资源简介

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知是关于的方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.数列中，若，，，则数列的前项和( )
A. B. C. D.
5.在中，为中点，，，若，则( )
A. B. C. D.
6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为的中点，点在棱上，若平面，则( )
A. B. C. D.
7.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为( )
A. B. C. D.
8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 函数的最大值为
B. 是函数图象的一个对称中心
C. 是函数图象的一个对称轴
D. 将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象
10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是( )
A. 若点在线段上，则的最小值为
B. 三棱锥的体积为
C. 异面直线、所成的角为
D. 三棱锥外接球的表面积为
11.已知函数，则下列结论中正确的是( )
A. 函数有两个零点
B. 恒成立
C. 若方程有两个不等实根，则的范围是
D. 直线与函数图象有两个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等差数列中，是其前项和若，，则 ______．
13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______．
14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在三棱柱中，，，，，为中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
设函数，若在恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，．
求；
若，为中点，，求；
若，求内切圆半径的取值范围．
18.本小题分
某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示．
求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第百分位数；
以频率估计概率，若在这段时间内随机选择天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有天的汽车销售量不超过辆的条件下，求的分布列及数学期望；
为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为的正三角形，，现从写有数字的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，．
求四棱锥体积的最大值；
设，为线段上的动点．
求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；
四棱锥的外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证明：如图，连接，
因为，为中点，所以，
因为，所以，所以，
又，所以，所以，
又，，平面，
所以平面；
以为坐标原点，，所在直线为，轴，
过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，取，
又，
设直线与平面所成的角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
．
16.解：由题意，函数的定义域为，，
当时，，函数在上单调递增，
当且，即时，，函数在上单调递增，
当时，，当且仅当时，，
函数在上单调递增，
当时，方程有两个不等实数根，设其根为，，，
则，，
由，知，，，
所以当或时，，当时，，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，
函数在上单调递减，
函数在上单调递增．
因为，，
所以，
不等式可化为，
因为在恒成立，
所以，
设，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取最小值，最小值为，
故，
所以的取值范围为．
17.解：已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，
因为，
根据正弦定理，
得，
所以，
因为，所以，
又，
所以；
因为为中点，所以，
所以，
又，，，
所以，
所以，解得或舍去，
故；
由正弦定理：，
所以，，
因为，所以，
所以
，
，
设内切圆半径为，
则，
因为为锐角三角形，所以，，
所以，
所以，即，
即内切圆半径的取值范围是：．
18.解：根据频率分布直方图可得，，
前几组的频率依次为，，，，
每日汽车销售量的第百分位数在，且为辆；
抽取的天汽车销售量不超过辆的概率为，
抽取的天汽车销售量在内的概率为．
在恰有天的汽车销售量不超过辆的条件下，抽取的天汽车销售量在内的概率为．
由题意可得的值可以为，，，，
又，，
，，
的分布列为：
；
如图：取中点，链接，，，，，
，都是边长为的等边三角形，
，，又，
平面，又平面，，
为二面角的平面角，
在中，，，又，
在中，由正弦定理可得，
，此时，，
要想中奖，须有，
，是从写有数字的八个标签中随机选择的两个，基本事件有个，
而满足的基本事件有：，，，，，，，，，共个，
中奖的概率为：．
19.解：设，则，
所以四棱锥体积，，
所以，
令，则，所以在上单调递增；
令，则，所以在上单调递减，
当时，取得极大值，也是最大值，
所以四棱锥体积的最大值为．
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设，其中，
则，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，则为锐角，
所以，
因为，所以，
所以，
故平面与平面的夹角余弦值的取值范围为；
由题意知，，，
则，平面的法向量，
所以点到平面的距离为，
设四棱锥的外接球半径为，则，
所以平面截球所得的截面圆半径，
所以平面截球所得的截面面积为．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑