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(共48张PPT)
第 3 章
3.3 幂函数
人教A版2019必修第一册
幂函数
学习目标
1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质．
2.掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性比较幂值的大小．
3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.
目录
CATALOG
01.幂函数的概念
03.题型强化训练
02.幂函数的图象与性质
04.小结及随堂练习
01
幂函数的概念
3.3 幂函数
函数的性质
前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图像的观察，研究了函数的一些性质（单调性，奇偶性）．
设函数f(x)的定义域为I，区间D I， x1， x2∈D，且x1如果都有f(x1)如果都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上单调递减．
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，
且f(－x)=f(x)（f(－x)=－f(x)），那么函数f(x)就叫做偶函数(奇函数)
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
导入新知
学习新知
(1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
(4)如果正方形广场的面积为S，那么广场的边长 ，这里c是S的函数；
(5)如果某人t秒内汽车前进了1km，那么他的平均速度 km/s，这里
V是t的函数；
先看几个实例：
学习新知
上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数．
（1）都具有幂的形式；
（2）均是以幂的底为自变量；
（3）幂的指数都是常数；
（4）自变量前的系数为1．
观察（1）~（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？
幂函数的概念
学习新知
函数
图像
R
R
在R
上单调递增
奇函数
R
[0，+∞）
在(-∞,0]上单调递减，在[0,+∞）单调递增
偶函数
R
R
在R
上单调递增
奇函数
定义域
值域
单调性
奇偶性
定点
[0，+∞）
[0，+∞）
在[0，+∞）上单调递增
非奇非偶函数
(-∞,0)∪(0,+∞)
(-∞,0)∪(0,+∞)
在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递减
奇函数
（1，1）
幂函数的图像特征及性质
学习新知
幂函数的图像特征及性质










（1）图像都过点（1，1)；
（2）图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限；
奇函数的图像在第一和第三象限；
偶函数的图像在第一和第二象限；
非奇非偶函数的图像在第一象限；
注：α>0时函数图像经过原点，α≤0时函数图像不经过原点．
（3）当α<0时，函数在(0，+∞)单调递减；
当α>0时，函数在(0，+∞)单调递增．
（4）函数的图像在第一象限以(1，1）为支点，成跷跷板，左高右低，左低右高；
（5）当x>1时，函数图像从上往下，α逐渐减小．
总结新知
[拓展]　幂函数的图象与性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)．
(2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．
特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
(3)如果α＜0，那么幂函数在原点处无意义，其图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右侧趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴．
(4)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
总结新知
2.常见幂函数的图象和性质
幂函数
定义域 R R {x|x≠0}
值域 R [0,+∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 R上递增 (-∞,0]递减 (0,+∞)递增 (-∞,0)和(0,+∞)递减
图象
公共点 ——
[0,+∞)
R
R
[0,+∞)
奇函数
非奇非偶
(1,1)
(0,0)
R上递增
[0,+∞)递增
02
幂函数的图象
与性质
3.3 幂函数
应用新知
1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
思考：
（1）你学过的函数中哪些是幂函数？
（2）一次函数、二次函数都是幂函数吗？
应用新知
分别 画出五个简单幂函数的图象：
y=x2
x
y
o
y=x
y=x3
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
应用新知
在同一坐标系下画出五个简单幂函数的图象：
应用新知
观察函数图象，将你发现的结论写在下表内：
定义域
值 域
奇偶性
单调性
定 点 R
R
R
R
R
[0 , + ∞)
[0 , + ∞)
[0 , + ∞)
非奇非偶
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
增函数
增函数
增函数
(0 , +∞)
(- ∞ , 0)
减
减
过定点（1，1）
(0 , +∞)
减
增
(- ∞ , 0)
应用新知
通过图3.3-1与表3.3-1，我们得到：
学习新知
学习新知
学习新知
03
题型强化训练
3.3 幂函数
能力提升
题型一 幂函数的概念
能力提升
题型二：幂函数的图象及应用
能力提升
题型二：幂函数的图象及应用
能力提升
题型三：利用幂函数的单调性比较大小
能力提升
题型三：利用幂函数的单调性比较大小
能力提升
题型三：利用幂函数的单调性比较大小
能力提升
题型三：利用幂函数的单调性比较大小
能力提升
题型三：利用幂函数的单调性比较大小
直接法 当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较
转化法 当幂指数不同时，可以先转化为相同的幂指数，再利用单调性来比较大小
中间量法 当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的
能力提升
题型三：利用幂函数的单调性比较大小
分类 比较对象 方法
指数相同，底数不同
底数相同，指数不同 利用不等式性质
底数、指数都不同
能力提升
题型四：根据单调性求参数值(或范围)
能力提升
题型四：根据单调性求参数值(或范围)
能力提升
题型五：幂函数性质的综合应用
能力提升
题型五：幂函数性质的综合应用
04
小结及随堂练习
3.3 幂函数
课堂小结1
课堂小结2
幂函数的概念：
一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
【2】 的底数为自变量;

【1】 的系数为1;

【3】 的指数为常数．

只有同时满足这三个条件的函数，才是幂函数．
幂函数的重要性质：
（1）图像都过点（1，1)；
（2）图像一定会出现在第一象限，
一定不会出现在第四象限；
（3）当α<0时，函数在第一象限单调递减；
当α>0时，函数在第一象限单调递增．
课堂小结3
函数
图像
定义域 R R R [0，+∞） (-∞，0)∪(0，+∞)
值域 R [0，+∞） R [0，+∞） (-∞，0)∪(0，+∞)
单调性 在R 上单调递增 在(-∞,0]上单调递减，在[0,+∞）单调递增 在R 上单调递增 在[0,+∞）上单调递增 在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递减
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
公共点 （1，1） 五个常见幂函数的图象和性质
作业
作业：
(1)整理课件题型；
(2)课本P91 的练习1、2、3题和习题3.3的第1题.
3.3 幂函数
练习（第91页）
练习（第91页）
练习（第91页）
练习（第91页）
练习（第91页）
习题3.3（第91页）
2．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v（单位：cm3/s）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比．
（1）写出气体流量速率v关于管道半径r的函数解析式；
（2）若气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量速率（精确到1 cm3/s）．
习题3.3（第91页）
利用函数解析式列出表格
x … 1 2 …
y … 1 4 4 1 …
习题3.3（第91页）
人教A版2019必修第一册
THANKS
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