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2024-2025学年广西南宁市沛鸿民族中学高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，：，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.已知向量，满足，且，则( )
A. B. C. D.
4.某校组织名学生参加庆祝中华人民共和国成立周年知识竞赛，经统计这名学生的成绩都在区间内，按分数分成组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图不完整，根据图中数据，下列结论错误的是( )
A. 成绩在上的人数最多
B. 成绩不低于分的学生所占比例为
C. 名学生成绩的平均分小于中位数
D. 名学生成绩的极差为
5.若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.函数在的图象大致为( )
A. B. C. D.
7.正四面体各棱长均为，，，分别是，，的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，和分别为线段和上的动点不包括端点，若，则线段的长度的平方取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
10.已知函数，，则下列结论正确的是( )
A. 与的图象有相同的对称轴 B. 与的值域相同
C. 与有相同的零点 D. 与的最小正周期相同
11.如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则( )
A. 直线与底面所成的角为
B. 平面与底面夹角的余弦值为
C. 直线与直线的距离为
D. 直线与平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数据，，，的平均数为，则数据，，，的平均数是______．
13.九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章涉及了弧田面积的计算问题如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为，圆心角为，则此弧田的面积为______．
14.如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，则的长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间向量，，．
若，求；
若，求实数的值．
16.本小题分
设锐角的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，且，求的面积．
17.本小题分
某工厂的、、三个不同车间生产同一产品的数量单位：件如表所示．质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取件样品进行检测．
车间
数量
求这件样品中来自、、各车间产品的数量；
若在这件样品中随机抽取件进行进一步检测，求这件商品来自相同车间的概率．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．
求与平面所成角的正弦值；
求点到面的距离．
19.本小题分
如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．
求证：平面；
求二面角的正弦值；
在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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15.解：根据题意，空间向量，，，
若，设，则有，
即，解可得，
则，故；
根据题意，空间向量，，，
则，，
若，则，
解可得：．
16.解：因为，
所以，
由余弦定理得，，
所以，
因为，所以，，
所以．
由正弦定理及，得，
因为，所以，
所以，
又，所以，
所以，
由正弦定理知，，
所以，即，
所以的面积．
17.解：因为样本容量与总体中的个体数的比是，
所以车间产品被选取的件数为，
车间产品被选取的件数为，
车间产品被选取的件数为．
设件来自、、三个车间的样品分别为：；，，；，．
则从件样品中抽取的这件产品构成的所有基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件：“抽取的这件产品来自相同车间”，则事件包含的基本事件有：，，，，共个．
所以，即这件产品来自相同车间的概率为．
18.解：因为底面是矩形，平面，
所以以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，即，
设与平面所成角为，则，
，，
设平面的法向量则
令，即，
设点到面的距离为，则．
19.解：证明：四边形为矩形，，
又平面平面，平面平面，
平面．
取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
如图，则，，，，，
设平面的法向量，
，，
由，取，得，
又，，，
又平面，平面；
，，，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
设二面角的平面角为，
则，
二面角的正弦值．
假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
设，，则，
解得，，，，
平面的法向量，，
直线与平面所成角的正弦值为，
，
解得或，
，或．
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