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第03讲 平面向量的数量积
目录
第一部分：基础知识 2
第二部分：高考真题回顾 4
第三部分：高频考点一遍过 4
高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析 4
高频考点二：平面向量数量积的几何意义 5
高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积） 6
高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算） 7
高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角） 8
高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数） 10
高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积） 11
高频考点八：向量的垂直关系 12
高频考点九：向量的投影（投影向量) 13
高频考点十：平面向量的综合应用 13
高频考点十一：最值范围问题 15
第四部分：典型易错题型 16
备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题 16
第五部分：新定义题 17
第一部分：基础知识
1、平面向量数量积有关概念
1.1向量的夹角
已知两个非零向量和，如图所示，作，，则
()叫做向量与的夹角，记作．
(2)范围：夹角的范围是．
当时，两向量，共线且同向；
当时，两向量，相互垂直，记作；
当时，两向量，共线但反向．
1.2数量积的定义：
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：.
1.3向量的投影
①定义：在平面内任取一点，作.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
②投影向量计算公式:
当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以；
当为直角（如图（2））时，，所以；
当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即.
当时，，所以；
当时，，所以
综上可知，对于任意的，都有.
2、平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知向量，为向量和的夹角：
2.1数量积
2.2模：
2.3夹角：
2.4非零向量的充要条件：
2.5三角不等式：（当且仅当时等号成立）
3、平面向量数量积的运算
①
②
③
4、极化恒等式
①平行四边形形式：若在平行四边形中，则
②三角形形式：在中，为的中点，所以
5、常用结论
①
②
③
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
2．（2023·全国·乙卷文）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
3．（2023·全国·甲卷文）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·乙卷理）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
6．（2023·全国·新课标Ⅱ卷）已知向量，满足，，则 ．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析
典型例题
1．（2024高一下·全国·专题练习）对于任意向量，下列命题中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）在中，下列命题正确的个数是（ ）
①；②；③若，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）在三角形中，在上的投影向量为，则 ．
练透核心考点
1．（23-24高一下·山东青岛·期中）在中，，若，则下列结论正确的为（ ）
A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形
C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形
2．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（多选）（23-24高一下·四川乐山·期末）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，，则 D．，则
高频考点二：平面向量数量积的几何意义
典型例题
1．（23-24高一下·河北衡水·期末）如图，在边长为的等边中，点为中线上的动点，点为的中点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为，、是圆上的两点，若，则 .

练透核心考点
1．（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深菨的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则（ ）

A． B．1 C． D．
2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）在中，C为直角顶点，，则的值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．缺少条件，做不出来
高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积）
典型例题
1．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知等边的边长为，那么（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·山东·阶段练习）在中，为边上一点，满足，则（ ）
A． B．6 C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）在正六边形中，已知，则 ．
练透核心考点
1．（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）如图，点P，A，B均在边长为1的小正方形组成的网格上，则（ ）

A．－8 B．－4 C．0 D．4
2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
3．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）如图，正八边形，其外接圆半径为2，则= .

高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算）
典型例题
1．23-24高三下·安徽滁州·阶段练习）已知向量满足，则（ ）
A．3 B． C．7 D．
2．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）已知平面向量满足且，则（ ）
A． B．5 C． D．6
3．（2024·全国·模拟预测）若，，则 ．
4．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知，，，，则 .
练透核心考点
1．（2024·陕西西安·三模）已知平面向量，的夹角为，若，，则（ ）
A．2 B． C．或2 D．2或
2．（2023高二上·甘肃兰州·学业考试）已知向量，，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（23-24高三上·山西·期末）已知向量和的夹角的余弦值为，，，则等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．（2023·北京海淀·三模）已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角）
典型例题
1．（2024·辽宁鞍山·二模）已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一·全国·专题练习）已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为 .
3．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P．记．
(1)用表示向量；
(2)若，且，求的余弦值．
4．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知向量．
(1)若，求的坐标；
(2)若，求与的夹角．
练透核心考点
1．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知向量，则 ．
2．（2021·河南·模拟预测）已知，，，则向量与的夹角的正切值为 ．
3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知，，．
(1)求；
(2)求向量与的夹角．
4．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知向量，，．
(1)若，，求的值；
(2)若，求与的夹角的余弦值．
高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数）
典型例题
1．（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）已知点，，向量，若与成锐角，则y的取值范围为 ．
2．（23-24高一下·河南南阳·期中）已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是 .
3．（23-24高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知平面向量，，．
(1)①若，求；②若，求；
(2)若向量与的夹角为钝角，求x的取值范围．
4．（23-24高一下·江苏淮安·期中）已知向量，．
(1)若，求实数k的值；
(2)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
练透核心考点
1．（23-24高一下·甘肃天水·期末）已知，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 .
2．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知向量，，则与的夹角为钝角时，的取值范围为 .
3．（23-24高一下·江西景德镇·期中）若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
4．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知向量，．
(1)求以及向量与的夹角的余弦值；
(2)已知与的夹角为锐角，求的取值范围．
高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积）
典型例题
1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知向量，，满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知平面向，，，， ，若，则的最大值为（ ）
A．8 B． C． D．
3．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）若向量，满足，，，则 .
练透核心考点
1．（23-24高三上·山西·期末）已知向量和的夹角的余弦值为，，，则等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
2．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知平面向量与的夹角为，且，则（ ）
A． B．-2 C．2 D．
3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）向量，若存在实数，使得，则的取值范围是
高频考点八：向量的垂直关系
典型例题
1．（2024高一·江苏·专题练习）已知且向量与互相垂直，则k的值为（ ）
A． B．
C． D．1
2．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知向量，若，则 .
3．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，与的夹角为．
(1)求；
(2)若向量与相互垂直，求实数k的值．
练透核心考点
1．（23-24高一下·天津静海·阶段练习）已知，，，且与垂直，则实数的值为 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知单位向量，的夹角为，，若与垂直，则 .
3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知向量，满足，，且，的夹角为.
(1)求；
(2)若，求实数的值；
高频考点九：向量的投影（投影向量)
典型例题
1．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知，则向量在上的投影向量的模长为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，，则向量在向量上的投影数量为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知向量、、，其中且与的夹角是与的夹角是，则在方向上的投影数量为 ．
练透核心考点
1．（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为 ．
高频考点十：平面向量的综合应用
典型例题
1．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知向量
(1)向量夹角的余弦值；
(2)若向量与垂直，求实数k的值；
(3)若向量，且与向量平行，求实数k的值.
2．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）已知非零向量满足，且.
(1)求；
(2)当时，求向量与的夹角θ的值.
3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知平面内的三个向量，，．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
高频考点十一：最值范围问题
典型例题
1．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知向量满足，，则的最大值等于（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·模拟预测）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知与为全等的正六边形，且，点为该图形边界（包括顶点）上的一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·福建莆田·期中）设平面向量，其中为单位向量，且满足，则的最大值为 ．
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知A，B，C，D是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．32
2．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，，，，，则的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
3．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知平面向量满足，则的最大值为 .
4．（23-24高一下·重庆·阶段练习）若，，平面内一点P，满足，的最大值是 ．
第四部分：典型易错题型
备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ．
2．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知是夹角为的两个单位向量．若，其中，若的夹角为锐角，则的取值范围 ．
3．（23-24高三上·北京怀柔·阶段练习）已知平面向量，满足，与的夹角为，若与的夹角为钝角，则一个满足条件的的值可以为 ．
第五部分：新定义题
1．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）元向量（）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则．
(1)设，解决下面问题：
①求；
②设与的夹角为，求；
(2)对于一个元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第03讲 平面向量的数量积
目录
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 3
第三部分：高频考点一遍过 8
高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析 8
高频考点二：平面向量数量积的几何意义 11
高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积） 13
高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算） 16
高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角） 19
高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数） 23
高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积） 27
高频考点八：向量的垂直关系 30
高频考点九：向量的投影（投影向量) 32
高频考点十：平面向量的综合应用 34
高频考点十一：最值范围问题 39
第四部分：典型易错题型 48
备注：两向量成锐角（钝角）求参数时注意共线问题 48
第五部分：新定义题 50
第一部分：基础知识
1、平面向量数量积有关概念
1.1向量的夹角
已知两个非零向量和，如图所示，作，，则
()叫做向量与的夹角，记作．
(2)范围：夹角的范围是．
当时，两向量，共线且同向；
当时，两向量，相互垂直，记作；
当时，两向量，共线但反向．
1.2数量积的定义：
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：.
1.3向量的投影
①定义：在平面内任取一点，作.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
②投影向量计算公式:
当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以；
当为直角（如图（2））时，，所以；
当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即.
当时，，所以；
当时，，所以
综上可知，对于任意的，都有.
2、平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知向量，为向量和的夹角：
2.1数量积
2.2模：
2.3夹角：
2.4非零向量的充要条件：
2.5三角不等式：（当且仅当时等号成立）
3、平面向量数量积的运算
①
②
③
4、极化恒等式
①平行四边形形式：若在平行四边形中，则
②三角形形式：在中，为的中点，所以
5、常用结论
①
②
③
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】
利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】
向量满足，
所以.
故选：B
2．（2023·全国·乙卷文）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
3．（2023·全国·甲卷文）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【详解】因为，所以，
则，，
所以.
故选：B.
4．（2023·全国·乙卷理）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】
如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，
则：
，则
当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，
则：
，
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
【点睛】
本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
5．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】
空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，
即，则；
空2：因为，则，可得，
得到，
即，即.
于是.
记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值.
故答案为：；.

6．（2023·全国·新课标Ⅱ卷）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量数量积的定义及辨析
典型例题
1．（2024高一下·全国·专题练习）对于任意向量，下列命题中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的数量积及向量加法法则，逐项分析判断即得.
【详解】，当且仅当共线时取等号，A错误；
由向量加法的三角形法则知，，当且仅当同向或至少一个为零向量时取等号，B错误；
是与共线的向量，是与共线的向量，因此与不一定相等，C错误；
，因此，D正确.
故选：D
2．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）在中，下列命题正确的个数是（ ）
①；②；③若，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据向量的运算公式，即可判断选项.
【详解】
①，故①错误；②.故②正确；
③，则，为等腰三角形，故③正确；
④若，只能说明中，角是锐角，不能说明其它角的情况，所以不能判断为锐角三角形，故④错误.
故选：B
3．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）在三角形中，在上的投影向量为，则 ．
【答案】
【分析】首先根据投影公式求，再转化向量，即可求解.
【详解】由题意，，为中点，
由在上的投影向量为，
即，又，
所以，
所以.
故答案为：
练透核心考点
1．（23-24高一下·山东青岛·期中）在中，，若，则下列结论正确的为（ ）
A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形
C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形
【答案】D
【分析】
根据数量积的概念即可判断为锐角，再利用三角形的定义判断即可.
【详解】因为，所以，所以，
所以为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，所以不能确定的形状，
故可为任意三角形.
故选：D
2．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由零向量、向量数乘、数量积等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案.
【详解】零向量与任何向量的数量积都为0，故①错误；
0乘以任何向量都为零向量，故②正确；
向量的加减、数乘满足结合律，而向量数量积不满足结合律，故③错误；
不一定有，如满足条件，结论不成立，故④错误；
故选：A
3．（多选）（23-24高一下·四川乐山·期末）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，，则 D．，则
【答案】BD
【分析】
根据数量积的运算律及定义判断即可.
【详解】对于A：表示与共线的一个向量，
表示与共线的一个向量，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：因为，即，
又，所以，
即向量与在向量方向上的投影相同，故C错误；
对于D：若，则，
即，
所以，则，故D正确；
故选：BD
高频考点二：平面向量数量积的几何意义
典型例题
1．（23-24高一下·河北衡水·期末）如图，在边长为的等边中，点为中线上的动点，点为的中点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据数量积的定义可得为在上的投影，结合图，分别计算点与点重合、点与点重合时对应的的值，可得的取值范围，从而可得的取值范围.
【详解】
因为，
其中为在上的投影，
又因为点为边长为的等边中线上的动点，
点为的中点，当点与点重合时，为等边三角形，
此时有最大值，所以，
当点与点重合时，此时有最小值，
，
所以，又，
所以，即．
故选：B．
2．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为，、是圆上的两点，若，则 .

【答案】18
【分析】利用平面向量的投影求解.
【详解】依题意得，
则.
故答案为：18
练透核心考点
1．（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深菨的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则（ ）

A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用正八边形的结构特征，结合数量积的定义计算即得.
【详解】在正八边形中，连接，则，
而，即，于是，
在等腰梯形中，，
所以.
故选：D

2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）在中，C为直角顶点，，则的值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．缺少条件，做不出来
【答案】C
【分析】
由已知结合数量积的几何意义求解.
【详解】
如图，
∵C为直角，，
∴.
故选：C
高频考点三：平面向量数量积的运算（求数量积）
典型例题
1．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知等边的边长为，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用数量积的定义计算即得.
【详解】等边的边长为1，则，
，
所以.
故选：D
2．（23-24高一下·山东·阶段练习）在中，为边上一点，满足，则（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】B
【分析】由题意分解向量得，进一步结合向量的数量积公式即可求解.
【详解】
由题意，因为，
所以，
所以，
因为，
所以.
故选：B.
3．（2024·全国·模拟预测）在正六边形中，已知，则 ．
【答案】/
【分析】求出角度，由余弦定理得到，利用数量积公式求出答案.
【详解】在正六边形中，，，
，
．
其中≌，
由余弦定理可得，
．
故答案为：
练透核心考点
1．（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）如图，点P，A，B均在边长为1的小正方形组成的网格上，则（ ）

A．－8 B．－4 C．0 D．4
【答案】A
【分析】根据向量的坐标运算即可求解.
【详解】如图，以点P为坐标原点，建立平面直角坐标系，则：，
，
，
故选:A．

2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据数量积得运算律计算即可.
【详解】由，
所以，则.
故选：C
3．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）如图，正八边形，其外接圆半径为2，则= .

【答案】
【分析】由，结合角度关系以及数量积定义和运算律即可求得结果.
【详解】正八边形，故，
故；
则.
故答案为：.
高频考点四：平面向量数量积的运算（模运算）
典型例题
1．23-24高三下·安徽滁州·阶段练习）已知向量满足，则（ ）
A．3 B． C．7 D．
【答案】B
【分析】根据平面向量模的运算性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】∵向量满足，
，
，
，
.
故选：B
2．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）已知平面向量满足且，则（ ）
A． B．5 C． D．6
【答案】D
【分析】由垂直关系的向量表示及数量积的运算律列式计算即得.
【详解】由，得，由，得，则，
由，得，即，则，
所以.
故选：D
3．（2024·全国·模拟预测）若，，则 ．
【答案】
【分析】首先求出，再根据数据量的运算律得到，最后根据计算可得.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以
.
故答案为：
4．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知，，，，则 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，垂直关系的坐标表示求解即得.
【详解】由，，得，而，且，
因此，解得，即，所以.
故答案为：
练透核心考点
1．（2024·陕西西安·三模）已知平面向量，的夹角为，若，，则（ ）
A．2 B． C．或2 D．2或
【答案】A
【分析】将平方后，结合平面向量数量积公式计算即可.
【详解】因为，，
所以，解得（舍负）.
故选：A.
2．（2023高二上·甘肃兰州·学业考试）已知向量，，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
计算，再计算模长即可.
【详解】
由题意知，
所以，
故选：D．
3．（23-24高三上·山西·期末）已知向量和的夹角的余弦值为，，，则等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】
先由模长公式得，再结合数量积公式求即可.
【详解】由题意可得，，，
可得，，
解得.
故选：B.
4．（2023·北京海淀·三模）已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】
设，，根据求出，再根据得到，最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得.
【详解】依题意设，，
由，所以，则，
又，且，
所以，即，
所以，当且仅当时取等号，
即的最大值为.
故选：C
高频考点五：平面向量数量积的运算（向量的夹角）
典型例题
1．（2024·辽宁鞍山·二模）已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据投影向量可得，再结合向量夹角公式运算求解.
【详解】由向量在向量上投影向量为，
所以得，
又因为，所以，故C正确.
故选：C.
2．（2024高一·全国·专题练习）已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为 .
【答案】
【分析】由，可得，结合数量积的运算律求出，再根据向量夹角的计算公式求解即可.
【详解】因为且为非零向量，设，则，
又，所以，则，
所以，
设向量的夹角为，则，
即向量夹角的余弦值为.
故答案为：.
3．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P．记．
(1)用表示向量；
(2)若，且，求的余弦值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据平面向量线性运算结合条件求解即得；
（2）利用结合条件根据向量夹角公式运算求解即得.
【详解】（1），
，
.
（2）因为三点共线，所以得，
，得，
所以，
所以，即的余弦值为.
4．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知向量．
(1)若，求的坐标；
(2)若，求与的夹角．
【答案】(1)或；
(2)．
【分析】
（1）根据向量模的坐标表示求解即可；
（2）利用坐标表示向量的数量积及向量夹角公式得解.
【详解】（1）由题意，设，
因为，所以，所以，
所以或．
（2）
因为，
所以，所以，
即，
设与的夹角为，则，
又，所以，所以与的夹角．
练透核心考点
1．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知向量，则 ．
【答案】/
【分析】
根据向量夹角的坐标运算公式进行计算即可.
【详解】因为，
则，
所以，
故答案为：.
2．（2021·河南·模拟预测）已知，，，则向量与的夹角的正切值为 ．
【答案】/
【分析】确定，根据向量的夹角公式计算，再根据同角三角函数关系计算即可.
【详解】设向量与的夹角为，因为，所以，
，，所以，
又，所以，所以，
所以向量与的夹角的正切值为．
故答案为：．
3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知，，．
(1)求；
(2)求向量与的夹角．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）由条件结合数量积的运算律求，再结合关系求；
（2）根据向量的夹角余弦公式求向量与的夹角余弦，再求其夹角.
【详解】（1）因为，，
所以，
解得，．
所以，
所以．
（2）．
设向量与的夹角为，则
．
因为，所以．
4．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知向量，，．
(1)若，，求的值；
(2)若，求与的夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助平面向量基本定理与坐标运算计算即可得；
（2）借助向量垂直可得数量积为0，结合向量夹角公式计算即可得.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，解得，所以；
（2）因为，所以，
即，解得，所以，
故．
高频考点六：平面向量数量积的运算（两向量成锐角（钝角）求参数）
典型例题
1．（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）已知点，，向量，若与成锐角，则y的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据向量夹角为锐角利用数量积求解.
【详解】因为，，与成锐角，
所以，
解得，
当与同向时，，即，解得，
此时满足，但与所成角为0，不满足题意，
综上，与成锐角时，y的取值范围为.
故答案为：
2．（23-24高一下·河南南阳·期中）已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先利用题意算出，再利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答.
【详解】因为，，所以，
因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向共线，
所以且，
解得且，所以的取值范围为，
故答案为：.
3．（23-24高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知平面向量，，．
(1)①若，求；②若，求；
(2)若向量与的夹角为钝角，求x的取值范围．
【答案】(1)①或；②或
(2)
【分析】
（1）根据向量平行，垂直可构造方程求得；
（2）根据向量夹角与数量积的关系可构造不等式求得结果.
【详解】（1），，
①若，则，即，解得或；
②若，则，解得或.
（2）由，解得或，
又时，或，
若向量与的夹角为钝角，则或或，
故的取值范围为.
4．（23-24高一下·江苏淮安·期中）已知向量，．
(1)若，求实数k的值；
(2)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
【答案】(1)k＝
(2)．
【分析】（1）先求出，然后再根据垂直关系即可求出；
（2）由与的夹角是钝角得到且与方向不相反，得到不等式组，求出实数k的取值范围.
【详解】（1），
因为，所以，
解得：.
（2）若与的夹角是钝角，
则且与方向不相反，
即，且
解得：且，
故实数k的取值范围是.
练透核心考点
1．（23-24高一下·甘肃天水·期末）已知，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据两向量夹角为钝角列不等式，求解的取值范围即可.
【详解】因为与的夹角为钝角，所以，
解得且，即实数的取值范围是.
故答案为：
2．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知向量，，则与的夹角为钝角时，的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据与的夹角为钝角利用平面向量的夹角公式列出不等式，但是要排除两个向量成角时的情况.
【详解】因为与的夹角为钝角，所以，
即，所以，解得，
同时向量，也不能成的角， 所以，
所以的取值范围为.
故答案为：.
3．（23-24高一下·江西景德镇·期中）若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据向量的夹角列式，从而求得的取值范围.
【详解】依题意，向量与的夹角为钝角，
所以，解得且，
所以的取值范围是.
故答案为：.
4．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知向量，．
(1)求以及向量与的夹角的余弦值；
(2)已知与的夹角为锐角，求的取值范围．
【答案】(1)；；
(2)
【分析】
（1）根据向量夹角公式计算求解即可；
（2）夹角为锐角时数量积为正，同时注意排除夹角为0的情况即可.
【详解】（1）
由，，
得，
则；
，
（2）
，
由与的夹角为锐角，
则，
解得；
当时，有，有．
此时．
所以的取值范围为且．
高频考点七：平面向量数量积的运算（已知模求数量积）
典型例题
1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知向量，，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件可得向量的夹角为，，再利用数量积运算可得解.
【详解】由，可得向量的夹角为，
，
.
故选：C.
2．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知平面向，，，， ，若，则的最大值为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意由各向量间的夹角以及模长，画出图形利用圆心角和圆周角的关系并由向量数量积定义可得结果.
【详解】如下图所示：
令，，，
由余弦定理得，，
因为，所以，
则C点在圆E的优弧AB上运动，可得圆心角，
其中，，，，
则，所以，
所以
故选：B．
3．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）若向量，满足，，，则 .
【答案】
【分析】利用垂直向量的数量积为0，结合数量积的运算法则即可求得，从而得解.
【详解】因为，
所以，
又，，所以，解得.
故答案为：.
练透核心考点
1．（23-24高三上·山西·期末）已知向量和的夹角的余弦值为，，，则等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】
先由模长公式得，再结合数量积公式求即可.
【详解】由题意可得，，，
可得，，
解得.
故选：B.
2．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知平面向量与的夹角为，且，则（ ）
A． B．-2 C．2 D．
【答案】C
【分析】首先根据已知条件结合数量积的定义运算求出，然后再根据向量的运算法则进行求解即可.
【详解】，解得：.
因此可得：.
故选：C
3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）向量，若存在实数，使得，则的取值范围是
【答案】
【分析】对给定向量等式两边平方，借助一元二次方程有实根求出的取值范围即得.
【详解】向量，由两边平方，得，
整理得，
依题意，关于的方程有实根，显然，否则，
则，即，解得或，
由，得，因此，，
所以的取值范围是.
故答案为：
高频考点八：向量的垂直关系
典型例题
1．（2024高一·江苏·专题练习）已知且向量与互相垂直，则k的值为（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】B
【分析】根据向量垂直时数量积为0，结合数量积的运算律，列方程求解，即可求得答案.
【详解】因为向量与互相垂直，
所以．所以，
因为，所以，
所以，解得，
故选：B
2．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知向量，若，则 .
【答案】
【分析】利用数量积的坐标运算求得，，再根据数量积运算求解即可.
【详解】因为，所以，，
因为，所以，所以，解得.
故答案为：
3．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，与的夹角为．
(1)求；
(2)若向量与相互垂直，求实数k的值．
【答案】(1)2；
(2).
【分析】（1）根据题意求得数量积，再求向量的模长即可；
（2）根据向量垂直则数量积为零，结合（1）中所求，即可求得参数值.
【详解】（1）根据题意，，
又.
（2）根据题意， ，即，，解得.
练透核心考点
1．（23-24高一下·天津静海·阶段练习）已知，，，且与垂直，则实数的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量垂直的数量积表示、向量数量积的运算律可构造方程求得结果.
【详解】，，
与垂直，，
解得：.
故选：C.
2．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知单位向量，的夹角为，，若与垂直，则 .
【答案】
【分析】根据题意，结合，列出方程，即可求解.
【详解】因为单位向量，的夹角为，可得，
又因为与垂直，可得，
即，解得.
故答案为：.
3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知向量，满足，，且，的夹角为.
(1)求；
(2)若，求实数的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，结合向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解；
（2）根据题意，得到，结合数量积的计算公式，列出方程，即可求解.
【详解】（1）解：由向量，，且，的夹角为，可得，
则.
（2）解：因为，所以，
即，即，
可得，即，解得.
高频考点九：向量的投影（投影向量)
典型例题
1．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知，则向量在上的投影向量的模长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根据投影的公式计算即可.
【详解】向量在上的投影向量的模长为.
故选：B.
2．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，，则向量在向量上的投影数量为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据数量积的定义求出，再由向量在向量上的投影数量为计算可得.
【详解】因为向量与的夹角为，且，，
所以，
所以向量在向量上的投影数量为.
故选：B
3．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知向量、、，其中且与的夹角是与的夹角是，则在方向上的投影数量为 ．
【答案】1
【分析】先求出数量积，再根据数量积的几何意义求解即可.
【详解】因为且与的夹角是与的夹角是，
所以，
所以在方向上的投影数量为.
故答案为：1
练透核心考点
1．（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据投影向量的定义，把在上的投影向量化简为，代入坐标计算即得.
【详解】在上的投影向量为.
故选：D.
2．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量在向量上的投影向量公式：计算即得.
【详解】根据平面向量的投影向量的规定可得: 向量在向量上的投影向量为：，即，
因，则，，则向量在向量上的投影向量为：.
故选：D.
3．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为 ．
【答案】
【分析】根据题意，求得，结合投影向量公式，求得，即可求解.
【详解】由向量，，可得，可得，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：.
高频考点十：平面向量的综合应用
典型例题
1．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知向量
(1)向量夹角的余弦值；
(2)若向量与垂直，求实数k的值；
(3)若向量，且与向量平行，求实数k的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据向量数量积以及模的坐标运算，计算即可得出答案；
（2）求出向量与的坐标，根据向量垂直的坐标表示列出方程，求解即可得出答案；
（3）求出向量与向量的坐标，根据向量共线的坐标表示列出方程，求解即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，，，，
所以，向量夹角的余弦值.
（2）由已知可得，，.
又向量与垂直，
所以，，即，
解得.
（3）由已知可得，.
又与向量平行，，
所以有，
整理可得，，解得.
2．（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）已知向量满足，设与的夹角为，
(1)若对任意实数，不等式恒成立，求的值；
(2)根据（1）中与的夹角值，求与夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）把不等式两边平方，将问题转化为一元二次不等式恒成立问题，即可得解；
（2）分别求出，再利用夹角公式即可得解．
【详解】（1）将不等式两边同时平方，
得，
即
因为，与的夹角为，
则恒成立，
所以，
化简得，解得．
（2）由（1）知，
则，
，则，
则，
故与夹角的余弦值为.
3．（23-24高一下·江苏·阶段练习）如图所示，平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且．

(1)以，为基底表示向量与；
(2)若，，与的夹角为，求．
(3)设线段AM、FM的交点为，在（2）的条件下，求的余弦值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量的线性运算及向量的中点表示即可求解；
（2）根据（1）的结论及向量的数量积的定义，结合向量的数量积的运算律即可求解；
（3）利用（1）（2）及向量的数量积运算律，结合向量的模公式及向量的夹角公式即可求解.
【详解】（1）平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，．
，
.
（2）由（1）知，，，
，，与的夹角为，
,
.
（3）由（1）（2）知，，，，，
，，，
，
，
因为线段AM、FM的交点为，
所以就是向量与的夹角，
所以.
故的余弦值为.
练透核心考点
1．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点和点，，且，其中O为坐标原点．
(1)若，求的值；
(2)若，设点D为线段OA（包括端点）上的动点，求的最小值；
(3)若，向量，，求式的最小值及对应的值．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，最小0.
【分析】（1）求出，将目标式转化为用表示，然后代入的值计算即可；
（2）设点，利用向量的坐标运算以及二次函数的性质计算模的最小值；
（3）计算化简，然后利用正弦函数的性质求解最值.
【详解】（1）因为，则，
则；
（2）因为，且，则点，设点，，
则，
所以，
当时，最小，且最小为；
（3）由已知点，则，
又，
所以
，
因为，所以，
则当，即时，取最小值，且最小值为.
2．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）已知非零向量满足，且.
(1)求；
(2)当时，求向量与的夹角θ的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的运算律求解即得.
（2）利用数量积的运算律及夹角公式求解即得.
【详解】（1）向量，由，得，即，
所以.
（2）由（1）知，，而，
则，，
因此，而，
所以所求夹角.
3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知平面内的三个向量，，．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标运算，得到，，再利用共线的坐标运算，即可求出结果；
（2）根据条件，利用垂直的坐标运算，即可求出结果.
【详解】（1）因为，，，
所以，，
因为，所以，解得．
（2）由（1）知，又，
因为，所以，得到，
解得．
高频考点十一：最值范围问题
典型例题
1．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知向量满足，，则的最大值等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由，即得到点共圆，再利用余弦定理和正弦定理求解即可.
【详解】设，
因为，，所以，
又，所以，所以点共圆，
要使的最大，即为直径，
在中，由余弦定理可得，
又由正弦定理，
即的最大值等于，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是由向量之间的夹角确定点共圆，再由正弦和余弦定理求解即可.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题设向量模长和垂直条件，考虑运用几何法求解，由想到构造矩形，运用极化恒等式推导出结论，求得,最后用三角形三边关系定理得到的范围，转化即得.
【详解】
如图，设，，，点在圆上，
点在圆上，则，，由可得：，
作矩形, 则.
下证： .
设交于点，连接,因则 ，
同理可得：，两式左右分别相加得：
，
.
即，故.
又，因，
即，故有．
故选:C．
【点睛】
方法点睛：本题考查平面向量的线性运算的模长范围问题，属于较难题.
处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有：
（1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得；
（2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得；
（3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直.
3．（2023·全国·模拟预测）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知与为全等的正六边形，且，点为该图形边界（包括顶点）上的一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取线段的中点，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围.
【详解】取线段的中点，则，
，
由图可知，当点与点重合时，取最小值，且，
由图形可知，当取最大值时，点在折线段上，
连接，则，
同理，
由正六边形的几何性质可知，，
所以，，
则、、三点共线，则，即，
当点在线段上从点运动到点的过程中，在逐渐增大，
同理可知，，
当点在线段上由点到的过程中，在逐渐增大，
所以，当取最大值时，点在折线段上运动，
以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴，
线段的垂直平分线所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、、、、
、，设点，
（1）当点在线段上运动时，，
直线的方程为，即，
所以，线段的方程为，
则；
（2）当点在线段上运动时，，，则，
所以，；
（3）当点在线段上运动时，，
直线的方程为，即，
所以，线段的方程为，
所以，，
因为函数在上单调递增，
故.
综上所述，的最大值为，故，
故的取值范围是.
故选：B.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
4．（23-24高一下·福建莆田·期中）设平面向量，其中为单位向量，且满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用向量的模公式及向量的数量积的性质，再利用向量的夹角公式和向量数量积的运算律可将表示为关于的函数的形式，令，换元后可得，结合的范围即可求解.
【详解】，为单位向量，
，即，
又
所以
设，，则
，
设，，则
，
因为，所以，所以，
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解题关键是能够利用平面向量数量积的运算律将所求量转化为以为自变量的函数的形式，从而利用函数求最值的方法求得最大值.
练透核心考点
1．（2024高三·全国·专题练习）已知A，B，C，D是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．32
【答案】C
【分析】利用极化恒等式进行转化可求最大值.
【详解】如图：
分别取AB，CD的中点E，F，连接DE，CE，EF．
又，所以由极化恒等式得
，，
所以
．
连接OE，OF，OA，OB，OC，OD，
由，，得，
所以E，F在以O为圆心，为半径的圆上．所以EF的最大值为，
所以的最大值为24．
故选：
【点睛】知识点点睛：极化恒等式：在中，若为中点，则.
2．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，，，，，则的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】由题意首先得出为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可.
【详解】如图所示：
不妨设，
满足，，，
又，即，
由椭圆的定义可知点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，
，
所以该椭圆方程为，
而，即，即，
这表明了点在圆上面运动，其中点为圆心，为半径，
又，等号成立当且仅当三点共线，
故只需求的最大值即可，
因为点在椭圆上面运动，所以不妨设，
所以，
所以当且三点共线时，
有最大值.
故选：A.
【点睛】关键点睛：解题的关键是将向量问题转换为圆锥曲线中的最值问题来做，通过数学结合的方法巧妙的将几何问题融入代数方法，从而顺利得解.
3．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知平面向量满足，则的最大值为 .
【答案】30
【分析】设，则由题意可得点在以为圆心3为半径的圆周上，点在以为圆心2为半径的圆周上，然后结合图形可求出的最大值.
【详解】设，则，
因为，
所以点在以为圆心3为半径的圆周上，点在以为圆心2为半径的圆周上，如图所示，
，由图可知，当A，B，C三点共线，在如图所示的位畳时，
有最大值有最大值5，此时取最大值1，
所以的最大值为30.
故答案为：30
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积，考查向量的加法法则的应用，解题的关键是根据题意画出图形，结合图形求解，考查数形结合的思想，属于较难题.
即可得的取值范围.
【详解】因为与的夹角为锐角，
所以，且与不同向，
所以，
因为，为互相垂直的单位向量，
所以，，，
所以，可得，
当与同向时，，即，
可得，可得，此时不满足与的夹角为锐角，
综上所述：实数的取值范围为且.
故答案为：且.
2．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）已知是夹角为的两个单位向量．若，其中，若的夹角为锐角，则的取值范围 ．
【答案】
【分析】
根据题意利用建立不等式，解出后，排除同向共线的情况即可.
【详解】因为是夹角为的两个单位向量，
则，
又，
则
，
由题意知，解得，
又当共线时，则存在唯一的实数，使得，
即，
所以，解得，
此时同向，夹角为，不符合题意，
故的取值范围为，
故答案为：.
3．（23-24高三上·北京怀柔·阶段练习）已知平面向量，满足，与的夹角为，若与的夹角为钝角，则一个满足条件的的值可以为 ．
【答案】（答案不唯一，只要满足即可）
【分析】由题意可得且这两个向量不共线，再结合数量积的运算律及平面向量共线定理即可得解.
【详解】因为，与的夹角为，
所以，
因为与的夹角为钝角，
所以且这两个向量不共线，
，解得，
当时，
存在唯一实数，使得，
所以，所以，
又不共线，所以，
综上所述，，
所以满足条件的的值可以为.
故答案为：.（答案不唯一，只要满足即可）
第五部分：新定义题
1．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）元向量（）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则．
(1)设，解决下面问题：
①求；
②设与的夹角为，求；
(2)对于一个元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：．
【答案】(1)①；②
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件得到，再利用题设定义的运算，即可求出结果；
（2）任取，，得到，设的第个分量之和为，结合，即可求出结果.
【详解】（1）因为，
所以，
①，
②因为，，所以.
（2）任取，，计算内积，设这些内积之和为，
则，设的第个分量之和为，
又因为，故，所以
又，
所以，即，所以.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，任取，，根据条件得到，再利用来解决问题.
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