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第05讲 三角函数的图象与性质
目录
第一部分：基础知识 2
第二部分：高考真题回顾 4
第三部分：高频考点一遍过 5
高频考点一：三角函数的定义域 5
高频考点二：三角函数的值域 6
高频考点三：三角函数的周期性 7
高频考点四：三角函数的奇偶性 8
高频考点五：三角函数的对称性 9
高频考点六：三角函数的单调性（求三角函数的单调区间） 11
高频考点七：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性比较大小） 12
高频考点八：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性求参数） 13
高频考点九：三角函数中的求解（的取值范围与单调性相结合） 14
高频考点十：三角函数中的求解（的取值范围与对称性相结合） 15
高频考点十一：三角函数中的求解（的取值范围与三角函数的最值相结合） 16
第四部分：新定义题 17
第一部分：基础知识
1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心
对称轴方程 无
递增区间
递减区间 无
2、三角函数的周期性
函数
周期
函数
周期
函数 () () ()
周期
其它特殊函数，可通过画图直观判断周期
(1)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期．
(2)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为．
(3)函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数() 的最小正周期均为．
3、三角函数的奇偶性
三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数
() ()
() ()
()
(1)函数是奇函数 ()，是偶函数 ()；
(2)函数是奇函数 ()，是偶函数 ()；
(3)函数是奇函数 ()．
4、三角函数的对称性
(1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；
(2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；
(3)函数的图象的对称中心由)解得．
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·乙卷理）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·新课标Ⅰ卷）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
4．（2023·全国·新课标Ⅱ卷）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

5．（2023·北京·高考真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：三角函数的定义域
典型例题
例题1．（2024高三上·河南·专题练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一上·江苏南通·期中）在内函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）求函数的定义域 ．
例题4．（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）函数的定义域为 .（用区间表示结果）
练透核心考点
1．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知的定义域是，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）函数y＝的定义域为 ．
3．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）函数的定义域为 .
4．（23-24高一上·湖北孝感·期末）函数的定义域为 .
高频考点二：三角函数的值域
典型例题
例题1．（2024·湖北·二模）已知函数，，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一下·河北承德·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（23-24高一下·北京·阶段练习）设函数．则= ；函数的最小值为 ．
例题4．（23-24高一上·山西阳泉·期末）已知函数．
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)求函数在上的最大值和最小值，并求出取得最值时x的值．
练透核心考点
1．（23-24高一下·江西·阶段练习）函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·上海·阶段练习）函数的值域为 ．
3．（23-24高三下·浙江·开学考试）函数的值域为 .
4．（23-24高一下·福建莆田·期中）函数，的值域为 ．
高频考点三：三角函数的周期性
典型例题
例题1．（23-24高一下·北京·期中）函数的最小正周期是（　　）
A．4π B．2π C．π D．
例题2．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）以下函数中最小正周期为的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
例题3．（23-24高一下·湖北·开学考试）下列四个函数中以为最小正周期且为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知函数，那么函数最小正周期为 ；对称轴方程为 .
练透核心考点
1．（23-24高一上·山东聊城·期末）下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·四川成都·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知关于x的函数的图象关于对称，则的周期为 ，实数 .
高频考点四：三角函数的奇偶性
典型例题
例题1．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象.若是偶函数，则为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024·陕西西安·一模）将函数的图象向左平移m（）个单位，所得图象关于原点对称，则m的值可以是（ ）．
A． B．π C． D．
例题3．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为 ．
练透核心考点
1．（23-24高一下·安徽·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·北京·开学考试）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若，则写出a的一个可能值为 ．
高频考点五：三角函数的对称性
典型例题
例题1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）若函数的最小正周期为，则的图象的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024·陕西渭南·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的图象的一条对称轴为（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
例题3．（23-24高一上·山西长治·期末）函数的图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
例题4．（多选）（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）下列关于函数的说法不正确的是（ ）
A．定义域为 B．最小正周期是
C．图象关于成中心对称 D．在定义域上单调递增
练透核心考点
1．（23-24高一下·云南·阶段练习）下列函数中，以点为对称中心的函数是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·陕西榆林·二模）若函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南·模拟预测）已知函数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河北邯郸·三模）写出一个，使得函数的图象关于点对称，则可以为 ．
高频考点六：三角函数的单调性（求三角函数的单调区间）
典型例题
例题1．（23-24高一下·重庆铜梁·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的最小值，并求出函数取得最小值的x的集合．
(2)求函数在上的单调递增区间．
例题2．（23-24高一上·广东阳江·期末）已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)求函数的单调递增区间；
例题3．（22-23高一·全国·课时练习）已知函数，其中，（，），的部分图像如下图．
(1)求，，的值；
(2)求的单调增区间，
练透核心考点
1．（21-22高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数
(1)求函数的最小正周期及在上的最大值和最小值
(2)求函数的单调递增区间和单调递减区间
2．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数 的图象关于点 对称.
(1)求的单调递增区间;
(2)求不等式 的解集.
3．（2023高一上·全国·专题练习）已知函数.
(1)求它的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较与的大小.
高频考点七：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性比较大小）
典型例题
例题1．（23-24高一上·湖南张家界·期末）若，，，，则a，b，c，d的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）设，，，则有（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（多选）（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列各式正确的是（ ）
A．tan ＜tan
B．tan 2＞tan 3
C．cos (－)＞cos (－)
D．sin (－)＜sin (－)
练透核心考点
1．（多选）（2024·全国·模拟预测）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（23-24高一上·全国·期末）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）与的大小关系是 （填：“或=”中的一个）.
高频考点八：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性求参数）
典型例题
例题1．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）已知函数，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的最大值为（ ）
例题3．（2024·安徽芜湖·二模）已知偶函数的图像关于点中心对称，且在区间上单调，则 ．
练透核心考点
1．（多选）（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知在区间上单调递增，则的取值可能在（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2024·辽宁·一模）已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有一个零点，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·江西南昌·开学考试）已知函数在区间上有且只有2个零点，则ω的取值范围是 .
高频考点十：三角函数中的求解（的取值范围与对称性相结合）
典型例题
例题1．（2024·吉林延边·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高三上·河北承德·期中）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·湖南永州·一模）已知函数，若，在区间上没有零点，则的取值共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
练透核心考点
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图像关于原点中心对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的初始相位为，若在区间上有且只有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·河北邯郸·三模）写出一个，使得函数的图象关于点对称，则可以为 ．
高频考点十一：三角函数中的求解（的取值范围与三角函数的最值相结合）
典型例题
例题1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高二下·浙江杭州·期中）若函数在区间单调递减，且最小值为负值，则的值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．
例题3．（23-24高三下·广东·阶段练习）已知函数的图象关于原点对称，其中，，且在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围为 ．
练透核心考点
1．（23-24高三上·广东深圳·期末）若函数在有最小值，没有最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在区间上的最小值为－2，则的取值范围是 ．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其中为常数，且，将函数的图象向左平移个单位所得的图象对应的函数在取得极大值，则的值为 .
第四部分：新定义题
1．（23-24高一下·四川凉山·阶段练习）设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，称为函数的“相伴向量”．
(1)设函数，求函数的相伴向量；
(2)记的“相伴函数”为，若方程在区间上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第05讲 三角函数的图象与性质
目录
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 3
第三部分：高频考点一遍过 7
高频考点一：三角函数的定义域 7
高频考点二：三角函数的值域 10
高频考点三：三角函数的周期性 15
高频考点四：三角函数的奇偶性 19
高频考点五：三角函数的对称性 22
高频考点六：三角函数的单调性（求三角函数的单调区间） 25
高频考点七：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性比较大小） 31
高频考点八：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性求参数） 34
高频考点九：三角函数中的求解（的取值范围与单调性相结合） 38
高频考点十：三角函数中的求解（的取值范围与对称性相结合） 42
高频考点十一：三角函数中的求解（的取值范围与三角函数的最值相结合） 45
第四部分：新定义题 48
第一部分：基础知识
1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心
对称轴方程 无
递增区间
递减区间 无
2、三角函数的周期性
函数
周期
函数
周期
函数 () () ()
周期
其它特殊函数，可通过画图直观判断周期
(1)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期．
(2)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为．
(3)函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数() 的最小正周期均为．
3、三角函数的奇偶性
三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数
() ()
() ()
()
(1)函数是奇函数 ()，是偶函数 ()；
(2)函数是奇函数 ()，是偶函数 ()；
(3)函数是奇函数 ()．
4、三角函数的对称性
(1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；
(2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；
(3)函数的图象的对称中心由)解得．
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·乙卷理）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，
故选：D.
2．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中，B选项中，
C选项中，D选项中，
排除选项CD，
对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，
故选：B.
3．（2023·全国·新课标Ⅰ卷）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】
因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
4．（2023·全国·新课标Ⅱ卷）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

【答案】
【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．
【详解】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．
5．（2023·北京·高考真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1).
(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
【详解】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：三角函数的定义域
典型例题
例题1．（2024高三上·河南·专题练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由对数的真数大于零，二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组可求得结果.
【详解】要使有意义，需满足，
解得且．
所以定义域为.
故选：B．
例题2．（23-24高一上·江苏南通·期中）在内函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数，其中有意义，
则满足，其中，即，其中，
解得，即函数的定义域为.
故选：C.
例题3．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）求函数的定义域 ．
【答案】
【分析】利用正切函数的定义，列出不等式求解即得.
【详解】函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
例题4．（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）函数的定义域为 .（用区间表示结果）
【答案】
【分析】根据对数函数的真数大于零，偶次方根下大于等于零及正切函数的定义域列式求解即可.
【详解】要使函数有意义，
只需，所以，，
即，，
所以或，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
练透核心考点
1．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知的定义域是，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的定义域，可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为的定义域是，
对于函数，有，可得，
解得，
因此，函数的定义域为.
故选：D.
2．（2024高三·全国·专题练习）函数y＝的定义域为 ．
【答案】
【详解】
由sin x≠cos x，得tan x≠1，即x≠＋kπ，k∈Z，
所以函数y＝的定义域为.
3．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）函数的定义域为 .
【答案】.
【分析】根据题意，利用正切函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数，则满足，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
4．（23-24高一上·湖北孝感·期末）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】利用正切函数的性质即可得解.
【详解】因为，
所以，则，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
高频考点二：三角函数的值域
典型例题
例题1．（2024·湖北·二模）已知函数，，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换可得，以为整体，结合正弦函数的有界性分析求解.
【详解】由题意可知：
，
当时，则，所以
故选：B.
例题2．（23-24高一下·河北承德·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据给定函数，结合周期性，在长为一个周期的区间内探讨使得的函数性质即可得解.
【详解】函数的周期为，由，得，
即，解得，
在长为一个周期的区间上，取，得，当时，，
显然函数在上单调递减，在上单调递增，
由在上的值域为，则当时，，于是，
当时，，于是，
所以的取值范围是.
故选：B
例题3．（23-24高一下·北京·阶段练习）设函数．则= ；函数的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】
先化简，然后计算，换元，然后利用二次函数的性质求最值.
【详解】，
则，
令，
则，对称轴为，
故最小值为.
故答案为：；.
例题4．（23-24高一上·山西阳泉·期末）已知函数．
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)求函数在上的最大值和最小值，并求出取得最值时x的值．
【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间为
(2)时取得最小值，时取得最大值
【分析】（1）化简的最小正周期，然后求得的最小正周期，利用整体代入法求得的单调递减区间.
（2）根据三角函数最值的求法求得正确答案.
【详解】（1）
，
．
函数的单调递减区间为：
，
，
．
函数的单调递减区间为：
（2）由得，，
当，即时，取得最小值为，
当，即时取得最大值为1．
练透核心考点
1．（23-24高一下·江西·阶段练习）函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出的范围，再由正切函数的性质求出范围，再乘以3即可.
【详解】
故选：C.
2．（23-24高一下·上海·阶段练习）函数的值域为 ．
【答案】
【分析】利用换元法，结合正弦函数的值域与二次函数的性质即可得解.
【详解】令，则，
易知开口向上，对称轴为，
当时，，
当时，，
所以的值域为.
故答案为：.
3．（23-24高三下·浙江·开学考试）函数的值域为 .
【答案】
【分析】化简可得，令且，所以函数的值域等价于在区间上的值域，利用二次函数求出在区间上的值域即可.
【详解】由题可得：
，令，则，令，
所以函数的值域等价于在区间上的值域，
由于，所以当时，，，
则函数的值域为，
故答案为：
4．（23-24高一下·福建莆田·期中）函数，的值域为 ．
【答案】
【分析】首先确定的范围，结合二次函数值域的求法可求得结果.
【详解】当时，，
，
当时，；当时，；
，的值域为.
故答案为：.
高频考点三：三角函数的周期性
典型例题
例题1．（23-24高一下·北京·期中）函数的最小正周期是（　　）
A．4π B．2π C．π D．
【答案】A
【分析】根据余弦的二倍角公式化简求出周期即可.
【详解】因为，
所以的最小正周期，
故选：A.
例题2．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）以下函数中最小正周期为的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】对于A，直接画出函数图象验证即可；对于BCD，举出反例推翻即可.
【详解】画出函数的图象如图所示：

由图可知函数的最小正周期为，满足题意；
对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意；
对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意；
对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意；
综上所述，满足题意的函数的个数有1个.
故选：A.
例题3．（23-24高一下·湖北·开学考试）下列四个函数中以为最小正周期且为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】A选项，函数不是周期函数；BC选项，不满足奇偶性；D选项满足要求.
【详解】A选项，函数图象如下：
不是周期函数，
BC选项，与是偶函数，
D选项，的周期为且，
故为奇函数，D正确.
故选：D．
例题4．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知函数，那么函数最小正周期为 ；对称轴方程为 .
【答案】
【分析】
根据二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，继而利用周期公式及整体代入法求解对称轴即可.
【详解】因为
，
所以函数的最小正周期，
令,
得，
所以函数的对称轴为.
故答案为：；.
练透核心考点
1．（23-24高一上·山东聊城·期末）下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由三角函数周期性，奇偶性逐一判断每一选项即可求解.
【详解】对于A，是奇函数不满足题意，故A错误；
对于B，若，首先定义域为关于原点对称，
且，所以是偶函数，
又，所以是周期函数，故B正确；
对于C，画出函数的图象如图所示：
由此可知函数不是周期函数，故C错误；
对于D，若，则，所以不是偶函数，故D错误.
故选：B.
2．（多选）（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由图象变换，周期为，则根据对称性，周期为，同理可判断A、B、C；而，可判定.
【详解】作的图象，如图，
由图可知函数的最小正周期为，故A正确；
由于的周期为，则根据对称性，
周期为，故B正确；
由于的周期为，周期为，故C正确；
而，周期为，故D错误.
故选：ABC
3．（23-24高一上·四川成都·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】
由最小正周期公式和三角函数的奇偶性对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，的最小正周期为，且为奇函数，故A正确；
对于B，的最小正周期为，故B错误；
对于C，最小正周期为，为偶函数，故C错误；
对于D，最小正周期为，为奇函数，故D正确.
故选：AD.
4．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知关于x的函数的图象关于对称，则的周期为 ，实数 .
【答案】
【分析】利用辅助角公式化解函数，判断函数的周期，再结合对称性与最值的关系，即可求解
【详解】，其中，
所以函数的周期,
若函数的图象关于对称，
所以，即，两边平方后，
整理为，得.
故答案为：；
高频考点四：三角函数的奇偶性
典型例题
例题1．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象.若是偶函数，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用给定的图象变换求出的解析式，再利用正弦函数的奇偶性列式计算即得.
【详解】依题意，，
由是偶函数，得，，
而，则.
故选：B
例题2．（2024·陕西西安·一模）将函数的图象向左平移m（）个单位，所得图象关于原点对称，则m的值可以是（ ）．
A． B．π C． D．
【答案】D
【分析】先求平移后图象的解析式，然后根据正弦函数的对称性可得.
【详解】将函数的图象向左平移m个单位，
得的图象，
因为的图象关于原点对称，
所以，即，
当时，得，
使，，的整数不存在.
故选：D
例题3．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据正切函数的奇偶性列式运算得解.
【详解】因为的图象关于原点中心对称，
所以，又，故的最小值为．
故答案为：.
练透核心考点
1．（23-24高一下·安徽·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，的取值范围，进而即可求得的值．
【详解】由将函数的图象向右平移个单位长度后，
所得函数为为奇函数，
则，得，
又，则，，
故选：B．
2．（2024·全国·模拟预测）若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分0在定义域内和0不在定义域内两种情况进行讨论即可求得答案.
【详解】若0在定义域内，由时，得，；
若0不在定义域内，由时，无意义，得．
综上，．
故选：C．
3．（23-24高三下·北京·开学考试）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若，则写出a的一个可能值为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用给定变换求出函数的解析式，再结合函数的奇偶性列式计算求出的值，取其一即得.
【详解】将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，
再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
由得函数为偶函数，
则，解得，令，可得的一个值为.
故答案为：（答案不唯一）.
高频考点五：三角函数的对称性
典型例题
例题1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）若函数的最小正周期为，则的图象的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的周期性求得，进而求得的对称轴.
【详解】依题意，由，
得，所以的图象的一条对称轴为，
D选项正确，ABC选项错误.
故选：D
例题2．（2024·陕西渭南·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的图象的一条对称轴为（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】D
【分析】
将原函数平移后借助诱导公式及正弦函数的性质即可得.
【详解】由题意可得，
令，则，
当时，有，其余选项均不符合.
故选：D.
例题3．（23-24高一上·山西长治·期末）函数的图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用正切型函数的性质，准确运算，即可求解.
【详解】由函数，令，解得，
令，可得，所以函数的一个对称中心有，其它不是对称中心.
故选：B．
例题4．（多选）（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）下列关于函数的说法不正确的是（ ）
A．定义域为 B．最小正周期是
C．图象关于成中心对称 D．在定义域上单调递增
【答案】ABD
【分析】根据正切函数的周期公式、定义域、对称中心、单调性可判断出答案.
【详解】函数的定义域为，A错误；
最小正周期，B错误；
解得，
所以图象的对称中心为点，当时，对称中心为点，C正确；
当时，，当时，，
因为，，
所以由单调性的定义可知，D错误．
综上，ABD符合题意.
故选：ABD.
练透核心考点
1．（23-24高一下·云南·阶段练习）下列函数中，以点为对称中心的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦、余弦、正切函数的性质计算可得.
【详解】对于A：函数，令，解得，
所以函数的对称中心为，，故A错误；
对于B：函数，令，解得，
所以函数的对称中心为，，故B错误；
对于C：函数，令，解得，
所以函数的对称中心为，，故C错误；
对于D：函数，令，解得，
所以函数的对称中心为，，故D正确.
故选：D
2．（2024·陕西榆林·二模）若函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由余弦函数的对称性直接求解.
【详解】
因为的图象关于直线对称，
所以，得，
因为，所以.
故选：C.
3．（2024·河南·模拟预测）已知函数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意可知为的对称中心，结合余弦函数对称性分析求解.
【详解】因为，可知为的对称中心，
则，可得，
解得，
且，可知：当时，取到最小值.
故选：A.
4．（2024·河北邯郸·三模）写出一个，使得函数的图象关于点对称，则可以为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】
利用正弦函数的对称性与周期性得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】因为的图象关于点对称，
所以，则，故，
又，所以，，，…．.
故答案为：（答案不唯一）.
高频考点六：三角函数的单调性（求三角函数的单调区间）
典型例题
例题1．（23-24高一下·重庆铜梁·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的最小值，并求出函数取得最小值的x的集合．
(2)求函数在上的单调递增区间．
【答案】(1)；
(2)和
【分析】（1）直接利用正弦函数的性质求最小值及取最小值时的集合；
（2）先通过求出的范围，再根据正弦函数的性质求解单调增区间.
【详解】（1）对于函数，
当时，即时，函数取得最小值；
（2），，
由和可得
和，
所以函数的单调增区间为和.
例题2．（23-24高一上·广东阳江·期末）已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)求函数的单调递增区间；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由最小正周期求出，进而得到，代入求值即可；
（2）利用整体代入法，结合三角函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为的最小正周期为，
所以，，则，
故.
（2）令，解得，
故的单调递增区间为.
例题3．（22-23高一·全国·课时练习）已知函数，其中，（，），的部分图像如下图．
(1)求，，的值；
(2)求的单调增区间，
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数图像上的特殊点求得，，的值.
（2）利用整体代入法求得的递增区间.
【详解】（1）根据函数图像可知，，
所以，
过点和点，
所以，
由于，所以，
则，所以，
所以.
（2）由，
解得，
所以的单调递增区间为.
练透核心考点
1．（21-22高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数
(1)求函数的最小正周期及在上的最大值和最小值
(2)求函数的单调递增区间和单调递减区间
【答案】(1)，最大值为，最小值
(2)单调递增区间是，单调递减区间是
【分析】（1）利用最小正周期公式计算即可求得函数最小正周期，由，得，借助余弦函数图像即可求解；
（2）将看作整体，借助余弦函数性质建立不等式，计算即可求解.
【详解】（1），
，
当，即时，，
当，即时，，
所以，的最大值为，最小值.
（2）由余弦函数性质可得：
当时，单调递增,解得，
所以，的单调递增区间是，
当时，单调递减，解得，
所以，的单调递减区间是.
2．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数 的图象关于点 对称.
(1)求的单调递增区间;
(2)求不等式 的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意首先根据对称中心求得函数表达式，然后令，解不等式组即可得解.
（2）由，得,解不等式组即可得解.
【详解】（1）由题意知，的图象关于点对称，
，
即．
，
故．
令，
得，
即．
函数的单调递增区间为．
（2）由（1）知，．
由，
得，
即．
不等式的解集为.
3．（2023高一上·全国·专题练习）已知函数.
(1)求它的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较与的大小.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据正切函数解析式求解最小正周期和单调递减区间；
（2）根据解析式求解函数值比较大小值.
【详解】（1）因为
所以，
由，
，
因为在上单调递增，
所以在上单调递减．
故函数的最小正周期为，单调递减区间为．
（2）,
，
因为，且在上单调递增，
，
所以.
高频考点七：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性比较大小）
典型例题
例题1．（23-24高一上·湖南张家界·期末）若，，，，则a，b，c，d的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换可将式子化简为，再由余弦函数单调性即可比较得出大小.
【详解】易知
；
；
；
由余弦函数在上单调递减，且,
所以可得，即.
故选：A
例题2．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）设，，，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由倍角公式化简为正切函数，再结合正切函数的单调性可得出答案.
【详解】，
，
因为在上单调递增，
所以，
即，
故选：C.
例题3．（多选）（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列各式正确的是（ ）
A．tan ＜tan
B．tan 2＞tan 3
C．cos (－)＞cos (－)
D．sin (－)＜sin (－)
【答案】AC
【详解】
tan＝tan (－π)＝tan (－)，因为正切函数y＝tan x在(－，)上为增函数，且－＜－＜＜，所以，tan (－)＜tan，即tan＜tan，故A正确；由于正切函数y＝tan x在(，)上为增函数，且＜2＜3＜，所以tan 2＜tan 3，故B错误；cos (－)＝cos＝cos，cos (－)＝cos＝cos，因为余弦函数y＝cos x在(0，π)上为减函数，且0＜＜＜π，所以cos＞cos，即cos (－)＞cos (－)，故C正确；由于正弦函数y＝sin x在(－，)上为增函数，且－＜－＜－＜，所以sin (－)＞sin (－)，故D错误．故选AC.
练透核心考点
1．（多选）（2024·全国·模拟预测）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】先判断角所在的象限，再根据单调性和与对称轴的距离判断三角函数值的符号。
【详解】因为,又,
所以函数在是单调递增函数,
所以,故A不正确;
因为,,
且,
所以,故C正确;
因为,且,
所以,故B正确;
因为,且在为单调递减函数,
所以,故D不对.
故选:BC.
2．（多选）（23-24高一上·全国·期末）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据正弦、余弦、正切函数的单调性一一分析即可.
【详解】，
，
因为，且在该范围内单调递增，则，故A错误；
对B，因为在上单调递增，在上单调递减，则
，，所以，故B正确；
，
，
因为，所以，所以，故C正确；
对D，，，所以，故D正确；
故选：BCD.
3．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）与的大小关系是 （填：“或=”中的一个）.
【答案】
【分析】
根据诱导公式化简后，利用正切函数的单调性即可比较大小.
【详解】
因为，
，
又，
所以，
故，
故答案为：.
高频考点八：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性求参数）
典型例题
例题1．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）已知函数，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件化为，利用换元法化为，结合正弦函数的单调性即可确定实数的取值范围.
【详解】
，令，
则，因为，所以；
又因为在区间上是单调函数，
则在区间上是单调函数，
所以，即，解得.
故选：C
例题2．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式及正弦函数的单调性计算即可.
【详解】易知，，
在时，，
显然，
若要符合题意，且能取得最大值，结合正弦函数的单调性可知需满足：
，故的最大值为.
故选：A
例题3．（23-24高三上·广东·期末）已知函数的最小正周期为，且在上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】先将函数降幂，由题设求出的值，再根据后续条件，考查所得函数在相应区间上的单调性，比较区间的包含关系计算即得.
【详解】由的最小正周期为，得,则，
因当时，，此时函数单调递减，即在上单调递减；
当时，，此时函数单调递增，即在上单调递增.
由题知在上单调递减，在上单调递增，故须使，解得.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023·江西·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据三角函数的变换规则求出的解析式，再根据余弦函数的性质求出的单调递增区间，即可得到，从而得到不等式组，解得即可.
【详解】将函数的图象向左平移个单位得到，
令，，解得，，
所以的单调递增区间为，，
又函数在上单调递增，所以，
所以，解得，即实数的取值范围为.
故选：A
2．（23-24高三上·北京海淀·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用分段函数的单调性分析求解即可.
【详解】由题意易知，在上单调递增；
在上单调递增，需要满足：.
要想满足函数在上都是单调递增，还需满足：，
即.综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
3．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知函数在区间上是减函数，则的取值集合为 .（用列举法表示）
【答案】
【分析】由正切函数的单调性结合条件可得，由正切函数的单调区间与周期性可得，再对的值进行逐一验证即可得出答案.
【详解】由在区间上是减函数，则，且，解得
因为，所以或或或，
当时，，当时，，
当 ，即时，函数无意义，故不成立.
当时，,当时，，
由在上单调递增，所以在区间上是减函数，
故满足题意.
当时，,当时，，
由在上单调递增，所以在区间上是减函数，
故满足题意.
当时，,当时，，
当 ，即时，函数无意义，故不成立.
故答案为:
高频考点九：三角函数中的求解（的取值范围与单调性相结合）
典型例题
例题1．（2024高一上·全国·专题练习）已知函数（，，）的图象关于轴对称，且在区间上不单调，则的可能取值有（　　）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】C
【分析】根据题意，得到，此时，结合函数在区间上不单调，求得，即可求解.
【详解】由函数的图像关于轴对称，可得，
因为，可得，所以，
又由，可得，
当时，可得，可得在上单调递减，不符合题意；
当时，可得，可得在上单调递减，不符合题意；
当时，可得，可得在上不单调，符合题意；
当时，可得，可得在上单调递增，不符合题意；
当时，则函数的最小正周期为，此时，
所以函数在上不是单调函数，符合题意，
所以，所以满足条件的有9个.
故选：C.
例题2．（多选）（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数的图象过点，且在区间上具有单调性，则的取值范围可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由函数的图象过点求得，根据函数的单调性，结合三角函数的性质列式求得的范围，即可得解.
【详解】因为函数的图象过点，所以，得，
因为，所以，所以，
当时，，
因为在区间上具有单调性，
所以，，
即且，，
则，，
因为，得，
因为，所以时，，则，故A正确；
当时，，故C正确；B、D错误.
故选：AC.
例题3．（2024·安徽芜湖·二模）已知偶函数的图像关于点中心对称，且在区间上单调，则 ．
【答案】/1.5
【分析】
根据题意，再由对称中心求出，最后根据函数单调性确定.
【详解】因为偶函数，所以，，
即或，
又的图像关于点中心对称，
所以，即，
所以，
因为函数单调，所以，即，
所以当时，符合条件.
故答案为：
练透核心考点
1．（多选）（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知在区间上单调递增，则的取值可能在（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】借助辅助角公式可将函数化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得的范围.
【详解】，
当，由，则，
则有，，
解得，，
即，，
有，，即，即或，
当时，有，时，有，
故的取值可能在或.
故选：AC.
2．（多选）（2024·辽宁·一模）已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有一个零点，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】结合函数在给定区间上的单调性和零点个数，可确定的取值范围，从而确定正确的选项.
【详解】由，，.
又函数在区间上单调递减，所以，
又因为，，所以，，
因为，所以，
因为在区间上有且仅有一个零点，
所以在区间上有且仅有一个实数根，
所以，解得，
综上，，故BC正确，AD错误.
故选：BC
3．（23-24高三上·江西南昌·开学考试）已知函数在区间上有且只有2个零点，则ω的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求得，根据题意，结合余弦型函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由，可得，其中，
因为函数在区间上有且仅有2个零点，
则满足，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
高频考点十：三角函数中的求解（的取值范围与对称性相结合）
典型例题
例题1．（2024·吉林延边·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
得出平移后的方程后，再根据正弦型函数的性质即可得到答案.
【详解】结合题意可得，
因为曲线关于轴对称，所以，
解得,因为，所以当时，有最小值.
故选：B.
例题2．（23-24高三上·河北承德·期中）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】得出平移后的方程后，再根据正弦型函数的性质即可得到答案.
【详解】的图像向左平移个单位长度后为，
由关于轴对称，即有，
解得，又，故的最小值为.
故选：C.
例题3．（2023·湖南永州·一模）已知函数，若，在区间上没有零点，则的取值共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【分析】根据可得，根据在区间上没有零点可得，即可求出的取值有几个.
【详解】由题意，在中，，
∴ ,所以，
两式相减得，
所以，即，，
因为，所以 ，
令， ，
由题意知在上无零点，
故，，
所以，即，
两式相加得，所以，
又，
所以，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，
所以的取值有5个.
故选：B.
练透核心考点
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图像关于原点中心对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦函数对称中心求出的表达式，再赋值求得结果.
【详解】函数的图像关于原点中心对称,则，解得，因为，当时，取得最小值.
故选：B
2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的初始相位为，若在区间上有且只有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据x的取值范围，确定，结合在区间上有且只有三条对称轴，列出不等式，即可求得答案.
【详解】由于函数的初始相位为，即，
当时，，
由于在区间上有且只有三条对称轴，故，
解得，
故选：D
3．（2024·河北邯郸·三模）写出一个，使得函数的图象关于点对称，则可以为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】
利用正弦函数的对称性与周期性得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】因为的图象关于点对称，
所以，则，故，
又，所以，，，…．.
故答案为：（答案不唯一）.
高频考点十一：三角函数中的求解（的取值范围与三角函数的最值相结合）
典型例题
例题1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质结合单调区间及最值情况，列出不等式求解即得.
【详解】函数，由，得，即函数在上单调递增，
依题意，，则，解得，
由，得，由在上恰好取得一次最大值1，得，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
例题2．（23-24高二下·浙江杭州·期中）若函数在区间单调递减，且最小值为负值，则的值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】分和两种情况讨论，结合余弦函数的单调性求出的范围，即可得解.
【详解】当时，，
由，得，
因为函数在区间单调递减，且最小值为负值，
所以，解得，
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用余弦函数的性质列出不等式求解即得.
【详解】当时，，
由函数在有最小值，没有最大值，
得，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在区间上的最小值为－2，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】当x∈[－，]时，－ω≤ωx≤ω.因为函数f（x）＝2sin ωx在区间[－，]上的最小值为－2，所以－ω≤－或ω≥，解得ω≥.
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其中为常数，且，将函数的图象向左平移个单位所得的图象对应的函数在取得极大值，则的值为 .
【答案】
【分析】先根据图象平移得到的解析式，然后根据为最大值得到关于的方程，结合的范围可知结果.
【详解】由题意可知，
因为在取得极大值，所以在取得最大值，
所以，，即，
又因为，所以，当且仅当时，满足条件，所以，
故答案为：.
第四部分：新定义题
1．（23-24高一下·四川凉山·阶段练习）设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，称为函数的“相伴向量”．
(1)设函数，求函数的相伴向量；
(2)记的“相伴函数”为，若方程在区间上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2),
【分析】（1）由相伴向量的定义，即可得出；
（2）化简方程，令，，作出在区间上的图象，由图象即可得得范围.
【详解】（1）因为
，
所以函数的相伴向量为
（2）由题意，的“相伴函数” ，
方程为，，
则方程，有四个实数解，
所以， 有四个实数解，
令，，
①当，，
②当，，
据此作出的图像：
由图可知，当时，函数与有四个交点，
即实数的取值范围为,.
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数图像及应用，关键是分离参数并正确画出函数图像.
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