资源简介

第02讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式
目录
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 2
第三部分：高频考点一遍过 2
高频考点一：①②③三剑客 2
高频考点二：商数关系（与分式或多项式求值） 4
高频考点三：诱导公式的计算与应用 5
高频考点四：同角关系式和诱导公式的综合应用 7
第四部分：典型易错题型 9
备注：与分式或多项式求值时注意分子与分母要同时除以同一个不为“0”的数 9
第五部分：新定义题 9
第一部分：基础知识
1、同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：．
(2)商数关系：
2、三角函数的诱导公式
诱导公式一
诱导公式二
诱导公式三
诱导公式四
诱导公式五
诱导公式六
诱导公式七
诱导公式八
3、常用结论
（1）同角三角函数关系式的常用变形
（2）诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
第二部分：高考真题回顾
1．（2021·全国·甲卷理）若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·新高考Ⅰ卷）若，则（ ）
A． B． C． D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：①②③三剑客
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一下·山东临沂·开学考试）若 则（ ）
A． B． C． D．
例题3．（多选）（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（23-24高一下·辽宁盘锦·阶段练习）已知
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．或
2．（2024高三·全国·专题练习）函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x，x∈[0，π]的值域为 ．
3．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知，且，则 ．
4．（23-24高一下·上海·阶段练习）（1）已知，且，求的值；
（2）已知，求的值.
高频考点二：商数关系（与分式或多项式求值）
典型例题
例题1．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
例题2．（2024·福建泉州·模拟预测）若，，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的值．
例题4．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知．
(1)求及的值；
(2)若，，，求．
练透核心考点
1．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）已知角的终边经过，
(1)求的值；
(2)求的值；
3．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知角的终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
4．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.
(1)求的值.
(2)求的值.
高频考点三：诱导公式的计算与应用
典型例题
例题1．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）化简： .
例题2．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数
(1)求的值；
(2)若，求的值．
3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）如图所示，以轴非负半轴为始边作角，它的终边与单位圆相交于点，已知点坐标为．
(1)求，的值；
(2)求的值．
高频考点四：同角关系式和诱导公式的综合应用
典型例题
例题1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
例题2．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在平面坐标系中，第二象限角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为.

(1)求的值；
(2)求的值.
练透核心考点
1．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）（1）已知是第三象限角，且
①求的值；
②求的值．
（2）化简：．
2．（23-24高一下·北京延庆·阶段练习）已知，
(1)当，求的值；
(2)求的值．
第四部分：典型易错题型
备注：与分式或多项式求值时注意分子与分母要同时除以同一个不为“0”的数
1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，则 ．
2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值
(1)；
(2).
第五部分：新定义题
1．（22-23高一下·山东青岛·期中）对于函数，若存在非零常数M，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“M函数”；对于函数，若存在非零常数M，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“严格M函数”.
(1)求证：，是“M函数”；
(2)若函数，是“函数”，求k的取值范围；
(3)对于定义域为R的函数对任意的正实数M，均是“严格M函数”，若，求实数a的最小值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第02讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式
目录
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 2
第三部分：高频考点一遍过 3
高频考点一：①②③三剑客 3
高频考点二：商数关系（与分式或多项式求值） 7
高频考点三：诱导公式的计算与应用 11
高频考点四：同角关系式和诱导公式的综合应用 16
第四部分：典型易错题型 19
备注：与分式或多项式求值时注意分子与分母要同时除以同一个不为“0”的数 19
第五部分：新定义题 20
第一部分：基础知识
1、同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：．
(2)商数关系：
2、三角函数的诱导公式
诱导公式一
诱导公式二
诱导公式三
诱导公式四
诱导公式五
诱导公式六
诱导公式七
诱导公式八
3、常用结论
（1）同角三角函数关系式的常用变形
（2）诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
第二部分：高考真题回顾
1．（2021·全国·甲卷理）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.
2．（2021·全国·新高考Ⅰ卷）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：①②③三剑客
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出，再利用二倍角的余弦公式计算即得.
【详解】由两边平方得：，而，，则，
因此，
所以.
故选：D
例题2．（23-24高一下·山东临沂·开学考试）若 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由得到，再利用平方关系求解.
【详解】因为
所以，又
所以，
故选：D
例题3．（多选）（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】结合同角三角关系将平方即可求解即可判断A，再利用平方关系求解判断B，化切为弦通分即可求解判断C，解方程即可求解判断D.
【详解】由，得，
所以，故选项A正确；
因为，，所以，，
又因为，所以，故选项B正确；
因为，故选项C错误；
由，，所以，故选项D错误；
故选：AB
例题4．（23-24高一下·辽宁盘锦·阶段练习）已知
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)16
(2)
(3)
【分析】（1）两边平方，结合平方关系得由此即可进一步求解.
（2）首先得，进一步由即可求解.
（3）首先分别求得，然后由商数关系即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以
所以；
（2）因为，所以，所以，
又因为，
所以；
（3）由，可得．
所以．
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】
借助可得，结合所处象限可得，即可得，即可得解.
【详解】由，
，即，
，为钝角，
，，
，
，
则，
，，
则.
故选：B.
2．（2024高三·全国·专题练习）函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x，x∈[0，π]的值域为 ．
【答案】[－1，1]
【详解】设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx cos x，即sin x cos x＝，且－1≤t≤，所以y＝－＋t＋＝－（t－1）2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1，所以函数的值域为[－1，1].
3．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知，且，则 ．
【答案】/
【分析】利用同角三角函数的平方关系计算即可.
【详解】由可知，
又
，即，
则，
所以，
故.
故答案为：.
4．（23-24高一下·上海·阶段练习）（1）已知，且，求的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）7；（2）
【分析】
（1）利用同角三角函数之间的基本关系可求得，再由两角差的正切公式可得结果；
（2）根据与的关系式判断出，即可得结果.
【详解】（1），且，可得
所以
（2）由
两边平方可得：即，
所以，则，
因此
.
高频考点二：商数关系（与分式或多项式求值）
典型例题
例题1．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】D
【分析】根据正弦二倍角公式及同角三角函数基本关系式可得结果.
【详解】由题意知，
所以，
故选：D．
例题2．（2024·福建泉州·模拟预测）若，，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】由二倍角的正弦和余弦公式化简已知式可得，再由同角三角函数的基本关系即可得出答案.
【详解】由可得，
则，因为，所以，
所以，因为，所以，
所以.
故选：B.
例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的值．
【答案】1
【分析】将所求式中的“1”替换成，得到正弦、余弦的齐次式，构造分母，分数上下同除以，即可化成关于的表达式,代入计算即得.
【详解】∵，，
∴原式
．
即．
例题4．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知．
(1)求及的值；
(2)若，，，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）将弦化切，即可求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）首先求出、、，再由两角差的正弦公式计算可得.
【详解】（1）因为，所以，解得，
所以，
.
（2）因为，，所以，
又，解得或（舍去），
又，，所以，
所以.
练透核心考点
1．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由商数关系求，再将所求式由商数关系化成关于的齐次式即可求解.
【详解】由可得，
.
故选：D.
2．（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）已知角的终边经过，
(1)求的值；
(2)求的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角函数的定义求解；
（2）分子分母同时除以求解.
【详解】（1）解：因为角的终边经过，
所以；
（2）因为，
所以.
3．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知角的终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角函数定义得，进一步结合诱导公式化简求值即可；
（2）由商数关系化成关于的齐次式即可求解.
【详解】（1）由条件知，
；
（2）.
4．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.
(1)求的值.
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件计算出的值，利用齐次式化简代入计算可得；
（2）诱导公式化简，利用齐次式化简代入计算即可
【详解】（1）由已知有；；
（2）.
高频考点三：诱导公式的计算与应用
典型例题
例题1．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）化简： .
【答案】
【分析】
利用诱导公式进行求解即可.
【详解】
.
故答案为：
例题2．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由诱导公式进行化简，再由商数关系求值即可.
（2）求出，再化为齐次式，化弦为切，代入求值.
【详解】（1）
，
所以.
（2）因为，
原式=.
例题3．（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）已知.
(1)化简；
(2)若是第三象限角，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用诱导公式化简得到答案.
（2）计算，从而可得，从而可求解.
【详解】（1）
.
.
（2）由诱导公式可知，即，
又因为是第三象限角，所以，
所以.
练透核心考点
1．（23-24高一下·四川凉山·阶段练习）已知．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式进行化简，然后利用弦化切进行求值即可．
（2）由两角和差的三角公式进行转化求解即可．
【详解】（1），
由已知，，得，
所以．
（2），
，得，
由，得，
则，
，，
．
． ．
．
而，
．
．
．
2．（23-24高二下·辽宁·开学考试）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据结合诱导公式求解即可；
（2）先根据商数关系及二倍角公式化简，再根据诱导公式及二倍角公式将所求角化为已知角，进而可得出答案.
【详解】（1）；
（2）
.
3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）如图所示，以轴非负半轴为始边作角，它的终边与单位圆相交于点，已知点坐标为．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用点在圆上以及三角函数的定义计算即可；
（2）利用诱导公式化简，然后转化为用表示，代入的值计算即可.
【详解】（1）在单位圆上，且点在第二象限
，
解得．
由三角函数定义可知，
（2）
高频考点四：同角关系式和诱导公式的综合应用
典型例题
例题1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用同角三角函数关系求出的值，再利用诱导公式，结合正余弦的齐次式法即可得解；
（2）利用诱导公式与两角和的余弦公式，结合二倍角公式与正余弦的齐次式法即可得解.
【详解】（1）
因为，，
所以，则，
所以；
（2）
.
例题2．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在平面坐标系中，第二象限角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为.

(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据角的终边与单位圆相交的三角函数定义可得，再利用同角的三角函数基本关系式即可求得；
（2）利用诱导公式化简所求式，得弦的齐次式，化弦为切即得.
【详解】（1）依题意得：，因是第二象限角，故，于是
（2）由，由（1）得：，故所求式为，即的值为.
练透核心考点
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据同角三角函数的基本关系求解；
（2）根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】（1），
，
，解得，
,
.
（2）.
第四部分：典型易错题型
备注：与分式或多项式求值时注意分子与分母要同时除以同一个不为“0”的数
1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，则 ．
【答案】/0.6
【分析】
将目标式化为齐次式，结合同角三角函数关系，即可求得结果.
【详解】因为，
则.
故答案为：.
2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）利用正余弦的齐次式法，结合三角函数的平方关系即可得解；
【详解】（1）因为，
所以.
（2）因为，
所以.
第五部分：新定义题
1．（22-23高一下·山东青岛·期中）对于函数，若存在非零常数M，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“M函数”；对于函数，若存在非零常数M，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“严格M函数”.
(1)求证：，是“M函数”；
(2)若函数，是“函数”，求k的取值范围；
(3)对于定义域为R的函数对任意的正实数M，均是“严格M函数”，若，求实数a的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据“M函数”的定义，结合余弦函数的周期性，取证明即可；
（2）由题意恒成立，化简可得，进而由余弦函数的最值求解即可；
（3）由题意可得在R上为减函数，再根据单调性求解不等式可得，换元令，再根据同角三角函数的公式求解的最大值即可.
【详解】（1）取，则，此时对任意的，都有成立，故是“函数”.
（2）因为函数，是“函数”，故恒成立，即，即恒成立.
又，故，，即k的取值范围为
（3）由题意，对任意的，对任意的正实数M，都有成立，故在R上为减函数，
又，故，易得，可令，
则，
即，故实数a的最小值为
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑