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2.2有理数的乘法与除法知识点讲解
知识点 1 有理数的乘法
【举例讲解】
一只小虫沿一条东西向的路线，以每分钟3米的速度向东爬行2分钟，那么它现在的位置位于原来位置的哪个方向 相距多少米
我们知道这个问题可以用乘法来解答3×2=6，即小虫位于原来位置的东边6米处，注意，这里我们规定向东为正，向西为负.如果上述问题变为：小虫以每分钟3米的速度向西爬行2分钟，那么结果有何变化
这时小虫位于原来位置的西边6米处，写成算式就是( -3)×2=-6.
从上面的计算中可以看出，当把其中一个因数“3”换成它的相反数“-3”时，所得的积是原来的积“6”的相反数“-6”.一般地，两数相乘，若把一个因数换成它的相反数，则所得的积是原来的积的相反数.
你会计算3×( -2)吗 我们把“2”变成它的相反数“--2”，所以积也变为“6”的相反数为“-6”，那么(﹣3)×(﹣2)呢 由于把“3”变为它的相反数“﹣3”,它的积应该是“ -6”的相反数是6.
【归纳总结】
知识归纳
有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与0 相乘都得0.
拓展点：三个或三个以上有理数相乘时，根据法则可以从左到右先把两个因数相乘，然后把所得的积与另外的因数依次相乘.
方法归纳
(1)确定符号时要注意相乘两数的符号是同号还是异号或者是一个为零，只有非零的两数相乘才能使用此法则；
(2)数字处理是在符号确定后进行的，其方法与小学的一样；
(3)不要与加法法则混为一谈，错误理解为“同号取原来的符号”，如把( -2)×( -3)错误地取“取原来的符号‘ -’,再把绝对值相乘,得-6”.
知识点 2 有理数的乘法运算律
【举例讲解】
在小学时，我们学习过乘法的交换律、结合律和分配律.
如3×5=5×3,(3×5)×2=3×(5×2).
1.在有理数的乘法中还满足这一规律吗 看下面的问题：
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(1)5×(-3)= ;(-3)×5= .
(2)(﹣1) × (﹣3) = ;(﹣3) × (﹣1)= ·
(3)0 × (-6.7)= ;(-6.7) ×0= .
根据有理数的乘法法则可得，第1题的结果分别是-15,-15,结果相等,即5 ×(-3)=(-3)×5;第2题的结果分别是3,3,结果相等,即( ﹣1)×(﹣3)=(--3)×(-1);第3题的结果是0,0,结果相等,即0 ×( -6.7) =( -6.7)×0.从这三个问题中可以看出在有理数的乘法中满足乘法的交换律.
2.对于乘法的结合律是不是也满足，看下面的问题：
(1)[(-3)×(-4)] ×5= ;(-3)× [(-4)×5]= .
(2)[(-5)×(-2)] ×(-6)= ;(-5)×[(-2)×(-6)]= .
根据有理数乘法法则可得，第1题的结果分别是60，60,结果相等,即[(﹣3)×(﹣4)] ×5 =(﹣3)×[(-4)×5];第2题的结果分别是-60,-60,结果相等,即[(﹣5)× (﹣2)] ×(﹣6) =(﹣5) ×[(﹣2)×( -6)].从这两个问题中可以看出在有理数的乘法中满足乘法的结合律.
2.对于乘法的分配律是不是也满足，看下面的问题：
105=35–15–21= –1.
= -1.
所以有理数的乘法也可以用乘法分配律计算.
【归纳总结】
知识归纳
(1)乘法的交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等,即 ab= ba.
(2)乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘,积相等,即( ab)c=a( bc).
(3)乘法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即a(b+c)= ab+ ac,其中a,b,c均为有理数.
方法归纳
(1)a，b，c为有理数，可以是正数或负数，也可以是零；
(2)运用运算律是为了简便运算，如乘法分配律：a(b+c)= ab+ ac,有时可反过来用,即 ab+ ac=a(b+c).
知识点3 多个有理数相乘
【举例讲解】
计算下列各题，从中找出规律：
(1)-1×1×1×1×1×1= .
(2)-1×( -1)×1×1×1×1 = .
(3)-1×(-1)×(-1)×1×1×1= .
(4)-1×(-1)×(-1)×(-1)×1×1= .
(5)-1×(-1)×(-1)×(-1)×( -1)×1= ·
(6)-1×(-1)×(-1)×(-1)×(-1)×(-1)= ·
利用有理数的乘法法则，第(1)题从左到右依次计算可得结果是-1；第(2)题从左到右依次计算可得结果是1；第(3)题从左到右依次计算可得结果是-1；第(4)题从左到右依次计算可得结果是1；第(5)题从左到右依次计算可得结果是-1；第(6)题从左到右依次计算可得结果是1.
从上面的结果上可以看出第(1)、(3)、(5)题的结果都是﹣1，从题目上可以看出这三个题中的负因数的个数是奇数个，积的符号是负号；第(2)、(4)、(6)题的结果是1，从题目上可以看出这三个题中的负因数的个数是偶数个，积的符号是正号，这样可以得出多个有理数相乘积的符号的确定方法.
【归纳总结】
知识归纳
几个因数相乘，有一个因数为零，积就为零；同样，积为零，则至少有一个因数为零.
几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.
方法归纳
几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，确定符号后，然后把这几个有理数的绝对值相乘，绝对值相乘和小学里学习的多数相乘的方法相同.
知识点4 倒数
【举例讲解】
请写出下列各数的倒数：
5 ， ， ，0.6,
在小学时我们学习过，两数的乘积为1，这两个数互为倒数，根据乘法，可 这说明5 互为倒数 与2互为倒数，要想求出小数的倒数，把化成分数，求带分数的倒数，要先把带分数化成假分数.
所以上面数的倒数依次为： ，我们学习了负数后，在两个负数中也存在两个负数的乘积为1，如 由倒数的定义可知--5与 互为倒数， 与﹣2互为倒数，这样我们把倒数的概念扩大到有理数中，注意0没有倒数.
【归纳总结】
知识归纳
乘积是1的两个数互为倒数，如3 与 与 分别互为倒数.
拓展点：如果两个数的乘积为﹣1，这两个数互为负倒数，如 与 互为负倒数.
方法归纳
(1)求一个整数的倒数时，直接写成“这个数分之一”即可；
(2)求一个分数的倒数时，就是把这个分数的分子和分母交换位置；
(3)0没有倒数.
知识点5 有理数的除法
【举例讲解】
某一水库检测员每天对水库的水位进行检测，七月份进入雨季，水位连续上升，3天共上升了15 厘米，平均每天上升多少厘米 你能列出算式吗
列出算式就是15÷3=5(厘米).
今年冬季干旱无雪，水位连续下降，3天共下降了15厘米，平均每天水位下降多少 你能列出算式吗 在有理数中，可规定上升为正，下降为负，所以列出算式就是(--15)÷3，你会计算吗 我们知道除法可以变成乘法，要计算( -15)÷3，就是要找到一个数使它与3 的积是-15,根据有理数的乘法可得,(-5)×3 = -15,根据这个算式不难求出( -15)÷3= -5，仿照这个问题计算：
(1) 因为 5 × ( --3) = --15,所以( - 15) ÷( -3)=5;
(2)因为( -5)×( -3)=15,所以15÷( -3)=-5.
下面总结一下有理数的除法法则吧！
【归纳总结】
知识归纳
有理数的除法法则1：除以一个数等于乘这个数的倒数.
有理数的除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.零除以任何一个不等于零的数，都得零.
方法归纳
(1)0不能作除数；
(2)1除以任何不为零的数，都等于这个数的倒数；
(3)对于除法的两个法则，在计算时可根据具体的情况选用，一般在不能整除的情况下应用第二个法则.
知识点 6 有理数的乘、除混合运算
【举例讲解】
请计算下列各题，并总结运算顺序：
第(1)题中有乘法和除法，利用除法法则可以先把除法变为乘法，然后按照多个有理数相乘的法则进行运算， ；第(2)题中有乘除法和减法，可以先计算减号前后的乘除，最后计算减法， 3--9=-9-9=-18;第(3)题中有乘法和除法,利用除法法则可以先把除法变为乘法，然后按照从左到右的顺序依次进行计算， 第(4)题把除法统一成乘法，然后按照乘法的法则进行计算， 第(5)题属于乘除运算，含有平方，小学里学方运算，但是仔细观察，发现有一个因数是0，所以这个算式的值为0；第(6)题属于加法与乘除法的混合运算，先计算加号前后的乘除，最后计算加法 从上面的计算过程可以得出在有理数的计算中，乘除属于同一级运算，如果运算中只有乘除，从左到右依次进行计算；加减属于同一级运算，如果运算中只有加减，从左到右依次进行计算；在一个算式中，如果有加减与乘除时，先计算乘除，再计算加减.
【归纳总结】
知识归纳
(1)有理数的乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则确定积的符号；
(2)有理数的乘除是同级运算，应按照从左到右的顺序进行.
方法归纳
在进行乘除混合运算时，除了要注意运算法则外，还要注意一点，那就是“一定符号，二定顺序”，即先定符号，再确定绝对值运算的顺序，乘除混合运算，一般从左到右进行或将除法转化为乘法进行运算
课后满分闯关
1.一个有理数和它的相反数相乘，积为( )
A.正数 B.负数
C.正数或0 D.负数或0
2.下列运算错误的是( )
A.(-3)×(-4)=12
C.(-5)×( -4)×0=0
D.( -2)×( -3)×4=24
3.下列运算结果等于1 的是( )
A.( -3)+(-3) B.(-3)-(-3)
C.(-3)×(-3) D.(-3)÷(-3)
4.计算:
5. 若 则a,b,c的大小关系是 .
6.设x,y表示数,规定x & y=3x-2y,如3 & 4=3×3-2×4=1,则8 &(-3)= .
7.计算:
8.用简便方法计算：
(4) -3.14×35.2 +6.28×( -23.3) -1.57 ×36.4.
9.学完“有理数的乘法”后，老师在课堂上出了下面一道计算题：
不一会儿，不少同学算出了.现在老师把班上同学的解题过程归类写到黑板上.
解法一：原式
解法二：原式
解法三：原式
对这三种解法，大家议论纷纷，你认为哪种方法最好 理由是什么 本题对你有何启发
10.冷冻厂的一个冷库的室温是-4℃，现有一批食品需要 冷藏.如果每小时能降温6℃，问：多长时间能降到要求的温度
1.答案:D 解析:如1×( -1) =-1,一个正数和一个负数相乘,积为负数，但不要漏掉两数均为0的情况.
2.答案：B 解析：B中积的符号应为正.
3.答案:D 解析:(-3)+(-3)=-6,(-3)-(-3)=0,(-3)×(-3)=9,(-3)÷(-3)=1.
4.答案:-3 解析: 或原式 =
5.答案:c6.答案:30 解析:8&( -3)=3×8-2×(-3)=30.
7.解:(
= -2;
8.解:
= -3+10-4-18
= -15;
=998 000-1
=997 999;
= -11;
(4)-3.14×35.2+6.28×( -23.3)-1.57×36.4
= -1.57×2×35.2+1.57×4×( -23.3)-1.57×36.4
=1.57×[-2×35.2+4×(-23.3)-36.4]
=1.57×(-70.4-93.2-36.4)
=1.57×( -200)
= -314.
9.解：解法二与解法三的方法较好；解法二与解法三巧妙地利用了拆分思想，把带分数拆成一个整数与一个真分数的和或差的形式，再应用分配律，简化了计算过程.我们在解题时要善于发现问题的特点.
10.解:[-30-( -4)]÷(-6)
=(-30+4)÷(-6)
=( -26)÷( -6)
(时).
答：需4小时20分钟后才能降到所要求的温度.

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