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2024年湖北云学名校联盟高二年级10月联考
数学试卷
命题学校： 命题人： 审题人：
考试时间：2024年10月15日 15：00-17：00 时长：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知为虚数单位，的虚部为（ ）
A. B. C. D. 1
2. 已知一组数据：2，5，7，，10平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ）
A. 7 B. 6.5 C. 6 D. 5.5
3. 直线：，：，若，则实数值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1
4. 为了测量河对岸一古树高度的问题（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与，测得，，，并在点处测得树顶的仰角为，则树高约为（ ）（取，）
A. 100.8m B. 33.6m C. 81.6m D. 57.12m
5. 如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是(　　)
A. P在圆外
B. P圆上
C. P在圆内
D. P与圆的位置关系不确定
6. 在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 下列命题中正确的是（ ）
A. ，则；
B 若点、、、共面，点、、、共面，则点、、、、共面；
C. 若，则事件与事件是对立事件；
D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为；
8. 动点在棱长为3的正方体侧面上，满足，则点的轨迹长度为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为；
B. 已知，，若直线：与线段有公共点，则；
C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为；
D. 若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则．
10. 如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（ ）
A. ；
B. 当是靠近的三等分点时，，，共面；
C. 当时，；
D. 的最小值为．
11. 已知是圆：内一点，其中，经过点的动直线与交于，两点，若的最小值为4，则（ ）
A. ；
B. 若，则直线的倾斜角为；
C. 存在直线使得；
D. 记与的面积分别为，，则的最大值为8．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 实数、满足，则的最大值是______．
13. 记的三个内角，，的对边分别为，，，已知，其中，若的面积，，且，则的长为______．
14. 如图，已知四面体的体积为，，分别为，的中点，、分别在、上，且、是靠近的三等分点，则多面体的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．
（1）求抽取的总样本的平均数；
（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．
16. 在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，的角平分线所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的方程．
17. 直三棱柱中，，其中分别为棱的中点，已知，
（1）求证：；
（2）设平面与平面的交线为直线，求直线与直线所成角的余弦值．
18. 已知圆：，过直线：上的动点作圆的切线，切点分别为，．
（1）当时，求出点的坐标；
（2）经过，，三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；
（3）求线段的中点的轨迹方程．
19. 四棱锥中，底面为等腰梯形，，侧面为正三角形；
（1）当时，线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（2）当与平面所成角最大时，求三棱锥的外接球的体积．
参考答案
1. C
2. B
3. .
4. D
5. A
6. D
7. D
8. D.
9. BD
10. BCD
11. ACD
12. .
13. .
14. .
15. （1）14 （2）16
16. （1）；
（2）
17. （1）证明：取的中点，连接，
因为的中点，可得，且，
又因为，且，所以，且，
所以四边形平行四边形，所以，
在正方形中，可得，所以，
因为，所以，
中，可得，所以，
又因为，所以.
（2）
18. （1）或
（2）过定点或
（3）
19. （1）存在；1.
（2）

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