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2.1有理数的加法和减法知识点讲解
知识点 1 有理数的加法
【举例讲解】
小明在一条东西向的跑道上，先走了20 米，又走了30米，能否确定他现在的位置在哪个方向，与原来位置相距多少米
我们知道，求两次运动的结果，可以用加法来解答，可是上述问题不能得到确定的答案，因为小明最后的位置与行走方向有关.
我们必须把这一问题说明确些，不妨规定向东为正，向西为负.
(1)若两次都是向东走，则一共向东走了50米，写成算式是( +20)+( +30)= +50,即小明现在位于原来位置的东边50 米处.
这一运算过程在数轴上表示如图3-1-2所示.
(2)若两次都是向西走，则小明现在位于原来位置的西边50米处，写成算式是(
(3)若第一次向东走20米，第二次向西走30米，在数轴上，我们可以看到，小明位于原来位置的西边10 米处.如图3-1-3所示.
写成算式是( +20)+( -30) = -10.
(4)若第一次向西走20 米，第二次向东走30米，则小明位于原来位置的东边10米处，如图3-1-4所示.
写成算式是( -20)+( +30) = +10.
从上面几个问题可以看出，当两个数都是正数时，和的符号是正号，并把这两个数相加；当两个数都是负数时，和的符号是负号，并把这两个数的绝对值相加；当两个数一正一负时，和的符号可能是正号，也可能是负号，关键是看谁的绝对值大，并取绝对值大的数的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值.
【归纳总结】
知识归纳
(1)同号两数相加，取相同的正负号，并把绝对值相加.
如(-5)+(-2)=-(|-5|+|-2|) =-7.
(2)绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值.
如( -8)+( +3) = --(| -8|--| +3|)= --(8-3)=-5;(+8)+(-3)=+(1+8|-|-3|)=+(8-3)= +5.
(3)互为相反数的两个数相加得零.如( -2011)+( +2011)=0.
(4)一个数与零相加，仍得这个数.如( -3)+0=-3;( +3)+0= +3.
方法归纳
(1)绝对值不等的异号两数相加时，先确定和的符号，再用较大数的绝对值减去较小数的绝对值.
(2)有理数的加法运算最重要的是确定结果的正负号.
(3)如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数.
知识点 2 有理数的加法运算律
【举例讲解】
在小学里我们学习过加法的交换律及结合律.
如3+5=5+3;(3+5)+2=3+(5+2).
那么有理数的加法是不是也满足这一规律呢 看下面的问题.
1.5+(-3)= ;(-3)+5= .
2.(-1.5)+(-3.5)= ;(-3.5)+(-1.5)= ·
根据有理数的加法法则可得，第1题的结果分别是2,2,结果相等,即. ；第2 题的结果分别是 ，结果相等，即( ；第3 小题的结果是 ，结果相等，即( .从这三个问题中可以看出有理数的加法满足加法的交换律.
是不是也满足加法的结合律，看下面的问题：
5]= .
2.[(﹣5)+(﹣3.5)]+(﹣4.5)= ;(﹣5)+[( -3.5)+(-4.5)]= .
根据有理数加法法则可得，第l 题的结果分别是-2,-2,结果相等,即[(-3)+(-4)]+5=( -3)+[(-4)+5];第2题的结果分别是-13,-13,结果相等,即[(-5)+(-3.5)]+(-4.5)=(-5)+[(-3.5)+( -4.5)].从这两个问题可以看出有理数的加法运算满足加法的结合律.
【归纳总结】
知识归纳
有理数的加法交换律：两个数相加，交换加数的位置,和不变.即a+b=b+a.
有理数的加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.即(a+b) +c=a+(b+c).
拓展点：当四个或四个以上的有理数相加时，可以通过加法结合律，让其中的两个或三个相加，把所得的和与另外的加数相加.
方法归纳
(1)应用交换律时，要连同加数的符号一起交换位置，交换的原则是正数与正数放在一起，负数与负数放在一起.
(2)交换律与结合律中的字母a，b，c除了表示正数外，还可以表示负数和0.
知识点3 有理数的减法
【举例讲解】
1.已知甲、乙两个小岛，甲岛的海拔高度为-30米，乙岛的海拔高度为-50米，则甲岛比乙岛高出多少米
2.某天的最高气温是3℃，最低气温是-5℃，则这天的最高气温与最低气温的温差是多少摄氏度
3.全班学生分为五个组进行答题游戏，每组的基本得分为100分，答对一题得50分，答错一题扣50分，游戏结束时，各组得分情况如下：
第一 小组 第二 小组 第三 小组 第四 小组 第五 小组
100 -150 -400 0 -100
回答下列问题：
(1)第一名超过第五名多少分
(2)第二小组比第三小组多得多少分
第1题，用海拔高的减去海拔低的，列算式是( -30)-( -50),如图3-1-5 所示,在数轴上-30与-50相差了20,所以(-30)-( -50)=20.
因为( ﹣30) +50 =20,所以可以得到(﹣30)﹣( -50)=(-30)+50,注意这个算式从左到右的变化,其中的减法变为加法，减数由﹣50变为50.
第2题，气温3℃到-5℃之间相差了8℃，所以最高温度比最低温度高了8℃，列算式为3-(-5)=8，因为3+5=8,所以3-(-5)=3+5,该算式也满足上面的变化规律.
第3题，(1)第1名是第一小组，得分100分，第5名是第三小组，得分﹣400，它们之间从数轴上可以看出相差了500分,所以列算式为100﹣( ﹣400)=500,由100+400=500,可得到100﹣( ﹣400)=100﹢400,该算式也满足上面的变化规律；
(2)第二小组的得分是-150，第三小组的得分是-400,第二小组比第三小组多得-150-( -400),依照上面的规律可知-150+400=250(分).
从上面的问题可知，有理数的减法可以变成加法进行计算，但是减法变成加法时，注意两个变化，一个是运算符号的“减”变成“加”，另一个是减数要变成它的相反数.
【归纳总结】
知识归纳
减去一个数等于加上这个数的相反数，即
(1)a-b=a+(-b);
(2)a-(-b)=a+(+b);
(3)a-( +b)=a+(-b).
0减一个数等于这个数的相反数.
方法归纳
(1)不论减数是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则.在使用法则时，注意被减数是不变的.
(2)进行有理数减法运算有两步：第一，将算式中的减号变为加号；第二，将减数变为它的相反数，即遵循“二变”原则.
知识点4 省略括号的和的形式
【举例讲解】
你会计算( +13) --(-5) +(-6) --( --10) -( +4)吗
由于有理数的减法可以变成加法运算，所以对于上面这个算式，我们根据有理数的减法法则从左到右依次进行“减”变“加”的运算.
原式变形为( ( ﹣4)，这样一来，原来的算式就转化成为求几个有理数的和了，你能说出这个求和的算式中的各个加数分别是哪些数吗 这些加数分别为 这样上面这五个数都成了加数，为了简便，可以把上面算式中的所有加号及括号都省略不写，于是，这个算式就可写为 ，这个式子的意义没有改变，仍然是求上面这五个数的和，读作“正13、正5、负6、正10、负4的和”，如果看作加减运算，上式也可以读作“13 加5减6加10减4”.
【归纳总结】
知识归纳
加减混合运算，可以按照运算顺序，从左到右逐一计算，通常也用有理数减法法则，把它改写成只有加法的形式，即把减法统一成加法；把加减混合运算统一写成加法的式子叫做和式，在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略.加号的和式常有两种读法，如 可以改为 (--4)+(-5)，省略加号、括号后和的形式为 7--4-5,可以读作“12,2,-7,-4,-5的和”,也可以读作“12加2减7减4减5”.
方法归纳
先根据减法法则把算式统一成加法，再省略加号和括号，注意要保留括号里面的符号.
知识点5 有理数的加减混合运算
【举例讲解】
仓库内原存有某种原料3500千克，一周内存入和领出情况如下(存入为正，领出为负.单位：千克)：350，-300,-650,600,-1800,-250,-200,问第七天末仓库内还存有这种原料多少千克
因为原来有的原料与存入、领出的和就是最后仓库内剩余的原料，所以列算式为：
( -250)+( -200).
由省略括号的方法，上面这个算式变为：
3500+350-300-650+600-1800-250-200,这样就变成了三个正数与五个负数的和，可以先把正数与正数结合，负数与负数结合，再把所得结果相加即可，即
3 500 +350 +600 +( -300 -650 -1 800 -250-200)=4450+( -3 200)=1 250.
这个算式属于有理数的加减混合运算，这种运算的方法是先把减法变成加法，然后省略加号与括号，然后利用加法交换律与结合律使混合运算变得简单易算.
【归纳总结】
知识归纳
有理数加减混合运算的一般方法和步骤如下：
第一步，将算式中的减法都转化为加法；
第二步，省略括号和括号前面的加号；
第三步，利用加法法则和加法运算律计算.
方法归纳
(1)对于有理数的加减混合运算，首先应统一成加法，然后省略加号.熟练后，统一成加法及省略加号可同时完成；
(2)在有理数的减法运算未转化为有理数的加法运算时，被减数与减数的位置不能交换.对减法来讲，没有交换律；
(3)求若干个有理数的和时，应注意运用加法交换律、结合律，使用加法交换律的目的是进一步使用结合律，即把需要结合在一起计算的数换位放到一起.
课后满分闯关
1.下列说法正确的有( )
①两个有理数的和为正数时，这两个数都是正数；②两个有理数的和为负数时，这两个数都是负数；③两个有理数的和可能等于其中一个加数；④两个有理数的和可能等于零.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.某市有一天的最高气温为 ，最低气温为 ，则这天的最高气温比最低气温高( )
3.如图3-1-6所示，下面判断正确的是( )
A. a-b>0
B. a-b<0
C. a-b=0
D. b-a>0
4.计算 所得的结果正确的是( )
5.小聪家在农业银行缴付电费的存折中，2014 年12月 24 日至2015年1 月 24 日所反映的数据如下表：
日期 摘要 存( +)/支( -) 余额
2014.12.24 电费 -83.40 206.56
2014.12.27 续存 500.00 706.56
2015.01.01 息 8.23
2015.01.01 税 -1.65
2015.01.24 电费 601.84
那么存折表格中的阴影处的数据为( )
A.111.30 B.129.95
C. -111.30 D. -129.95
6.已知甲地的海拔高度是300米，乙地的海拔高度为--50米，那么甲地比乙地高 米.
7.已知a的相反数是2,|b|=3,则a+b= .
8.在方框里填上适当的符号，使下列式子成立：
9.用简便方法计算：
10.有一批食品罐头，标准质量为每听454克，现抽取10 听样品进行检测，结果如下表(单位：克)：
听号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
质量 444 459 454 459 454 454 449 454 459 464
这10听罐头的总质量是多少
1.答案：B 解析：①②不正确，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，当正数的绝对值大时和为正数，反之为负数；③正确，一个数与0相加时仍得这个数；④正确，互为相反数的两数相加和为0.
2.答案:A 解析:用最高温度减去最低温度即可.2-(-8) =2+8=10(℃).
3.答案：A 解析：从数轴上可以看出a>0，b<0，即a-b表示一个正数减一个负数，等于一个正数加一个正数，所以结果大于0.
4.答案:C 解析:
5.答案:C 解析:从表格可以发现2014 年 12 月 24 日支付电费83.40元后还剩下206.56元,而在2014 年12月27 日续存500元,余额为706.56元,2015年1月1日,余额利息为8.23 元,同时缴纳利息税1.65元,2015 年1 月24 日缴纳电费后,余额为601.84 元,要计算2015 年 1 月24 日的电费,可用2015年1 月24 日前的余额减去与2015 年1 月 24 日后的余额,706.56+8.23-1.65-601.84=111.30(元).因为是支出,所以阴影处的数应是-111.30.
6.答案:350 解析:用甲地的高度减去乙地的高度,即300-( -50)=350(米).
7.答案：1或-5 解析：先确定a和b的值，再按有理数的加法计算.因为2的相反数是-2,所以a= -2.因为|b|=3,所以b=3或b=-3,所以a+b=(-2)+3=1或a+b=(-2)+(-3)=-5.
8.答案:(1)+ (2)+ (3)+ (4)-;+
9. 解: ( +10)=-(20-10) = -10;
( -7)=4;
10.解：把超过标准质量的克数用正数表示，不足标准质量的克数用负数表示，列出10听罐头的质量与标准质量的差值表如下：(单位：g)
听号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
质量 -10 +5 0 +5 0 0 -5 0 +5 +10
这10听罐头的质量与标准质量的差值和为
(-10)+5+0+5+0+0+(-5)+0+5+10=[(-10)+10]+[(-5)+5]+(5+5)=10(g).
因此,这10听罐头的总质量为454×10+10=4550(g).

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