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第四周 三角函数的图象与性质
——高考数学大单元每周拔高练
【答题技巧】
1.解决三角函数的图象变换问题的基本方法
（1）直接法：平移变换规则是“左加右减，上加下减”，并且在变换过程中只变换自变量x，如果x的系数不是1，那么要先把x的系数提取出来再确定平移的单位长度和方向.
（2）方程思想法：可以把变换前后的两个函数变为同名函数，且x的系数变为一致，通过列方程求解.
（3）数形结合法：平移变换的实质就是点的坐标的变换，横坐标的平移交换对应着图象的左右平移，纵坐标的平移变换对应着图象的上下平移，一般可选定变换前后的两个函数，的图象与x轴的交点（如图象上升时与x轴的交点），其分别为，（，），则由的值可判断出左右平移的情况，由的值可判断出上下平移的情况，由三角函数最小正周期的变化可判断出伸缩变换的情况.
2.利用三角函数处理物理学问题的策略
（1）常涉及的物理学问题有单摆，光波，电流，机械波等，其共同的特点是具有周期性.
（2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
【练习应用】
1.设函数.已知，，且的最小值为，则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为奇函数，则的最小值是( )
A. B. C. D.
3.已知函数，若关于x的方程在上恰有一个实数根m，则( )
A.-2 B. C. D.2
4.记函数的最小正周期为T.若，且的图象关于点中心对称，则( )
A.1 B. C. D.3
5.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为（，），如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个最小正周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于的总时间为( )
A. B. C. D.
6.已知函数（，，）的部分图象如图所示，且.将图象上所有点的横坐标变为原来的，再向上平移1个单位长度，得到的图象.若，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，，则存在，使得( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数，的一个零点是，函数图象的一条对称轴是直线，则当取得最小值时，函数的单调递增区间是( )
A.
B.
C.
D.
9.（多选）设函数，则( )
A.是偶函数 B.在区间上单调递增
C.最大值为2 D.其图象关于点对称
10.（多选）如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，且的面积为，则( )
A.点D的纵坐标为1
B.在上单调递增
C.点是图象的一个对称中心
D.的图象可由的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到
11.若函数在区间上单调递减，且在上的最大值为，则___________.
12.将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若曲线C关于y轴对称，则曲线C的一个对称中心为__________（答案不唯一，写出一个即可）.
13.已知函数的图象的一条对称轴为直线，当时，的最小值为，则t的最大值为__________.
14.将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则在区间上的值域为__________.
15.已知函数（，，）图象的最高点为，距离该最高点最近的一个对称中心为.
（1）求的解析式及单调递减区间；
（2）若函数，的图象关于直线对称，且在上单调递增，求实数a的值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为，且，，，所以的最小正周期，所以.
2.答案：A
解析：由题意，知.因为为奇函数，所以，，所以，.又，所以当时，取得最小值.
3.答案：A
解析：若关于x的方程在上恰有一个实数根m，则，即在上恰有一个实数根m，因为π恰为的最小正周期，且当时，，所以，因为，所以，此时，，解得，所以.
4.答案：A
解析：因为，所以，解得.因为的图象关于点中心对称，所以，且，即，所以，又，所以，所以，解得，所以，所以.故选A.
5.答案：D
解析：因为，，，所以最小正周期，又，所以，所以，由可得，所以，，即，，因为，所以在一个最小正周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于的总时间为.故选D.
6.答案：C
解析：设的最小正周期为T，则由题图可知，得，则，所以，又图象的一个对称中心为，所以，，故，，因为，所以，所以.又，故，所以.将图象上所有点的横坐标变为原来的，再向上平移1个单位长度，得到的图象.因为，所以.由，可得，，即，.要使取得最大值，且，故令，得，令，得，所以的最大值为.
7.答案：C
解析：当时，，，所以，即，故排除A，D.
对于B，设，则.因为当时，，所以，即，所以在上单调递减，.又当时，，，所以，所以，即，故B错误.
对于C，令，因为，，且函数的图象是连续不断的，所以函数在内存在零点，即存在，使得，即存在，使得，故C正确，选C.
8.答案：B
解析：依题意得，即，解得或（其中）.①
又，即（其中）.②
由得或，
即或（其中），又，所以的最小值为.因为，所以.
又，所以，
所以，
令，则.
因此当取得最小值时，的单调递增区间是.
9.答案：AD
解析：函数
，，，为偶函数，故A正确.
令，，解得，，当时，，则函数在上单调递增，故B不正确.的最大值为，故C不正确.
由，，解得，，可得当时，其图象关于点对称，故D正确.故选AD.
10.答案：ABC
解析：由题意得的最小正周期为，即，又，得，故点D的纵坐标为1，A正确；由，得，解得，又，则，故，当时，，由于在上单调递增，故B正确；当时，，故点是图象的一个对称中心，C正确；的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象，再向左平移个单位长度，得到的图象，D错误.
11.答案：
解析：因为函数在上单调递减，所以，，则.又函数在上的最大值为，所以，，得，.因为，所以，.
12.答案：（对称中心坐标为）
解析：将的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，则曲线C对应的函数解析式为.
因为曲线C关于y轴对称，所以，解得.又，则，所以曲线C对应的函数解析式为，由得，所以曲线C的一个对称中心为.
13.答案：
解析：因为函数的图象的一条对称轴为直线，所以，得.又，所以，所以.令，由，得，则由题意知时，的最小值为，则由的图象（如图）与性质，知，得，即t的最大值为.
14.答案：
解析：将函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，当时，，则，所以在区间上的值域为.
15.答案：（1）；单调递减区间为
（2）或
解析：（1）由题意分析知，，
所以，，所以.
将代入，得，
则，，即，，
又，所以，所以.
由，，可得，，
即的单调递减区间为.
（2）由（1）可得，
由的图象关于直线对称，得，，即，，
当时，，由在上单调递增，得，即.
又且，，所以或.

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