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第03讲 等比数列及其前项和
目录
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 2
第三部分：高频考点一遍过 5
高频考点一：等比数列基本量的运算 5
高频考点二：等比数列的判断与证明 10
高频考点三：等比数列的性质及其综合应用（角度1：等比数列的性质） 12
高频考点四：等比数列的性质及其综合应用 16
（角度2：等比数列前项和性质） 16
第四部分：新定义题 20
第一部分：基础知识
1.等比数列的概念
(1)等比数列的定义
一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母()表示．数学语言表达：，为常数，.
(2)等比中项
如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项 ，，成等比数列 .
2.等比数列的有关公式
(1)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；可推广为.
(2)等比数列的前项和公式：当时，；当时，.
3.等比数列的性质
设数列是等比数列，是其前项和．
(1)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()．
(3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
2．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
3．（2024·全国·高考真题（甲卷文））已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：等比数列基本量的运算
典型例题
例题1．（23-24高二上·河北保定）记为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（24-25高二上·全国·课前预习）在等比数列中：
(1)若，，求和；
(2)若，，求．
例题3．（23-24高二下·湖北·阶段练习）在数列中，，前n项之和为.
(1)若是等差数列，，求b的值；
(2)若是等比数列，，求b的值.
例题4．（23-24高二·江苏·课后作业）在等比数列中，
(1)已知，，求q和；
(2)已知，，求和；
(3)已知，，求q和.
练透核心考点
1．（23-24高二下·贵州黔南·期末）记为等比数列的前n项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·全国·课后作业）已知数列为等比数列.
(1)若，且，求的值；
(2)若数列的前三项和为168，，求，的等比中项.
3．（23-24高三·四川）设是等比数列，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
4．（23-24高二·江苏·课后作业）在等比数列中，
(1)已知，，，求q和；
(2)已知，，，求q和；
(3)已知，，，求和；
(4)已知，，，求q和n.
方法总结解决等比数列基本量运算的思想方法
(1)方程思想:等比数列的基本量为首项和公比,通常利用已知条件及通项公式或前项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含,,,,五个量,可“知三求二”.
(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用,表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.
(3)分类讨论思想:若题目中公比未知,则运用等比数列前项和公式时要对分和两种情况进行讨论.
高频考点二：等比数列的判断与证明
典型例题
例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列和满足：，，，，其中．证明：数列是等比数列；
例题2．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知数列满足：.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，.证明：是等比数列；
2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且．求证：数列为等比数列；
练透核心考点
1．（23-24高二上·甘肃定西·阶段练习）正项等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．9 B． C．9或 D．18
2．（23-24高三·云南红河·阶段练习）等比数列的首项，前n项和为，若，则数列的前10项和为　　
A．65 B．75 C．90 D．110
3．（2024·湖北黄冈·二模）已知等差数列的前项和为是等比数列，若，且，则的最小值为 .
4．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，若，则等于 ；
高频考点四：等比数列的性质及其综合应用
（角度2：等比数列前项和性质）
典型例题
例题1．（23-24高二下·河南南阳·期中）若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
例题2．（23-24高二下·河南·开学考试）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．324 B．420 C．480 D．768
例题3．（23-24高一下·江西抚州·阶段练习）等比数列共有项，其中，偶数项和为84，奇数项和为170，则（ ）
A．3 B．4 C．7 D．9
例题4．（23-24高一下·福建龙岩）已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为（ ）
A． B．2 C． D．3
练透核心考点
1．（23-24高二下·湖北恩施·期中）设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C．5 D．
2．（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2024高一·全国·专题练习）已知等比数列的公比，且，则等于（ ）
A．100 B．80 C．60 D．40
4．（2024·浙江宁波）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
第四部分：新定义题
1．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”.
(1)已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列.
(2)已知.
（i）证明：数列为“线性数列”.
（ii）记，数列的前项和为，证明：.
2．（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）数列，数列前n项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若（a为非零实数），求；
(3)若对任意的，都存在，使得成立，求实数t的最大值．
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第03讲 等比数列及其前项和
目录
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 2
第三部分：高频考点一遍过 5
高频考点一：等比数列基本量的运算 5
高频考点二：等比数列的判断与证明 10
高频考点三：等比数列的性质及其综合应用（角度1：等比数列的性质） 12
高频考点四：等比数列的性质及其综合应用 16
（角度2：等比数列前项和性质） 16
第四部分：新定义题 20
第一部分：基础知识
1.等比数列的概念
(1)等比数列的定义
一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母()表示．数学语言表达：，为常数，.
(2)等比中项
如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项 ，，成等比数列 .
2.等比数列的有关公式
(1)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；可推广为.
(2)等比数列的前项和公式：当时，；当时，.
3.等比数列的性质
设数列是等比数列，是其前项和．
(1)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()．
(3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列的单调性、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列的单调性
【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.
【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，
而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确.
对于②，取则均为等比数列，
但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误.
对于③，设，，
若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解，
若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾；
若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，
当有偶数解，此方程即为，
方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，
否则，因单调性相反，
方程至多一个偶数解，
当有奇数解，此方程即为，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即
否则，因单调性相反，
方程至多一个奇数解，
因为，不可能同时成立，
故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确.
对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，
后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.
2．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
【答案】 48 384
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和
【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，
则，且，可得，
则，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因为为等比数列，则，
且，所以；
又因为，则；
空2：设后7项公比为，则，解得，
可得，所以.
故答案为：48；384.
3．（2024·全国·高考真题（甲卷文））已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求.
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：等比数列基本量的运算
典型例题
例题1．（23-24高二上·河北保定）记为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和
【分析】由题意求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的前n项和公式，即可求得答案.
【详解】设等比数列的公比为q，
则由，，得，
解得，
故，
故选：B
例题2．（24-25高二上·全国·课前预习）在等比数列中：
(1)若，，求和；
(2)若，，求．
【答案】(1)或
(2)
【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）（2）根据题意结合等比数列的通项公式列式求解即可.
【详解】（1）因为，则，解得，
当时，；
当时，．
综上所述：或.
（2）因为，则，即．
又因为，则，即．
两式相除得，所以．
例题3．（23-24高二下·湖北·阶段练习）在数列中，，前n项之和为.
(1)若是等差数列，，求b的值；
(2)若是等比数列，，求b的值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、利用等差数列通项公式求数列中的项、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）设的公差为d，根据题意求出首项和公差，即可得出答案；
（2）根据等比数列前项和公式求出公比即可得解.
【详解】（1）解：设的公差为d，则由已知可得：，
解得，
∴；
（2）解：若是等比数列，则公比为，
又，则，
则，，则，
故，解得.
例题4．（23-24高二·江苏·课后作业）在等比数列中，
(1)已知，，求q和；
(2)已知，，求和；
(3)已知，，求q和.
【答案】(1)当时，,当时，；
(2)，；
(3)当时，,当时，.
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】根据等比数列的基本量之间的关系，即可求解.
【详解】（1）解：，解得：，
当时，,
当时，.
（2）解：,解得：，所以
（3）解：，解得：或，
当时，,
当时，.
练透核心考点
1．（23-24高二下·贵州黔南·期末）记为等比数列的前n项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和
【分析】设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得的值，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，可得解得，
所以．
故选：A．
2．（23-24高二下·全国·课后作业）已知数列为等比数列.
(1)若，且，求的值；
(2)若数列的前三项和为168，，求，的等比中项.
【答案】(1)6
(2)
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、确定等比中项、等比数列前n项和的基本量计算、等比数列下标和性质及应用
【分析】（1）利用等比数列的性质计算即可；
（2）利用等比数列前n项和公式结合等比通项公式求出，再利用等比中项定义求解即可.
【详解】（1）因为，所以，即，
又，所以；
（2）设等比数列{an}的公比为q，因为，所以.
由已知得，即，解得，
若G是，的等比中项，则有，
所以，所以，的等比中项为.
3．（23-24高三·四川）设是等比数列，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）由已知求得公比，进一步求出首项，代入等比数列的通项公式即可；
（2）利用等比数列求和公式求和即可.
【详解】（1）设数列的公比为q，
则由已知有，，所以，．
因此．
（2）由(1)则前n项和
4．（23-24高二·江苏·课后作业）在等比数列中，
(1)已知，，，求q和；
(2)已知，，，求q和；
(3)已知，，，求和；
(4)已知，，，求q和n.
【答案】(1)，
(2)或
(3)
(4)
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）由基本量法列方程直接可解；
（2）由基本量法列方程直接可解；
（3）由基本量法列方程直接可解；
（4）由基本量法列方程直接可解,
【详解】（1）由题知，解得，所以
（2）若，则，故
由题知，解得或
（3）由题知，解得
（4）易知，所以由题知，解得
方法总结解决等比数列基本量运算的思想方法
(1)方程思想:等比数列的基本量为首项和公比,通常利用已知条件及通项公式或前项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含,,,,五个量,可“知三求二”.
(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用,表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.
(3)分类讨论思想:若题目中公比未知,则运用等比数列前项和公式时要对分和两种情况进行讨论.
高频考点二：等比数列的判断与证明
典型例题
例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列和满足：，，，，其中．证明：数列是等比数列；
【答案】证明见解析
【知识点】由定义判定等比数列、由递推关系证明等比数列
【分析】利用等比数列的定义证明即可.
【详解】由数列满足，，
可得，结合题设易知，即，
又由，，可得，
所以数列是以首项，公比等于的等比数列.
例题2．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知数列满足：.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、由定义判定等比数列
【分析】（1）将递推公式由来表示，进而利用等比数列的定义即可判断；
（2）由（1）利用等比数列通项公式即可求解.
【详解】（1）证明：由得，易知，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可得，
所以.
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，.证明：是等比数列；
【答案】证明见解析
【知识点】由定义判定等比数列、由递推关系证明等比数列
【分析】变形得到，证明出结论.
【详解】因为数列中，，，
所以，且，
所以是等比数列，公比为2，首项为2.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且．求证：数列为等比数列；
【答案】证明见解析
【知识点】由定义判定等比数列、由递推关系证明等比数列
【分析】由题意可构造出，结合等比数列的定义即可得.
【详解】证明：由，得，
又，，，
∴是首项为3，公比为3的等比数列．
证明是等比数列 定义法 () (或者）
等差中项法
判断是等比数列 的通项关于的指数函数 （，）
的前项和 （，，）
高频考点三：等比数列的性质及其综合应用（角度1：等比数列的性质）
典型例题
例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）等比数列中，，，则数列的前10项和等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】对数的运算性质的应用、等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】先应用等比数列的项的性质再根据对数运算性质计算.
【详解】∵数列是等比数列，，，∴，
∴．
故选：B.
例题2．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）已知等比数列中，存在，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、对勾函数求最值、等比数列下标和性质及应用
【分析】首先由等比数列的性质可知，，再根据基本不等式和对勾函数的性质确定的最小值.
【详解】由等比数列的性质可知，，，
则，
当，时等号成立，联立和，得，时，取等号，
因为，所以等号取不到，
设，，其中 ，则，
设函数，函数在区间上单调递减，在区间单调递增，
由以上可知，不成立，则2两侧满足条件的数值有，此时，
以及，此时，
，，
因为，所以的最小值为，
所以的最小值为.
故选：A
例题3．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知等比数列满足，则的最小值是 ．
【答案】27
【知识点】等比数列下标和性质及应用、基本不等式求和的最小值
【分析】根据题意利用等比数列性质可得，对于利用等边数列性质可得，再结合基本不等式运算求解.
【详解】因为数列是等比数列，则，可得，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值是27.
故答案为：27.
例题4．（2024·湖北黄冈）设等比数列满足，且，，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】正项等比数列的对数成等差数列的应用、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】设等比数列的公比为，则，根据题中条件列出关于和的方程组，解出这两个量，求出数列的通项公式，可得出关于的表达式，再利用二次函数的性质求出的最小值.
【详解】设等比数列的公比为，则，由题意可得，
解得，，则，
所以，，
因此，当或时，取得最小值，故答案为.
【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合问题，在求解等比数列时，一般建立首项和公比的方程组，利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.
练透核心考点
1．（23-24高二上·甘肃定西·阶段练习）正项等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．9 B． C．9或 D．18
【答案】C
【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、等比数列前n项和的基本量计算
【分析】运用等比数列性质解题即可.
【详解】正项等比数列的前项和为，
若，则，则.
又，则，即，即，
则，化简，解得都满足题意.
则或.
故选：C.
2．（23-24高三·云南红河·阶段练习）等比数列的首项，前n项和为，若，则数列的前10项和为　　
A．65 B．75 C．90 D．110
【答案】A
【分析】由的首项，前项和为，，求出，可得 ，再求数列前10项和．
【详解】∵的首项，前项和为，，
解得 故数列的前项和为
故选A.
【点睛】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
3．（2024·湖北黄冈·二模）已知等差数列的前项和为是等比数列，若，且，则的最小值为 .
【答案】5
【知识点】求等差数列前n项和、等比数列下标和性质及应用、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】根据题意结合等差数列分析可知，进而可得，再结合等比数列性质可得，即可得结果.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，可知，
且，则，即，
所以；
又因为是等比数列，且，则，
显然，可得，
则，所以最小值为5.
故答案为：5.
4．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，若，则等于 ；
【答案】
【知识点】等比数列下标和性质及应用、对数的运算
【分析】由得，再根据等比数列的性质得，进而可得.
【详解】由得，
所以，
因为等比数列的各项均为正数，
所以，
故，得.
故答案为：
高频考点四：等比数列的性质及其综合应用
（角度2：等比数列前项和性质）
典型例题
例题1．（23-24高二下·河南南阳·期中）若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
【答案】B
【知识点】等比数列片段和性质及应用、基本不等式求和的最小值
【分析】根据题意，利用等比数列的性质，得到，求得，结合基本不等式的公式，即可求解．
【详解】由题意，设等比数列的公比为，
因为成等比数列，可得，
又因为，即
所以，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
例题2．（23-24高二下·河南·开学考试）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．324 B．420 C．480 D．768
【答案】C
【知识点】等比数列片段和性质及应用
【分析】根据等比数列前n项和的性质计算即可.
【详解】因为为等比数列，且，显然的公比不为，
所以也成等比数列.
由，解得.
故选：C.
例题3．（23-24高一下·江西抚州·阶段练习）等比数列共有项，其中，偶数项和为84，奇数项和为170，则（ ）
A．3 B．4 C．7 D．9
【答案】A
【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用
【分析】根据等比数列中偶数项和与奇数项和关系列式求解，即得结果.
【详解】因为等比数列共有项，所以等比数列中偶数项有项，奇数项有项，
由题意得，所以偶数项和为，奇数项和为，相减得
故选：A
【点睛】本题考查等比数列和项公式基本量计算，考查综合分析求解能力，属中档题.
例题4．（23-24高一下·福建龙岩）已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列前n项和的其他性质
【分析】根据，解关于 的方程，注意还是的讨论，代入公式即可求解.
【详解】设数列的公比为，
若，则，与题中条件矛盾，
故
.
故选：B
【点睛】注意公式应用的前提，以及题中没有说明 的取值时，要考虑是否为1.
练透核心考点
1．（23-24高二下·湖北恩施·期中）设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【知识点】等比数列片段和性质及应用
【分析】利用成等比数列求解可得答案.
【详解】，，可得，
【详解】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为，
则,所以，
结合等比数列求和公式有：，解得n=4，
即这个等比数列的项数为8.
本题选择C选项.
第四部分：新定义题
1．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”.
(1)已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列.
(2)已知.
（i）证明：数列为“线性数列”.
（ii）记，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、数列新定义
【分析】（1）依题意可得，则，即可求出、，从而得到，结合等比数列的定义证明即可；
（2）（i）首先求出，令，求出、，再计算即可证明；
（ii）由（i）可得，利用裂项相消法求出，即可得证.
【详解】（1）因为为“线性数列”，所以，
所以，即，解得，
所以，
所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（2）（i）因为，则，
令，即，解得，所以，
因为，
所以，所以数列为“线性数列”；
（ii）因为，则，
所以
，
因为，，所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题解答关键是理解“线性数列”的定义，第二问的第一小问关键是，从而计算.
2．（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）数列，数列前n项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若（a为非零实数），求；
(3)若对任意的，都存在，使得成立，求实数t的最大值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)41
【知识点】数列的极限、写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项、数列不等式恒成立问题
【分析】(1)根据递推公式，可推出数列为等比数列，进而可求出数列的通项公式；
(2)根据题意可知为等比数列，则对的关系进行化简，对进行分类讨论，最后通过极限运算可得结果；
(3)根据存在性问题，需要求出最小值，然后再根据恒成立问题，分离变量可得出的最大值.
【详解】（1）因为，所以，
又因，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
则，所以.
（2）根据题意知，则，记，
当时，则，此时不存在；
当时，则，
当时，，
当时，，
当时， ，则不存在.
（3）由题意知，对有解，
因为，所以当时，，
当时，，
则,
所以，对任意恒成立，
即，对任意恒成立，
因为，所以最小值为6，所以，
所以实数t的最大值为41.
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