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第01讲 集合
目录
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 3
第三部分：高频考点一遍过 3
高频考点一：集合的基本概念 3
高频考点二：元素与集合的关系 4
高频考点三：集合中元素的特性 5
高频考点四：集合的表示方法 5
高频考点五：集合的基本关系 6
高频考点六：集合的运算 7
高频考点七：图的应用 8
高频考点八：集合新定义问题 9
第四部分：典型易错题型 11
第五部分：新定义题（解答题） 11
第一部分：基础知识
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.
（4）常见数集和数学符号
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 或
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合应满足.
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
4、集合的运算性质
（1），，．
（2），，．
（3），，．
5、高频考点结论
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·（乙卷文））设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国（甲卷理））设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·（新课标Ⅰ））设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
4．（2023·全国（新课标Ⅱ））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．2
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：集合的基本概念
典型例题
例题1．（多选）（2024上·河南安阳·高一安阳一中校联考期末）下列说法中不正确的是（ ）
A．0与表示同一个集合；
B．集合与是两个相同的集合；
C．方程的所有解组成的集合可表示为；
D．集合可以用列举法表示．
例题2．（多选）（2024·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．；
B．某中学新高一全体学生可以构成一个集合；
C．集合有两个元素；
D．小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到不同的两个集合.
练透核心考点
1．（2023上·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．0与的意义相同
B．某市文明市民可以组成一个集合
C．集合是无限集
D．方程的解集有二个元素
2．（多选）（2024上·全国·高一专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ）
A．大于6的所有整数
B．高中数学的所有难题
C．被3除余2的所有整数
D．函数图象上所有的点
高频考点二：元素与集合的关系
典型例题
例题1．（2024上·河南省直辖县级单位·高一统考期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例题2．（2024上·四川德阳·高一统考期末）若，则 ．
例题3．（2024·全国·高一专题练习）已知集合，其中.
(1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合.
(2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（2024上·江西萍乡·高一统考期末）已知集合，若，则a的值可能为（ ）
A．，3 B． C．，3，8 D．，8
2．（2024上·江苏南通·高三统考期末）集合，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是 ．
3．（2024上·云南大理·高一统考期末）已知集合.
(1)当时，求集合；
(2)若集合只有2个子集，求实数的值.
高频考点三：集合中元素的特性
典型例题
例题1．（2024上·全国·高一专题练习）若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ．
例题2．（2024·全国·高一专题练习）已知集合若，则 .
例题3．（2024上·全国·高一专题练习）已知集合，，若，，则 .
练透核心考点
1．（多选）（2024·全国·高一专题练习）设集合，且，则x的值可以为（ ）
A．3 B． C．5 D．
2．（2024·全国·高一专题练习）集合，若，则
3．（2024上·全国·高一专题练习）已知集合 }中各元素之和等于3，求实数的值，并用列举法表示集合.
高频考点四：集合的表示方法
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
例题2．（2023上·云南昆明·高一官渡五中校考期中）已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例题3．（2024下·上海·高一开学考试）用列举法表示集合为： .
练透核心考点
1．（2024上·四川雅安·高一校考期末）集合用列举法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·全国·高一专题练习）集合的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2024上·上海嘉定·高三校考期中）已知集合，则集合用列举法表示为 .
高频考点五：集合的基本关系
典型例题
例题1．（2023·福建宁德·福建省宁德第一中学校考二模）已知全集，集合，，．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
例题2．（2024上·云南昆明·高一统考期末）已知全集，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
例题3．（2024上·山东聊城·高一统考期末）函数的值域为，的定义域为．
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围．
练透核心考点
1．（2024下·浙江温州·高一浙江省乐清中学校联考开学考试）已知集合，．
(1)求；
(2)记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
2．（2024上·湖南长沙·高一统考期末）已知集合或．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
3．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）设集合．
(1)求集合；
(2)记或，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
高频考点六：集合的运算
典型例题
例题1．（2024上·陕西西安·高一西安市西光中学校联考期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 .
例题2．（2024上·山东菏泽·高一菏泽一中校考阶段练习）已知集合，，若满足，则实数a的值为 ．
例题3．（2024上·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知集合，，，其中
(1)若；
(2)若，求的取值范围．
练透核心考点
1．（2024·全国·高三专题练习）设集合，，则，则实数a的取值范围为 .
2．（2024·全国·校联考模拟预测）若集合，，，则的最小值为 .
3．（2024上·河南洛阳·高一统考期末）已知全集为，，．
(1)求；
(2)若，且，求实数的取值范围．
业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为 .
高频考点八：集合新定义问题
典型例题
例题1．（2024上·北京丰台·高一统考期末）记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例题2．（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2024·广东·惠州一中校联考模拟预测）已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
(1)试判断集合是否具有性质，并说明理由；
(2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”；
(3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”.
练透核心考点
1．（2024·全国·高一专题练习）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题：
①若为“完美集合”，则一定有；
②“完美集合”一定是无限集；
③集合为“完美集合”；
④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”.
其中真命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．（2024·全国·高一专题练习）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·北京通州·高一统考期末）已知有个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对.
条件①：；
条件②：.
(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
(2)试证明不存在8元完备数对.
第四部分：典型易错题型
1．（2024上·全国·高一专题练习）已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（ ）
A． B． C．或 D．不确定
2．（2023·吉林延边·统考二模）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C．或0 D．无解
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024·广东·惠州一中校联考模拟预测）已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
(1)试判断集合是否具有性质，并说明理由；
(2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”；
(3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”.
2．（2024·全国·高三专题练习）定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）.
定义2：集合上的一个拓扑（topology）乃是的子集为元素的一个族，它满足以下条件：（1）和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中.
(1)族，族，判断族与族是否为集合的拓扑；
(2)设有限集为全集
（i）证明：；
（ii）族为集合上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族为集合上的一个拓扑.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第01讲 集合
目录
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 3
第三部分：高频考点一遍过 4
高频考点一：集合的基本概念 4
高频考点二：元素与集合的关系 6
高频考点三：集合中元素的特性 8
高频考点四：集合的表示方法 10
高频考点五：集合的基本关系 13
高频考点六：集合的运算 16
高频考点七：图的应用 19
高频考点八：集合新定义问题 23
第四部分：典型易错题型 29
第五部分：新定义题（解答题） 29
第一部分：基础知识
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.
（4）常见数集和数学符号
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 或
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合应满足.
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
4、集合的运算性质
（1），，．
（2），，．
（3），，．
5、高频考点结论
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·（乙卷文））设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得的值，然后计算即可.
【详解】由题意可得，则.
故选：A.
2．（2023·全国（甲卷理））设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集，，所以，．
故选：A．
3．（2023·全国·（新课标Ⅰ））设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
4．（2023·全国（新课标Ⅱ））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：集合的基本概念
典型例题
例题1．（多选）（2024上·河南安阳·高一安阳一中校联考期末）下列说法中不正确的是（ ）
A．0与表示同一个集合；
B．集合与是两个相同的集合；
C．方程的所有解组成的集合可表示为；
D．集合可以用列举法表示．
【答案】ACD
【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论.
【详解】0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，故A错误；
集合与的构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故B正确；
方程的所有解组成的集合可表示为，集合中的元素是不同的，故C错误；
集合表示大于小于的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，故不可以用列举法表示，故D错误．
故选：ACD.
例题2．（多选）（2024·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．；
B．某中学新高一全体学生可以构成一个集合；
C．集合有两个元素；
D．小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到不同的两个集合.
【答案】BC
【分析】区分0，的含义判断A；根据集合的定义判断B；根据一元二次方程有两个不相等的实数根判断C；根据集合元素的无序性判断D．
【详解】对于A，0是一个数，是一个集合，二者不相等，A错误；
对于B，根据集合定义知，某中学新高一全体学生可以构成一个集合，B正确；
对于C，由于方程的判别式，故方程有两个不相等的实数根，故集合有两个元素，C正确；
对于D，集合的元素具有无序性，故小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到的两个集合是同一个集合，D错误，
故选：BC．
练透核心考点
1．（2023上·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．0与的意义相同
B．某市文明市民可以组成一个集合
C．集合是无限集
D．方程的解集有二个元素
【答案】C
【分析】根据元素与集合的定义逐一判断即可.
【详解】A：0是集合的一个元素，因此本选项不正确；
B：因为文明市民的标准不确定，所以组成不了集合，因此本选项不正确；
C：由，显然给一个自然数的值，都有唯一的一个实数与之对应，
而自然数集是无限集，因此集合是无限集，因此本选项正确；
D：，
方程的解集有一个元素，因此本选项不正确，
故选：C
2．（多选）（2024上·全国·高一专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ）
A．大于6的所有整数
B．高中数学的所有难题
C．被3除余2的所有整数
D．函数图象上所有的点
【答案】ACD
【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解.
【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合．
故选：ACD
高频考点二：元素与集合的关系
典型例题
例题1．（2024上·河南省直辖县级单位·高一统考期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据集合元素之间的关系，集合与集合的关系一一判断即可.
【详解】①错误，中包括0；
②错误，中没有任何元素；
③错误，与之间为包含关系，不应该用属于符号；
由③可知，④正确；
⑤错误，中有两个元素，中只有一个元素；
⑥正确，有理数中包括整数.
故选：B
例题2．（2024上·四川德阳·高一统考期末）若，则 ．
【答案】2
【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案.
【详解】因为，
所以或，
若，，不满足互异性；
若或2，又，所以，
故答案为：2.
例题3．（2024·全国·高一专题练习）已知集合，其中.
(1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合.
(2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）分类讨论当、时方程根的个数，即可求解；
（2）由（1）可得或，再讨论当时的情况即可.
【详解】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根；
若，则当且仅当方程的判别式，即时，
方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素，
∴所求集合；
（2）集合A中至多有一个元素包括有两种情况，
①A中有且仅有一个元素，由（1）可知此时或，
②A中一个元素也没有，即，此时，且，解得，
综合①②知的取值范围为或.
练透核心考点
1．（2024上·江西萍乡·高一统考期末）已知集合，若，则a的值可能为（ ）
A．，3 B． C．，3，8 D．，8
【答案】D
【分析】由集合与元素的关系分类讨论即可求解.
【详解】由题意若，解得或，若，解得，
当时，满足题意，
当时，违背了集合中元素间的互异性，
当时，满足题意，
综上所述，a的值可能为，8.
故选：D.
2．（2024上·江苏南通·高三统考期末）集合，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】二次项系数进行分类讨论，结合方程的根的性质计算即可得.
【详解】当时，，解得，故A中元素只有1个，符合要求；
当时，对，需，即；
故答案为：或.
3．（2024上·云南大理·高一统考期末）已知集合.
(1)当时，求集合；
(2)若集合只有2个子集，求实数的值.
【答案】(1)
(2)0或
【分析】（1）代入求解出方程的解，则可知；
（2）根据进行分类讨论：当时，根据（1）的结果分析即可，当时，考虑的情况，由此可求结果.
【详解】（1）当时，由解得，
所以.
（2）因为集合只有个子集，所以集合中只有个元素，
当时，，显然满足；
当时，若中只有个元素，只需满足方程仅有个解，
所以，解得，解方程可得，此时，满足条件；
综上所述，的取值为0或
高频考点三：集合中元素的特性
典型例题
例题1．（2024上·全国·高一专题练习）若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ．
【答案】且且
【分析】根据元素的互异性，列出不等式组，求解即可.
【详解】解：由元素的互异性，可知，
解得:且且.
故答案为：且且
例题2．（2024·全国·高一专题练习）已知集合若，则 .
【答案】
【分析】先通过集合相等以及集合中元素的互异性求出，然后计算即可.
【详解】，
，
，
且，
得.
.
故答案为：.
例题3．（2024上·全国·高一专题练习）已知集合，，若，，则 .
【答案】
【分析】首先利用集合与元素的关系和集合元素的特征得到或，即可得到答案.
【详解】解：因为，所以或或，
解得或或，
因为，所以或或，
解得或或，
又因为，所以或，即.
故答案为：
练透核心考点
1．（多选）（2024·全国·高一专题练习）设集合，且，则x的值可以为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】BC
【详解】∵，则有：
若，则，此时，不符合题意，故舍去；
若，则或，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
综上所述：或.
故选：BC.
2．（2024·全国·高一专题练习）集合，若，则
【答案】
【分析】分和，并结合集合元素的互异性求解即可.
【详解】解：因为，
所以，若，则可得或2，
当时，，不满足互异性，舍去，
当时，，满足题意;
若，则，此时，不满足互异性，舍去；
综上
故答案为：
3．（2024上·全国·高一专题练习）已知集合 }中各元素之和等于3，求实数的值，并用列举法表示集合.
【答案】答案见解析
【分析】化简方程为，分、和且，三种情况讨论，结合元素的互异性和题设条件，即可求解.
【详解】根据集合中元素的互异性知，当方程有重根时，
重根只能算作集合的一个元素，
由，
当时，可得，不符合题意；
当时，即时，可得，符合题意；
当且时，此时，可得，解得，
此时，符合题意，
综上可得，实数的值为或.
当时，；当时，.
高频考点四：集合的表示方法
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【分析】将的所有可能取值逐个代入计算即可得出集合，即可得集合的元素个数.
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故，共三个元素.
故选：A.
例题2．（2023上·云南昆明·高一官渡五中校考期中）已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据集合的定义求得，再根据集合的包含关系，即可求得.
【详解】，又，，
故集合为包含元素和，且为的子集，
故集合可以为：，则集合的个数是个.
故选：B.
例题3．（2024下·上海·高一开学考试）用列举法表示集合为： .
【答案】
【分析】对、的符号进行分类讨论，求出的值，即可得出所求集合.
【详解】分以下几种情况讨论：
①当，时，；
②当，时，；
③当，时，；
④当，时，.
综上所述，.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2024上·四川雅安·高一校考期末）集合用列举法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解出不等式后，由即可得.
【详解】由可得，又，故该集合为.
故选：D.
2．（2024上·全国·高一专题练习）集合的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】利用，讨论， 可得答案.
【详解】因为，，，所以
时；时；时；时；时，
共有5个元素，
故选：C.
3．（2024上·上海嘉定·高三校考期中）已知集合，则集合用列举法表示为 .
【答案】
【分析】根据描述法表示的集合的意义，列举集合中的元素.
【详解】，为单调递减函数，值域为，
因为，当时，，当时，，
所以.
故答案为：
高频考点五：集合的基本关系
典型例题
例题1．（2023·福建宁德·福建省宁德第一中学校考二模）已知全集，集合，，．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）分别求出集合与,然后将和集合取交集即可;
（2）先求出,再由,可分和两种情况讨论,可求出的取值范围.
【详解】（1）由题意,,解得,
即集合,则或,
又,所以;
（2）,,
若,则,解得;
若,则,解得.
故的取值范围是或.
【点睛】本题考查了集合间的交集、并集和补集的运算,考查了不等式的解法,考查了集合间的包含关系,考查了学生的运算求解能力,属于中档题.
例题2．（2024上·云南昆明·高一统考期末）已知全集，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）当时，按照并集定义，求出，再利用补集的定义，即可求解；
（2）当时，对集合是否为空集分类讨论，确定集合的端点位置，即可求出结论.
【详解】（1）时，集合，
则；
又，所以或.
（2）若，
当，即，即；
当时，应满足，解得；
综上知，实数a的取值范围是.
例题3．（2024上·山东聊城·高一统考期末）函数的值域为，的定义域为．
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用对数函数的单调性求出函数在上的最大值和最小值，即可得出集合；
（2）求出集合，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】（1）解：因为在上单调递减，
所以，当时有最大值，且最大值为，
当时，有最小值，最小值为，
所以．
（2）解：由，得，解得，
所以，，
因为，所以，解得．
故实数的取值范围．
练透核心考点
1．（2024下·浙江温州·高一浙江省乐清中学校联考开学考试）已知集合，．
(1)求；
(2)记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）先解不等式求得集合，然后根据补集、交集的知识求得正确答案.
（2）根据集合的包含关系列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）由解得，所以.
由得或，解得或，
所以，，
所以.
（2）由，解得，
所以，要使，
则需或，解得或.
2．（2024上·湖南长沙·高一统考期末）已知集合或．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由补集、并集的概念即可求解.
（2）由包含关系分类讨论即可求解.
【详解】（1）当时，，或，
所以，因此，.
（2）当时，则时，即当时，成立，
当时，即当时，即当时，
由，可得，解得，此时．
综上，，即实数的取值范围是.
3．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）设集合．
(1)求集合；
(2)记或，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先解一元二次不等式再应用交集计算即可；
（2）根据必要不充分得出集合间关系再列不等式组求解即可.
【详解】（1）根据题意，可得或，
，
所以．
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，
所以是的真子集，又或，
可得（等号不同时取到），解得，
即实数的取值范围是．
高频考点六：集合的运算
典型例题
例题1．（2024上·陕西西安·高一西安市西光中学校联考期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 .
【答案】或且
【分析】先考虑A，B为空集得出a的范围，再利用补集思想求得结果.
【详解】对于集合A，由，解得;
对于集合B，由，解得.
因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集,
所以a的取值范围是或，且
故答案为：或且
例题2．（2024上·山东菏泽·高一菏泽一中校考阶段练习）已知集合，，若满足，则实数a的值为 ．
【答案】－3
【分析】根据交集定义，若，则且，从而讨论集合的情况，确定实数a的值.
【详解】由题意可得，且，
当时，解得，
此时，，，不符合题意，舍去；
当时，解得，
当时，，，中元素不满足互异性，不符合题意，舍去，
当时，，，，符合题意，
综上所述，，
故答案为：－3.
例题3．（2024上·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知集合，，，其中
(1)若；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出集合，，，利用交集定义能求出；
（2）由，，得，由此能求出的取值范围．
【详解】（1）集合或，
，
，
；
（2），，其中
，解得，
的取值范围是
练透核心考点
1．（2024·全国·高三专题练习）设集合，，则，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意可以先将所给集合化简，若满足，则，故只需根据包含关系列出不等式组求出参数范围即可.
【详解】由题意，或，
若满足，则，
又因为，
所以，解得.
故答案为：.
2．（2024·全国·校联考模拟预测）若集合，，，则的最小值为 .
【答案】6
【分析】先求出集合，然后由，从而求解.
【详解】由，解得，所以，
因为，，所以，
所以的最小值为.
故答案为：.
3．（2024上·河南洛阳·高一统考期末）已知全集为，，．
(1)求；
(2)若，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据补集与交集的定义，计算即可；
（2）根据得，由此列出不等式组求得实数的取值范围．
【详解】（1）因为，，
所以或，
所以；
（2）因为，所以，
又因为，
时，，解得；
时，，解得，
综上，实数的取值范围是．
高频考点七：图的应用
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（ ）
A．120 B．144 C．177 D．192
【答案】A
【分析】用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合的容斥原理，即得解
【详解】
如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，
则
不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为
即
由容斥原理：
解得：
故选：A
例题2．（2024上·上海·高一上海市行知中学校考期末）定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】利用题设中的新定义，可判定①正确；利用集合运算的韦恩图法，可判定②正确、④错误；利用题设中的定义与集合的运算方法，可判定③正确.
【详解】对于①中，由，所以①正确；
对于②中，由且，
同理可得：,
则，
所以，
所以表示的集合为图（1）中阴影部分所表示的集合，如图所示，
同理，也表示图（1）中阴影部分所表示的集合，
所以，所以②正确；
对于③中，由，所以③正确；
对于④中，如图（2）所示，可得，所以④错误.
故选：B.
例题3．（2024上·山东滨州·高一校考期末）某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有 人．
【答案】43
【分析】设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C，根据题意画出维恩图求解.
【详解】设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C，
由题意画出维恩图，如图所示：

全班人数为（人）.
故答案为：43
练透核心考点
1．（2024上·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果为U的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据，结合交并补的运算即可判断选项
【详解】如图，
因为，所以，故A错误；
因为，故B错误；
因为，所以，故C错误；
因为，所以，故D正确.
故选：D
2．（2024·全国·高一专题练习）某社区老年大学秋季班开课，开设课程有舞蹈，太极、声乐.已知秋季班课程共有90人报名，其中有45人报名舞蹈，有26人报名太极，有33人报名声乐，同时报名舞蹈和报名声乐的有8人，同时报名声乐和报名太极的有5人，没有人同时报名三门课程，现有下列四个结论：
①同时报名舞蹈和报名太极的有3人；
②只报名舞蹈的有36人；
③只报名声乐的有20人；
④报名两门课程的有14人.
其中，所有正确结论的序号是 .
【答案】②③④
【分析】画出图，结合图形求出同时报名舞蹈和报名太极的人数，再逐一分析即可得解.
【详解】如图，设同时报名舞蹈和报名太极的有x人，
则，解得，
所以同时报名舞蹈和报名太极的有1人，
只报名舞蹈的有人，只报名声乐的有人，
报名两门课程的有人.
故答案为：②③④.

3．（2024·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为 .
【答案】3
【分析】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三
支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，作出韦恩图，数形结合计算即得.
【详解】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三
支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，
观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有(人)，
因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有(人)，
因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有(人)，
因此，至少看了一支短视频的有(人)，
所以没有观看任何一支短视频的人数为.
故答案为：3
高频考点八：集合新定义问题
典型例题
例题1．（2024上·北京丰台·高一统考期末）记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件可得或，再根据集合中的方程的根的个数，对参数进行分类讨论即可求得实数的所有可能取值，即可得出结果.
【详解】由定义得，又，则或，
由方程，得或，
当时，方程只有一个实数根，
而方程有一根为0，则另一根必为0，，此时无实根，因此；
当时，必有，方程有两个不相等的实数根，
并且都不是方程的根，
显然方程有两个相等的实数根，且异于，
于是，解得或，
当时，方程的根为，满足题意，
当时，方程的根为，满足题意，
因此或，所以，.
故选：C
例题2．（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】举例说明判断ABC；利用给定的定义结合集合运算的意义推理判断D.
【详解】对于A，若，则，A错误；
对于B，若，则，
而，B错误；
对于C，若，则，
，，，C错误；
对于D，任取元素，则且，则且，
于是且，即，
反之若任取元素，则且，
因此且，即且，
所以，即，D正确.
故选：D
例题3．（2024·广东·惠州一中校联考模拟预测）已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
(1)试判断集合是否具有性质，并说明理由；
(2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”；
(3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”.
【答案】(1)不具有，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断；
（2）首先根据性质，确定集合，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”；
（3）首先证明充分性，存在三个互不相同的，使得均属于
证明满足性质的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的，再证明均属于，即可证明.
【详解】（1）集合不具有性质，理由如下：
（i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③
（ii）从集合中任取三个元素有一个为，另外两个为奇数时，不妨设，，
则有，即，不满足条件②，
综上所述，可得集合不具有性质.
（2）证明：由是偶数，得实数是奇数，
当时，由，得，即，不合题意，
当时，由，得，即，或（舍），
因为是偶数，所以集合，
令，解得，
显然，
所以集合是集合的“期待子集”得证.
（3）证明：
先证充分性：
当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于，
不妨设，令，，，则，即满足条件①，
因为，所以，即满足条件②，
因为，所以为偶数，即满足条件③，
所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质.
再证必要性：
当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数，
令，，，则由条件①得，
由条件②得，
由条件③得均为整数，
因为，
所以，且均为整数，
所以，
因为，
所以均属于，
所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”.
综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“性质”和“期待子集”的定义.
练透核心考点
1．（2024·全国·高一专题练习）设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题：
①若为“完美集合”，则一定有；
②“完美集合”一定是无限集；
③集合为“完美集合”；
④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”.
其中真命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【分析】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断.
【详解】对于①，若为“完美集合”，对任意的，，①对；
对于②，完美集合不一定是无限集，例如，②错；
对于③，集合，
在集合中任意取两个元素，，，其中、、、为整数，
则，，
，
集合为“完美集合”，③对；
对于④，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，④错.
故选：A.
2．（2024·全国·高一专题练习）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】讨论和，求得集合，再由新定义，得到的方程，即可解得的值．
【详解】解：集合，，
，，
若，则，
即有；
若，可得，，
不满足；
若，两个集合有公共元素，但互不为对方子集，
可得或，解得或．
综上可得，或或2.
故选：A.
3．（2024上·北京通州·高一统考期末）已知有个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对.
条件①：；
条件②：.
(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
(2)试证明不存在8元完备数对.
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用元完备数对的定义推理判断即得.
（2）令，根据元完备数对的定义确定的所有可能情况，再导出矛盾即可.
【详解】（1）当时，由，得，不符合题意，
所以不存在3元完备数对；
当时，当，，，时，
满足且，符合题意，
所以为4元完备数对.
（2）假设存在8元完备数对，
当时，令，则，且，
则有以下三种可能：①；②；③
当时，于是，即，
由，得或，
而，则有，
因此，，…，，分别为1，2，…，7，8或2，3，…，8，1或7，6，…，1，8或8，7，…，2，1，
由得或，与已知矛盾，则当时，不存在8元完备数对；
综上可得：或，
故选：C.
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024·广东·惠州一中校联考模拟预测）已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
(1)试判断集合是否具有性质，并说明理由；
(2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”；
(3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”.
【答案】(1)不具有，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断；
（2）首先根据性质，确定集合，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”；
（3）首先证明充分性，存在三个互不相同的，使得均属于
证明满足性质的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的，再证明均属于，即可证明.
【详解】（1）集合不具有性质，理由如下：
（i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③
（ii）从集合中任取三个元素有一个为，另外两个为奇数时，不妨设，，
则有，即，不满足条件②，
综上所述，可得集合不具有性质.
（2）证明：由是偶数，得实数是奇数，
当时，由，得，即，不合题意，
当时，由，得，即，或（舍），
因为是偶数，所以集合，
令，解得，
显然，
所以集合是集合的“期待子集”得证.
（3）证明：
先证充分性：
当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于，
不妨设，令，，，则，即满足条件①，
因为，所以，即满足条件②，
因为，所以为偶数，即满足条件③，
所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质.
再证必要性：
当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数，
令，，，则由条件①得，
由条件②得，
由条件③得均为整数，
因为，
所以，且均为整数，
所以，
因为，
所以均属于，
所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”.
综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“性质”和“期待子集”的定义.
2．（2024·全国·高三专题练习）定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）.
定义2：集合上的一个拓扑（topology）乃是的子集为元素的一个族，它满足以下条件：（1）和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中.
(1)族，族，判断族与族是否为集合的拓扑；
(2)设有限集为全集
（i）证明：；
（ii）族为集合上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族为集合上的一个拓扑.
【答案】(1)都是集合的拓扑
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据集合的拓扑定义判断即可；
（2）（i）根据集合的拓扑定义证明充要性即可；
（ii）结合（i）的结论，根据集合的拓扑定义证明.
【详解】（1）族，都是集合的拓扑.
（2）（i）设，则，
故存在整数使，因此，得.
设，则存在整数使，故，
因此，得
（ii）因为，，所以，；
设为的任意子集，则，
，
因为，故；
，
因为，故.
【点睛】方法点睛：解决集合创新型问题的方法：（1）紧扣定义，首项分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题本质弄清楚，并能够运用到具体的解题过程中；（2）用好集合性质，集合性质时破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在关键之处用好集合的性质.
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