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第02讲 常用逻辑用语
目录
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 3
第三部分：高频考点一遍过 3
高频考点一：充分条件与必要条件的判断 3
高频考点二：充分条件与必要条件的应用 4
高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比 5
高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 5
高频考点五：含有一个量词的命题的否定 6
高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数 7
第四部分：典型易错题型 8
注意：“的”字结构倒装 8
注意：最高项系数含参数，容易忽略系数为0 8
注意：给定的区间是非区间，不能用判别法 8
注意：给定的区间是区间，可用判别法 8
第五部分：新定义题（解答题） 8
第一部分：基础知识
1、充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；
（2）若且，则是的充分不必要条件；
（3）若且，则是的必要不充分条件；
（4） 若，则是的充要条件；
（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.
拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件
（1）是的充分不必要条件是的充分不必要条件；
（2）是的必要不充分条件是的必要不充分条件；
（3）是的充要条件是的充要条件；
（4）是的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.
拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构
（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）
（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）
2、全称量词与存在量词
（1）全称量词
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.
（2）存在量词
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
（3）全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
（4）存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
（5）常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是
否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·天津·统考高考真题）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
2．（2023·北京·统考高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：充分条件与必要条件的判断
典型例题
例题1．（2024上·河北承德·高一统考期末）若，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
例题2．（2024下·云南昆明·高二统考开学考试）若集合，集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例题3．（2024上·江苏连云港·高一统考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
练透核心考点
1．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024上·浙江宁波·高一余姚中学校联考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024上·上海·高一上海市大同中学校考期末）已知为非零实数，则“”是“”成立的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
高频考点二：充分条件与必要条件的应用
典型例题
例题1．（2024下·上海·高一开学考试）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
例题2．（2024·全国·高一专题练习）给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上.
已知集合，，存在实数使得“”是“”的 条件.
例题3．（2023上·山西晋中·高一统考期末）已知不等式的解集为.
(1)求不等式的解集；
(2)设非空集合，若是的充分不必要条件，求的取值范围.
练透核心考点
1．（2024·全国·高一假期作业）已知集合，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 ．
2．（2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习）设命题：实数满足，其中；命题：实数x满足，若是的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ．
3．（2023上·河南郑州·高一校考阶段练习）已知命题，满足，不等式恒成立，命题，则是的 条件.
高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比
典型例题
例题1．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）下列选项中是“，”成立的一个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023上·贵州黔南·高一贵州省瓮安中学校考阶段练习）已知条件，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例题3．（2024上·安徽安庆·高一安庆一中校考期末）“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
练透核心考点
1．（2024·陕西西安·西安中学校考一模）已知，则下列选项中是“”的充分不必要条件的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·山东济宁·高一统考期末）“”是“”的（ ）
B．，都有
C．，使得
D．，都有
高频考点五：含有一个量词的命题的否定
典型例题
例题1．（2024上·山东潍坊·高一统考期末）设，命题“存在，使有实根”的否定是（ ）
A．任意，使无实根 B．任意，使有实根
C．存在，使无实根 D．存在，使有实根
例题2．（2024·全国·高一专题练习）已知命题，，则命题的真假以及否定分别为（ ）
A．真，， B．假，，
C．真，， D．假，，
练透核心考点
1．（2024上·广东佛山·高一统考期末）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·高一专题练习）若命题P：，则为（ ）
A． B．
C． D．
高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数
典型例题
例题1．（2024上·陕西渭南·高一校考期末）已知命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2024上·陕西宝鸡·高一宝鸡市石油中学校考阶段练习），．若此命题是假命题，则实数a的取值集合是 ．
练透核心考点
1．（2024上·广东深圳·高一统考期末）已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·安徽·高一校联考期末）已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第四部分：典型易错题型
注意：“的”字结构倒装
1．（2023·江苏·高一专题练习）线段在x轴下方的一个充分条件但不是必要条件是 .
注意：最高项系数含参数，容易忽略系数为0
2．（2023上·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）“”是“关于的不等式，对任意的恒成立”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
注意：给定的区间是非区间，不能用判别法
3．（2023上·云南曲靖·高一校考期中）若“，”为真命题，则实数a的取值范围为 .
注意：给定的区间是区间，可用判别法
4．（2023上·陕西渭南·高一统考期中）已知命题：“，”是假命题，则实数a的取值范围是 .
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，且区间，对任意且，记，.若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质.
(1)记：①充分而不必要条件；
②必要而不充分条件；
③充要条件；
④既不充分也不必要条件
则在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）；
在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）；
在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）；
(2)若在满足性质，求实数的取值范围；
(3)若函数在区间上恰满足性质 性质 性质 性质中的一个，直接写出实数的最小值.
2．（2024·全国·高一假期作业）对于有限个自然数组成的集合，定义集合，记集合的元素个数为.定义变换，变换将集合变换为集合.
（1）若，求；
（2）若集合，证明：的充要条件是.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第02讲 常用逻辑用语
目录
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 3
第三部分：高频考点一遍过 4
高频考点一：充分条件与必要条件的判断 4
高频考点二：充分条件与必要条件的应用 7
高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比 9
高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 12
高频考点五：含有一个量词的命题的否定 15
高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数 16
第四部分：典型易错题型 17
注意：“的”字结构倒装 17
注意：最高项系数含参数，容易忽略系数为0 18
注意：给定的区间是非区间，不能用判别法 18
注意：给定的区间是区间，可用判别法 19
第五部分：新定义题（解答题） 19
第一部分：基础知识
1、充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；
（2）若且，则是的充分不必要条件；
（3）若且，则是的必要不充分条件；
（4） 若，则是的充要条件；
（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.
拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件
（1）是的充分不必要条件是的充分不必要条件；
（2）是的必要不充分条件是的必要不充分条件；
（3）是的充要条件是的充要条件；
（4）是的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.
拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构
（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）
（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）
2、全称量词与存在量词
（1）全称量词
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.
（2）存在量词
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
（3）全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
（4）存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
（5）常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是
否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·天津·统考高考真题）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；
由，则，即，显然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分条件.
故选：B
2．（2023·北京·统考高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二：
充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：
充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：充分条件与必要条件的判断
典型例题
例题1．（2024上·河北承德·高一统考期末）若，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】结合三角函数的诱导公式，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】当时，，
即成立；
又因为，
所以或，
结合，解得或或，
即成立，推不出，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：B
例题2．（2024下·云南昆明·高二统考开学考试）若集合，集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据指数、对数不等式的解法分别解出集合、，结合集合的包含关系判断即可．
【详解】集合，
集合，
则B是A的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B．
例题3．（2024上·江苏连云港·高一统考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【分析】举出反例，得到充分性和必要性均不成立，得到答案.
【详解】设，此时满足，但不满足，充分性不成立，
设，此时满足，但不满足，必要性不成立，
故是的既不充分也不必要条件.
故选：D
练透核心考点
1．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，利用指数函数与对数函数的性质，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，可得，解得，
又由不等式，即，可得，解得，
因为集合是集合的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
2．（2024上·浙江宁波·高一余姚中学校联考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】当时，不妨取，，则，所以，“”“”，
另一方面，当时，由不等式的基本性质可得，
所以，“”“”，
因此，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2024上·上海·高一上海市大同中学校考期末）已知为非零实数，则“”是“”成立的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】D
【分析】举反例结合充分必要条件的定义分析即可.
【详解】显然时不能推出，反之时也不能推出，
则“”是“”成立的既非充分又非必要条件.
故选：D
高频考点二：充分条件与必要条件的应用
典型例题
例题1．（2024下·上海·高一开学考试）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】问题转化为：的解集是的解集的真子集，可解决此题．
【详解】由解得，
由解得，
根据题意得：是的真子集，
（等号不同时成立），解得：．
故答案为：．
例题2．（2024·全国·高一专题练习）给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上.
已知集合，，存在实数使得“”是“”的 条件.
【答案】②，③
【分析】分别根据充要条件及充分不必要条件，必要不充分条件计算求解即可.
【详解】①“”是“”的充要条件，则，，此方程无解，故不存在实数，则不符合题意；
②“”是“”的充分不必要条件时，，，；解得，符合题意；
③“”是“”的必要不充分条件时，当，，得；
当，需满足，，，解集为；
综上所述，实数的取值范围.
故答案为：②，③.
例题3．（2023上·山西晋中·高一统考期末）已知不等式的解集为.
(1)求不等式的解集；
(2)设非空集合，若是的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据不等式的解集求出，再根据一元二次不等式的解法即可得解；
（2）由是的充分不必要条件，可得是的真子集，列不等式组求解即可.
【详解】（1）因为不等式的解集为，
所以方程的解为，
所以，，得，，
则不等式即，
解得，故解集；
（2）由（1）知，，而是的充分不必要条件，
则是的真子集，
所以，解得，
综上所述，的取值范围是.
练透核心考点
1．（2024·全国·高一假期作业）已知集合，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】根据不等式求得集合，再利用“”是“”的必要条件，得，即可求得实数的取值范围.
【详解】解：，，即，解得或
或
“”是“”的必要条件，，且恒成立
则或，解得或．
故答案为：或
2．（2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习）设命题：实数满足，其中；命题：实数x满足，若是的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先解不等式，根据充分、必要条件的知识列不等式，再求出的取值范围.
【详解】对于命题，，
因为，所以.
对于命题，，由，解得.
因为是的充分不必要条件，
所以是的必要不充分条件，所以 ，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
3．（2023上·河南郑州·高一校考阶段练习）已知命题，满足，不等式恒成立，命题，则是的 条件.
【答案】充分不必要
【分析】将不等式恒成立问题转化为最值问题，然后利用基本不等式求最值即可.
【详解】不等式恒成立，即，
且满足，
，
当且仅当即时，等号成立.
所以，解得，
故命题，命题，
所以是的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比
典型例题
例题1．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）下列选项中是“，”成立的一个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】变形得到，根据函数单调性得到，故，由于是的真子集，故A正确，其他选项不合要求.
【详解】，，
即，，
∴，其中在上单调递减，
在上单调递增，
其中时，，当时，，
故，即，
由于是的真子集，故“”的必要不充分条件为“”，
其他选项均不合要求.
故选：A
例题2．（2023上·贵州黔南·高一贵州省瓮安中学校考阶段练习）已知条件，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可得解.
【详解】由题意条件，条件或，所以是的充分不必要条件.
故选：A.
例题3．（2024上·安徽安庆·高一安庆一中校考期末）“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围，再根据必要不充分条件求解.
【详解】当时，则有，解得，不合题意；
当时，则，解得.
综上所述，关于的不等式对上恒成立”的充要条件为，
所以一个必要不充分条件是.
故选：A.
练透核心考点
1．（2024·陕西西安·西安中学校考一模）已知，则下列选项中是“”的充分不必要条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式性质及指数函数的单调性，结合充分条件，必要条件的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，当，满足，但不成立，
当时，满足，但不成立，故A错误；
对于B，当时，，但，故B正确；
对于C，时，，但不成立，
时，，但不成立，故C错误；
对于D，因为指数函数在上单调递增，故，故D错误.
故选：B
2．（2024上·山东济宁·高一统考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据对数函数性质结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若，可得，即，即充分性成立；
若，例如，则，不成立，即必要性不成立；
综上所述：“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2023上·广东·高一校联考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解不等式，然后根据充分条件必要条件的概念得到答案.
【详解】因为，所以，因为，所以.
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断
典型例题
例题1．（多选）（2023上·湖北孝感·高一湖北省孝感市第一高级中学校联考期中）设表示不超过x的最大整数，如：，，又称为取整函数，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）
A．是奇函数
B．，，若，则
C．，
D．不等式的解集为
【答案】BCD
【分析】由“取整函数”的定义逐个选项分析即可.
【详解】A．取和0.5，函数值分别为和0，故A不正确；
B．设，则，，，，
则，因此，故B正确；
C．设（，），
当时，，，
此时，
当时，，，
此时，
综合可得，C正确；
D．不等式，可得：，或，
∴，或，因此不等式的解集为，故D正确．
故选：BCD．
例题2．（多选）（2023上·江西九江·高一九江一中校考期中）下列命题中，真命题的是（ ）
A．，都有
B．，使得
C．任意非零实数、，都有
D．若正实数、满足，则
【答案】BD
【分析】取可判断A选项；解方程，可判断B选项；取，，可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，A错；
对于B选项，由可得，解得，B对；
对于C选项，不妨取，，则，C错；
对于D选项，若正实数、满足，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，故，D对.
故选：BD.
练透核心考点
1．（多选）（2023上·浙江杭州·高一校联考阶段练习）下列命题是真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式，求得的取值范围，可判定A不正确；根据当时，得到，可判定B正确；结合配方法，可判定C正确；结合对数函数的性质，可判定D不正确.
【详解】对于A中，当时，则，当且仅当时，等号成立；
当时，则，当且仅当时，等号成立，
所以的取值范围为，所以A不正确；
对于B中，当时，可得，所以命题为真命题，所以B正确；
对于C中，由，所以命题为真命题，所以C正确；
对于D中，当时，，所以命题为假命题，所以D不正确.
故选：BC.
2．（多选）（2023上·广东广州·高一广州市第二中学校考期中）已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．，使得
B．，都有
C．，使得
D．，都有
【答案】BCD
【分析】利用代入法，结合一元二次方程根的判别式、比较法逐一判断即可.
【详解】A：，该方程的判别式，
所以该方程无实数根，因此本选项命题不正确；
B：二次函数的对称轴为，
所以有，因此本选项命题正确；
C：，显然当时，不等式成立，所以本选项命题正确；
D：，所以本选项正确，
故选：BCD
高频考点五：含有一个量词的命题的否定
典型例题
例题1．（2024上·山东潍坊·高一统考期末）设，命题“存在，使有实根”的否定是（ ）
A．任意，使无实根 B．任意，使有实根
C．存在，使无实根 D．存在，使有实根
【答案】A
【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案.
【详解】由题意知命题“存在，使有实根”为存在量词命题，
其否定为：任意，使无实根，
故选：A
例题2．（2024·全国·高一专题练习）已知命题，，则命题的真假以及否定分别为（ ）
A．真，， B．假，，
C．真，， D．假，，
【答案】C
【分析】利用基本不等式可推理得到命题为真，再否定量词和结论，即得命题的否定.
【详解】因为，当且仅当，即时等号成立，故命题为真．
又，.
故选:C．
练透核心考点
1．（2024上·广东佛山·高一统考期末）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案.
【详解】命题“”为全称量词命题，
它的否定是，
故选：C
2．（2024·全国·高一专题练习）若命题P：，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由特陈命题的否定是全称命题即可得出答案.
【详解】特称命题“，”的否定.
故选：D.
高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数
典型例题
例题1．（2024上·陕西渭南·高一校考期末）已知命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据命题是假命题列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】由于命题：“，”为假命题，
所以，
解得.
故选：D
例题2．（2024上·陕西宝鸡·高一宝鸡市石油中学校考阶段练习），．若此命题是假命题，则实数a的取值集合是 ．
【答案】
【分析】先得到，为真命题，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得，为真命题，
当时，恒成立，满足要求，
当时，，解得，
综上，实数a的取值集合为.
故答案为：
练透核心考点
1．（2024上·广东深圳·高一统考期末）已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得，即可得解.
【详解】因为命题“”是真命题，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：D.
2．（2024上·安徽·高一校联考期末）已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，分离参数，借助二次函数求出最小值即得.
【详解】“，”为真命题，则“，”为真命题，
而，当且仅当时取等号，则，
所以实数a的取值范围为.
故选：A
第四部分：典型易错题型
注意：“的”字结构倒装
1．（2023·江苏·高一专题练习）线段在x轴下方的一个充分条件但不是必要条件是 .
【答案】(答案不唯一)
【分析】结合一次函数性质知,再结合充分不必要条件定义解题即可.
【详解】结合一次函数图象知，要使线段在x轴下方，需,．
就是一个使命题成立的充分条件但不是必要条件．
故答案为: .
注意：最高项系数含参数，容易忽略系数为0
2．（2023上·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）“”是“关于的不等式，对任意的恒成立”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要.
【分析】根据不等式对任意的恒成立，求得实数的取值范围，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式对任意的恒成立，
当时，不等式可化为，显然恒成立；
当时，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为，
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，且区间，对任意且，记，.若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质.
(1)记：①充分而不必要条件；
②必要而不充分条件；
③充要条件；
④既不充分也不必要条件
则在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）；
在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）；
在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）；
(2)若在满足性质，求实数的取值范围；
(3)若函数在区间上恰满足性质 性质 性质 性质中的一个，直接写出实数的最小值.
【答案】(1)②；①；③
(2)
(3)1
【分析】（1）结合函数的单调性、充分、必要条件的知识确定正确答案.
（2）根据性质，利用分离常数法，结合不等式的性质求得的取值范围.
（3）将问题转化为恒成立，对的范围进行分类讨论，由此求得的最小值.
【详解】（1）由于，所以.
对于性质，当时，无法判断的符号，故无法判断单调性；
当在上单调递增时，，
所以在上具有性质是在上单调递增的必要而不充分条件.
对于性质，当时，，所以在上单调递增；
当在上单调递增时，，的符号无法判断，
所以在上具有性质是在上单调递增的充分而不必要条件.
对于性质，若，则，所以在上单调递增；
当在上单调递增时，，，
所以在上具有性质是在上单调递增的充要条件.
（2）对于任意的，且，
有，
由于在满足性质，即，
所以，所以，
因为，所以，所以，
由于任意的，且，所以，
所以，
所以实数的取值范围是.
（3）实数的最小值为1.
理由如下：
因为在上恰满足性质 性质 性质 性质中的一个，
所以对任意且，若满足性质A，，
若满足性质，则，若满足性质C、D，则，
性质B、C、D同时满足，所以仅满足性质A，此时，
有恒成立.
因为的定义域为，所以.
当时，，
所以，从而，不合题意；
当时，，
所以，从而，
要使恒成立，只需使，即恒成立，
若，则，使，这与矛盾，
当时，，恒成立，
所以的最小值为1.
【点睛】对于新定义问题的求解，关键点在于“转化”，将新定义的问题，不熟悉的问题，转化为学过的知识、熟悉的问题来进行求解.求解函数问题，首先要研究函数的定义域，这个步骤必不可少.
2．（2024·全国·高一假期作业）对于有限个自然数组成的集合，定义集合，记集合的元素个数为.定义变换，变换将集合变换为集合.
（1）若，求；
（2）若集合，证明：的充要条件是.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据题干中对集合和的定义，可以求出两个集合
（2）证明充要条件要从两方面证明，一是证明充分性，而是证明必要性，都成立则说明是充要条件
【详解】解：（1）若集合, 则根据定义可得：.
（2）由.
充分性：设是公差为的等差数列,
则
且, 所以共有个不同的值, 即.
必要性：若,
因为,
所以中有个不同的元素：,
任意的值都与上述某一项相等.
又, 且.
所以, 所以是等差数列，且公差不为.
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