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第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
目录
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 2
第三部分：高频考点一遍过 3
高频考点一：公式的基本应用 3
高频考点二：公式的逆用及变形 4
高频考点三：辅助角公式的运用 5
高频考点四：二倍角 5
高频考点五：拼凑角 6
高频考点六：降幂公式 7
第四部分：新定义题 8
第一部分：基础知识
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
①两角和与差的正弦公式
②两角和与差的余弦公式
③两角和与差的正切公式
2、二倍角公式
①
②；；
③
3、降幂公式
4、辅助角公式：
(其中)
5、常用结论
①两角和与差的正切公式的变形：
②
③
④
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·新课标Ⅰ卷）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·全国·新课标Ⅱ卷）若，则（ ）
A． B．
C． D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：公式的基本应用
典型例题
例题1．（23-24高一下·江苏·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知tan α＝，tan β＝－，则tan (2α＋β)的值为（ ）
A．－ B．－
C．1 D．
例题4．（多选）（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）计算下列各式，结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
练透核心考点
1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）计算的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）计算 .
4．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知，，则 .
高频考点二：公式的逆用及变形
典型例题
例题1．（23-24高一上·广西贺州·期末）设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2024高三·全国·专题练习）在中，若，则的值是 ．
例题4．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）计算求值
(1)已知，求的值．
(2)
练透核心考点
1．（2024·山西吕梁·一模）的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
2．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）（ ）
A．1 B． C．3 D．
3．（2024高一上·全国·专题练习）（ ）
A． B．
C．1 D．
4．（21-22高一·全国·课前预习）计算：＝ .
例题3．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知，则 ．
例题4．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）已知，则的值为 .
练透核心考点
1．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·江西·期末）已知角的终边上有一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知角终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
高频考点五：拼凑角
典型例题
例题1．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）设为锐角，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知是锐角，，则的值为 .
例题4．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知，且．求：
(1)的值；
(2)的值．
练透核心考点
1．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东烟台·一模）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）若，则 .
高频考点六：降幂公式
典型例题
例题1．（23-24高二上·宁夏石嘴山·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一下·广东深圳·期中）计算：（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2024·吉林白山·一模）化简 ．
练透核心考点
1．（23-24高三上·陕西汉中·期中）已知，函数在单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高一下·全国·课后作业）的值是（ ）
A． B． C． D．1
3．（2023·吉林·三模）化简=（ ）
A． B． C． D．
第四部分：新定义题
1．（2023·上海杨浦·模拟预测）设是定义域为的函数，如果对任意的、均成立， 则称是“平缓函数”.
(1)若， 试判断和是否为“平缓函数” 并说明理由; (参考公式:时， 恒成立)
(2)若函数是“平缓函数”， 且是以 1为周期的周期函数， 证明:对任意的、， 均有;
(3)设 为定义在上函数， 且存在正常数 使得函数为“平缓函数”. 现定义数列满足:， 试证明:对任意的正整数.
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第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
目录
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 2
第三部分：高频考点一遍过 4
高频考点一：公式的基本应用 4
高频考点二：公式的逆用及变形 6
高频考点三：辅助角公式的运用 9
高频考点四：二倍角 11
高频考点五：拼凑角 14
高频考点六：降幂公式 17
第四部分：新定义题 20
第一部分：基础知识
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
①两角和与差的正弦公式
②两角和与差的余弦公式
③两角和与差的正切公式
2、二倍角公式
①
②；；
③
3、降幂公式
4、辅助角公式：
(其中)
5、常用结论
①两角和与差的正切公式的变形：
②
③
④
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·新课标Ⅰ卷）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
2．（2022·全国·新课标Ⅱ卷）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：公式的基本应用
典型例题
例题1．（23-24高一下·江苏·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式计算可得.
【详解】
。
故选：A
例题2．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用诱导公式变形，再利用两角差的正弦公式计算.
【详解】.
故选：D.
例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知tan α＝，tan β＝－，则tan (2α＋β)的值为（ ）
A．－ B．－
C．1 D．
【答案】C
【详解】
因为tan α＝，tan β＝－，所以tan （α＋β）＝＝＝＝，所以tan （2α＋β）＝tan [α＋（α＋β）]＝＝＝1.
【考查意图】
利用和差倍角公式化简求值．
例题4．（多选）（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）计算下列各式，结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】对于A，利用三角函数的特殊值即可求解；对于B ，D，利用两角和的正切公式即可求解；对于C，利用诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】对于A ，，故 A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，由，得，故D正确.
故选：BCD.
练透核心考点
1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）计算的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合两角和的正弦公式，即可求解.
【详解】由
.
故选：A.
2．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式即可求解.
【详解】原式
故选：C.
3．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）计算 .
【答案】/
【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式计算可得.
【详解】
.
故答案为：
4．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知，，则 .
【答案】
【分析】利用两角和正切公式直接求解即可.
【详解】.
故答案为：
高频考点二：公式的逆用及变形
典型例题
例题1．（23-24高一上·广西贺州·期末）设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由两角差的正弦公式求，由二倍角的正切公式求，由二倍角的正弦公式求，即可根据正弦函数的单调性比较大小．
【详解】，
，
，
正弦函数在是单调递增的，．
又 ．
故选：A．
例题2．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正切和角公式得到，整理后得到答案.
【详解】，
，
．
故选：C
例题3．（2024高三·全国·专题练习）在中，若，则的值是 ．
【答案】/
【分析】
根据题意由两角和的正切公式可得，即可得，求出结果.
【详解】
由，得，
即，又，
所以，则，
所以.
故答案为：
例题4．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）计算求值
(1)已知，求的值．
(2)
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）利用正弦二倍角公式化简，再结合齐次式相关概念化简计算即可；
（2）根据题意进行通分，根据正弦二倍角公式、两角和的余弦公式、诱导公式进行化简计算即可.
【详解】（1）原式
（2）原式
练透核心考点
1．（2024·山西吕梁·一模）的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】
先把正切化为弦，再分别应用配角公式和正弦的二倍角公式化简即可.
【详解】
.
故选：D.
2．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】由利用两角和的正切公式计算可得.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：B
3．（2024高一上·全国·专题练习）（ ）
A． B．
C．1 D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合两角差的正切公式，利用特殊角的三角函数值，即可求解.
【详解】由两角差的正切公式，可得.
故选：A.
4．（21-22高一·全国·课前预习）计算：＝ .
【答案】
【分析】由题意由两角差的正切公式即可得解.
【详解】由题意．
故答案为：．
高频考点三：辅助角公式的运用
典型例题
例题1．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）函数的值域是 ．
【答案】
【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用整体法求值域.
【详解】
，
又，
.
的值域为.
例题2．（2024高一下·江苏·专题练习）化简 .
【答案】
【分析】
根据题意，利用两角差的正弦公式，准确化简，即可求解.
【详解】
由.
故答案为：.
例题3．（23-24高一下·上海·阶段练习）把化成的形式
【答案】
【分析】
根据给定条件，逆用和角的正弦公式化简即得.
【详解】依题意，.
故答案为：
练透核心考点
1．（23-24高三下·上海·阶段练习）函数的最大值为 .
【答案】5
【分析】
借助辅助角公式计算即可得.
【详解】，其中，
由，故的最大值为5.
故答案为：5.
2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知，若函数的最大值为2，则 .
【答案】
【分析】
由辅助角公式得函数最大值，进而列方程即可求解.
【详解】由题意，其中，
所以，
又因为，所以.
故答案为：.
3．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知，函数的最小正周期为，则实数 ．
【答案】
【分析】先用辅助角公式化简，然后利用周期公式求解.
【详解】，
故，所以.
故答案为：.
高频考点四：二倍角
典型例题
例题1．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同角三角函数关系以及正弦的二倍角公式，结合已知条件，即可求得结果.
【详解】因为，所以.
故选：D.
例题2．（2024·贵州毕节·二模）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先判断，再由同角三角函数的基本关系求出，最后由二倍角余弦公式计算可得.
【详解】因为，且，
所以，又，解得或（舍去），
又，解得或，
又，所以，所以，所以.
故选：B
例题3．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知，则 ．
【答案】/
【分析】利用余弦函数的二倍角公式即可得解；
【详解】因为，所以，所以，
因为，所以，解得或（舍去）.
故答案为：.
例题4．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）已知，则的值为 .
【答案】/
【分析】
利用正余弦的齐次式法求得，再利用正切的倍角公式即可得解.
【详解】
因为，等式左边分子、分母同时除以得， ，解得，
所以.
故答案为：.
练透核心考点
1．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知同分化简得出.进而根据二倍角的正切公式，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
所以，，
所以，.
故选：A.
2．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据二倍角公式化简后利用周期的计算公式即可求解.
【详解】，故最小正周期为.
故选：B
3．（23-24高三上·江西·期末）已知角的终边上有一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据三角函数的定义，结合二倍角公式即可求解.
【详解】由题意可得，
故，
故选：B
4．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知角终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
借助三角函数定义及二倍角的正切公式计算即可得.
【详解】
由，故，
则.
故选：D.
高频考点五：拼凑角
典型例题
例题1．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式及二倍角余弦公式可得结果.
【详解】
，
故选：D.
例题2．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）设为锐角，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据求出，根据即可求解.
【详解】因为为锐角，则，因为，
所以，
所以
.
故选：D.
例题3．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知是锐角，，则的值为 .
【答案】
【分析】先由已知结合特殊角的三角函数值确定，再由正弦展开式结合拆角计算得到最后结果.
【详解】因为，，所以，
又，所以，即，又，所以，
所以，
所以，
故答案为：.
例题4．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知，且．求：
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由的范围求出的范围，再利用平方关系及两角和的余弦公式求值即得.
（2）由两角差的余弦公式求出即可求出的值.
【详解】（1）由，得，由，，
得，，
所以
.
（2）由（1）知，
，而，
所以.
练透核心考点
1．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据平方关系求出，再根据结合两角和的余弦公式即可得解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以，
则
.
故选：A.
2．（2024·山东烟台·一模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解.
【详解】由可得，
故，
故选：C
3．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为sin （15°－）＝，所以cos （30°－α）＝cos 2（15°－）＝1－2sin2（15°－）＝1－2×＝.
4．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）若，则 .
【答案】/0.28
【分析】令，代入，利用三角公式变形计算即可.
【详解】令，则，
所以
.
故答案为：.
高频考点六：降幂公式
典型例题
例题1．（23-24高二上·宁夏石嘴山·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为在上单调递减，
所以，即，
又，所以，
令，
因为，，所以，
所以问题转化为在（）上单调递减，
所以问题转化为在（）上单调递减，
又，，单调递减区间为，，
所以，
所以，解得.
故选：D.
2．（22-23高一下·全国·课后作业）的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】利用降幂公式、积化和差公式以及诱导公式即可得到答案.
【详解】原式
.
故选：A.
3．（2023·吉林·三模）化简=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论.
【详解】依题意，原式，故选B.
【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.
第四部分：新定义题
1．（2023·上海杨浦·模拟预测）设是定义域为的函数，如果对任意的、均成立， 则称是“平缓函数”.
(1)若， 试判断和是否为“平缓函数” 并说明理由; (参考公式:时， 恒成立)
(2)若函数是“平缓函数”， 且是以 1为周期的周期函数， 证明:对任意的、， 均有;
(3)设 为定义在上函数， 且存在正常数 使得函数为“平缓函数”. 现定义数列满足:， 试证明:对任意的正整数.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用是“平缓函数”判断可得答案；
（2）设、，分、，根据为上的“平缓函数”可得答案；
（3）由为上的“平缓函数”得，对任意的，利用证明可得答案.
【详解】（1）对于函数，由对任意的、，
，
可知函数是上的“平缓函数”. 对于函数，由对任意的、，
，
因此函数也是上的“平缓函数”；
（2）由已知可得，由于函数是周期函数，
故不妨设、.
当时，由为上的“平缓函数”得；
当时，不妨设，，此时由为上的“平缓函数”得
综上所述，命题得证；
（3）由为上的“平缓函数”，且得，则对任意的，
，
因此
【点睛】思路点睛：本题主要是根据是“平缓函数”的定义和性质进行判断，考查了学生的逻辑推理能力、运算能力.
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