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第05讲：第六章 数列 章节总结
目录
第一部分：典型例题讲解 1
题型一：数列求通项之前项和法 1
题型二：数列求通项之前项积法 3
题型三：数列求通项之累加法；累乘法 6
题型四：数列求通项之构造法 8
题型五：数列求通项之倒数法 10
题型六：数列求和之倒序相加法 12
题型七：数列求和之分组求和法 14
题型八：数列求和之裂项相消法 17
题型九：数列求和之错位相减法 20
题型十：数列求和之奇偶项讨论求和 23
题型十一：数列求和之插入新数列混合求和 27
第二部分：新定义题 29
第一部分：典型例题讲解
题型一：数列求通项之前项和法
1．（2024高二·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，则该数列的通项公式为 ．
2．（24-25高三上·福建·开学考试）已知正项数列中且，其中为数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
3．（24-25高三上·广东·开学考试）已知数列的各项均为正数，为的前项和，且．
(1)求的通项公式；
4．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）设数列满足．
(1)求的通项公式；
题型二：数列求通项之前项积法
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前项积，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
3．（2023·浙江·二模）记为正项数列的前项积，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
4．（23-24高二上·广东广州·期末）已知数列的前n项积，数列为等差数列，且，．
(1)求与的通项公式；
题型三：数列求通项之累加法；累乘法
1．（2024·广东江门·模拟预测）若数列满足，数列的前n项和为，则 ．
2．（23-24高一下·上海·期末）在数列中，已知，且，则 ．
3．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知数列满足，则 ．
4．（2024高三·全国·专题练习）设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式=
题型四：数列求通项之构造法
1．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为 .
2．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为 ．
3．（23-24高三下·广东·阶段练习）在数列中，，且，则的通项公式为 ．
4．（23-24高一·全国·课后作业）在数列中，，，则通项公式 ．
题型五：数列求通项之倒数法
1．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列中，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）若数列满足递推关系式，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 .
4．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列满足，则数列的前8项和 ．
题型六：数列求和之倒序相加法
1．（23-24高二下·北京·期中）已知，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知为正项等比数列，且，若函数，则（ ）
A．2023 B．2024 C． D．1012
3．（2023·湖北·模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数 倒序相加法 最小二乘法 每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则 .
题型七：数列求和之分组求和法
1．（2024高二下·四川宜宾·竞赛）九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家用于数学研究的课堂和例子.现假设有个圆环，用表示某种规则下个圆环所需的最小移动次数.已知数列满足下列条件：，，记的前项和为，则 ； ．
2．（22-23高三上·安徽马鞍山·阶段练习）在数列中， .
(1)求，，；
(2)求数列的前2n项和.
3．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前n项和．
题型八：数列求和之裂项相消法
1．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项.
(1)求数列的通项公式：
(2)若是数列的前项和，求的最小值.
2．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……，设各层球数构成一个数列
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和，数列满足，求数列的前项和
3．（23-24高二下·贵州遵义·阶段练习）设各项均为正数的数列的前项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
题型九：数列求和之错位相减法
1．（23-24高二下·江西新余·阶段练习）已知函数的图象在点处的切线经过点.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列的前项和为，求证：.
2．（24-25高二上·福建龙岩·开学考试）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的通项公式.
(3)求数列的前项和
3．（23-24高二下·山东淄博·期中）已知数列的前n项和为且满足；等差数列满足，且，，成等比数列．
(1)求数列与的通项公式；
(2)求数列的最大项；
(3)记数列的前n项和为，求，
题型十：数列求和之奇偶项讨论求和
1．（2024·全国·模拟预测）设是数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
50项和.
2．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的通项，求的前项和；
(3)在任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前项和，求的值．
第二部分：新定义题
1．（23-24高二下·贵州黔南·期末）对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”．
(1)已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围．
(2)是否存在首项为的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立 若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．
(3)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由．
2．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知为有穷整数数列，共有项．给定正整数，若对任意的，在中，存在，使得，表示中最大的一项，表示中最小的一项，则称为有界数列．
(1)判断是否为有界数列，判断是否为有界数列，说明理由；
(2)若共有4项，，且为单调递增数列，写出所有的，使得为有界数列；
(3)若为有界数列，证明：．
3．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”.
(1)已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列.
(2)已知.
（i）证明：数列为“线性数列”.
（ii）记，数列的前项和为，证明：.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第05讲：第六章 数列 章节总结
目录
第一部分：典型例题讲解 1
题型一：数列求通项之前项和法 1
题型二：数列求通项之前项积法 3
题型三：数列求通项之累加法；累乘法 6
题型四：数列求通项之构造法 8
题型五：数列求通项之倒数法 10
题型六：数列求和之倒序相加法 12
题型七：数列求和之分组求和法 14
题型八：数列求和之裂项相消法 17
题型九：数列求和之错位相减法 20
题型十：数列求和之奇偶项讨论求和 23
题型十一：数列求和之插入新数列混合求和 27
第二部分：新定义题 29
第一部分：典型例题讲解
题型一：数列求通项之前项和法
1．（2024高二·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，则该数列的通项公式为 ．
【答案】
【知识点】利用an与sn关系求通项或项
【分析】当时，有，当时，不满足上式，故可得该数列的通项公式.
【详解】当时，，
当时，有，
当时，不满足上式，所以.
故答案为：
2．（24-25高三上·福建·开学考试）已知正项数列中且，其中为数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、等比中项的应用
【分析】（1）由 ，求得 ，进而得出；
【详解】（1）在数列中，又，且，
两式相除得，，
所以数列是以2为首项，公差为2的等差数列，则，
所以，
当，，当时，，也满足上式，
所以数列的通项公式为；
3．（24-25高三上·广东·开学考试）已知数列的各项均为正数，为的前项和，且．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式、由Sn求通项公式
【分析】（1）由题意知，当时，，代入题干表达式可得，通过计算数列的通项公式即可计算出前项和的表达式，最后结合公式，即可计算出数列的通项公式；
【详解】（1）由，得，即；
又，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以，又是正项数列，所以．
当时，，
又当时，不符合时的形式．
所以
4．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）设数列满足．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据时，，作差即可求解，
【详解】（1）因为，①
故当时，．②
①②得，所以．
又当时，符合，从而的通项公式为．
（2）记的前n项和为，
由（1）知，
则．
题型二：数列求通项之前项积法
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前项积，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】由前n项积，求出通项，得解.
【详解】，，又，
，.
.
故选：C.
2．（2023·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和、利用定义求等差数列通项公式
【分析】（1）分类讨论与两种情况，利用递推式求得与，从而得证；
（2）利用裂项相消法求解即可.
【详解】（1）因为，
当时，，即，易知，则，
当时，，所以，即，
故数列是以3为首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）得，
则，
所以.
3．（2023·浙江·二模）记为正项数列的前项积，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】由定义判定等比数列、求等比数列前n项和
【分析】（1）由等比数列的定义可得答案；
（2）由等比数列的前项和公式可得答案.
【详解】（1）由可得，，即，
又因为，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，
所以；
（2），
所以
.
4．（23-24高二上·广东广州·期末）已知数列的前n项积，数列为等差数列，且，．
(1)求与的通项公式；
【答案】(1)，．
【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式、求等比数列前n项和
【分析】（1）由已知得， ，两式相除得，由已知得，求得数列的公差为，由等差数列的通项公式可求得；
【详解】（1）解：因为数列的前n项积，所以，所以，
两式相除得，
因为数列为等差数列，且，，所以，即，所以数列的公差为，
所以，
所以，．
题型三：数列求通项之累加法；累乘法
1．（2024·广东江门·模拟预测）若数列满足，数列的前n项和为，则 ．
【答案】
【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n项和、裂项相消法求和
【分析】根据递推公式求出数列的通项公式，再计算出数列的通项公式，即可计算出.
【详解】由，则，
当时，上式相加，得，
所以，又符合上式，可知，
所以．
故答案为：
2．（23-24高一下·上海·期末）在数列中，已知，且，则 ．
【答案】
【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和
【分析】由累加法和裂项相消法求通项即可得出答案.
【详解】由可得：
，
．
故答案为：.
3．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知数列满足，则 ．
【答案】
【知识点】累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项
【分析】当时，由可得，两式作差变形可得，利用累乘法可求得数列的通项公式
【详解】将代入可得，解得，
由可得，
两式相减得即，
所以，
也满足，故对任意的，，
故答案为：
4．（2024高三·全国·专题练习）设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式=
【答案】
【知识点】由递推关系式求通项公式、累乘法求数列通项
【分析】由条件可得，化简得，再由递推即可得到所求通项.
【详解】由，得，
∵，∴，∴ ，∴，
∴，
又满足上式，∴.
故答案为：.
题型四：数列求通项之构造法
1．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为 .
【答案】
【知识点】写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项
【分析】给两边同时加一个数，构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解的通项公式即可.
【详解】设，即，所以，解得，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以．
故答案为：
2．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项
【分析】利用数列的递推关系求数列的通项公式，将，经化简可知新的数列是等差数列，在变形可求得.
【详解】由题意知将等式两边同时除以，
可得，因为，所以可知，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以.
故答案为：
3．（23-24高三下·广东·阶段练习）在数列中，，且，则的通项公式为 ．
【答案】
【知识点】写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项
【分析】利用待定系数法，设，变形得出，对比题干中的等式，求出、的值，可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式.
【详解】因为，设，其中、，
整理可得，
所以，，解得，所以，，
且，所以，数列是首项为，公比也为的等比数列，
所以，，解得.
故答案为：.
4．（23-24高一·全国·课后作业）在数列中，，，则通项公式 ．
【答案】
【知识点】由定义判定等比数列、构造法求数列通项
【分析】由递推关系式可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式可求得，由此可得.
【详解】由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，则.
故答案为：.
题型五：数列求通项之倒数法
1．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列中，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项、根据数列递推公式写出数列的项
【分析】采用倒数法可证得数列为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到，得解.
【详解】由得：，
又，数列是以1为首项，为公差的等差数列，
，
，，
，
故选：D．
2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）若数列满足递推关系式，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项、由递推关系式求通项公式、利用等差数列通项公式求数列中的项
【分析】利用取倒数法可得，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，又，所以，
故数列是以为首项，以为公差的等差数列，
则，得，
所以.
故选：A
3．（23-24高二下·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 .
【答案】
【知识点】由递推关系式求通项公式、判断等差数列、利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项
【分析】将变形可得数列为等差数列，再借助等差数列求解即得.
【详解】数列中，，，显然，取倒数得，
即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列，
因此，所以.
故答案为：.
4．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列满足，则数列的前8项和 ．
【答案】502
【知识点】构造法求数列通项、由递推关系式求通项公式、求等比数列前n项和
【分析】根据取倒数构造等比数列，结合等比数列求和公式即可得到答案.
【详解】由，取倒数得，
所以，
因为，所以，所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，则，
所以数列的前8项和.
故答案为：502
题型六：数列求和之倒序相加法
1．（23-24高二下·北京·期中）已知，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】倒序相加法求和
【分析】利用倒序相加法计算求解.
【详解】，
则
两式相加得
所以，
所以.
故选：A.
2．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知为正项等比数列，且，若函数，则（ ）
A．2023 B．2024 C． D．1012
【答案】A
【知识点】等比数列下标和性质及应用、倒序相加法求和、对数的运算性质的应用
【分析】由等比数列的性质可得，再由题意可得出，由倒序相加法可求出答案.
【详解】因为为正项等比数列，且，
所以，
由可得，
所以，
所以设，
则，
所以两式相加可得：，故，
故选：A.
3．（2023·湖北·模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数 倒序相加法 最小二乘法 每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则 .
【答案】46
【知识点】倒序相加法求和
【分析】先证，由倒序相加法可得通项，然后可解.
【详解】因为函数的定义域为，
设是函数图象上的两点，其中，且，则有，
从而当时，有：，当时，，
，
相加得
所以，又，
所以对一切正整数，有；
故有.
故答案为：46.
题型七：数列求和之分组求和法
1．（2024高二下·四川宜宾·竞赛）九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家用于数学研究的课堂和例子.现假设有个圆环，用表示某种规则下个圆环所需的最小移动次数.已知数列满足下列条件：，，记的前项和为，则 ； ．
【答案】 341
【知识点】由递推关系式求通项公式、分组（并项）法求和、累加法求数列通项、求等比数列前n项和
【分析】根据递推式，逐项列出奇数项相邻项相减，然后运用累加法可求出奇数项的通项公式，从而可求出，再计算出偶数项的通项公式，然后综合可得数列的通项公式，再运用分组求和法可求得.
【详解】由题意可知，，
则当为奇数时，，，，……，
，
所以
，
所以；
当为偶数时，，，，……，
，
所以
，
所以，
所以
故答案为：341，
【点睛】关键点点睛：此题考查数列的通项公式和前项和的问题，考查等比数列的求和公式的应用，考查累加法、分组求和，解题的关键是分为奇数和偶数结合已知的递推式求出通项公式，考查分类讨论的思想、转化思想，考查数学计算能力，属于较难题.
2．（22-23高三上·安徽马鞍山·阶段练习）在数列中， .
(1)求，，；
(2)求数列的前2n项和.
【答案】(1)，，
(2)
【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和
【分析】（1）根据通项公式求出前3项即可.
（2）由题意可知，数列奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，利用分组求和即可，注意对项数奇偶的讨论.
【详解】（1）因为，
所以，，.
（2）因为，所以是以1为首项，4为公差的等差数列.
是以4为首项，4为公比的等比数列.
所以
.
3．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和
【分析】（1）利用等差数列的概念计算公差，再求通项即可；
（2）利用等差数列、等比数列的求和公式，分组求和计算即可.
【详解】（1）由题意可知，所以，
设的公差为d，则，
所以；
（2）由题意知，，
易知，
故
.
题型八：数列求和之裂项相消法
1．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项.
(1)求数列的通项公式：
(2)若是数列的前项和，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、求等差数列前n项和、等比中项的应用
【分析】（1）设等差数列的公差为，由等比中项的性质即可得，再由等差数列的通项公式和前n项和公式代入化简可求出，即可求出数列的通项公式；
（2）由裂项相消法求和即可得，根据数列单调性可求得答案.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意，
即，解得，
所以，
即数列的通项公式为.
（2）由，
.
因为，即，
所以为严格增数列，
所以时，有最小值.
2．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……，设各层球数构成一个数列
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和，数列满足，求数列的前项和
【答案】(1)；
(2).
【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和、求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据给定条件，可得当时，，，再利用累加法求出的通项.
（2）利用（1）的结论，结合求出，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】（1）依题意，当时，，，
，满足上式，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
当时，，而满足上式，
于是，，
因此，
所以数列的前项和.
3．（23-24高二下·贵州遵义·阶段练习）设各项均为正数的数列的前项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和
【分析】（1）利用结合题意求解；
（2）由（1）得，然后利用裂项相消法可求得.
【详解】（1）当时，，，
解得或，
当时，则，
得，
所以，
，
所以，即，
所以，
若，则由，得，不合题意，舍去，
所以，
所以，
所以数列是以3为公差的等差数列，
当时，，
当时，，所以舍去，
所以；
（2）由（1）可知，
所以
题型九：数列求和之错位相减法
1．（23-24高二下·江西新余·阶段练习）已知函数的图象在点处的切线经过点.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、错位相减法求和、裂项相消法求和
【分析】（1）求出、，由直线的点斜式方程可得切线方程，令可得；
（2）由（1）可得.方法一，利用错位相减求和可得答案；方法二，利用裂项相消求和可得答案.
【详解】（1）因为，则，
所以，则切线方程为，
即，
令，解得，所以；
（2）由（1）可得，.
方法一：
所以，
则，
两式相减得，
故
，
所以由可得，
故；
方法二：
，
所以.
.
所以由可得，
故.
2．（24-25高二上·福建龙岩·开学考试）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的通项公式.
(3)求数列的前项和
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和
【分析】（1）根据条件，建立方程组，即可求解；
（2）根据条件得到，从而有是以为首项，公差的等差数列，即可求解；
（3）根据条件，利用错位相减法，即可求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，所以，
则，解得，
所以数列的通项公式.
（2），即，所以，
所以是以为首项，公差的等差数列，
所以，得到.
（3），
所以①，
则②，
①②，得.
则.
3．（23-24高二下·山东淄博·期中）已知数列的前n项和为且满足；等差数列满足，且，，成等比数列．
(1)求数列与的通项公式；
(2)求数列的最大项；
(3)记数列的前n项和为，求，
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知识点】确定数列中的最大（小）项、前n项和与通项关系、错位相减法求和
【分析】（1）由前项和与通项的关系得出数列的通项公式，再结合等比性质得出的通项公式；
（2）由作差法得出单调性，进而得出最值；
（3）由错位相减法求解即可.
【详解】（1），且，，
，
，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，则.
设等差数列的公差为，
则由，得，
解得： (舍)，或，所以.
（2）由 (1) 可知，
当时，， 所以，
当时，，所以.
经分析可知当时，最大，且最大值为.
（3）由（1）可知，，设，
则，
两式相减得
故.
题型十：数列求和之奇偶项讨论求和
1．（2024·全国·模拟预测）设是数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）退位相减求得数列是等比数列，从而求解出结果；
（2）由（1）可得，从而求出前项和.
【详解】（1）当时，，解得.
当时，，两式相减得，
即，又，
数列是首项为1，公比为3的等比数列.
数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
，
当为偶数时，；当为奇数时，，
.
2．（23-24高三上·江苏苏州·期中）已知为数列的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）法一：根据得到，从而得到，可得的奇数项和偶数项分别为等差数列，求出奇数项和偶数项的通项公式，得到答案；
法二：变形得到，结合，得到，利用求出答案；
（2）变形得到，当为奇数时，，当为偶数时，，分为奇数和偶数两种情况，求和，得到答案.
【详解】（1）法一: 当时，，即，由，得，
由，得，
两式相减得：．又，满足上式．
所以当时，，
又当时，，
两式相减得：，
所以数列的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，
所以 （n为奇数），
数列的偶数项是以为首项，4为公差的等差数列，
所以 （n为偶数），
所以，即的通项公式是．
法二：因为，
所以，
同理可得，
故，
因为，所以，即，
当时，，
当时，适合上式，所以的通项公式是.
（2）因为，
故当时，①，
当时，②，
①、②两式相减得：，
因为，，所以，
因为，所以当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以，
所以；
当n为偶数时，
,
当n为奇数时，
，
综上，.
3．（23-24高二上·福建漳州·期中）已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
(3)，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2)；
(3)当为奇数时，；当为偶数时，.
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、分组（并项）法求和
【分析】（1） 设等差数列的公差为,根据题意求出的值，即可得答案；
（2）由题意可得，再采用分组求和即可得答案；
（3）由题意可得，分为奇数、偶数分别求解即可.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
由，可得，即，
即，则，解得，
所以；
（2）由（1）可得：
所以
（3）解：因为，
当为奇数时，
，
所以；
当为偶数时，
，
.
题型十一：数列求和之插入新数列混合求和
1．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）数列的前项和为，且.
(1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，在和中插入个数构成一个新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，插入的所有数依次构成首项为2，公差为2的等差数列，求的前50项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【知识点】由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）由递推关系求出，转化为，由等比数列的通项公式求解；
（2）先确定在新数列前50项中，有的前9项，新插入的等差数列前41项，再由分组求和公式求解．
【详解】（1）当时，；
当时，，得，
所以，又，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，得，即．
（2）由题意得，在新数列中，从到，共插入了项，
共项.
当时，；当时，，
所以，在新数列前50项中，有的前9项，新插入的等差数列前41项.
．
2．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的通项，求的前项和；
(3)在任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前项和，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）依题意可得，根据作差计算可得；
（2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得；
（3）根据已知确定前36项的元素构成，应用分组求和、等比数列前项和公式求.
【详解】（1）因为，所以，则，
当时，，
当时，，
当时也成立，
所以的通项公式为.
（2）由（1）可知，
所以，
所以，
则
，
所以；
（3）由题意，数列元素依次为，
在到之间的个数为，故到处共有个元素，
所以前项中含及个，
故.
第二部分：新定义题
1．（23-24高二下·贵州黔南·期末）对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”．
(1)已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围．
(2)是否存在首项为的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立 若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．
(3)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)答案见解析
【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、数列新定义、数列不等式能成立（有解）问题
【分析】（1）根据题意得到，且，，再解不等式组即可；
（2）首先假设存在等差数列符合要求，从而得到成立，再分类讨论和的情况，即可得到答案.
（3）首先设数列的公比为q，则，根据题意得到，从而得到为最小项，同理得到为最小项，再利用“数列”的定义得到，或，，再分类讨论即可得到答案.
【详解】（1）由题意得，且，解得，所以实数m的取值范围是．
（2）不存在．理由：假设存在等差数列符合要求，设公差为d，则，
由得．
由题意，得对均成立，即．
当时，；
当时，恒成立，
因为，所以，与矛盾，
所以这样的等差数列不存在．
（3）设数列的公比为q，则．
因为的每一项均为正整数，且，
所以在中，为最小项.
同理，中，为最小项.
由为“K数列”，只需，即．
又因为不是“数列”，且为最小项，
所以，即．
由数列的每一项均为正整数，可得，
所以或．
当时，，则．
令，则，
又，
所以为递增数列，即，
因为，
所以对于任意的，都有，即数列为“K数列”．
当时，，则．
因为，所以数列不是“K数列”．
综上所述，当时，，数列为“K数列”；
当时，，数列不是“K数列”．
【点睛】关键点点睛：需要根据题中所给的“K数列”满足的条件,分析数列满足的关系式再进行列式分析,属于难题.
2．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知为有穷整数数列，共有项．给定正整数，若对任意的，在中，存在，使得，表示中最大的一项，表示中最小的一项，则称为有界数列．
(1)判断是否为有界数列，判断是否为有界数列，说明理由；
(2)若共有4项，，且为单调递增数列，写出所有的，使得为有界数列；
(3)若为有界数列，证明：．
【答案】(1)为有界数列，不是有界数列；理由见解析
(2)的值为或
(3)证明见解析
【知识点】组合数的计算、数列新定义
【分析】（1）根据有界数列定义判断即可；
（2）由题意得的值只有6种情况，分别为
（3）证明：因为为10-有界数列，所以，的值最少有10种情况，
所以，解得舍去．
当时，，要使得为有界数列，
则从中任取2项的差值的绝对值分别对应．
因为为整数数列，且有界数列研究的是连续项中最大值与最小值的差值，
所以不妨设，且为单调递增数列．
因为，所以．
要使得中有2项的差值为9，不妨取．
要使得中有2项的差值为8，可取，即．
（若取或4，会使得，若取，会使得，均不满足题意）
剩下无论取何值，都无法满足从中任取2项的差值的绝对值分别对应1，，
所以当时，不可能为有界数列，
当时，存在为10—有界数列，如．
易得，当时，存在，使得为有界数列．
综上，若为有界数列，则．
【点睛】方法点睛：本题考查数列与计数原理，考查逻辑推理的核心素养．
解答与数列有关的新定义问题的策略：
（1）通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.
（2）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决.
（3）类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢.
3．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”.
(1)已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列.
(2)已知.
（i）证明：数列为“线性数列”.
（ii）记，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、数列新定义
【分析】（1）依题意可得，则，即可求出、，从而得到，结合等比数列的定义证明即可；
（2）（i）首先求出，令，求出、，再计算即可证明；
（ii）由（i）可得，利用裂项相消法求出，即可得证.
【详解】（1）因为为“线性数列”，所以，
所以，即，解得，
所以，
所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（2）（i）因为，则，
令，即，解得，所以，
因为，
所以，所以数列为“线性数列”；
（ii）因为，则，
所以
，
因为，，所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题解答关键是理解“线性数列”的定义，第二问的第一小问关键是，从而计算.
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