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第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性
目录
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 3
第三部分：高频考点一遍过 4
高频考点一：函数奇偶性 4
角度1：判断函数奇偶性 4
角度2：根据函数奇偶性求解析式 4
角度3：函数奇偶性的应用 5
角度4：由函数奇偶性求参数 5
角度5：奇偶性+单调性解不等式 5
高频考点二：函数周期性及其应用 6
角度1：由函数周期性求函数值 6
角度2：由函数周期性求解析式 7
高频考点三：函数的对称性 8
角度1：由函数对称性求解析式 8
角度2：由函数对称性求函数值或参数 8
角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用 8
第四部分：新定义题（解答题） 9
第一部分：基础知识
1、函数的奇偶性
（1）函数奇偶性定义
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（2）常用结论与技巧：
①对数型复合函数判断奇偶性常用或来判断奇偶性.
②，在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
③若是定义在区间上奇函数，且，则（注意：反之不成立）
2、函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数关于直线对称，则
①；
②；
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
3、函数周期性（同号周期）
（1）周期函数定义
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期，则（）也是这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
（3）函数周期性的常用结论与技巧
设函数，.
①若，则函数的周期；
②若，则函数的周期；
③若，则函数的周期；
④若，则函数的周期；
⑤，则函数的周期
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·（乙卷理））已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（多选）（2023·全国·（新课标Ⅰ卷））已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
3．（2023·全国·（甲卷理））若为偶函数，则 ．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数奇偶性
角度1：判断函数奇偶性
典型例题
例题1．（2024上·广东·高一校联考期末）下列函数是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2024上·云南昆明·高一期末）下列四个函数中在定义域内为非奇非偶函数的个数是（　　）
（1）
（2）
（3）
（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
例题3．（2024上·广东·高一统考期末）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
角度2：根据函数奇偶性求解析式
典型例题
例题1．（2024上·福建漳州·高一统考期末）若函数是偶函数，且当时，，则当时， .
例题2．（2024上·广东清远·高一统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解析式为 .
角度3：函数奇偶性的应用
典型例题
例题1．（2024上·广东深圳·高一统考期末）已知且，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
例题2．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知函数，若，则 .
例题3．（2024上·江西上饶·高一统考期末）若函数是上的偶函数，则的值为 .
角度4：由函数奇偶性求参数
典型例题
例题1．（2024上·山西长治·高一校联考期末）若为奇函数，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
例题2．（2024·浙江·校联考一模）若函数是上的偶函数，则 ．
例题3．（2024下·浙江·高三校联考开学考试）已知函数是奇函数，则 .
角度5：奇偶性+单调性解不等式
典型例题
例题1．（2024上·贵州黔东南·高一统考期末）已知是定义在上的偶函数，且对任意的，恒成立.若，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2024上·山东威海·高一统考期末）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为 .
例题3．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市第八中学校校考期末）在上满足，且在上是递减函数，若，则的取值范围是 .
练透核心考点
1．（2024上·湖南娄底·高一校考期末）已知函数是定义在的奇函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）已知为奇函数，则（ ）
A．3 B． C．0 D．
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知为奇函数，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
4．（2024下·西藏·高一开学考试）若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B． C． D．2
5．（2024上·陕西西安·高三统考期末）已知是奇函数，则（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
6．（2024下·四川·高三四川省西充中学校联考期末）已知，则满足的实数的取值范围是 ．
练透核心考点
1．（2023·湖南岳阳·校考模拟预测）设函数是定义域为的奇函数，且，则 ．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的偶函数满足，，则 .
3．（2023上·江苏·高一专题练习）设是周期为2的奇函数，当时，，则时，＝ ．
4．（2022上·全国·高一专题练习）已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， .
高频考点三：函数的对称性
角度1：由函数对称性求解析式
典型例题
例题1．（2021下·江西九江·高二统考期末）若函数与的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022上·安徽合肥·高一统考期末）已知是定义在R上的函数的对称轴，当时，，则的解析式是 ．
角度2：由函数对称性求函数值或参数
典型例题
例题1．（2023·陕西咸阳·咸阳市实验中学校考一模）函数为偶函数，且图象关于直线对称，，则 ．
例题2．（2023下·河北石家庄·高三校联考期中）已知是上的奇函数，当时，，则 ．
角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用
典型例题
例题1．（多选）（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）已知函数的定义域均为是偶函数，且，若，则（ ）
A．
B．的图象关于点中心对称
C．
D．
例题2．（多选）（2024下·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数的图象关于点对称
D．
练透核心考点
1．（2023上·湖北荆州·高一荆州中学校考期中）已知函数，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·重庆·高一重庆一中校考期末）已知定义在R上的函数的图象关于点成中心对称，且当时，（其中为待定常数），则 .
3．（多选）（2024下·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，当，，，，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数关于点对称
C．
D．函数有8个不同零点
4．（2024·陕西西安·西安中学校考一模）函数是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则 .
第四部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·山东聊城·高一统考期末）若存在实数、使得，则称函数为函数，的“函数”．
(1)若函数为函数、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求函数、的解析式；
(2)设函数，，是否存在实数、使得函数为函数、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由．
注：为自然对数的底数．
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第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性
目录
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 3
第三部分：高频考点一遍过 5
高频考点一：函数奇偶性 5
角度1：判断函数奇偶性 5
角度2：根据函数奇偶性求解析式 7
角度3：函数奇偶性的应用 8
角度4：由函数奇偶性求参数 9
角度5：奇偶性+单调性解不等式 10
高频考点二：函数周期性及其应用 14
角度1：由函数周期性求函数值 14
角度2：由函数周期性求解析式 15
高频考点三：函数的对称性 18
角度1：由函数对称性求解析式 18
角度2：由函数对称性求函数值或参数 19
角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用 20
第四部分：新定义题（解答题） 23
第一部分：基础知识
1、函数的奇偶性
（1）函数奇偶性定义
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（2）常用结论与技巧：
①对数型复合函数判断奇偶性常用或来判断奇偶性.
②，在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
③若是定义在区间上奇函数，且，则（注意：反之不成立）
2、函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数关于直线对称，则
①；
②；
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
3、函数周期性（同号周期）
（1）周期函数定义
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期，则（）也是这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
（3）函数周期性的常用结论与技巧
设函数，.
①若，则函数的周期；
②若，则函数的周期；
③若，则函数的周期；
④若，则函数的周期；
⑤，则函数的周期
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·（乙卷理））已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
2．（多选）（2023·全国·（新课标Ⅰ卷））已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
3．（2023·全国·（甲卷理））若为偶函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数奇偶性
角度1：判断函数奇偶性
典型例题
例题1．（2024上·广东·高一校联考期末）下列函数是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据奇函数的定义判断即可.
【详解】对于A，因为的定义域为，且，所以为偶函数；
对于B，因为的定义域为，且，所以不是奇函数；
对于C，因为的定义域为，且，所以为奇函数；
对于D，因为的定义域为，且，所以为偶函数；
故选：.
例题2．（2024上·云南昆明·高一期末）下列四个函数中在定义域内为非奇非偶函数的个数是（　　）
（1）
（2）
（3）
（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】C
【分析】根据题意，依次分析4个函数，求出定义域，根据奇函数和偶函数的定义作出判断.
【详解】（1）的定义域为，且，
故是偶函数，错误；
（2）的定义域为R，，且，
故是非奇非偶函数，正确；
（3）定义域为，故为非奇非偶函数，正确；
（4）的定义域为R，且，且，
故为非奇非偶函数，正确.
故选：C．
例题3．（2024上·广东·高一统考期末）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出定义域，判断定义域是否关于原点对称，再判断对定义域内任意的是否都有即可.
【详解】对于A，定义域为，与不恒等，故A错误；
对于B，定义域为，与不恒等，故B错误；
对于C，定义域为，与不恒等，故C错误；
对于D，，解得或，定义域关于原点对称，
，是偶函数，故D正确.
故选：D.
角度2：根据函数奇偶性求解析式
典型例题
例题1．（2024上·福建漳州·高一统考期末）若函数是偶函数，且当时，，则当时， .
【答案】
【分析】根据偶函数的性质求解即可.
【详解】解：因为数是偶函数，且当时，，
所以当时，，
所以，
即，
所以当时，.
故答案为：
例题2．（2024上·广东清远·高一统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解析式为 .
【答案】
【分析】根据奇函数的性质得到，求出时的函数解析式，求出答案.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以.
当时，，
所以当时，.
综上，
故答案为：
角度3：函数奇偶性的应用
典型例题
例题1．（2024上·广东深圳·高一统考期末）已知且，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【分析】令，利用奇函数的性质求解即可.
【详解】令，
因为，所以函数为奇函数，
由，得，所以，
所以.
故选：C.
例题2．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知函数，若，则 .
【答案】
【分析】从函数解析式不难看出前两项构成的函数为奇函数，故可将其设成，证明其奇偶性，再利用奇函数特征代入计算即得.
【详解】令，，由,可得函数为奇函数，
则由得，故.
故答案为：.
例题3．（2024上·江西上饶·高一统考期末）若函数是上的偶函数，则的值为 .
【答案】
【分析】由题意先得，结合偶函数的性质得，检验后相加即可求解.
【详解】由题意首先，解得，
即函数是上的偶函数，
由，解得，此时，经检验符合题意，
所以.
故答案为：.
角度4：由函数奇偶性求参数
典型例题
例题1．（2024上·山西长治·高一校联考期末）若为奇函数，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据题意，结合，列出方程，即可求得的值.
【详解】由函数为奇函数，可得，
可得，解得，
经检验，当时，，
满足，符合题意，所以.
故选：D.
例题2．（2024·浙江·校联考一模）若函数是上的偶函数，则 ．
【答案】1
【分析】根据函数是上的偶函数，利用特殊值可得答案.
【详解】若函数是上的偶函数，
则有，即，解得，
当时，此时，，
当时，，，
当时，，，
所以函数是上的偶函数，符合题意，
则.
故答案为：1.
例题3．（2024下·浙江·高三校联考开学考试）已知函数是奇函数，则 .
【答案】/0.5
【分析】根据为奇函数，故，变形后得到，求出答案.
【详解】为奇函数，
故，即，
即，
故，解得.
故答案为：
角度5：奇偶性+单调性解不等式
典型例题
例题1．（2024上·贵州黔东南·高一统考期末）已知是定义在上的偶函数，且对任意的，恒成立.若，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数单调性的定义及利用函数的单调性和奇偶性综合解出该抽象函数不等式即可.
【详解】因为是定义在上的偶函数，
且对任意的，恒成立，
所以在上单调递增，在上单调递减.
易得，
所以由得;由得，
故不等式的解集是.
故选:D.
例题2．（2024上·山东威海·高一统考期末）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】利用偶函数的性质结合对数函数的图象与性质计算即可.
【详解】由题意可知，
又在上单调递增，则时，，
则，
根据对数函数的性质可知.
故答案为：
例题3．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市第八中学校校考期末）在上满足，且在上是递减函数，若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性、单调性化简不等式，结合函数的定义域求得的取值范围.
【详解】∵，∴.
∵，∴.
∴，解得，
∴的取值范围是.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2024上·湖南娄底·高一校考期末）已知函数是定义在的奇函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数为奇函数求出的值，由函数有意义的条件求出的取值范围，即可求的取值范围.
【详解】函数是定义在的奇函数，
则有，解得，
即，有意义，，解得，
所以有，
此时，满足在上为奇函数，
由，所以.
故选：C.
2．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）已知为奇函数，则（ ）
A．3 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】确定函数的定义域，根据奇函数的定义域关于原点对称，可求得a的值，验证后即可确定答案.
【详解】由题意可得，
即，且，且，
由于为奇函数，故其定义域关于原点对称，
故，
此时，定义域关于原点对称，满足，
即为奇函数，符合题意，故，
故选：B
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知为奇函数，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性求函数在区间上的解析式，对比系数求得.
【详解】当时，，所以，
通过对比系数得.
故选：A
4．（2024下·西藏·高一开学考试）若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】利用偶函数的定义可计算的值，再根据解析式计算函数值即可.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，
所以且，则，
所以，则.
故选：D．
5．（2024上·陕西西安·高三统考期末）已知是奇函数，则（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
【答案】B
【分析】根据题意，利用，求得的值，进而求得的值，得到答案.
【详解】由函数，
因为是奇函数，所以，
即，
整理得，解得，
所以．
故选：B.
6．（2024下·四川·高三四川省西充中学校联考期末）已知，则满足的实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为，该函数的定义域为，
，故函数为奇函数，
因为对任意的恒成立，
所以，函数在上为减函数，
由可得，
所以，，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
7．（2024上·陕西商洛·高一统考期末）已知偶函数，则不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】由时，，可知函数在上单调递增，于是有，即，求解即可.
【详解】当时，单调递增，因为为偶函数，
所以不等式转化为，
则，解得．
故答案为：
高频考点二：函数周期性及其应用
角度1：由函数周期性求函数值
典型例题
例题1．（2023上·安徽·高二校联考期中）已知函数对于任意实数x满足，若，则 （ ）
A．-5 B．-3 C．3 D．5
【答案】C
【分析】首先判断函数的周期，利用周期求函数值.
【详解】由，，可知，函数的周期，
.
故选：C
例题2．（2024上·河北沧州·高一统考期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则 ．
【答案】1
【分析】依题意可得，从而得到是以为周期的周期函数，再根据所给函数解析式及函数的周期性、奇偶性计算可得.
【详解】，，是的一个周期，
又当时，，
．
故答案为：
例题3．（2024·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，且，，则 ．
【答案】512．
【分析】根据得，由可依次递推得到.
【详解】，，
，，
，
，，
，，
．
故答案为：512．
角度2：由函数周期性求解析式
典型例题
例题1．（2022上·河北·高三校联考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性求出时的解析式，再求出函数的周期为4，故得到时，
【详解】由题意知，则，
所以函数是以4为周期的周期函数，又当时，，且是定义在上的奇函数，
所以时，，，
所以当时，，.
故选：B.
例题2．（2023·全国·高三对口高考）函数的周期为，且当时，，则，的解析式为 ．
【答案】/
【分析】由求出的取值范围，再结合函数的周期性可求得在上的解析式.
【详解】因为函数的周期为，当时，，
且，当时，则，
故当时，.
故答案为：.
例题3．（2023下·甘肃白银·高二校考期末）若定义在上的奇函数满足，当时，．
(1)求的值；
(2)当时，求函数的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题可得，再结合条件可求；
（2）由题可求当时，，再结合函数的周期性即求.
【详解】（1）∵定义在上的奇函数满足，
∴，，
∴，即函数是以为周期的周期函数，
又时，
∴，
（2）∵当时，
∴当时，，
∴，
∴当时，，
∴.
练透核心考点
1．（2023·湖南岳阳·校考模拟预测）设函数是定义域为的奇函数，且，则 ．
【答案】0
【分析】由函数为奇函数可得，再根据函数的周期性即可得解.
【详解】因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
因为，
所以函数是以为周期的周期函数，
所以.
故答案为：.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的偶函数满足，，则 .
【答案】
【分析】利用条件与函数的奇偶性，推得函数是以2为周期的周期函数，进而可得的值．
【详解】由题意，函数满足，即，
又由函数是上的偶函数，所以，即，
所以函数是以2为周期的周期函数，又，
则.
故答案为：.
3．（2023上·江苏·高一专题练习）设是周期为2的奇函数，当时，，则时，＝ ．
【答案】
【分析】利用函数的周期性和奇偶性，可得，结合的范围以及已知条件，即可求得答案.
【详解】当时，，则，
因为当时，，所以．
因为是周期为2的奇函数，
所以，
故答案为：
4．（2022上·全国·高一专题练习）已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， .
【答案】
【分析】根据周期性求函数解析式即可.
【详解】解：因为当时，,是定义在上周期为的函数
所以，，
故答案为：
高频考点三：函数的对称性
角度1：由函数对称性求解析式
典型例题
例题1．（2021下·江西九江·高二统考期末）若函数与的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设出函数图像上任意点的坐标，再求出关于直线对称的点，代入函数的解析式即可求解．
【详解】解：设函数图像上的点为，关于直线对称的点为，
将点代入函数的解析式可得：，
故，
故选：D．
例题2．（2022上·安徽合肥·高一统考期末）已知是定义在R上的函数的对称轴，当时，，则的解析式是 ．
【答案】
【分析】依题意得到，再代入化简，进而即可得到的解析式．
【详解】由是定义在R上的函数的对称轴，则，
又当时，，
则当时，即，则，
所以的解析式是．
故答案为：．
角度2：由函数对称性求函数值或参数
典型例题
例题1．（2023·陕西咸阳·咸阳市实验中学校考一模）函数为偶函数，且图象关于直线对称，，则 ．
【答案】4
【分析】根据函数的对称性求出，利用奇偶性求得，再利用函数的奇偶性以及对称性即可求得的值，即得答案.
【详解】由于函数图象关于直线对称，，
故，又为偶函数，故，
则，
故答案为：4
例题2．（2023下·河北石家庄·高三校联考期中）已知是上的奇函数，当时，，则 ．
【答案】
【分析】由题目条件得到关于点成中心对称，从而得到，求出，得到.
【详解】因为是上的奇函数，所以的图象关于点成中心对称，
所以，即．
故答案为：
角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用
典型例题
例题1．（多选）（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）已知函数的定义域均为是偶函数，且，若，则（ ）
A．
B．的图象关于点中心对称
C．
D．
【答案】ABC
【分析】利用抽象函数的奇偶性、对称性、周期性一一判定选项即可.
【详解】因为是偶函数，则，
所以，
所以.
当时，，
又，所以，所以1，所以，故A正确；
由，得，
两式相减得，所以，
又，所以，即，
所以的图象关于点中心对称，故B正确；
，所以是以6为周期的周期函数，
所以，故C正确；
，D不正确.
故选:ABC
例题2．（多选）（2024下·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数的图象关于点对称
D．
【答案】BD
【分析】根据给定条件，赋值计算判断ABC；推理确定函数的周期，再利用周期性求值判断D.
【详解】定义域为的函数对任意实数都有，
令，则，而，因此，A错误；
，令，则，则，B正确；
显然，则函数的图象关于点不对称，C错误；
D．函数有8个不同零点
【答案】ACD
【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性、零点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】是奇函数，图象关于对称，所以关于对称；
是偶函数，图象关于直线对称，所以关于直线对称；
关于直线的对称点为原点，
则关于原点对称，所以是奇函数，
直线关于原点的对称直线为，所以关于直线对称，则B选项错误.
所以，
所以是周期为的周期函数，A选项正确.
，C选项正确.
当，，，
，
，解得，
所以，，
令得，，
画出和的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有个交点，所以有个零点，所以D选项正确.
故选：ACD

4．（2024·陕西西安·西安中学校考一模）函数是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则 .
【答案】
【分析】先由函数的奇偶性确定函数的周期为，再由奇偶性得到，计算出结果即可.
【详解】因为为偶函数，则有，故的图像关于对称，则有①，
是奇函数，则②，
联立①②可得：，变形为，所以，则是周期为的周期函数，
所以，
又当时，，所以.
故答案为：.
第四部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·山东聊城·高一统考期末）若存在实数、使得，则称函数为函数，的“函数”．
(1)若函数为函数、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求函数、的解析式；
(2)设函数，，是否存在实数、使得函数为函数、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由．
注：为自然对数的底数．
【答案】(1)，
(2)存在，，
【分析】（1）根据题意以及函数的奇偶性可得出关于、的等式组，即可解得函数、的解析式；
（2）假设存在实数、满足题设要求，根据偶函数的定义结合对数的运算性质可得出，再由函数的值域结合基本不等式可求出的值，进而可得出的值，即可得出结论.
【详解】（1）解：因为为、的“函数”，
所以①，所以．
因为为奇函数，为偶函数，所以，，
所以②，
联立①②得，，．
（2）解：假设存在实数、使得函数为函数、的“函数”．
则．
①因为是偶函数﹐所以．
即，
则，
整理得．
因为对恒成立，所以．
②．
因为，当且仅当取等号，
所以，
由于的值域为，所以，则，
又，所以．
综上，存在，满足要求．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
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