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第03讲 导数与函数的极值、最值
目录
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 2
第三部分：高频考点一遍过 3
高频考点一：函数图象与极值（点）的关系 3
高频考点二：求已知函数的极值（点） 5
高频考点三：根据函数的极值（点）求参数 5
高频考点四：求函数的最值（不含参） 7
高频考点五：求函数的最值（含参） 8
高频考点六：根据函数的最值求参数 10
第四部分：典型易错题型 11
备注：已知函数极值（点）求参数，忽视了回代检验答案 11
第一部分：基础知识
1、函数的极值
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
2、函数的最大（小）值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3、函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
第二部分：高考真题回顾
1．（多选）（2023·全国·新课标Ⅰ卷）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
2．（2023·全国·新课标Ⅱ卷）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数图象与极值（点）的关系
典型例题
例题1．（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．在区间上单调递增
B．在区间上有且仅有2个极值点
C．在区间上最多有4个零点
D．在区间上存在极大值点
例题2．（多选）（23-24高二·全国·单元测试）函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（ ）
A．是函数的极值点
B．是函数的最小值点
C．在区间上单调递增
D．在处切线的斜率小于零
练透核心考点
1．（多选）（23-24高二上·江苏·课前预习）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下列说法正确的为（　 ）
A．函数在区间内是单调递增的
B．函数在处取得极大值
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
2．（多选）（23-24高二·江苏南京·期中）已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示. 下列关于函数的结论正确的有（ ）
A．函数的极大值点有个
B．函数在上是减函数
C．若时，的最大值是，则的最大值为4
D．当时，函数有个零点
高频考点二：求已知函数的极值（点）
典型例题
例题1．（2024高二下·全国·专题练习）设函数，则的极大值点和极小值点分别为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（22-23高二下·宁夏石嘴山·期末）设函数，则 （ ）
A．为极大值点 B．为极大值点
C．为极小值点 D．无极值点
例题3．（23-24高三上·北京东城·阶段练习）设函数.
(1)若曲线在点处与直线相切，求的值；
(2)求函数的单调区间与极值点.
练透核心考点
1．（2023·广西南宁·三模）函数的极小值点为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二·天津滨海新·期中）函数在区间上的极小值点是（ ）
A．0 B． C． D．
3．（23-24高二·陕西·开学考试）函数的极小值点为 ，极大值为 ．
高频考点三：根据函数的极值（点）求参数
典型例题
例题1．（2024·广东佛山·二模）若函数（）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数有极值，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
例题3．（2024高二下·全国·专题练习）若函数在上有极值，则实数的取值范围是 .
例题4．（2024·广东汕头·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（23-24高三上·山东青岛·阶段练习）已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数在时取得极大值4，则 ．
3．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数．
(1)求证：当时，曲线与直线只有一个交点；
(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围．
高频考点四：求函数的最值（不含参）
典型例题
例题1．（23-24高二下·广东清远·阶段练习）函数在上的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例题2．（2024高二下·全国·专题练习）已知为正实数，函数在上的最大值为4，则在上的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．2
例题3．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）函数在区间上的最小值是 .
例题4．（22-23高二下·河南·期中）已知函数在点处的切线方程为．
(1)求实数和的值；
(2)求在上的最大值（其中e是自然对数的底数）．
练透核心考点
1．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）设，则函数的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（23-24高二下·山东泰安·阶段练习）已知函数，则的最大值为 ．
3．（2024·江西南昌·一模）已知函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)求的最大值.
例题4．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数.
(1)若在处取得极值，求的极值；
(2)若在上的最小值为，求的取值范围.
练透核心考点
1．（23-24高三上·河北·期末）已知函数的最小值为0，则 .
2．（22-23高二下·全国·课时练习）已知函数，（为实数）．求在区间上的最小值．
3．（23-24高三上·上海·期中）已知，函数，．
(1)当时，若斜率为0的直线l是的一条切线，求切点的坐标；
(2)若与有相同的最小值，求实数a．
4．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)求在上的最小值．
高频考点六：根据函数的最值求参数
典型例题
例题1．（2024高二下·全国·专题练习）若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是 .
例题2．（23-24高三下·浙江·阶段练习）己知函数，其中.
(1)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值;
(2)是否存在实数，使得在上的最大值是 若存在，求出的值;若不存在，说明理由.
例题3．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，其中a是正数．
(1)讨论的单调性；
(2)若函数在闭区间上的最大值为，求a的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·广东·二模）已知函数的最小值为0，则a的值为 .
2．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数有最小值2，求a的值.
3．（2023·四川泸州·一模）已知是函数的极值点．
(1)求的值；
(2)若函数在上存在最小值，求的取值范围．
第四部分：典型易错题型
备注：已知函数极值（点）求参数，忽视了回代检验答案
1．（23-24高二·湖北黄冈·期末）已知函数在处有极小值，则常数的值为 （ ）
A．1 B．2或6 C．2 D．6
2．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知函数，若时，取极值0，则ab的值为（ ）
A．3 B．18 C．3或18 D．不存在
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第03讲 导数与函数的极值、最值
目录
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 2
第三部分：高频考点一遍过 5
高频考点一：函数图象与极值（点）的关系 5
高频考点二：求已知函数的极值（点） 9
高频考点三：根据函数的极值（点）求参数 12
高频考点四：求函数的最值（不含参） 17
高频考点五：求函数的最值（含参） 21
高频考点六：根据函数的最值求参数 27
第四部分：典型易错题型 32
备注：已知函数极值（点）求参数，忽视了回代检验答案 32
第一部分：基础知识
1、函数的极值
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
2、函数的最大（小）值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3、函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
第二部分：高考真题回顾
1．（多选）（2023·全国·新课标Ⅰ卷）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
2．（2023·全国·新课标Ⅱ卷）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
【答案】（1）证明见详解（2）
【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；
（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.
【详解】（1）构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
构建，
则，
构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
即对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
综上所述：.
（2）令，解得，即函数的定义域为，
若，则，
因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则在上单调递减，在上单调递增，
故是的极小值点，不合题意，所以.
当时，令
因为，
且，
所以函数在定义域内为偶函数，
由题意可得：，
（i）当时，取，，则，
由（1）可得，
且，
所以，
即当时，，则在上单调递增，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，
所以是的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当时，取，则，
由（1）可得，
构建，
则，
且，则对恒成立，
可知在上单调递增，且，
所以在内存在唯一的零点，
当时，则，且，
则，
即当时，，则在上单调递减，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，
所以是的极大值点，符合题意；
综上所述：，即，解得或，
故a的取值范围为.
【点睛】关键点睛：
1.当时，利用，换元放缩；
2.当时，利用，换元放缩.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数图象与极值（点）的关系
典型例题
例题1．（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．在区间上单调递增
B．在区间上有且仅有2个极值点
C．在区间上最多有4个零点
D．在区间上存在极大值点
【答案】CD
【分析】结合导数图像的正负性，判断原函数的单调性，进而逐一对选项辨析即可.
【详解】由图可知，在区间为负，单调递减，
在区间为正，单调递增，故A错误；
在区间上有3个零点，且零点附近左右两边的值一正一负，
故有3个极值点，故B错误；
在区间，为负，单调递减，
在区间，为正，单调递增，
则在与时取得极小值，
在时取得极大值，则当与时，
，且时，
在区间上最多有4个零点,
故C正确；
在区间上为正，单调递增，
在区间上为负，单调递减，
则为极大值点，故D正确；
故选：CD.
例题2．（多选）（23-24高二·全国·单元测试）函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（ ）
A．是函数的极值点
B．是函数的最小值点
C．在区间上单调递增
D．在处切线的斜率小于零
【答案】AC
【分析】根据导函数的图象判断出的单调性、极值点、最值点、切线的斜率，由此判断出命题错误的选项.
【详解】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞,﹣3）时，，在时，，
∴函数y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上单调递减，在上单调递增，故C正确；
则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故A正确；
∵在上单调递增，∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不正确；
∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确；
故选：AC
练透核心考点
1．（多选）（23-24高二上·江苏·课前预习）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下列说法正确的为（　 ）
A．函数在区间内是单调递增的
B．函数在处取得极大值
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
【答案】ABD
【分析】
根据图象，先判断出在和上大于0，在和上小于0，从而可得的单调性和极值点.
【详解】
从图象上可以发现，当时，，
于是，故在区间内是单调递增的，A正确；
当时，，所以，
当时，，所以，
故函数在处取得极大值，B正确；
当时，，
所以函数在区间内是单调递减的，C错误；
当时，，于是，
故在区间内是单调递减的，
而在区间内是单调递增的，
所以函数在处取得极小值，D正确．
故选：ABD
2．（多选）（23-24高二·江苏南京·期中）已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示. 下列关于函数的结论正确的有（ ）
A．函数的极大值点有个
B．函数在上是减函数
C．若时，的最大值是，则的最大值为4
D．当时，函数有个零点
【答案】ABD
【分析】利用导函数的图象可判断A、B选项的正误；取，结合函数的最值与单调性的关系可判断C选项的正误；作出函数的草图，数形结合可判断D选项的正误.综合可得出结论.
【详解】由导数的正负性可知，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为、，B选项正确；
函数有个极大值点，A选项正确；
当时，函数最大值是，而最大值不是，C选项错误；
作出函数的图象如下图所示，由下图可知，当时，函数与函数的图象有四个交点，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查导数和原函数之间的关系，由图象判断零点个数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
高频考点二：求已知函数的极值（点）
典型例题
例题1．（2024高二下·全国·专题练习）设函数，则的极大值点和极小值点分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值点.
【详解】
易知函数的定义域是，
由题意，，
当或时，；当或时，，
在和上单调递增，在和上单调递减，
极大值点是，极小值点是．
故选：A.
例题2．（22-23高二下·宁夏石嘴山·期末）设函数，则 （ ）
A．为极大值点 B．为极大值点
C．为极小值点 D．无极值点
【答案】B
【分析】
利用导数求出函数的单调区间，即可得到极值点.
【详解】函数定义域为，
则，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则在处取得极大值，即为极大值点.
故选：B
例题3．（23-24高三上·北京东城·阶段练习）设函数.
(1)若曲线在点处与直线相切，求的值；
(2)求函数的单调区间与极值点.
【答案】(1)
(2)见解析.
【分析】（1）已知函数的解析式，把点代入，再根据在点处与直线相切，求出，的值；
（2）由题意先对函数进行求导，解出极值点，然后再根据极值点的值讨论函数的增减性及其增减区间.
【详解】（1），
曲线在点处与直线相切，
，
∴
（2），
当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点．
当时，由，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
即函数的增区间为，，减区间为；
此时是的极大值点，是的极小值点．
练透核心考点
1．（2023·广西南宁·三模）函数的极小值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值点.
【详解】因为定义域为，
所以，令得，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值．
故选：D
2．（23-24高二·天津滨海新·期中）函数在区间上的极小值点是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数研究的区间单调性，进而确定极小值点.
【详解】由题设，
所以在上，递减，
在上，递增，
所以极小值点为.
故选：B
3．（23-24高二·陕西·开学考试）函数的极小值点为 ，极大值为 ．
【答案】 18
【分析】
求导，即可得函数的单调性，结合极值点的定义即可求解.
【详解】由得，
令，解得或，
令，解得，
故在和上单调递增，在单调递减，
故在处取极小值，在处取极大值，
故，，
故答案为：，18，
高频考点三：根据函数的极值（点）求参数
典型例题
例题1．（2024·广东佛山·二模）若函数（）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出函数的导数，由已知可得函数在上有两个零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可.
【详解】函数的定义域为，，
又函数既有极大值也有极小值，所以函数在上有两个零点，
由，所以方程有两个不同的正实数，
所以，即.
故选：B
例题2．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数有极值，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】
先求出函数的导函数；再求出极值点，代入函数解方程即可.
【详解】由题目条件可得：函数的定义域为，.
令，得；
令，得.
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增.
则是函数的极小值点，
故，解得.
故选：B
例题3．（2024高二下·全国·专题练习）若函数在上有极值，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可得在上有变号零点，即在上有实数根，利用基本不等式求出的最小值可得答案.
【详解】的定义域为，，
要函数在上有极值，
则在上有变号零点，即在上有实数根，且不能为相等实根.
令，
则，当且仅当时等号成立，
所以.
当时，，函数单调递增，
则函数在上没有极值，
故.
故答案为：.
例题4．（2024·广东汕头·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】
（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出函数的导数，利用导数探讨函数的单调性，求出的范围.
【详解】（1）
当时，函数，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
求导得，
当时，，由，得，由，得，
则函数在上递增，在上递减，函数只有极大值，不合题意；
当时，由，得或，
①若，即，由，得或，由，得，
则函数在上递增，在上递减，
因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；
②若，即，由，得或，由，得，
则函数在上递增，在上递减，
因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；
③若，即，由在上恒成立，得在上递增，
函数无极值，不合题意，
所以的取值范围为.
练透核心考点
1．（23-24高三上·山东青岛·阶段练习）已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将问题转化为方程在有两个不相等实根，即有两个不同的交点，令，利用数形结合法求解．
【详解】解：，则，
要使函数在其定义域内既有极大值也有极小值，
只需方程在有两个不相等实根．
即，令，则．
当，，
当，，
在递增，在递减，当，，
，
其图象如下：
，．
故选：D．
2．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数在时取得极大值4，则 ．
【答案】
【分析】
利用导数研究函数的极值，待定系数计算并验证即可.
【详解】由题意可知，
因为函数在时取得极大值4，所以，
解之得，
检验，此时，令或，
令，
即在上单调递增，在上单调递减，即满足题意，
故.
故答案为：
3．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数．
(1)求证：当时，曲线与直线只有一个交点；
(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）当时，对求导，分析函数单调性，确定图象，可证明曲线与直线只有一个交点.
（2）将既存在极大值，又存在极小值，转换为有两个变号零点问题，讨论零点位置可得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，函数，求导得：，
令，得；令，得；
则函数在上递增，在上递减，
故，
所以曲线与直线只有一个交点.
（2）函数的定义域为，
求导得，
设，
令，解得，.
因为既存在极大值，又存在极小值，即在有两个变号零点，
则，解得且，
综上所述：的取值范围为.
高频考点四：求函数的最值（不含参）
典型例题
例题1．（23-24高二下·广东清远·阶段练习）函数在上的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
利用导数与函数单调性的关系分析的性质，从而求得在的极大值与端点值，由此得解.
【详解】
因为，所以，
令，得或；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，
而，
所以在上的最大值为.
故选：B.
例题2．（2024高二下·全国·专题练习）已知为正实数，函数在上的最大值为4，则在上的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】A
【分析】利用导数判断得在上单调递增，从而列式得解.
【详解】因为，为正实数，
所以恒成立，
所以在上单调递增，
所以函数在上的最大值为，即，
所以在上的最小值为.
故选：A.
例题3．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）函数在区间上的最小值是 .
【答案】0
【分析】
根据给定条件，利用导数求出函数在给定区间上的最小值.
【详解】函数，求导得，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
而当时，，当时，，
所以函数在区间上的最小值是0.
故答案为：0
例题4．（22-23高二下·河南·期中）已知函数在点处的切线方程为．
(1)求实数和的值；
(2)求在上的最大值（其中e是自然对数的底数）．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义可求的值，再根据切线过切点求的值；
（2）根据导数与函数单调性的关系，分析函数在给定区间上的单调性，再求函数的最大值.
【详解】（1）
因为
所以，
由题意可得，，
解得:，.
（2）
由(1)可得，
所以，且，
易得，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，，且，
即最大值为：.
练透核心考点
1．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）设，则函数的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】
根据题意，令，求导可得，即可得到在单调递减，从而得到结果.
【详解】因为，令，则，由可得， 当时，，则单调递减，
所以时，有最小值为.
故选：D
【点睛】，
2．（23-24高二下·山东泰安·阶段练习）已知函数，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】
求导得出函数在上的单调性，即可求得的最大值为.
【详解】由可得，
令可得，
又，所以，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增；
易知；
因此的最大值为.
故答案为：
3．（2024·江西南昌·一模）已知函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)求的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求导得，令可求的单调递减区间；
（2）由（1）易判断在时单增，在时单减，进而求出.
【详解】（1），令，得，即，
所以的单调递减区间为；
（2）当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，即的最大值为.
4．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知函数在处取得极小值5．
(1)求实数a，b的值；
(2)当时，求函数的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】
（1）由题意得到，，求出，，检验后得到答案；
（2）求导，得到函数单调性，进而得到极值和最值情况，得到答案.
【详解】（1），
因为在处取极小值5，所以，得，
此时
所以在上单调递减，在上单调递增
所以在时取极小值，符合题意
所以，．
又，所以．
（2），所以
列表如下：
0 1 2 3
0 0
1 ↗ 极大值6 ↘ 极小值5 ↗ 10
由于，故时，．
高频考点五：求函数的最值（含参）
典型例题
例题1．（22-23高二下·天津和平·阶段练习）函数，若恒有，则a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可知的最小值大于等于0，利用导数求函数的最值即得.
【详解】由题可得，
由，可得，此时单调递减，
由，可得，此时单调递增，
∴，
∴.
故选：C.
例题2．（2023高二·全国·专题练习）已知函数，其中.求的最小值；
【答案】0
【分析】求导后根据导函数的正负与原函数的单调性与最值求解即可.
【详解】， 令，解得，
由为增函数知，当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以的最小值为.
例题3．（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数.
(1)若，且与函数的图象相切，求的值；
(2)若对成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用导数的几何意义求出切点横坐标即可得解.
（2）根据给定条件构造函数，按，分类讨论求解.
【详解】（1）函数，求导得，
设直线与函数的图象相切的切点横坐标为，于是，
而，，解得，又，解得，
所以.
（2）依题意，对恒成立，
设，显然，恒成立，
当时，，不符合题意，
当时，求导得，
由得，函数在上单调递减，
由得，函数在上单调递增，则，
于是，解得，因此；
所以所求实数的取值范围是.
例题4．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数.
(1)若在处取得极值，求的极值；
(2)若在上的最小值为，求的取值范围.
【答案】(1)极大值为，极小值为
(2)
【分析】
（1）根据极值点可得，进而可得，利用导数即可求解函数的单调区间，进而可求解极值，
（2）根据导数确定函数单调性，结合分类讨论即可求解.
【详解】（1），，.
因为在处取得极值，所以，则.
所以，，
令得或1，列表得
1
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以的极大值为，极小值为.
（2）.
①当时，，所以在上单调递增，的最小值为，满足题意；
②当时，令，则或，所以在上单调递减，在上单调递增，
此时，的最小值为，不满足题意；
③当时，在上单调递减，的最小值为，不满足题意.
综上可知，实数的取值范围时.
练透核心考点
1．（23-24高三上·河北·期末）已知函数的最小值为0，则 .
【答案】
【分析】
求导，分类讨论函数的单调性即可求解最值.
【详解】
因为，所以.
若，则在上单调递减，无最小值.
若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，解得.
故答案为：
2．（22-23高二下·全国·课时练习）已知函数，（为实数）．求在区间上的最小值．
【答案】
【分析】根据得出在上的增减性，再分类讨论即可得出在区间上的最小值．
【详解】函数的定义域为，，
当变化时，的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
①当时，在区间上为增函数，所以．
②当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，所以，
综上，．
3．（23-24高三上·上海·期中）已知，函数，．
(1)当时，若斜率为0的直线l是的一条切线，求切点的坐标；
(2)若与有相同的最小值，求实数a．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）由得切点的横坐标，再代入计算出纵坐标即得切点坐标；
（2）首先由导数求得与的最小值，由两最小值相等求，为此方程变形后引入新函数，利用导数确定单调性得出零点．
【详解】（1）由题意，，由得，此时，
所以切点为；
（2），时，，在上是增函数，无最小值，所以，
，
时，，递减，时，，递增，
所以有唯一的极小值也是最小值，
，，
，，递减，时，，递增，
所以有唯一的极小值也是最小值为，
由题意，，
设，则，
设，则，
时，，递增，时，，递减，
所以，所以，即，是减函数，
又，因此是的唯一零点，
所以由得．
4．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)求在上的最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】
（1）利用导函数与单调性的关系求解；
（2）利用导函数与单调性、最值的关系，结合的不同取值范围，分类讨论求解.
【详解】（1）
函数的定义域为，
则．
当时，在上恒成立，
故此时在上单调递减；
当时，由，得,由，得，
故此时在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）
由（1）知，当时，在上单调递减，
所以在上单调递减，所以；
当时，
(i)若，即时，在上单调递增，
此时，；
(ii)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时，；
(iii)若，即时，在上单调递减，
此时，．
综上所述，．
高频考点六：根据函数的最值求参数
典型例题
例题1．（2024高二下·全国·专题练习）若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】
先利用导数分析的性质，再结合在内存在最小值，得到关于的不等式，解之即可得解.
【详解】
因为，所以，
令，得或，
令，得或；令，得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极小值，
令，解得或，
若函数在内存在最小值，
则，解得.
故答案为：.
例题2．（23-24高三下·浙江·阶段练习）己知函数，其中.
(1)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值;
(2)是否存在实数，使得在上的最大值是 若存在，求出的值;若不存在，说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，
【分析】
（1）结合导数的几何意义求出切线方程即可求出参数值.
（2）含参分类讨论，利用导数求函数的单调性，进而得到最大值，分别求解即可得到参数值.
【详解】（1），则，
故曲线在处的切线为，
即，
当时，此时切线为，不符合要求
当时，令，有，
令，有，故，即，故
（2），
①当时，在上单调递增，
的最大值是，解得，舍去;
②当时，由，得，
当，即时，时，时，，
的单调递增区间是，单调递减区间是，
又在上的最大值为;
当，即时，在上单调递增，，
解得，舍去.
综上所述，存在符合题意，此时
例题3．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，其中a是正数．
(1)讨论的单调性；
(2)若函数在闭区间上的最大值为，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导后，利用导数分类讨论确定单调性；
（2）由（1）的结论分类讨论确定最大值点，从而得参数范围．
【详解】（1）因为，
所以．
①当时，，在上严格递增；
②当时，由得或，由得，
所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增；
③当时，由得或，由得，
所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增；
（2）由（1）可知①当时，，
在上严格递增，此时在上的最大值为；
②当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增；
在上的最大值只有可能是或，
因为在上的最大值为，
所以，
解得，此时；
③当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增；
在上的最大值可能是或，
因为在上的最大值为，
所以，
(2)当时，若函数有最小值2，求a的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求得答案；
（2）对求导，得到的单调性，可得，再令，证得，即，可得出答案.
【详解】（1）当时，，的定义域为，
则，则，，
由于函数在点处切线方程为，即.
（2）的定义域为，
，
当时，令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，即
则令，设，，
令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，解得：.
3．（2023·四川泸州·一模）已知是函数的极值点．
(1)求的值；
(2)若函数在上存在最小值，求的取值范围．
【答案】(1)12
(2)
【分析】（1）直接求导代入得到，再验证即可；
（2）计算出，，再比较两者大小即可.
【详解】（1）因为，
所以，
因为是函数函数的极值点，
所以，
，此时，
所以在上，在上，在上，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时为函数极值点，
故所求的值为12.
（2）当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，，
，
因为，所以，所以，所以的取值范围.
第四部分：典型易错题型
备注：已知函数极值（点）求参数，忽视了回代检验答案
1．（23-24高二·湖北黄冈·期末）已知函数在处有极小值，则常数的值为 （ ）
A．1 B．2或6 C．2 D．6
【答案】C
【分析】求导，利用求出或6，检验后得到答案.
【详解】，
由题意得，即，解得或6，
当时，，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故函数在处有极小值，满足要求，
当时，，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故函数在处有极大值，不合要求，
故常数的值为2.
故选：C
2．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知函数，若时，取极值0，则ab的值为（ ）
A．3 B．18 C．3或18 D．不存在
【答案】B
【分析】利用导数与极值的定义得到关于的方程组，从而求得，然后再检验时，函数是否能取得极值，由此得解.
【详解】由，得，
因为时，取得极值0，
所以，解得或，
当时，，
此时函数在在处取不到极值；
经检验时，函数在处取得极值0，满足题意；
所以，所以.
故选：B.
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