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第三周 任意角和弧度制及任意角的三角函数
——高考数学大单元每周拔高练
【答题技巧】
1.利用诱导公式化简求值的思路
（1）给角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用.
（2）在对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名称搞错.
2.弧长和扇形面积问题的解题策略
（l）求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.
（2）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
（3）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.
3.三角函数定义问题的常见类型及解题策略
（1）已知角终边上一点P的坐标，可求角的三角函数值：先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解.
（2）已知角的某个三角函数值，求角终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值.
（3）三角函数值的符号及角的终边位置的判断.已知一角的三角函数值中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.
【练习应用】
1.已知，则( )
A.1 B. C.2 D.3
2.平面直角坐标系中，角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
3.化简的结果为( )
A.1 B. C.0 D.2
4.与角终边相同的角的集合是( )
A. B.
C. D.
5.已知角的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，将角的终边绕O点顺时针旋转后，经过点，则( )
A. B. C. D.
6.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：，）( )
A.1.012m B.1.768m C.2.043m D.2.945m
7.终边在直线上的角的集合是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
9.（多选）若是第二象限角，则( )
A.是第一象限角
B.是第一或第三象限角
C.是第二象限角
D.是第三或第四象限角或终边落在y轴负半轴上的角
10.（多选）定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，下列角中，可能与角“广义互余”的是( )
A. B.
C. D.
11.已知角的终边经过点，且，，则实数a的取值范围是___________.
12.小夏同学发现自己手表的时间比北京时间慢了20分钟，他将手表的时间调准，则手表分针转过的角的弧度数为__________，已知手表分针的长为，则分针扫过的扇形的面积为__________.
13.已知，，且，则___________.
14.已知，则__________.
15.已知，求的值为__________.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由，得，则
2.答案：A
解析：因为角的终边经过点，所以，所以.故选A
3.答案：D
解析：原式.故选D.
4.答案：D
解析：与角终边相同的角，，化为弧度制为，.
5.答案：B
解析：角的终边绕O点顺时针旋转后得到的角为，由三角函数的定义，可得，，.
6.答案：B
解析：如图所示，由题意知“弓”所在的弧的长，其所对圆心角，
则两手之间的距离.故选B.
7.答案：D
解析：角的集合为，故选D.
8.答案：D
解析：；，所以.
9.答案：BD
解析：由题得，.
A × ，，则是第三象限角.
B √ ，.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角.
C × ，，则是第一象限角.
D √ ，，所以是第三或第四象限角或终边落在y轴负半轴上的角.
10.答案：ACD
解析：由题知，所以，.若角与角“广义互余”，则，即，则，，.对于A，，则角可能与角“广义互余”，A正确；对于B，，则，所以角不可能与角“广义互余”，B错误；对于C，，则角可能与角“广义互余”，C正确；对于D，，则角与角“广义互余”，D正确.故选ACD.
11.答案：
解析：因为点在角的终边上，，，所以解得.
12.答案：；
解析：由题意得手表分针转过的角的弧度数为，由手表分针的长为，即扇形的半径，则分针扫过的扇形弧长，则分针扫过的扇形面积为.
13.答案：0
解析：由，得，化简得，解得或8.因为，所以，.当时，，，符合题意；当时，，，不符合题意.所以.
14.答案：
解析：由诱导公式，可得，则.又，所以.综上，.
15.答案：
解析：.因为，所以为第一或第二象限角.当为第一象限角时，，则原式；当为第二象限角时，，则原式.

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