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第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）若向量，则（ ）
A．1 B． C． D．4
2．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知，用，表示，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·四川广安·二模）已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）若向量，则（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在锐角中，为边上的高，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·山东·阶段练习）在中，为的重心，满足，则（ ）
A． B． C．0 D．
7．（2024·福建漳州·模拟预测）在中，是边上一点，且是的中点，记，则（ ）
A． B． C． D．
(1)用分别表示向量，;
(2)求证:B，E，F三点共线.
14．（23-24高一下·天津静海·阶段练习）已知向量，．
(1)求的值；
(2)求及向量在向量上的投影向量的坐标；
(3)若，且、、三点共线，求的值．
15．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）在第六章 平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算.那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和矢量积.这些我们还都没学到.现在我们重新定义一种向量的乘法运算：若，，则.请按这种运算，解答如下两道题.
(1)已知，，求.
(2)已知，，求.
B能力提升
1．（2024·四川宜宾·二模）已知向量，向量满足，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·重庆万州·阶段练习）在三角形中，点是在边上且边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（22-23高三上·全国·阶段练习）在平行四边形中，，，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．（2024·云南红河·二模）如图，在棱长均相等的斜三棱柱中，，，若存在，使成立，则的最小值为 .
5．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，正方形中，分别为线段上的点，满足，连接交于点．

(1)求证：；
(2)设，求的最大值和的最大值.
C综合素养（新定义解答题）
1．（22-23高一下·北京·期中）对平面向量，定义.
(1)设，求；
(2)设，，，，，点是平面内的动点，其中是整数.
（ⅰ）记，，，，的最大值为，直接写出的最小值及当取最小值时，点的坐标.
（ⅱ）记.求的最小值及相应的点的坐标.
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第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）若向量，则（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示求解即得.
【详解】向量，所以，即.
故选：C
2．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知，用，表示，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量减法，将用表示，然后整理可得.
【详解】因为，
所以，整理得.
故选：C
3．（2024·四川广安·二模）已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的数乘运算，向量坐标与终点、始点的关系可解.
【详解】因为，分别为，的中点，
所以，
设，又，所以
即，解得.
故选：A

4．（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）若向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合向量的运算法则，即可求解.
【详解】由向量，可得.
故选：C.
5．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在锐角中，为边上的高，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数及得到，即可得到，再由平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出、，即可得解.
【详解】如图在锐角中，为边上的高，
所以，，又，
所以，所以，则，
所以，
又，所以，所以.
故选：C

6．（23-24高一下·山东·阶段练习）在中，为的重心，满足，则（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案.
【详解】设相交于点，为的重心，

可得为中点，，
，
所以，
所以.
故选：C.
7．（2024·福建漳州·模拟预测）在中，是边上一点，且是的中点，记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可.
【详解】
，
故选：D．

8．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）键线式可以直观地描述有机物的结构，在有机化学中广泛使用．有机物“萘”可以用下左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为下右图所示的图形．已知与为全等的正六边形．若点为右边正六边形的边界（包括顶点）上的动点，且向量，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由“等和线定理”结合图形分析得解.
【详解】
由平面向量共线定理可得，，，则三点共线的充要条件是.
下面先证明“等和线定理”，
如图，设，，
因为三点共线，所以存在，使得.
，
，，则.
由“等和线定理”结合图形可知：当点在上时，易得，
当点在上时，易得，
当点在上时，易得，
当点在上时，易得，
当点在上时，易得，
当点在上时，易得，
综上，可得.
故选：C．
二、多选题
9．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量，不共线，且，，，若，，三点共线，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】AC
【分析】首先表示出、，依题意可得，根据平面向量共线定理得到，从而得到关于、的方程组，解得即可.
【详解】因为，，，
所以，
，
又向量，不共线，，，三点共线，
所以，则，即，
所以，解得或.
故选：AC
10．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）若三点共线，则m的值为（ ）
A．－2 B．－13 C．2 D．13
【答案】CD
【分析】利用平面向量共线的坐标表示计算即可.
【详解】由题意可知，
因为三点共线，则共线，
不妨设，
则或13.
故选：CD
三、填空题
11．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若则 .
【答案】
【分析】根据向量基本定理得到答案.
【详解】因为E为AD中点，所以，
因为D是BC上靠近点C的三等分点，所以，
所以.
故答案为：
12．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）已知：点和向量，若，则点B的坐标是 ．
【答案】
【分析】设，利用向量共线的关系，列出方程求解即可.
【详解】设，则，
所以，解得：.
所以点B的坐标是.
故答案为：.
四、解答题
13．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）如图，在中，D，F分别是BC，AC的中点，，，.
(1)用分别表示向量，;
(2)求证:B，E，F三点共线.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，结合几何图形用基底表示向量即得.
（2）由（1）的信息，利用共线向量的定理推理即可.
【详解】（1）在中，由D是BC的中点，得，
而，于是
又F是AC的中点，所以.
（2）由（1）知，，因此，
即，而有公共点，所以B，E，F三点共线.
14．（23-24高一下·天津静海·阶段练习）已知向量，．
(1)求的值；
(2)求及向量在向量上的投影向量的坐标；
(3)若，且、、三点共线，求的值．
【答案】(1)
(2)，，
(3)
【分析】（1）首先求出的坐标，再由坐标法求出向量的模；
（2）由坐标法求出、，再根据投影向量的定义计算可得；
（3）首先求出、的坐标，依题意，根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】（1）∵，，
∴，
∴；
（2），，
∴，；
向量在向量上的投影向量为.
（3）、、三点共线
，
，
，
，.
15．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）在第六章 平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算.那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和矢量积.这些我们还都没学到.现在我们重新定义一种向量的乘法运算：若，，则.请按这种运算，解答如下两道题.
(1)已知，，求.
(2)已知，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用新定义计算即可；
（2）设，利用新定义计算，列方程组求解.
【详解】（1）因为，，，
所以；
（2）设，
因为，，
所以，
因为，所以，
解，得，即.
B能力提升
1．（2024·四川宜宾·二模）已知向量，向量满足，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出，根据题意利用向量的坐标运算列式运算求解.
【详解】设，则，
由，得，
又，得，即，
联立，解得.
.
故选：C.
2．（23-24高一下·重庆万州·阶段练习）在三角形中，点是在边上且边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
将和都用和表示出来，然后利用列式计算即可.
【详解】由题意，，
则，
同理可得：，
因为直线和直线交于点,
所以存在使，
即，两式作商得
解得.
故选：C.
3．（22-23高三上·全国·阶段练习）在平行四边形中，，，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】D
【分析】根据向量的加减运算及数乘运算可得，从而得解.
【详解】，
，
，
，
，
，，．
故选：D．
4．（2024·云南红河·二模）如图，在棱长均相等的斜三棱柱中，，，若存在，使成立，则的最小值为 .
【答案】(1)证明见解析
(2)的最大值为1；的最大值为
【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用平面向量证明垂直关系；
（2）根据三点共线可得，利用向量的坐标运算可得，进而结合基本不等式求最值.
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，

不妨设，
则，
可得，
因为，可知，所以.
（2）因为三点共线，且，可知，
由（1）可知，
则，
又因为，则，
可得，
则，
若，则；
若，则，
当且仅当，即时，等号成立；
综上所述：的最大值为1；
又因为，
当且仅当，即时，等号成立；
所以的最大值为.
C综合素养（新定义解答题）
1．（22-23高一下·北京·期中）对平面向量，定义.
(1)设，求；
(2)设，，，，，点是平面内的动点，其中是整数.
（ⅰ）记，，，，的最大值为，直接写出的最小值及当取最小值时，点的坐标.
（ⅱ）记.求的最小值及相应的点的坐标.
【答案】(1)5
(2)（i）的最小值为，；（ii）的最小值为13，
【分析】（1）根据题意直接求解即可；
（2）（i）先证明充分性，设，其中，从而由绝对值不等式性质得到，此时，点的坐标为，再说明必要性；
（ii）设点的坐标为，表达出，
，，分别求出和的最小值，进而得到的最小值及此时点的坐标.
【详解】（1）当时，；
（2）（i）的最小值为，此时点的坐标为.
一方面，设，其中.
，，
相加得，故.
欲使上述不等式的等号均成立，有且，得.
另一方面，当点的坐标为时，，，
，
此时，.
（ⅱ）设点的坐标为.
，
，
，，
所以，
其中
（当且仅当时，等号成立），
（当且仅当时，等号成立），
所以，当且仅当且时，等号成立，
即点时，等号成立.
【点睛】定义新运算问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和不等式，函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.
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