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第01讲 任意角和弧度制及三角函数的概念
目录
第一部分：基础知识 2
第二部分：高考真题回顾 4
第三部分：高频考点一遍过 5
高频考点一：确定已知角所在象限 5
高频考点二：由已知角所在的象限确定某角的范围 6
高频考点三：确定倍角（分角）所在象限 6
高频考点四：区域角 7
高频考点五：终边相同的角 9
高频考点六：角度制与弧制度的相互转化 9
高频考点七：弧长公式有关的计算 10
高频考点八：扇形面积有关计算 11
高频考点九：单位圆法与三角函数 13
高频考点十：终边上任意点法与三角函数 13
高频考点十一：三角函数线 14
高频考点十二：解三角不等式 15
第四部分：新定义题 16
第一部分：基础知识
1、角的概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
③终边相同的角：
终边与角相同的角可写成．
2、弧度制的定义和公式
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，，是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关．
④弧度与角度的换算：；．
若一个角的弧度数为，角度数为，则，．
3、任意角的三角函数
3.1.单位圆定义法：
任意角的三角函数定义：设是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点，那么
（1）点的纵坐标叫角α的正弦函数，记作；
（2）点的横坐标叫角α的余弦函数，记作；
（3）点的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作（）.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
3.2.终边上任意点法：
设是角终边上异于原点的任意一点，它到原点的距离为（）那么：
；；（）
角
不存在
4、扇形的弧长及面积公式
(1)弧长公式
在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则变形可得，此公式称为弧长公式，其中的单位是弧度．
(2)扇形面积公式
5、三角函数线
三角函数线
正弦线： 余弦线： 正切线：
6、常用结论
（1）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
（2）角度制与弧度制可利用进行相互转化，在同一个式子中，采用的度量方式必须统一，不可混淆.
角度制
弧度制
（3）象限角：
象限角 集合 区间
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
（4）轴线角
角终边所在位置 角度制 弧度制
角终边在轴非负半轴
角终边在轴非正半轴
角终边在轴非负半轴
角终边在轴非正半轴
角终边在轴上
角终边在轴上
角终边在坐标轴上
第二部分：高考真题回顾
1．（2022·全国·甲卷理）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·乙卷文）若，则 ．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：确定已知角所在象限
典型例题
例题1．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）若，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例题2．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
练透核心考点
1．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）的终边在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
2．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
高频考点二：由已知角所在的象限确定某角的范围
典型例题
例题1．（22-23高一上·甘肃天水·期末）若是第二象限角，则是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
例题2．（多选）（23-24高一上·内蒙古包头·期末）设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是（ ）
A． B． C． D．
练透核心考点
1．（23-24高一上·广东中山·阶段练习）若α是第四象限角，则90 －α是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
2．（多选）（23-24高一上·全国·课时练习）（多选）若是第三象限的角，则可能是（ ）
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
高频考点三：确定倍角（分角）所在象限
典型例题
例题1．（23-24高一下·上海·阶段练习）若，角终边所在的象限是（ ）
A．一或三 B．二或四 C．二或三 D．三或四
例题2．（多选）（23-24高一上·河北保定·期中）设为第二象限角，则可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
例题3．（多选）（23-24高一上·广东茂名·期末）已知为第二象限角，那么是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
练透核心考点
1．（23-24高一上·四川内江·期末）已知，，则的终边在（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
2．（多选）（23-24高一下·全国·单元测试）已知是第三象限角，则不可能是第几象限角（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．（22-23高一·全国·课堂例题）若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角．
高频考点四：区域角
典型例题
例题1．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，则图中表示角的终边所在区域正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（23-24高一·全国·课后作业）已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么 .
例题3．（23-24高一·全国·课时练习）写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．
(1)
(2)
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·全国·课后作业）已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是 ．
3．（2024高一下·全国·专题练习）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．
高频考点五：终边相同的角
典型例题
例题1．（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）在与弧度数为角终边相同的角中，绝对值最小的角是 ．
练透核心考点
1．（23-24高一上·内蒙古·期末）若角与角的终边相同，则可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（23-24高一上·河南·期末）已知角与的终边相同，则角可以是（ ）
A． B． C． D．
高频考点六：角度制与弧制度的相互转化
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）将化为弧度制，正确的是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）将角度化为弧度： .
练透核心考点
1．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）化成弧度是 .
2．（23-24高一上·新疆喀什·期末）的角化成弧度制为 ．
高频考点七：弧长公式有关的计算
典型例题
例题1．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知扇形的圆心角为，半径为3，则扇形的周长为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
例题2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知一个扇形的周长是，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 .
例题3．（23-24高一上·江苏盐城·期末）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环.已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形的中心角的弧度数为 .
练透核心考点
1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）过轴上一点作圆的两条切线，切点为A，B，当切线长最短时，则劣弧长（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·北京·阶段练习）扇形的半径为2，圆心角为，则圆心角的弧度数为 ；扇形的弧长为 ．
3．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知扇形的面积为，圆心角弧度数为，则其弧长为 ；
高频考点八：扇形面积有关计算
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽·阶段练习）如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A．9 B．8 C．4 D．3
例题2．（23-24高一上·北京东城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，角的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，则阴影区域的面积的最大值为 .
例题3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径．
(1)当，求其弧所在弓形的面积．
(2)若该扇形的面积为，当它的圆心角和半径取何值时，该扇形的周长最小？最小值是多少？
练透核心考点
1．（23-24高三上·安徽·期中）扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，，分别在，上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，面积为，周长为．
(1)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最小？并求出的最小值；
(2)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最大？并求出的最大值．
3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）.已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米.

(1)若厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边的长度；
(2)若.求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值.
高频考点九：单位圆法与三角函数
典型例题
例题1．（23-24高一下·黑龙江双鸭山·开学考试）在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，
例题3．（2024高一·上海·专题练习）已知角的终边上有一点，求的各三角函数值.
练透核心考点
1．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）设，角的终边经过点，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西咸阳·二模）已知角的始边为轴的非负半轴，顶点为坐标原点，若它的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·甘肃·一模）已知点为角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
高频考点十一：三角函数线
典型例题
例题1．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一·全国·课时练习）下面四个选项中大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（23-24高一·全国·随堂练习）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
(1)；(2)；(3)；(4).
练透核心考点
1．（23-24高一·全国·课时练习）在上，利用单位圆，得到成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高一上·江苏·专题练习）依据三角函数线作出如下四个判断：
①；②；③；④．
其中判断正确的有 （填序号）．
3．（23-24高一·江苏·课时练习）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
(1)；(2)；(3)；(4).
高频考点十二：解三角不等式
典型例题
例题1．（23-24高三·全国·课时练习）使成立的的一个变化区间是
A． B．
C． D．
例题2．（23-24高一·全国·课后作业）不等式在区间上的解集为 ．
例题3．（23-24高一下·上海·假期作业）（1）已知，求：满足条件的角的取值范围；
（2）已知，求：满足条件的角的取值范围；
练透核心考点
1．（23-24高一下·广西北海·期中）在上，使不等式成立的x的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一·上海·专题练习）若，证明：
(1)；
(2).
（23-24高一·全国·课时练习）利用三角函数线,确定满足不等式的取值范围.
第四部分：新定义题
1．（2024高一下·上海·专题练习）对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”．
(1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”；
(2)求证：集合，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；
(3)若集合，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、．
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第01讲 任意角和弧度制及三角函数的概念
目录
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 4
第三部分：高频考点一遍过 6
高频考点一：确定已知角所在象限 6
高频考点二：由已知角所在的象限确定某角的范围 7
高频考点三：确定倍角（分角）所在象限 9
高频考点四：区域角 11
高频考点五：终边相同的角 15
高频考点六：角度制与弧制度的相互转化 16
高频考点七：弧长公式有关的计算 17
高频考点八：扇形面积有关计算 19
高频考点九：单位圆法与三角函数 24
高频考点十：终边上任意点法与三角函数 26
高频考点十一：三角函数线 28
高频考点十二：解三角不等式 36
第四部分：新定义题 40
第一部分：基础知识
1、角的概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
③终边相同的角：
终边与角相同的角可写成．
2、弧度制的定义和公式
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，，是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关．
④弧度与角度的换算：；．
若一个角的弧度数为，角度数为，则，．
3、任意角的三角函数
3.1.单位圆定义法：
任意角的三角函数定义：设是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点，那么
（1）点的纵坐标叫角α的正弦函数，记作；
（2）点的横坐标叫角α的余弦函数，记作；
（3）点的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作（）.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
3.2.终边上任意点法：
设是角终边上异于原点的任意一点，它到原点的距离为（）那么：
；；（）
角
不存在
4、扇形的弧长及面积公式
(1)弧长公式
在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则变形可得，此公式称为弧长公式，其中的单位是弧度．
(2)扇形面积公式
5、三角函数线
三角函数线
正弦线： 余弦线： 正切线：
6、常用结论
（1）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
（2）角度制与弧度制可利用进行相互转化，在同一个式子中，采用的度量方式必须统一，不可混淆.
角度制
弧度制
（3）象限角：
象限角 集合 区间
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
（4）轴线角
角终边所在位置 角度制 弧度制
角终边在轴非负半轴
角终边在轴非正半轴
角终边在轴非负半轴
角终边在轴非正半轴
角终边在轴上
角终边在轴上
角终边在坐标轴上
第二部分：高考真题回顾
1．（2022·全国·甲卷理）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
2．（2023·全国·乙卷文）若，则 ．
【答案】
【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果.
【详解】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：确定已知角所在象限
典型例题
例题1．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）若，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用得到答案.
【详解】，故角的终边在第四象限.
故选：D
例题2．（23-24高一上·河北唐山·期末）已知，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【分析】，再根据终边相同的角的集合，判断是第几象限角，即可求出结果.
【详解】因为，又是第三象限角，
所以是第三象限角，
故选：C.
练透核心考点
1．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）的终边在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【分析】求出与终边相同，得到所在象限.
【详解】与终边相同的角可表示为，．
当时，．易知终边在第二象限．
故选：B
2．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】A
【分析】根据终边相同角的概念可求解.
【详解】，
与终边相同，所以是第一象限角．
故选：A.
高频考点二：由已知角所在的象限确定某角的范围
典型例题
例题1．（22-23高一上·甘肃天水·期末）若是第二象限角，则是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】由象限角的定义即可求解.
【详解】由题意是第二象限角，
所以不妨设，
所以，
由象限角的定义可知是第四象限角.
故选：D.
例题2．（多选）（23-24高一上·内蒙古包头·期末）设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据已知得出的范围，进而得出以及的范围，即可得出以及终边所在的象限，进而得出答案.
【详解】对于A、B，由已知可得，，
所以，.
当为偶数时，设，
则，
此时为第二象限角；
当当为奇数时，设，
则，
此时为第四象限角.
综上所述，为第二或第四象限角.
所以，不能确定的正负，.故A错误，B正确；
对于C、D，由已知可得，，
所以，，
所以，为第一或第二象限角或终边落在轴非负半轴.
所以，不能确定的正负，，.故C错误，D正确.
故选：BD.
练透核心考点
1．（23-24高一上·广东中山·阶段练习）若α是第四象限角，则90 －α是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【分析】根据角所在的象限判断所求角所在象限即可.
【详解】由题知，，，
则，在第二象限，
故选：B
2．（多选）（23-24高一上·全国·课时练习）（多选）若是第三象限的角，则可能是（ ）
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
【答案】AC
【分析】根据角限角的定义得出角的范围，再运用不等式的性质可得选项.
【详解】解：由于是第三象限的角，故，
所以，
所以.
当为偶数时，为第一象限角；
当为奇数时，为第三象限角.
所以可能是第一象限角，也可能是第三象限角.
故选：AC.
高频考点三：确定倍角（分角）所在象限
典型例题
例题1．（23-24高一下·上海·阶段练习）若，角终边所在的象限是（ ）
A．一或三 B．二或四 C．二或三 D．三或四
【答案】B
【分析】
根据给定条件，确定角所在象限，并求出其范围，再求出的范围即可得解.
【详解】由，得角是第三象限角，即，
则，当为奇数时，是第二象限角，当为偶数时，是第四象限角，
所以角终边所在的象限是二或四.
故选：B
例题2．（多选）（23-24高一上·河北保定·期中）设为第二象限角，则可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】CD
【分析】为第二象限角，得到，得到答案.
【详解】为第二象限角，故，
所以，
所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或轴的负半轴.
故选：CD
例题3．（多选）（23-24高一上·广东茂名·期末）已知为第二象限角，那么是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】ABD
【分析】根据的范围得到的范围，分，和，三种情况，求出答案.
【详解】由，（），得（），
当时，，（），为第一象限角；
当时，，（），为第二象限角；
当时，，（），为第四象限角.
故选：ABD
练透核心考点
1．（23-24高一上·四川内江·期末）已知，，则的终边在（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】D
【分析】先通过条件确定的范围，再求出的范围，进而可得角所在象限.
【详解】因为，，
所以为第二象限角，即，
所以，
则的终边所在象限为所在象限，
即的终边在第一、二、四象限.
故选：D.
2．（多选）（23-24高一下·全国·单元测试）已知是第三象限角，则不可能是第几象限角（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】CD
【分析】根据给定条件，由的范围，求出的范围作答.
【详解】因为是第三象限角，则，
于是，显然终边在x轴上方，
所以不可能是第三象限角，不可能是第四象限角.
故选：CD
3．（22-23高一·全国·课堂例题）若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角．
【答案】可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角
【分析】
根据象限角的表示方法，得到和的表示，进而判定其象限，得到答案.
【详解】因为是第二象限角，所以，
可得，
所以可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角．
又由 ，
当时，，此时是第一象限角；
当时，，此时是第二象限角；
当时，，此时是第四象限角．
综上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．
高频考点四：区域角
典型例题
例题1．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，则图中表示角的终边所在区域正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出临界位置的终边，结合选项即可得结果.
【详解】当，时，角的终边落在第一象限的角平分线上，
当，时，角的终边落在y轴的非负半轴上，
按照逆时针旋转的方向确定范围可得角的终边所在区域如选项B所示．
故选：B．
例题2．（23-24高一·全国·课后作业）已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么 .
【答案】
【分析】先求得在范围内，终边落在阴影内的角的范围，继而即可求得.
【详解】在范围内，终边落在阴影内的角为；
和.
，
故答案为：
例题3．（23-24高一·全国·课时练习）写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】写出终边在边界上的角，结合图象，利用不等式表示终边在阴影内的角，注意边界的虚实.
【详解】（1）在范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为，
因此，阴影部分区域所表示的集合为；
（2）图中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为，
图中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为
，
因此，阴影部分区域所表示角的集合为
.
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对分奇偶，结合终边相同的角的定义讨论判断即可
【详解】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样；
当时，，此时表示的范围与表示的范围一样，
故选：C．
2．（23-24高一上·全国·课后作业）已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
根据图形先求出终边在角的终边所在直线上的角的集合和终边在角的终边所在直线上的角的集合，从而可求出角的取值范围，进而可求得的取值范围
【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合为，
终边在角的终边所在直线上的角的集合为，
因此终边在题图中的阴影区域内的角的取值范围是，
所以角的取值范围是，
故答案为：
3．（2024高一下·全国·专题练习）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．
【答案】答案见解析
【分析】根据题意，由终边相同角的集合，结合图像，即可得到结果.
【详解】①
②
高频考点五：终边相同的角
典型例题
例题1．（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据角的终边在直线上，利用终边相同的角的写法，考虑角的终边的位置的两种情况，即可求出角的集合.
【详解】由题意知角的终边在直线上，
故或，
即或，
故角的取值集合为.
故选：C.
例题2．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）在与弧度数为角终边相同的角中，绝对值最小的角是 ．
【答案】
【分析】利用终边相同角的集合，即可求出结果.
【详解】与弧度数为2024角终边相同的角为
所以绝对值最小的角是,
故答案为：.
练透核心考点
1．（23-24高一上·内蒙古·期末）若角与角的终边相同，则可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据观察选项得答案.
【详解】由已知
观察选项可得只有，所以可能是.
故选：D.
2．（多选）（23-24高一上·河南·期末）已知角与的终边相同，则角可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】依题意，判断选项.
【详解】依题意，当时，，当时，，所以选项符合，选项不符合.
故选:.
高频考点六：角度制与弧制度的相互转化
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）将化为弧度制，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据弧度制和角度制的互化公式，即可求解.
【详解】.
故选：B
例题2．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）将角度化为弧度： .
【答案】
【分析】
利用角度和弧度互化求解.
【详解】.
故答案为：
练透核心考点
1．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）化成弧度是 .
【答案】
【分析】根据弧度与角度的互化公式，即可求解.
【详解】.
故答案为：
2．（23-24高一上·新疆喀什·期末）的角化成弧度制为 ．
【答案】
【分析】根据角度制与弧度制的互化公式，即可求解.
【详解】因为，所以.
故答案为：
高频考点七：弧长公式有关的计算
典型例题
例题1．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知扇形的圆心角为，半径为3，则扇形的周长为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【分析】由弧长公式求出弧长即可得出周长.
【详解】由弧长公式可得弧长，
所以扇形的周长为，
故选：A
例题2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知一个扇形的周长是，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 .
【答案】2
【分析】
利用扇形面积和周长公式，即可求解.
【详解】
设扇形圆心角的弧度数为，半径为，
由题意知
故答案为：
例题3．（23-24高一上·江苏盐城·期末）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环.已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形的中心角的弧度数为 .
【答案】3
【分析】利用扇形弧长与扇形的中心角的关系，求得，进而可得该扇形的中心角的弧度数.
【详解】依题意可得弧的长为，弧的长为，设扇形的中心角的弧度数为，
如图，
则，则，即．
因为，所以，则，
所以该扇形的中心角的弧度数.
故答案为：3.
练透核心考点
1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）过轴上一点作圆的两条切线，切点为A，B，当切线长最短时，则劣弧长（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出切线长最短时的圆心角的大小即得.
【详解】圆的圆心，半径，点到轴距离，
则，当且仅当点与原点重合时取等号，显然，
则，当时，，
于是，圆心角，所以劣弧长.
故选：D
2．（23-24高一下·北京·阶段练习）扇形的半径为2，圆心角为，则圆心角的弧度数为 ；扇形的弧长为 ．
【答案】
【分析】根据弧度数公式，以及扇形弧长公式，即可求解.
【详解】，所以圆心角的弧度数为；扇形的弧长.
故答案为：；
3．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知扇形的面积为，圆心角弧度数为，则其弧长为 ；
【答案】6
【分析】
根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解.
【详解】设弧长为，半径为，圆心角为，
故，
故，
故答案为：6
高频考点八：扇形面积有关计算
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽·阶段练习）如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A．9 B．8 C．4 D．3
【答案】B
【分析】由弧长比可得半径比，结合扇形面积公式求解.
【详解】设，，则，则
∴，故.
故选：B
例题2．（23-24高一上·北京东城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，角的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，则阴影区域的面积的最大值为 .
【答案】
【分析】连接，当点距离直线最远时，阴影区域的面积的最大值，利用三角形的面积公式和扇形面积公式计算即可.
【详解】连接，当点距离直线最远时，阴影区域的面积的最大值，根据圆的几何特征可得此时且，如图：
设是的终边，则，所以，则，
又，
所以阴影区域的面积的最大值为.
故答案为：.
例题3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径．
(1)当，求其弧所在弓形的面积．
(2)若该扇形的面积为，当它的圆心角和半径取何值时，该扇形的周长最小？最小值是多少？
【答案】(1)
(2)当扇形圆心角为，半径为时，该扇形的周长最小，最小为.
【分析】（1）由扇形面积公式可得扇形面积，再减去三角形面积即可得所求弓形面积；
（2）由扇形面积公式，得(定值)，利用基本不等式求周长即的最小值即可.
【详解】（1）
由题意，当时，扇形面积；
如图，扇形中，连接，则，
所以是正三角形，则，
故所求弓形面积为；
（2）设扇形弧长为，由已知扇形的面积，则，
则扇形的周长，
当且仅当，即时等号成立，
此时半径为，圆心角，该扇形的周长最小，最小为.
练透核心考点
1．（23-24高三上·安徽·期中）扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，，分别在，上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得，再根据扇环的面积公式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，
所以该折扇的扇面的面积为.
故选：D
2．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，面积为，周长为．
(1)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最小？并求出的最小值；
(2)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最大？并求出的最大值．
【答案】(1)，最小值为；
(2)，最大值为．
【分析】（1）利用扇形面积公式可得，则，再结合基本不等式即可求解.
（2）根据面积公式再结合二次函数求最值，即可求解.
【详解】（1），
则．
由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立．
此时．
当时，最小，最小值为．
（2），．
．
当，即时，．
当时，最大，最大值为．
3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）.已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米.

(1)若厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边的长度；
(2)若.求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值.
【答案】(1)160厘米；
(2)6400平方厘米.
【分析】
（1）由题可得弧与弧的长度关系，结合条件可解；
（2）利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积，利用基本不等式求最值.
【详解】（1）设弧的长度为厘米，弧的长度为厘米.
因为，所以，所以.
因为厘米，所以厘米.
因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以，
所以，解得，即弧的长度为160厘米.
（2）因为，所以，所以，
则扇形的面积，扇形的面积，
故该扇形玉雕壁画的扇面面积.
因为该扇形玉雕壁画的周长为320厘米，所以
所以，
则，从而，当且仅当时，等号成立，
故，即该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值为6400平方厘米.
高频考点九：单位圆法与三角函数
典型例题
例题1．（23-24高一下·黑龙江双鸭山·开学考试）在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
直接利用任意角的三角函数定义,结合正弦二倍角公式求解即可.
【详解】
由任意角三角函数定义得：,,
故选：A.
例题2．（23-24高一上·云南昆明·期末）如图，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点，将角的边绕着原点逆时针旋转得到角，则 ．

【答案】
【分析】
由题意可求出，进而利用两角和的余弦公式，即可求得答案.
【详解】由题意知角的始边与单位圆相交于点，
故，
将角的边绕着原点逆时针旋转得到角，
则
，
故答案为：
练透核心考点
1．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知角的终边与单位圆交于点，结合三角函数的定义即可得到的值.
【详解】因为角的终边与单位圆交于点，
所以，
所以，
故选B.
【点睛】该题考查的是有关已知角终边上一点求其三角函数值的问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，属于简单题目.
2．（23-24高三上·河北衡水·期末）将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于点，那么的值为 ．
【答案】/
【分析】根据三角函数的定义及和角公式进行相关计算可得结果.
【详解】由点在单位圆上，则，解得，
由锐角，即，则，故，
.
故答案为：
高频考点十：终边上任意点法与三角函数
典型例题
例题1．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数定义求出正弦和余弦，结合半角公式求出答案.
【详解】由三角函数定义得
所以.
故选：A.
例题2．（2024·陕西咸阳·二模）已知角的始边为轴的非负半轴，顶点为坐标原点，若它的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据三角函数的定义求出，，再由二倍角公式代入计算可得.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，，
所以
.
故选：C
例题3．（2024高一·上海·专题练习）已知角的终边上有一点，求的各三角函数值.
【答案】答案见解析
【分析】根据角终边上的点的坐标，结合任意角的三角函数定义即可求解.
【详解】由已知，，，因为，
所以 ；
所以，，，
，，.
练透核心考点
1．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）设，角的终边经过点，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦函数的定义求解的正余弦计算即可.
【详解】因为，故，.
故.
故选：A
2．（2024·陕西咸阳·二模）已知角的始边为轴的非负半轴，顶点为坐标原点，若它的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
借助三角函数定义与二倍角公式计算即可得.
【详解】由角的经过点，故，
则.
故选：C.
3．（2024·甘肃·一模）已知点为角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据三角函数的定义求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】因为点为角终边上一点，所以，
所以.
故选：C
高频考点十一：三角函数线
典型例题
例题1．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设扇形的面积为，由三角函数线结合得到答案.
【详解】画出的三角函数线，如下：
则，，，
设扇形的面积为，
则，，
又，故，
所以，，
因为，所以.
所以.
故选：A
例题2．（23-24高一·全国·课时练习）下面四个选项中大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】在单位圆中分别做出角和的正弦线、余弦线以及正切线，比较它们的大小即可得出答案.
【详解】如图，在单位圆中作出角的正弦线DP、余弦线OD、正切线AT，
角的正弦线、余弦线、正切线，
由于，因此和的终边关于y轴对称，
由图可得，，
，
∴，∴A，C，D均错误，B正确．
故选：B
例题3．（23-24高一·全国·随堂练习）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
(1)；(2)；(3)；(4).
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】出单位圆，交角的终边于，过作轴，交轴于，过点作轴平行线，交角的终边（或终边的反向延长线）于，则正弦线为、余弦线为、正切线为．
【详解】（1）作出单位圆，交角的终边于，
过作轴，交轴于，
过点作轴平行线，交角的终边于，如图：

则角的正弦线为、余弦线为、正切线为；
（2）作出单位圆，交角的终边于，
过作轴，交轴于，
过点作轴平行线，交角的终边于，如下图：

则角的正弦线为、余弦线为、正切线为；
（3）作出单位圆，交角的终边于，
过作轴，交轴于，
过点作轴平行线，交角的终边的反向延长线于，如下图：

则角的正弦线为、余弦线为、正切线为；
（4）作出单位圆，交角的终边于，
过作轴，交轴于，
过点作轴平行线，交角的终边的反向延长线于，如下图：

则角的正弦线为、余弦线为、正切线为．
练透核心考点
1．（23-24高一·全国·课时练习）在上，利用单位圆，得到成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正余弦、正切函数的定义，应用数形结合判断即可.
【详解】如图所示，
在单位圆中，设，则，，，
由图形可得在第一象限均大于0，在第一象限恒成立，即在第一象限恒成立，以为分界线，当时，即，当时，即；综上在第一象限无解；
由图形可得在第二象限大于0，均小于0，所以在第二象限无解；
由图形可得在第三象限小于0，大于0，所以在第三象限无解；
有图形可得在第四象限大于0，小于0，且恒成立，即在恒成立，所以 在第四象限的解为，
综上在的解集为，
故选：C
2．（2023高一上·江苏·专题练习）依据三角函数线作出如下四个判断：
①；②；③；④．
其中判断正确的有 （填序号）．
【答案】②④
【分析】根据题意，作出三角函数线，结合三角函数线，即可得到函数的大小关系，即可求解.
【详解】①中，如图所示，根据三角函数线，可得的函数值为正，函数值为负，
可得，所以①不正确；

②中，如图所示，依据三角函数线，可得和的三角函数线长度相等，
可得，所以②正确；
③中，如图所示，因为，依据三角函数线，可得，
且的正切线大于的正切线的长度，可得，所以③不正确；

④中，如图所示，依据三角函数线，可得，且的正弦线大于的正弦线，所以，所以④正确.
故选：②④.

3．（23-24高一·江苏·课时练习）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
(1)；(2)；(3)；(4).
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】作出单位圆，角的终边与单位圆交于，过作轴，交轴于，角的终边或终边的反向延长线交过且平行于轴的直线交于点，则是正弦线，是余弦线，是正切线．
【详解】（1）作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M，
过点作轴，交角的终边于T，如下图所示，
则角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT；
（2）作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M，
过点作轴，交角的终边反向延长线于T，如下图所示，
则角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT；
（3）作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M，
过点作轴，交角的终边于点T，如下图所示，
则角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT；
（4）因为，所以角与角的终边相同，
作出单位圆，交角的终边于P，过P作轴于点M，
过点作轴，交角的终边的反向延长线于T，如下图所示，
则角的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.
高频考点十二：解三角不等式
典型例题
例题1．（23-24高三·全国·课时练习）使成立的的一个变化区间是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用三角函数线解不等式得解.
【详解】如图所示

当和时，，
故使成立的的一个变化区间是.
故选A
【点睛】本题主要考查三角函数线的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
例题2．（23-24高一·全国·课后作业）不等式在区间上的解集为 ．
【答案】
【分析】利用余弦函数的定义及三角函数线即得.
【详解】如图所示，由于，
所以在上的解集为．
故答案为：
3．（23-24高一下·上海·假期作业）（1）已知，求：满足条件的角的取值范围；
（2）已知，求：满足条件的角的取值范围；
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）画出画出单位圆中三角函数线，结合图象可得.
（2）画出画出单位圆中三角函数线，结合图象可得或.
【详解】（1）由可知，角x对应的正弦线方向朝上，而且长度为，
作示意图，如图所示，

可知角的终边可能是，也可能是，
又因为，所以或，
再由图可知，如果的终边在中，则一定有，
因此，满足条件的角的取值范围.
（2）画出单位圆中三角函数线，如图．
由图可知角的范围是：
或.
练透核心考点
1．（23-24高一下·广西北海·期中）在上，使不等式成立的x的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合余弦函数的图象，即可求解．
【详解】由，则，
又，所以所求集合为．
故选：A．
2．（2024高一·上海·专题练习）若，证明：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）利用正切线与余弦线的定义，结合三角形两边之和大于第三边即可得证；
（2）利用三角函数线的定义，结合三角形与扇形的面积大小即可得证.
【详解】（1）
如图，在平面直角坐标系中作出角，角的正弦线和余弦线.

由，为直角三角形，且，，，
【点睛】本题考查用三角函数线解三角不等式，可以根据图形写出一个周期内的解集，然后再加上周期．
第四部分：新定义题
1．（2024高一下·上海·专题练习）对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”．
(1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”；
(2)求证：集合，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；
(3)若集合，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)，或，
【分析】
（1）根据余弦方差的定义代入即可求解，
（2）根据余弦差定义可得化简分子，根据和差角公式以及同角平方关系即可求解，
（3）根据余弦差定义列出关系式，利用和差角公式以及二倍角公式化简，根据题意可得，即可结合三角函数的性质求解.
【详解】（1）
依题意得，；
（2）
证明：由“余弦方差”定义得：
，
则分子
，
为定值，与的取值无关．
（3）
分子
．
要使是一个与无关的定值，
则，
，
与终边关于轴对称或关于原点对称，
又，得与终边只能关于轴对称，
又
则当时，
当时，．
故，或，
故，或，时，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值．
【点睛】
关键点点睛：利用公式将所给的集合代入运算，利用和差角公式，二倍角公式化简.
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