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第02讲 平面向量基本定理及坐标表示
目录
第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 1
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 2
第三部分：高频考点一遍过 3
高频考点一：平面向量基本定理的应用 3
高频考点二：平面向量的坐标表示 4
高频考点三：平面向量共线的坐标表示（由向量平行求参数） 6
高频考点四：平面向量共线的坐标表示（由坐标解决三点共线问题） 6
第四部分：新定义题 8
第一部分：基础知识
1、平面向量的基本定理
1.1定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.
1.2基底：
不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即不能作为基底；
（2）基底一旦确定，分解方式唯一；
（3）用基底两种表示，即，则，进而求参数.
2、平面向量的正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3、平面向量的坐标运算
3.1平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与轴，轴方向相同的两个不共线的单位向量作为基底，存在唯一一组有序实数对使,则有序数对，叫做的坐标，记作.
3.2平面向量的坐标运算
（1）向量加减：若，则；
（2）数乘向量：若，则；
（3）向量数量积：若，则；
（4）任一向量：设，则.
4、平面向量共线的坐标表示
若，则的充要条件为
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·新课标Ⅰ卷）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·乙卷文）已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022·全国·新课标Ⅰ卷）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量基本定理的应用
典型例题
例题1．（23-24高一下·湖南·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一个三等分点，且，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
例题2．（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（23-24高一下·福建漳州·阶段练习）在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于.

(1)若.
①用，表示；
②若，求的值；
(2)若，求的最小值.
练透核心考点
1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图，在中，点为边的点且，点在边上，且，交于点且，则为（ ）

A． B． C． D．
2．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 ．
3．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）如图，在△中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边，分别交于点，，设，.

(1)若，，求的值；
(2)若点为线段的中点，求的最小值.
高频考点二：平面向量的坐标表示
典型例题
例题1．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
高频考点三：平面向量共线的坐标表示（由向量平行求参数）
典型例题
例题1．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知平面向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．8
例题2．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例题3．（23-24高一下·江苏·阶段练习）设，向量，，若，则 ．
练透核心考点
1．（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知向量，，若向量，共线且，则的最大值为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．3
2．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知向量满足.若，则实数（ ）
A． B． C．3 D．
高频考点四：平面向量共线的坐标表示（由坐标解决三点共线问题）
典型例题
例题1．（22-23高一下·河北邯郸·期中）已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（ ）
A．－16 B．16 C． D．
例题2．（22-23高一下·河北保定·期中）已知、、三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
例题3．（22-23高一下·广西河池·阶段练习）已知，，．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，三点共线，求的值．
练透核心考点
1．（22-23高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，三点、、共线，则 ．
2．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列各组三点是否共线：
(1)，，；
(2)，，；
(3)，，.
（22-23高一·全国·课堂例题）已知三点共线，求x的值．
第四部分：新定义题
1．（18-19高一下·北京东城·期中）已知集合 .对于，给出如下定义：①；②；③A与B之间的距离为.说明：的充要条件是.
(1)当时，设，求；
(2)若，且存在，使得，求证：；
(3)记.若，且，求的最大值.
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第02讲 平面向量基本定理及坐标表示
目录
第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 1
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 2
第三部分：高频考点一遍过 3
高频考点一：平面向量基本定理的应用 3
高频考点二：平面向量的坐标表示 9
高频考点三：平面向量共线的坐标表示（由向量平行求参数） 12
高频考点四：平面向量共线的坐标表示（由坐标解决三点共线问题） 14
第四部分：新定义题 16
第一部分：基础知识
1、平面向量的基本定理
1.1定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.
1.2基底：
不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即不能作为基底；
（2）基底一旦确定，分解方式唯一；
（3）用基底两种表示，即，则，进而求参数.
2、平面向量的正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3、平面向量的坐标运算
3.1平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与轴，轴方向相同的两个不共线的单位向量作为基底，存在唯一一组有序实数对使,则有序数对，叫做的坐标，记作.
3.2平面向量的坐标运算
（1）向量加减：若，则；
（2）数乘向量：若，则；
（3）向量数量积：若，则；
（4）任一向量：设，则.
4、平面向量共线的坐标表示
若，则的充要条件为
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·新课标Ⅰ卷）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
2．（2022·全国·乙卷文）已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先求得，然后求得.
【详解】因为，所以.
故选：D
3．（2022·全国·新课标Ⅰ卷）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量基本定理的应用
典型例题
例题1．（23-24高一下·湖南·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一个三等分点，且，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知，，根据平面向量基本定理，将用线性表示，根据两个向量相等即可求出的值，即可得出答案.
【详解】由题知点为线段上的一个三等分点，所以，
所以
，
因为不共线，所以，故.
故选：D.
例题2．（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立基底，，则，然后将设，最终表示为，然后得到，进而求出范围．
【详解】矩形中，已知分别是上的点，且满足，

设，则，，
联立，可解得，
因为点在线段上运动，则可设，
，
又，所以，
，
因为，所以．
故选：B．
例题3．（23-24高一下·福建漳州·阶段练习）在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于.

(1)若.
①用，表示；
②若，求的值；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①利用向量的几何运算求解；②设，然后用表示，然通过，将也用表示，然后利用系数对应相等列方程组求解；
（2）设，将用表示，然后利用系数对应相等将用表示，然后利用基本不等式求最值.
【详解】（1）①因为，所以，
故在中，；
②因为，，三点共线，设，
所以，
因为，所以，所以
又由①及已知，，所以，
解得；
（2）因为，又，，三点共线，设，
所以，
又因为，所以，
，
当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为.
练透核心考点
1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图，在中，点为边的点且，点在边上，且，交于点且，则为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用和三点共线，分别得到和，列出方程组，求得的值，进而求得的值，从而得解.
【详解】由题意知，点为边的点且，点在边上，且，
因为三点共线，
所以存在实数使得，
又因为三点共线，
所以存在实数使得，
可得，解得，即，
因为，所以.
故选：A.
2．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据题意，由平面向量的线性运算可得，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】
因为，所以，因为，
所以，且三点共线，
则，，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：
3．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）如图，在△中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边，分别交于点，，设，.

(1)若，，求的值；
(2)若点为线段的中点，求的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据三点共线，用表达，再用表达，结合三点共线，即可由共线定理求得；
（2）用表达，再用表达，根据，待定系数求得关于参数的表达式，利用基本不等式即可求得其最小值.
【详解】（1）由点共线可设，
则，即，
，，，
为线段上靠近点的三等分点，，
由点共线可设，即，
故，解得，故，.
（2），，，
故，又为中点，
则，
故，得，
，
当且仅当，即时，等号成立；
故的最小值为.
高频考点二：平面向量的坐标表示
典型例题
例题1．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设可知，继而得到，由此即可解出点坐标.
【详解】由题意知与的长度相等，方向相反，
所以，
又因为，
设，则，
所以，解得，即，
故选：A
例题2．（2024高一下·全国·专题练习）如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用基底法分解向量，再表示成坐标即可.
【详解】
由题意得，.
故选：A
例题3．（2024高一下·江苏·专题练习）已知在非平行四边形ABCD中，，且三点的坐标分别为，则顶点C的横坐标的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据平面向量共线可求得，当ABCD为平行四边形时可求得C的横坐标为3，即可得结果.
【详解】当ABCD为平行四边形时，如下图所示：

则，依题意可得顶点C的横坐标不能取3；
设顶点C的坐标为，则
由可得，且，
所以，即；
故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是.
故答案为：
练透核心考点
1．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，则，求出，利用同角三角函数关系得到，，求出答案.
【详解】令，则，
，解得，
即，又，
又，解得，，
，即，
所以.
故选：B．
2．（22-23高一下·新疆乌鲁木齐·期中）若，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的坐标计算公式可求点的坐标.
【详解】设，故，而，
故，故，故，
故选：A.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知点，且，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】
利用平面向量的线性运算处理即可.
【详解】
如图，连接，

设为坐标原点，建立平面直角坐标系，，
整理得．
故答案为：
高频考点三：平面向量共线的坐标表示（由向量平行求参数）
典型例题
例题1．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知平面向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【分析】由向量平行的坐标表示可得答案.
【详解】由题意知，所以，解得．
故选：B
例题2．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量共线的坐标表示求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为，，
若，则，解得，
所以由推得出，故充分性成立，
由推不出，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：B
例题3．（23-24高一下·江苏·阶段练习）设，向量，，若，则 ．
【答案】/
【分析】由向量平行可得，计算即可得解.
【详解】由，则有，
即，
由，故，
故，即.
故答案为：.
练透核心考点
1．（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知向量，，若向量，共线且，则的最大值为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．3
【答案】A
【分析】借助向量共线定理与基本不等式计算即可得.
【详解】因为向量共线，所以，解得，
又，所以，，当且仅当时，等号成立.
故选：A.
2．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量平行的坐标表示列方程求可得结论.
【详解】因为，，
所以，
因为，，
所以，
所以，
故选：A.
3．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知向量满足.若，则实数（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出的坐标，再利用向量共线的坐标表示计算即得.
【详解】由，得，
由，得，所以.
故选：B
高频考点四：平面向量共线的坐标表示（由坐标解决三点共线问题）
典型例题
例题1．（22-23高一下·河北邯郸·期中）已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（ ）
A．－16 B．16 C． D．
【答案】A
【分析】先求出和，根据B，C，D三点共线得到，进而列出方程求解.
【详解】由题意得，，
因为B，C，D三点共线，
所以，
则，得.
故选：A.
例题2．（22-23高一下·河北保定·期中）已知、、三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出、，可知，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值.
【详解】因为、、，则，，
因为、、三点共线，则，所以，即．
故选：C.
例题3．（22-23高一下·广西河池·阶段练习）已知，，．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，三点共线，求的值．
【答案】(1)
(2)
（3）因为，所以，
因为直线GH与GL有公共点G，所以G，H，L三点共线.
3．（22-23高一·全国·课堂例题）已知三点共线，求x的值．
【答案】．
【分析】
利用向量与共线的坐标表示求解．
【详解】
因为A，B，C三点共线，所以与共线．
而，．
所以，整理得，解得．
第四部分：新定义题
1．（18-19高一下·北京东城·期中）已知集合 .对于，给出如下定义：①；②；③A与B之间的距离为.说明：的充要条件是.
(1)当时，设，求；
(2)若，且存在，使得，求证：；
(3)记.若，且，求的最大值.
【答案】(1)
(2)见解析
(3)26
【分析】（1）当 时，直接利用求得的值
（2）设，则由题意可得
，使得，其中，得出 与同为非负数或同为负数，由此计算 的结果，计算 的结果，从而得出结论
（3）设 中有 项为非负数， 项为负数
不妨设 时， ， 时，
利用，得到
得到
求出 ， ，即可得到 的最大值
得到，再验证得到成立的条件即可；
【详解】（1）解：由于，
则
故
（2）解：设
使，
使得：，
，使得 ，其中 ，
与 同为非负数或同为负数，
，故得证；
（3）解：
设 中有 项为非负数， 项为负数
不妨设 时，
时，
所以
，整理得
又
即
对于
有 ，且
综上所得，的最大值为
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