足：，，，则 ，且的取值范围为 .
练透核心考点
1．（2024·全国·模拟预测）已知为单位向量，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
高频考点六：平面向量模的最值（或范围）问题（坐标法）
典型例题
例题1．（23-24高二上·福建泉州·期中）在棱长为2的正方体中，为中点，在平面内，且满足.则点的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高三·浙江·开学考试）均为单位向量，且它们的夹角为45°，设，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（23-24·浙江温州·模拟预测）已知平面向量满足，则的取值范围是 ．
练透核心考点
1．（23-24高三上·重庆九龙坡·期中）已知，，，，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知五个点，满足：，，则的最小值为 ．
3．（23-24高三上·河南驻马店·阶段练习）△QAB是边长为6的正三角形，点C满足，且，，，则的取值范围是 .
高频考点七：平面向量数量积最值（或范围）问题（定义法）
典型例题
例题1．（23-24高三上·陕西西安·期中）在直角中，，点M是外接圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
例题2．（23-24高三上·北京大兴·期中）已知等边的边长为，分别是的中点，则 ；若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
练透核心考点
1．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知中，，，的对边，，成等比数列，，延长至点，使.求：
(1)的大小；
(2)的取值范围.
高频考点八：平面向量数量积最值（或范围）问题（向量数量积几何意义法）
典型例题
例题1．（2024·全国·模拟预测）如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
(2)若 求实数λ的值；
(3)在（2）的条件下，若M，N是线段BC上的动点， 且 求 的最小值.
练透核心考点
1．（多选）（23-24高一下·四川凉山·阶段练习）已知梯形ABCD中，，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的值可能为（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2024·天津河西·一模）在中，D是AC边的中点，，，，则 ；设M为平面上一点，且，其中，则的最小值为 ．
3．（23-24高一下·山东济宁·阶段练习）如图，已知是边长为的正方形的中心，质点从点出发沿方向，同时质点也从点出发沿方向在该正方形上运动，直至它们首次相遇为止．已知质点的速度为，质点的速度为．
(1)请将表示为时间（单位：）的函数______；
(2)求的最小值．
高频考点十：平面向量数量积最值（或范围）问题（积化恒等式法）
典型例题
例题1．（23-24高一下·江苏苏州·期中）阅读一下一段文字：，，两式相减得 我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．
(1)若AD＝6，BC＝4，求的值；
(2)若，，求的值．
例题2．（23-24高一下·贵州·阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点.
(1)若，求的面积；
(2)若，求的值.
练透核心考点
1．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（ ）
A．32 B．-32 C．16 D．-16
2．（23-24高一下·广东潮州·阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点.
(1)若，求的面积；
(2)若，求的值；
(3)若为平面内一点，求的最小值.
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第06讲 拓展一：平面向量的拓展应用
目录
高频考点一：平面向量夹角为锐角问题 1
高频考点二：平面向量夹角为钝角问题 4
高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题（定义法） 8
高频考点四：平面向量模的最值（或范围）问题（几何法） 11
高频考点五：平面向量模的最值（或范围）问题（三角不等式法） 17
高频考点六：平面向量模的最值（或范围）问题（坐标法） 19
高频考点七：平面向量数量积最值（或范围）问题（定义法） 25
高频考点八：平面向量数量积最值（或范围）问题（向量数量积几何意义法） 27
高频考点九：平面向量数量积最值（或范围）问题（坐标法（自主建系法）） 31
高频考点十：平面向量数量积最值（或范围）问题（积化恒等式法） 37
高频考点一：平面向量夹角为锐角问题
典型例题
例题1．（2024·陕西·模拟预测）已知：向量与的夹角为锐角．若是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用向量夹角为锐角得到关于的不等式组，进而求得的取值范围，再结合为假命题取的取值范围的补集即可得解.
【详解】当向量向量与的夹角为锐角时，
有且与方向不相同，即，解得且，
因为是假命题，所以实数的取值范围是.
故选：C.
例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】根据题意可知，，，，可得出的取值范围，再计算与同向时的值，即可得的取值范围.
【详解】因为与的夹角为锐角，
所以，且与不同向，
所以，
因为，为互相垂直的单位向量，
所以，，，
所以，可得，
当与同向时，，即，
可得，可得，此时不满足与的夹角为锐角，
综上所述：实数的取值范围为且.
故答案为：且.
例题3．（2024高一·全国·专题练习）已知，是夹角为的两个单位向量．若，，其中，若，的夹角为锐角，求的取值范围．
【答案】．
【分析】
向量的夹角为锐角，转化成为向量的数量积大于0，且向量不共线，从而求参数的取值范围.
【详解】
∵，是夹角为的两个单位向量，
所以，
因为，的夹角为锐角，
由
.
由，
综上，的取值范围是且，即.
练透核心考点
1．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）已知平面向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】
因夹角为锐角可知数量积大于0，但要去掉夹角为0的情况.
【详解】
由题意知，得，
当时，，得
故答案为：且
2．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）已知与的夹角为.
(1)求在方向上的投影向量;
(2)求的值;
(3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接根据投影向量的概念求解；
（2）通过展开计算；
（3）根据，且与不共线计算求解.
【详解】（1）在方向上的投影向量为；
（2）；
（3）因为向量与的夹角为锐角，
所以，且与不共线，
对于，
得，
解得，
若与共线，
则存在，得，解得，
所以若向量与的夹角为锐角，实数的取值范围为.
高频考点二：平面向量夹角为钝角问题
典型例题
例题1．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）已知，与的夹角为，若向量与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意当且仅当且与不反向才满足题意，由此解不等式组即可求解.
【详解】已知，与的夹角为，则，
由题意，
，又时，与反向，
，且
故选：C.
例题2．（23-24高一下·重庆·阶段练习）若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】
两向量的夹角为钝角，等价于两向量的数量积小于零且两向量不同向共线，由此可求参数的取值范围.
【详解】
因为向量，的夹角为钝角，
所以且不同向共线，
由；
由；
所以，的夹角为钝角，可得的取值范围是：.
故答案为：
例题3．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）已知向量与的夹角为，且.
(1)求；
(2)求与的夹角的余弦值；
(3)若与夹角为钝角，求实数k的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据定义得出内积的值，并根据展开得到；
（2）利用直接计算即可得到结果；
（3）将条件转化为且，然后计算，解不等式即可得到结果.
【详解】（1）由题目条件知，.
（2）.
（3）由于，
，
，
而与夹角为钝角，这等价于且.
从而且，即且.
将方程变形为，
整理得到，即.
这在时一定不成立，故可直接去除该条件.
从而的取值范围是.
练透核心考点
1．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）设两个向量，满足，，，之间的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，，且不能共线反向，再求解即可得实数的取值范围；
【详解】因为，，与的夹角为，
所以，
因为向量与向量的夹角为钝角，
所以且不能共线反向，
若，
则，
解得，
若向量与向量共线反向，则有，
即，解得（舍去）或，所以，
综上可得实数的取值范围.
故选：B
2．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设两个向量满足，
(1)求在上的投影向量（用坐标表示）；
(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得.
（2）利用向量夹角的余弦，结合共线向量的坐标表示求解即得.
【详解】（1）依题意，，所以在上的投影向量是.
（2）由，得，
，
由向量与向量的夹角为钝角，得，且与不共线，
因此，整理得，解得且，
所以实数的取值范围是.
高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题（定义法）
典型例题
例题1．（2024·河南信阳·模拟预测）已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（ ）
A．4 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】利用进行转化，把转化成二次函数，再用二次函数的性质求值域.
【详解】因为，
所以
所以，所以.
故选：C
例题2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设向量，的夹角为，求得的表达式，利用平方的方法，结合余弦函数的值域等知识求得正确答案.
【详解】设向量，的夹角为，则，
因为，
所以，
令，则，
因为，所以，又，所以.
故选：C
例题3．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）向量满足，，，则的最大值为 .
【答案】
【分析】利用数量积的运算法则求得，从而假设的坐标，进而得到的三角表示，再结合三角恒等变换即可得解.
【详解】因为，，
所以，则，
则，所以，
又因为，所以，
则可设，则，
又因为，所以，
故又可设的坐标为，
所以
，
因此，所以最大值为.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2024·全国·模拟预测）在中，，，为的中点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由平面向量基本定理及数量积求出余弦定理求出，解法一利用重要不等式求解即可；解法二先利用重要不等式求的最大值，再结合题意求解即可；解法三根据数形结合得出三点共线时取得最大值，进而求出.
【详解】记，由于，为的中点，则，
等式两边平方得:．
在中，由余弦定理得．
解法一：因为，所以，
当且仅当时，等号成立，所以，故．
解法二：因为
当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为．
又，所以的最大值为．
解法三：在中，，，
所以外接圆圆的半径为，．
在中，．
因为，，
当且仅当三点共线时等号成立，所以的最大值为．
故选:B．
2．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）若、是平面内两个互相垂直，且模长都是2的向量，向量满足，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】首先根据数量积公式展开，再化简，转化为三角函数求最值.
【详解】、是平面内两个互相垂直，且模长都是2的向量，
设，，
，，
，
，
其中为向量与之间的夹角，，
或，
，，
，
的最大值是.
故答案为：.
3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）定义：已知两个非零向量与的夹角为.我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即.
(1)若向量，，求；
(2)若平行四边形的面积为4，求；
(3)若，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量数量积的运算求得，从而利用新定义即可得解；
（2）利用平行四边形的面积公式，结合新定义即可得解；
（3）利用新定义与向量数量积的定义求得的夹角，从而得到，再利用向量数量积的运算法则与基本不等式即可得解.
【详解】（1）因为，，
则，
所以，
因为是向量的夹角，所以，
因此，故.
（2）因为平行四边形ABCD的面积为4，
所以，所以.
（3）因为，
所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.
高频考点四：平面向量模的最值（或范围）问题（几何法）
典型例题
例题1．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知由向量垂直可得的模，再由不等式恒成立，结合图象可得，从而可得，接下来方法一，直接对进行平方化简，由二次函数最值可解；方法二，由三点共线基本定理，结合三角形面积公式和余弦定理可解.
【详解】和相互垂直，
则，则，
结合图象，，
则 ，
因为恒成立，则，
即，则，
法（一）：
对称轴时：
，即
法（二）：，因为，
所以向量的终点共线（起点重合），
则的面积，
，所以.
故选:．

【点睛】关键点点睛：数形结合发现，，则 ，因为恒成立，则.
例题2．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知向量、垂直，且，若，则的最小值为（ ）
A．34 B．26 C．24 D．14
【答案】B
【分析】取点，使得，在取一动点，设，转化为，过点作，使得点与关于对称，结合三点共线，即可求解.
【详解】如图所示，在直角中，由已知得，
在上取点，使得，
在取一动点，设，
则，
过点作，取，则点与关于对称，
所以，
当且仅当三点共线时，取得最小值，最小值为.
故选：B.
例题3．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知平面向量满足，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】根据向量加减法的平行四边形法则作图，问题转化为求的最值，利用外接圆数形结合可求最值.
【详解】设，如图，

由题意，即在平行四边形中，，，
求的最大值.
延长至，使，则，
由正弦定理，三点所在外接圆的直径，
所以，设圆心为，如图，

所以可知，又，
所以由余弦定理可得，
则由图象可知，
故选：C
练透核心考点
1．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知向量满足，，则的最大值等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由，即得到点共圆，再利用余弦定理和正弦定理求解即可.
【详解】设，
因为，，所以，
又，所以，所以点共圆，
要使的最大，即为直径，
在中，由余弦定理可得，
又由正弦定理，
即的最大值等于，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是由向量之间的夹角确定点共圆，再由正弦和余弦定理求解即可.
2．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】易知以为邻边作平行四边形为矩形，由平面向量可证明，再由可得其取值范围.
【详解】以为邻边作平行四边形，
由可得四边形为矩形，如下图所示：
，
可得，
解得，即，
即点轨迹是以为圆心，半径为的圆，
易知，，
所以线段的长的取值范围是.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本意关键在于利用平面向量证明求得，再结合圆上点到定点距离最值问题求得结果.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题设向量模长和垂直条件，考虑运用几何法求解，由想到构造矩形，运用极化恒等式推导出结论，求得,最后用三角形三边关系定理得到的范围，转化即得.
【详解】
如图，设，，，点在圆上，
点在圆上，则，，由可得：，
作矩形, 则.
下证： .
设交于点，连接,因则 ，
同理可得：，两式左右分别相加得：
，
.
即，故.
又，因，
即，故有．
故选:C．
【点睛】
方法点睛：本题考查平面向量的线性运算的模长范围问题，属于较难题.
处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有：
（1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得；
（2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得；
（3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直.
高频考点五：平面向量模的最值（或范围）问题（三角不等式法）
典型例题
例题1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知平面向量，，满足：，，，则 ，且的取值范围为 .
【答案】 5
【分析】第一空：直接根据模的计算公式即可求解；第二空，由向量之间的“三角不等式”即可求解.
【详解】第一空：因为，，，
所以，
；
第二空：对于两个向量，有，
进一步有，
所以，
注意到，，
从而，等号成立当且仅当反向，
，等号成立当且仅当同向，
所以的取值范围为.
故答案为：5；.
【点睛】关键点点睛：第一空的关键是在于利用整体思想结合，得到，其中，，由此即可顺利得解.
练透核心考点
1．（2024·全国·模拟预测）已知为单位向量，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
【答案】B
【分析】由，得，可得，由，当等号成立时可得最小值.
【详解】为单位向量，有，得，
由，得，
有，所以，
，
，，有，
则，
当且仅当与方向相反时“”成立，
如取时，可使“”成立.
所以.
故选：B．
【点睛】关键点点睛：
本题关键点是由已知条件得，这样就能得到.
高频考点六：平面向量模的最值（或范围）问题（坐标法）
典型例题
例题1．（23-24高二上·福建泉州·期中）在棱长为2的正方体中，为中点，在平面内，且满足.则点的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先考虑的轨迹，再结合该轨迹可在平面直角坐标系中求出的取值范围.
【详解】
如图，连接，因为平面，平面，
故，而，，
故平面，而平面，故.
在平面中建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
因为，故在以为直径圆上（如图所示），
且圆的方程为：即，
设，则，
故，
设，则表示，
由图可得，故，
故选：B.
【点睛】思路点睛：对于空间中的动点的轨迹问题，可利用空间中位置关系的判断方法找到平面上动点满足的轨迹方程，从而把空间问题平面化.
例题2．（23-24高三·浙江·开学考试）均为单位向量，且它们的夹角为45°，设，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】建立直角坐标系，求得向量，的终点轨迹方程是圆和直线，利用圆心到直线距离减去半径得到最小值得解
【详解】设，
以的方向为正方向，所在直线为轴，垂直于所在直线为 轴，建立平面直角坐标系
均为单位向量，且它们的夹角为45°，则 ，
，设
满足
，设
,故 ，
则，则 的最小值为圆上的点到直线 距离的最小值
其最小值为
故选:C.
【点睛】向量模长最值问题转化为点到直线距离是解题关键，属于中档题.
例题3．（23-24·浙江温州·模拟预测）已知平面向量满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题可得当时适合题意，当时，不妨设，结合条件可得存在，使，进而分类讨论即得.
【详解】当时，取明显成立，
当时，不妨设，则，
∴，
即存在，使，
当时，，不合题意，
当时，存在，使，即适合题意；
综上，的取值范围是.
故答案为：.
练透核心考点
1．（23-24高三上·重庆九龙坡·期中）已知，，，，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题设易知四边形为矩形，构建以为原点直角坐标系，将问题转化为平面上满足的情况下，结合两点距离公式求两点距离的范围.
【详解】由题设，四边形为矩形，构建以为原点的直角坐标系，如下图，

若，则，设，
∴，且，
又，
∴，即.
故选：B
【点睛】关键点点睛：构建直角坐标系，将平面向量的模长问题转化为平面上两点的距离问题，应用解析法求范围.
2．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知五个点，满足：，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据题意设出合理的向量模，再将其置于坐标系中，利用坐标表示出，再用基本不等式求解出最值即可.
【详解】因为，
所以，，，
由题意设，则，，
设，如图，因为求的最小值，
则，，，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：首先是对向量模的合理假设，然后为了进一步降低计算的复杂性，我们选择利用坐标法将涉及的各个点用坐标表示，最后得到，再利用基本不等式即可求出最值.
3．（23-24高三上·河南驻马店·阶段练习）△QAB是边长为6的正三角形，点C满足，且，，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意建立坐标系，写出点坐标，表示出，再求向量，再根据已知，，得，，代入得，再根据二次函数的性质求解即可.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，
∴ ，，，∴ ，
∴
∴，
∵，，
∴ ，，
∴，
∴由二次函数的性质知，∴
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查向量坐标运算，模的求解，解题的关键在于根据已知用表示向量的模，考查学生的数学运算能力，属于一般题.
高频考点七：平面向量数量积最值（或范围）问题（定义法）
典型例题
例题1．（23-24高三上·陕西西安·期中）在直角中，，点M是外接圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】由平面向量的线性运算，结合向量的数量积的运算公式，即可求解最大值，得到答案．
【详解】由题意，设△ABC的外心即BC中点为O，
由平面向量的线性运算，知，
所以=，
由图可知：==，
当时，，
，
故选：D．

【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算和平面向量的数量积的运算公式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
例题2．（23-24高三上·北京大兴·期中）已知等边的边长为，分别是的中点，则 ；若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】第一空：通过展开整理，带入数据计算即可；第二空：设，通过展开整理，带入数据然后配方求最值.
【详解】
;
若是线段上的动点，且，不妨设点相对更靠近点，
设，
，
当时，取最小值，且为.
故答案为：；.
练透核心考点
1．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知中，，，的对边，，成等比数列，，延长至点，使.求：
(1)的大小；
(2)的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据三角形内角和，，化简得 ，又，则，利用两角和公式即可得解；
（2）根据（1）的结论，，故为等边三角形，设的边长为， ，结合的范围即可得解.
【详解】（1）.①
又，则②
故
或（舍去）.又，从而，.
（2）由（1）结论，①+②得
则，故为等边三角形.
设的边长为.则.
故
，当且仅当时，上式等号成立.故的取值范围是.
高频考点八：平面向量数量积最值（或范围）问题（向量数量积几何意义法）
典型例题
例题1．（2024·全国·模拟预测）如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解法一 连接，，设，根据向量的线性运算用，表示出，然后结合三角函数的性质即可求得结果．
解法二 以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，根据数量积的坐标表示得到，再结合三角函数的性质即可求得结果．
解法三 借助向量投影的知识将转化，找到取得最值时点的位置，即可求得结果．
【详解】解法一 ：如图所示：

连接，设，连接，依题意得，，，，
则，
．
因为，所以，（三角函数的有界性）
所以．
故选：C．
解法二 如图，

以为坐标原点，以直线为轴，过且和垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，
则依题意可得，，，
因为圆的半径为1，所以可设，
所以，，所以，
又，（三角函数的有界性）
所以．
故选：C．
解法三 如图所示：

设，则．
可看成是在上的投影，
当点与重合时最小，最小值为，
当点与重合时最大，最大值为0，
故．
故选：C．
例题2．（2024高三·江苏·专题练习）如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为 ．

【答案】
【分析】根据数量积的定义，由投影的几何意义并结合图形即可求得其范围.
【详解】，由投影的定义知，
结合图形得，当与半圆弧相切于P点的直线平行于BC时，最大为，
此时；
当P在C或B点重合时，最小为，
此时
即可得
故答案为：
练透核心考点
1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知平行四边形ABCD中，，，，若以C为圆心的圆与对角线BD相切，P是圆C上的一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意做出图形，结合平面向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果
【详解】如图所示，过作的平行线交圆于点，过作，垂足为，
在平行四边形中，，，，
可得，，则由余弦定理可得，
由，可得，则四边形为正方形，
则，因为，
则的最小值为，
即的最小值为，故C正确。
故选：C.
2．（2024·辽宁沈阳·一模）已知是半径为1的球面上不同的三点，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】根据数量积的几何意义结合二次函数的性质即可求解.
【详解】是球面上不同的三点，不共线，故平面截球面得到的是一个圆，
记此圆半径为，当且仅当平面过球心时，.
在半径为的圆中，对于任意的弦，过作于,
由向量数量积的几何意义知，当在如图所示的位置时，
取最小值，
则的最小值为，
当时，取最小值，
又的最大值为1，故所求最小值为.
故答案为：
高频考点九：平面向量数量积最值（或范围）问题（坐标法（自主建系法））
典型例题
例题1．（23-24高一下·全国·期末）在边长为2的正方形中，动点P，Q在线段上，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】方法一：设的中点为，则可得，化简后可求出其最小值；方法二：建立平面直角坐标系如图所示.设，则，化简后可求得其最小值.
【详解】方法一：设的中点为，
则
（当为中点时取等号）.
方法二：建立平面直角坐标系如图所示.设，
因为在边长为2的正方形中，动点P，Q在线段上，且，
所以，，
所以
，
所以当时，有最小值1.
故选：C.
例题2．（2024·全国·模拟预测）已知在菱形ABCD中，，若点M在线段AD上运动，则的取值范围为 ．
【答案】．
【分析】解法一：建立平面直角坐标系，求的坐标，结合数量积的坐标表示求再求其范围；
解法二：根据数量积的定义，结合数量积的几何意义求的范围.
【详解】解法一：，
记的交点为，以为原点，所在直线分别为x，y轴建立如图1所示的平面直角坐标系，
则，，，，，
故，，
则，
故，又
则．
解法二：，
如图2所示，当M在线段AD上运动时可得，
即，又，
所以．
故答案为：
例题3．（23-24高一下·天津红桥·阶段练习）如图， 在四边形中，， ， ，
(1)求的值；
(2)若 求实数λ的值；
(3)在（2）的条件下，若M，N是线段BC上的动点， 且 求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据数量积公式求解；
（2）根据，可得，即可得，根据数量积公式，可得AD的长，分析即可得答案；
（3）如图建系，求得D点坐标，设，则，即可得坐标，根据数量积公式，结合x的范围，即可得答案.
【详解】（1）.
（2）因为，
所以，所以，
所以，
所以，又，
所以，即.
（3）以BC为x轴正方向，过B作BC垂线为y轴，建立坐标系，如图所示，
因为，
所以，则，
设，则，
因为是线段上的两个动点，
所以，解得，
所以，
所以，
所以当时，有最小值.
练透核心考点
1．（多选）（23-24高一下·四川凉山·阶段练习）已知梯形ABCD中，，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的值可能为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】AD
【分析】以为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，设，，利用坐标表示向量，计算向量的数量积的范围即可求解．
【详解】以为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，不妨设，，则；
所以，，
，
因为，所以．
故选：AD．
2．（2024·天津河西·一模）在中，D是AC边的中点，，，，则 ；设M为平面上一点，且，其中，则的最小值为 ．
【答案】 4
【分析】以为基底，由，求出；建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算把表示为关于的函数，由二次函数性质求最小值.
【详解】中，D是AC边的中点，，，
，
解得，即；
中，，，，
以为坐标原点，为轴，点在第一象限，建立如图所示为平面直角坐标系，

则有，设
由，得，
解得，，即，
则有，，
，
则有时，有最小值.
故答案为： 4；.
3．（23-24高一下·山东济宁·阶段练习）如图，已知是边长为的正方形的中心，质点从点出发沿方向，同时质点也从点出发沿方向在该正方形上运动，直至它们首次相遇为止．已知质点的速度为，质点的速度为．
(1)请将表示为时间（单位：）的函数______；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件，建立平面直角坐标系，求出各点坐标，分，与，利用向量的数量积的坐标表示，即可求出的表达式，
（2）根据（1）的结论及分段函数分段处理，结合一次函数与二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，解得，所以，
当时，，
则，
当时，，
则，
当时，，
则，
综上，
（2）当时由（1）知单调递减，
所以当时，取得最小值，最小值为．
当时，由知，当时，取得最小值，最小值为；
当时，由知，当时，取得最小值，最小值为0．
综上的最小值为．
高频考点十：平面向量数量积最值（或范围）问题（积化恒等式法）
典型例题
例题1．（23-24高一下·江苏苏州·期中）阅读一下一段文字：，，两式相减得 我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．
(1)若AD＝6，BC＝4，求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
解；
（2）先利用极化恒等式得，由得，代入极化恒等式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
即，所以，
又，所以，
所以；
（2）因为，，
由极化恒等式得，
所以，
又，所以，
由极化恒等式得.
练透核心考点
1．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（ ）
A．32 B．-32 C．16 D．-16
【答案】D
【分析】由题设有，代入极化恒等式求即可.
【详解】由题设，，，
.
故选：D
2．（23-24高一下·广东潮州·阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点.
(1)若，求的面积；
(2)若，求的值；
(3)若为平面内一点，求的最小值.
【答案】(1)10；
(2)240；
(3)-32.
【分析】（1）结合数量积的定义和三角形面积公式求解；
（2）根据“极化恒等式”列出式子计算即可
（3）连接，，取的中点，连接，将进行转化求最值.
【详解】（1）因为，所以，
即，所以，
又，所以，
所以；
（2）因为，，
由极化恒等式得
，
所以，
又，所以，
由极化恒等式得
；
（3）连接，，取的中点，连接，
由，，
则
，
所以当点与重合时， .
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