资源简介 第05讲 复数目录第一部分:基础知识 1第二部分:高考真题回顾 3第三部分:高频考点一遍过 3高频考点一:复数的概念 3高频考点二:复数的几何意义 4高频考点三:复数分类 5高频考点四:复数模 6高频考点五:待定系数求复数 7高频考点六:复数的四则运算 7高频考点七:共轭复数 8第四部分:新定义题(解答题) 9第一部分:基础知识1、复数的概念我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.2、复数相等在复数集中任取两个数,,(),我们规定.3、复数的分类对于复数(),当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:4、复数的几何意义(1)复数的几何意义——与点对应复数的几何意义1:复数复平面内的点(2)复数的几何意义——与向量对应复数的几何意义2:复数 平面向量5、复数的模向量的模叫做复数)的模,记为或公式:,其中复数模的几何意义:复数在复平面上对应的点到原点的距离;特别的,时,复数是一个实数,它的模就等于(的绝对值).6、共轭复数(1)定义一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数;虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.(2)表示方法表示方法:复数的共轭复数用表示,即如果,则.7、复数代数形式的加法(减法)运算(1)复数的加法法则设,,()是任意两个复数,那么它们的和:显然:两个复数的和仍然是一个确定的复数(2)复数的减法法则类比实数集中减法的意义,我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足:的复数叫做复数减去复数的差,记作注意:①两个复数的差是一个确定的复数;②两个复数相加减等于实部与实部相加减,虚部与虚部相加减.第二部分:高考真题回顾1.(2023·北京·统考高考真题)在复平面内,复数对应的点的坐标是,则的共轭复数( )A. B.C. D.2.(2023·全国·(乙卷文))( )A.1 B.2 C. D.53.(2023·全国·(甲卷文))( )A. B.1 C. D.4.(2023·全国·(新高考Ⅰ卷))已知,则( )A. B. C.0 D.15.(2023·全国·(新高考Ⅱ卷))在复平面内,对应的点位于( ).A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限第三部分:高频考点一遍过高频考点一:复数的概念典型例题例题1.(2024下·上海·高三开学考试)下列命题不正确的为( )A.若复数,的模相等,则,是共轭复数B.,都是复数,若是虚数,则不是的共轭复数C.复数是实数的充要条件是D.,,则对应的点的轨迹为线段例题2.(多选)(2024上·云南昆明·高二统考期末)已知复数,则下列说法正确的是( )A.的虚部为 B.复数在复平面内对应的点位于第二象限C.的共轭复数 D.练透核心考点1.(2024上·广东深圳·高三统考期末)复数的实部与虚部之和是( )A.7 B.13 C.21 D.272.(2024下·高一单元测试)已知复数①在复平面内对应点的坐标为(1,-1);②复数的虚部为;③复数的共轭复数为;④;⑤复数是方程在复数范围内的一个根.以上5个结论中正确的命题个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4高频考点二:复数的几何意义典型例题例题1.(2024下·全国·高一专题练习)“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件例题2.(2024上·四川成都·高三树德中学校考期末)在复平面内,复数,对应的点分别是,则的模是( )A.5 B. C.2 D.例题3.(多选)(2024·湖南长沙·长沙一中校联考模拟预测)已知复数,在复平面上对应的点分别为A,B,且O为复平面原点若.(i为虚数单位),向量绕原点逆时针方向旋转90°,且模伸长为原来的2倍后与向量重合,则( )A.的虚部为 B.点B在第二象限C. D.练透核心考点1.(2024上·广东佛山·高三石门中学校考期末)复数在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.(多选)(2024下·高一单元测试)关于复数,下列说法错误的是( )A.若,则或B.复数与分别对应向量与,则向量对应的复数为C.若z是复数,则D.若复数z满足,则复数z对应的点所构成的图形面积为3.(2024·全国·高一假期作业)复平面上两个点分别对应两个复数,它们满足下列两个条件:①;②两点连线的中点对应的复数为,若为坐标原点,则的面积为高频考点三:复数分类典型例题例题1.(2024上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末)若复数为纯虚数,则( )A.-1 B.0 C.1 D.2例题2.(2024下·全国·高一专题练习)复数,求实数m的取值范围使得:(1)z为纯虚数;(2)z在复平面上对应的点在第四象限.高频考点四:复数模典型例题例题1.(2024·福建漳州·统考模拟预测)已知复数,满足,,则的最大值为 .例题2.(2024·全国·高三专题练习)已知复数满足,则的最大值是 .例题3.(2024·全国·高三专题练习)在复平面内,已知复数满足,为虚数单位,则的最大值为 .练透核心考点1.(2024·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校联考期末)已知是纯虚数(其中,是虚数单位),则 ;2.(2024·全国·高一假期作业)若,且满足,则的最大值为 .3.(2024·全国·高一假期作业)设复数、,满足,,则 .高频考点五:待定系数求复数典型例题例题1.(2024·全国·高一假期作业)设复数、,满足,,则 .例题2.(2024·全国·高三专题练习)满足,的一个复数 .练透核心考点1.(2024·全国·高一假期作业)若复数和复数满足,,,则 .2.(2024·全国·高三专题练习)在复平面内,已知复数满足,为虚数单位,则的最大值为 .高频考点六:复数的四则运算典型例题例题1.(2024·湖南邵阳·统考一模)下列各式的运算结果不是纯虚数的是( )A. B.C. D.例题2.(2024上·贵州遵义·高二统考期末)若,则( )A.2 B.1 C. D.例题3.(2024·全国·高一假期作业)设复数、,满足,,则 .练透核心考点1.(2024上·浙江湖州·高三统考期末)已知复数满足(为虚数单位),则( )A.8 B.6 C. D.2.(2024·全国·模拟预测)若,则等于( )A. B. C. D.3.(2024·全国·高三专题练习)复数的虚部为 .高频考点七:共轭复数典型例题例题1.(2024上·浙江湖州·高三统考期末)已知复数满足(为虚数单位),则( )A.8 B.6 C. D.例题2.(2024上·四川成都·高三树德中学校考期末)在复平面内,复数,对应的点分别是,则的模是( )A.5 B. C.2 D.例题3.(2024上·天津·高三校联考期末)设,则的共轭复数为 .练透核心考点1.(2024·陕西宝鸡·统考一模)已知复数,为z的共轭复数,则在复平面表示的点在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.(2024·全国·模拟预测)已知复数,则( )A. B. C. D.3.(2024·全国·高三专题练习)在复平面内,复数对应的点为,则 .第四部分:新定义题(解答题)1.(2024下·浙江丽水·高三校考开学考试)数学中的数,除了实数、复数之外,还有四元数.四元数在计算机图形学中有广泛应用,主要用于描述空间中的旋转.集合中的元素称为四元数,其中i,j,k都是虚数单位,d称为的实部,称为的虚部.两个四元数之间的加法定义为.两个四元数的乘法定义为:,四元数的乘法具有结合律,且乘法对加法有分配律.对于四元数,若存在四元数使得,称是的逆,记为.实部为0的四元数称为纯四元数,把纯四元数的全体记为W.(1)设,四元数.记表示的共轭四元数.(i)计算;(ii)若,求;(iii)若,证明:;(2)在空间直角坐标系中,把空间向量与纯四元数看作同一个数学对象.设.(i)证明:;(ii)若是平面X内的两个不共线向量,证明:是X的一个法向量.21世纪教育网(www.21cnjy.com)第05讲 复数目录第一部分:基础知识 1第二部分:高考真题回顾 3第三部分:高频考点一遍过 4高频考点一:复数的概念 4高频考点二:复数的几何意义 6高频考点三:复数分类 9高频考点四:复数模 13高频考点五:待定系数求复数 15高频考点六:复数的四则运算 17高频考点七:共轭复数 19第四部分:新定义题(解答题) 21第一部分:基础知识1、复数的概念我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.2、复数相等在复数集中任取两个数,,(),我们规定.3、复数的分类对于复数(),当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:4、复数的几何意义(1)复数的几何意义——与点对应复数的几何意义1:复数复平面内的点(2)复数的几何意义——与向量对应复数的几何意义2:复数 平面向量5、复数的模向量的模叫做复数)的模,记为或公式:,其中复数模的几何意义:复数在复平面上对应的点到原点的距离;特别的,时,复数是一个实数,它的模就等于(的绝对值).6、共轭复数(1)定义一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数;虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.(2)表示方法表示方法:复数的共轭复数用表示,即如果,则.7、复数代数形式的加法(减法)运算(1)复数的加法法则设,,()是任意两个复数,那么它们的和:显然:两个复数的和仍然是一个确定的复数(2)复数的减法法则类比实数集中减法的意义,我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足:的复数叫做复数减去复数的差,记作注意:①两个复数的差是一个确定的复数;②两个复数相加减等于实部与实部相加减,虚部与虚部相加减.第二部分:高考真题回顾1.(2023·北京·统考高考真题)在复平面内,复数对应的点的坐标是,则的共轭复数( )A. B.C. D.【答案】D【分析】根据复数的几何意义先求出复数,然后利用共轭复数的定义计算.【详解】在复平面对应的点是,根据复数的几何意义,,由共轭复数的定义可知,.故选:D2.(2023·全国·(乙卷文))( )A.1 B.2 C. D.5【答案】C【分析】由题意首先化简,然后计算其模即可.【详解】由题意可得,则.故选:C.3.(2023·全国·(甲卷文))( )A. B.1 C. D.【答案】C【分析】利用复数的四则运算求解即可.【详解】故选:C.4.(2023·全国·(新高考Ⅰ卷))已知,则( )A. B. C.0 D.1【答案】A【分析】根据复数的除法运算求出,再由共轭复数的概念得到,从而解出.【详解】因为,所以,即.故选:A.5.(2023·全国·(新高考Ⅱ卷))在复平面内,对应的点位于( ).A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为,则所求复数对应的点为,位于第一象限.故选:A.第三部分:高频考点一遍过高频考点一:复数的概念典型例题例题1.(2024下·上海·高三开学考试)下列命题不正确的为( )A.若复数,的模相等,则,是共轭复数B.,都是复数,若是虚数,则不是的共轭复数C.复数是实数的充要条件是D.,,则对应的点的轨迹为线段【答案】A【分析】根据共轭复数的定义可判断ABC,根据复数的几何意义可判断D.【详解】对于A,若复数,的模相等,则,还可能是相等的复数,故A错误;对于B,若和是共轭复数,则相加为实数,不会为虚数,故B正确;对于C,若复数是实数,则,从而,所以,反之若,则由得,所以,所以复数是实数的充要条件是,故C正确;对于D,设,由复数的几何意义可知表示点到点和距离之和为2,而点和之间距离为2,所以对应的点的轨迹为线段,故D正确.故选:A例题2.(多选)(2024上·云南昆明·高二统考期末)已知复数,则下列说法正确的是( )A.的虚部为 B.复数在复平面内对应的点位于第二象限C.的共轭复数 D.【答案】CD【分析】由复数的乘、除法运算化简复数可判断A;由复数的几何意义可判断B;由共轭复数的定义可判断C;由复数的模长公式可判断D.【详解】,对于A,的虚部为,故A错误;对于B,复数在复平面内对应的点为,位于第四象限,故B错误;对于C,的共轭复数,故C正确;对于D,,故D正确.故选:CD.练透核心考点1.(2024上·广东深圳·高三统考期末)复数的实部与虚部之和是( )A.7 B.13 C.21 D.27【答案】B【分析】根据复数的运算求解即可.【详解】因为,所以复数的实部与虚部之和是,故选:B.2.(2024下·高一单元测试)已知复数①在复平面内对应点的坐标为(1,-1);②复数的虚部为;③复数的共轭复数为;④;⑤复数是方程在复数范围内的一个根.以上5个结论中正确的命题个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】利用复数除法运算求得,根据复数在复平面内对应的点的坐标判断①的正误,根据复数的概念判断②的正误,根据复数的共轭复数可以判断③的正误,根据复数模的概念判断④的正误,利用方程在复数范围内求解判断⑤的正误.【详解】因为,所以在复平面内对应点的坐标为(1,-1),所以①正确;复数的虚部为,所以②错误;复数的共轭复数为,所以③错误;,所以④正确;方程在复数范围内的根为,所以复数是方程在复数范围内的一个根,所以⑤正确;所以正确的命题个数为3个,故选:C.高频考点二:复数的几何意义典型例题例题1.(2024下·全国·高一专题练习)“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求出复数在复平面内对应的点位于第四象限的等价条件,利用集合的包含关系及充分条件、必要条件求解.【详解】因为复数在复平面内对应的点位于第四象限,而成立推不出成立,,所以是复数在复平面内对应的点位于第四象限的必要不充分条件,故选:B例题2.(2024上·四川成都·高三树德中学校考期末)在复平面内,复数,对应的点分别是,则的模是( )A.5 B. C.2 D.【答案】D【分析】由复数对应的点求出复数的代数形式,利用共轭复数和复数的除法化简,模长公式求模.【详解】复平面内,复数,对应的点分别是,则有,,, ,.故选:D例题3.(多选)(2024·湖南长沙·长沙一中校联考模拟预测)已知复数,在复平面上对应的点分别为A,B,且O为复平面原点若.(i为虚数单位),向量绕原点逆时针方向旋转90°,且模伸长为原来的2倍后与向量重合,则( )A.的虚部为 B.点B在第二象限C. D.【答案】BD【分析】结合复数的几何意义,依题意求解出对应的坐标,然后逐项判断即可;【详解】因为, 所以对应的坐标为,,向量与轴夹角为 由题意可知,且,选项B正确;,的虚部为,选项A错误;,所以,选项C错误;,选项D正确;故选:BD.练透核心考点1.(2024上·广东佛山·高三石门中学校考期末)复数在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【分析】根据复数的乘法和除法以及几何意义求解即可.【详解】因为,所以复数z在复平面内所对应的点位于第四象限,故选:D.2.(多选)(2024下·高一单元测试)关于复数,下列说法错误的是( )A.若,则或B.复数与分别对应向量与,则向量对应的复数为C.若z是复数,则D.若复数z满足,则复数z对应的点所构成的图形面积为【答案】ABC【分析】对于,结合特殊值法,即可求解;对于,结合向量的运算法则,即可求解;对于,结合特殊值法,即可求解;对于,结合复数的几何意义,即可求解.【详解】对于A,取,则,故A错误;对于B,,B错误;对于C,取,但知C错误;对于D,设复数,则由可知,故复数z对应的点所构成的图形面积为,D正确.故选:ABC.3.(2024·全国·高一假期作业)复平面上两个点分别对应两个复数,它们满足下列两个条件:①;②两点连线的中点对应的复数为,若为坐标原点,则的面积为【答案】20【分析】设,根据复数的运算及集合意义可得点的坐标,再根据中点坐标公式列方程求得的值,从而可得向量的坐标,根据向量的坐标运算确定模长与角度,从而得的面积.【详解】设,则.所以点的坐标分别为又两点连线的中点对应的复数为,解得.又的面积为.故答案为:.高频考点三:复数分类典型例题例题1.(2024上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末)若复数为纯虚数,则( )A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】A【分析】利用复数的除法运算法则以及纯虚数的定义求解.【详解】因为为纯虚数,所以解得,故选:.例题2.(2024下·全国·高一专题练习)复数,求实数m的取值范围使得:(1)z为纯虚数;(2)z在复平面上对应的点在第四象限.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据z为纯虚数,列出方程,即可求解;(2)根据z在复平面上对应的点在第四象限,列出不等式组,即可求解;【详解】(1),若z为纯虚数,则,解得:.(2)由题意知,,解得:.例题3.(2023下·河北唐山·高一校联考期中)已知,,复数,且,复数在复平面上对应的点在函数的图像上.(1)求复数;(2)若为纯虚数,求实数的值.【答案】(1)(2)2【分析】(1)利用复数的四则运算,得到,再根据条件得到,又由题设知,从而求出得到结果;(2)利用(1)中的结果和复数的除法,再结合条件即可求出结果.【详解】(1)因为,所以,对应的点为,所以,得到,又,所以,又,由,解得,所以.(2)由(1)知,,所以,故,得到.练透核心考点1.(2024·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校联考期末)已知是纯虚数(其中,是虚数单位),则 ;【答案】【分析】根据实部为0虚部不为0,解方程可得复数,进而根据复数的除法运算计算模长即可.【详解】由题意,解得,∴,.故答案为:.2.(2024·全国·高一假期作业)已知复数满足.(1)若是实数,求复数;(2)求的取值范围.【答案】(1)复数或;(2).【分析】(1)利用实数概念及模长,即可得到复数;(2)利用点与圆的位置关系,即可得到取值范围.【详解】(1)设i ,、,则,又是实数,∴,又,∴或,∴复数或;(2)表示复数对应的点与对应的点间的距离,而复数在以原点为圆心,半径为5的圆上,如图所示,,∴. 3.(2024下·全国·高一专题练习)已知,复数,当m为何值时,(1)z为实数?(2)z为虚数?(3)z为纯虚数?(4)z在复平面内对应的点在第四象限?【答案】(1)或(2)且(3)(4)【分析】由题意得解得,(1)由,求出m即可;(2),即可得出m;(3)由,解得范围;(4)根据象限特征,由,解得范围.【详解】解:,(1)由得或,即当或时,z为实数;(2)由得且,即当且时,z为虚数;(3)由得,即当时,z为纯虚数;(4)由解得,即当时,z在复平面内对应的点在第四象限.【点睛】本题考查复数的有关概念及其运算法则、方程与不等式的解法,考查推理能力与计算能力.高频考点四:复数模典型例题例题1.(2024·福建漳州·统考模拟预测)已知复数,满足,,则的最大值为 .【答案】/【分析】设,根据题意求得,根据复数的几何意义求得对应点的轨迹,再根据几何意义求目标式的最大值.【详解】令复数,,,则,所以,所以,,即.又因为,即在复平面内,复数所对应的点的轨迹是以为圆心,1为半径的圆.又点到点的距离为,所以的最大值为.故答案为:.例题2.(2024·全国·高三专题练习)已知复数满足,则的最大值是 .【答案】/【分析】根据复数模公式,复数的几何意义及椭圆的定义可得复数对应的点,然后利用三角代换结合条件即可求解.【详解】设,由,得,因此在复平面内,复数对应的点在以为焦点,长轴长为4的椭圆上,所以可设椭圆方程为,则,所以椭圆方程为,而表示点与点的距离,可设,所以与点的距离,所以当时,,即的最大值是.故答案为:例题3.(2024·全国·高三专题练习)在复平面内,已知复数满足,为虚数单位,则的最大值为 .【答案】6【分析】将问题化为定点到圆上点距离的最大值,即可求解.【详解】令且,则,即复数对应点在原点为圆心,半径为1的圆上,而,即点到定点距离的最大值,所以的最大值为.故答案为:练透核心考点1.(2024·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校联考期末)已知是纯虚数(其中,是虚数单位),则 ;【答案】【分析】根据实部为0虚部不为0,解方程可得复数,进而根据复数的除法运算计算模长即可.【详解】由题意,解得,∴,.故答案为:.2.(2024·全国·高一假期作业)若,且满足,则的最大值为 .【答案】3【分析】根据复数模的几何意义,结合图形,即可求解.【详解】,复数的轨迹表示以点为圆心,1为半径的圆,表示圆上的点到点的距离,如图,当过点和圆的圆心,即为最大值. 故答案为:3.(2024·全国·高一假期作业)设复数、,满足,,则 .【答案】【分析】设,,利用复数的模长公式、复数的运算以及复数相等可得出、以及的值,再利用复数的加法以及复数的模长公式可求得的值.【详解】设,,因为,则,又因为,所以,,即,由,可得,故,解得,由,可得,所以,,所以,.故答案为:.高频考点五:待定系数求复数典型例题例题1.(2024·全国·高一假期作业)设复数、,满足,,则 .【答案】【分析】设,,利用复数的模长公式、复数的运算以及复数相等可得出、以及的值,再利用复数的加法以及复数的模长公式可求得的值.【详解】设,,因为,则,又因为,所以,,即,由,可得,故,解得,由,可得,所以,,所以,.故答案为:.例题2.(2024·全国·高三专题练习)满足,的一个复数 .【答案】(或中的一个,答案不唯一)【分析】设,根据可得出或,分、两种情况讨论,结合复数的模长公式可求得复数的值.【详解】设,则,因为,则,即或.当时,即,由,解得或,此时,或;当时,即,由,解得,此时,.综上所述,或.故答案为:(或中的一个,答案不唯一)练透核心考点1.(2024·全国·高一假期作业)若复数和复数满足,,,则 .【答案】/【分析】设,根据复数的运算及模的公式即可求解.【详解】设,且,则,又,所以,即,则,因为,所以,所以.故答案为:.2.(2024·全国·高三专题练习)在复平面内,已知复数满足,为虚数单位,则的最大值为 .【答案】6【分析】将问题化为定点到圆上点距离的最大值,即可求解.【详解】令且,则,即复数对应点在原点为圆心,半径为1的圆上,而,即点到定点距离的最大值,所以的最大值为.故答案为:高频考点六:复数的四则运算典型例题例题1.(2024·湖南邵阳·统考一模)下列各式的运算结果不是纯虚数的是( )A. B.C. D.【答案】D【分析】利用复数代数形式的乘法和除法运算对选项一一化简即可得出答案.【详解】对于A,,故A正确;对于B,,故B正确;对于C,,故C正确;对于D,,故D错误.故选:D.例题2.(2024上·贵州遵义·高二统考期末)若,则( )A.2 B.1 C. D.【答案】D【分析】根据复数的共轭复数的概念,乘法、加法运算,复数模得解.【详解】.故选:D例题3.(2024·全国·高一假期作业)设复数、,满足,,则 .【答案】【分析】设,,利用复数的模长公式、复数的运算以及复数相等可得出、以及的值,再利用复数的加法以及复数的模长公式可求得的值.【详解】设,,因为,则,又因为,所以,,即,由,可得,故,解得,由,可得,所以,,所以,.故答案为:.练透核心考点1.(2024上·浙江湖州·高三统考期末)已知复数满足(为虚数单位),则( )A.8 B.6 C. D.【答案】A【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念求解即可.【详解】因为,解得,即,所以,故选:A2.(2024·全国·模拟预测)若,则等于( )A. B. C. D.【答案】B【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数,再由共轭复数的定义即可得出答案.【详解】因为,所以.故选:B.3.(2024·全国·高三专题练习)复数的虚部为 .【答案】1012【分析】根据错位相减法求和,复数乘除法,i乘方的周期性等相关知识直接求解.【详解】由题意得,所以,所以,所以,所以复数z的虚部为1012.故答案为:1012高频考点七:共轭复数典型例题例题1.(2024上·浙江湖州·高三统考期末)已知复数满足(为虚数单位),则( )A.8 B.6 C. D.【答案】A【详解】,,,所以,对应的点为,在第四象限.故选:D2.(2024·全国·模拟预测)已知复数,则( )A. B. C. D.【答案】A【分析】根据复数的四则运算以及模的定义求解即可.【详解】由题,,故选:A.3.(2024·全国·高三专题练习)在复平面内,复数对应的点为,则 .【答案】【分析】根据已知可得,然后根据共轭复数以及复数的除法运算,化简即可得出答案.【详解】由已知可得,,所以,所以,.故答案为:.第四部分:新定义题(解答题)1.(2024下·浙江丽水·高三校考开学考试)数学中的数,除了实数、复数之外,还有四元数.四元数在计算机图形学中有广泛应用,主要用于描述空间中的旋转.集合中的元素称为四元数,其中i,j,k都是虚数单位,d称为的实部,称为的虚部.两个四元数之间的加法定义为.两个四元数的乘法定义为:,四元数的乘法具有结合律,且乘法对加法有分配律.对于四元数,若存在四元数使得,称是的逆,记为.实部为0的四元数称为纯四元数,把纯四元数的全体记为W.(1)设,四元数.记表示的共轭四元数.(i)计算;(ii)若,求;(iii)若,证明:;(2)在空间直角坐标系中,把空间向量与纯四元数看作同一个数学对象.设.(i)证明:;(ii)若是平面X内的两个不共线向量,证明:是X的一个法向量.【答案】(1)(i);(ii);(iii)证明见解析(2)(i)证明见解析;(ii)证明见解析【分析】(1)(i)由的共轭四元数定义求解即可;(ii)再结合题意求解即可;(iii)由纯四元数的定义证明即可.(2)(i)由纯四元数的定义证明即可;(ii)在空间直角坐标系中,设,由题意可证明且,即可证明.【详解】(1)(i).(ii)因为,所以.由(1)可得.所以,同理可验证,所以.因此,.(iii)设,则.由(ii),,而的实部为,所以的实部为0,所以.(2)(i)设.则,,所以,故.(ii)在空间直角坐标系中,.所以,.因此且.因为不共线,所以,即是X的一个法向量.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的:遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源预览