资源简介 第05讲 指数与指数函数目录第一部分:基础知识 1第二部分:高考真题回顾 2第三部分:高频考点一遍过 3高频考点一:指数与指数幂的运算 3高频考点二:指数函数的概念 5高频考点三:指数函数的图象 7角度1:判断指数型函数的图象 7角度2:根据指数型函数图象求参数 8角度3:指数型函数图象过定点问题 9角度4:指数函数图象应用 10高频考点四:指数(型)函数定义域 15高频考点五:指数(型)函数的值域 17角度1:指数函数在区间上的值域 17角度2:指数型复合函数值域 17角度3:根据指数函数值域(最值)求参数 19高频考点六:指数函数单调性 22角度1:由指数(型)函数单调性求参数 22角度2:根据指数函数单调性解不等式 23高频考点七:指数函数的最值 26角度1:求已知指数型函数的值域 26角度2:根据指数函数最值求参数 27第四部分:新定义题(解答题) 32第一部分:基础知识(1)概念:式子叫做根式,其中叫做根指数,叫做被开方数.(2)性质:①(且);②当为奇数时,;当为偶数时,2、分数指数幂①正数的正分数指数幂的意义是(,,且);②正数的负分数指数幂的意义是(,,且);③0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.3、指数幂的运算性质①;②;③.4、指数函数及其性质(1)指数函数的概念函数(,且)叫做指数函数,其中指数是自变量,函数的定义域是.(2)指数函数的图象和性质底数图象性质 定义域为,值域为图象过定点当时,恒有; 当时,恒有 当时,恒有; 当时,恒有在定义域上为增函数 在定义域上为减函数注意 指数函数(,且)的图象和性质与的取值有关,应分与来研究第二部分:高考真题回顾1.(2023·天津·统考高考真题)设,则的大小关系为( )A. B.C. D.2.(2022·浙江·统考高考真题)已知,则( )A.25 B.5 C. D.3.(2022·北京·统考高考真题)已知函数,则对任意实数x,有( )A. B.C. D.第三部分:高频考点一遍过高频考点一:指数与指数幂的运算典型例题例题1.(2024上·湖北·高一校联考期末)计算: .例题2.(2024上·河南漯河·高一漯河高中期末)计算.(1);(2).练透核心考点1.(2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末)化简求值.(1)(2)2.(2024上·湖南长沙·高一统考期末)计算下列各式的值:(1);(2).高频考点二:指数函数的概念典型例题例题1.(2024上·内蒙古呼伦贝尔·高二校考期末)已知指数函数且,则( )A.3 B.2 C. D.例题2.(2024上·云南昆明·高一期末)若指数函数的图象经过点,求的解析式及的值.练透核心考点1.(多选)(2024·江苏·高一假期作业)若函数是指数函数,则实数的值为( )A. B. C. D.2.(2024上·山东枣庄·高一校考期末)若指数函数的图象经过点,则 .高频考点三:指数函数的图象角度1:判断指数型函数的图象典型例题例题1.(2024下·浙江温州·高一浙江省乐清中学校联考开学考试)在同一直角坐标系中,函数与的图像可能是( )A. B. C. D. 例题2.(2024上·江西宜春·高一校考期末)函数的图象是( )A. B. C. D. 角度2:根据指数型函数图象求参数典型例题例题1.(2024·上海·高一专题练习)若函数的图象与轴有公共点,则的取值范围是( )A. B. C. D.例题2.(多选)(2024·全国·高一专题练习)函数的图象如图所示,其中为常数,则下列结论正确的是( )A. B. C. D.角度3:指数型函数图象过定点问题典型例题例题1.(2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末)函数且的定点为 .例题2.(2024上·广东江门·高一统考期末)已知函数(,且)的图象恒过定点 ,则 的坐标为 .角度4:指数函数图象应用典型例题例题1.(2024下·四川遂宁·高三射洪中学校考开学考试)函数的图象大致为( )A. B. C. D. 例题2.(2024上·安徽·高一校联考期末)函数在上的大致图象为( )A. B. C. D. 例题3.(2024上·上海·高一上海南汇中学校考期末)已知函数的定义域为,值域为,则的最大值为( )A. B. C. D.2练透核心考点1.(2024上·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末)函数的图象大致为( )A.B.C. D.2.(多选)(2024上·湖南娄底·高一统考期末)在同一直角坐标系中,函数与的图象可能是( )A. B.C. D.3.(多选)(2024上·江苏常州·高一统考期末)若函数(其中且)的图象过第一、三、四象限,则( )A. B.C. D.4.(多选)(2024下·全国·高一开学考试)已知函数(且的图象如图所示,则函数的大致图象不可能为( )B.C.D.5.(2024上·江苏徐州·高三校考开学考试)函数在区间上的图象大致是( )A. B. C. D. 6.(2024上·福建宁德·高一统考期末)函数(且)的图象经过的定点坐标为 .7.(2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末)函数,且的图象恒过定点,点又在幂函数的图象上,则 .高频考点四:指数(型)函数定义域典型例题例题1.(2024上·山东威海·高一统考期末)函数的定义域为( )A. B. C. D.例题2.(2024上·北京·高二统考学业考试)函数的定义域为( )A. B. C. D.练透核心考点1.(2024·江苏·高一假期作业)函数的定义域为( )A. B.C. D.2.(2024上·安徽阜阳·高一统考期末)函数的定义域为 .高频考点五:指数(型)函数的值域角度1:指数函数在区间上的值域典型例题例题1.(2023上·广西南宁·高一校考期中)函数的值域是( )A. B. C. D.例题2.(2023上·上海浦东新·高三上海南汇中学校考阶段练习)函数,的值域为 .角度2:指数型复合函数值域典型例题例题1.(2023上·福建三明·高一校联考期中)函数 在时的值域是 .例题2.(2023上·全国·高一专题练习)已知函数的图象经过点.(1)求实数的值;(2)求函数的定义域和值域.例题3.(2023上·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习)求函数的单调区间与值域.角度3:根据指数函数值域(最值)求参数典型例题例题1.(2023下·广东广州·高一校考期中)函数(且)的值域是,则实数( )A.3 B. C.3或 D.或例题2.(2023上·全国·高一期末)如果函数 且在区间上的最大值是,则的值为( )A.3 B. C. D.3或练透核心考点1.(2023上·新疆喀什·高一统考期末)的值域是( )A. B. C. D.2.(2023上·广东东莞·高一东莞市东莞中学校考期中)函数的值域为 .3.(2023上·黑龙江绥化·高三校考阶段练习)当时,函数的值域为 .4.(2023·江苏·高一专题练习)已知函数在区间上的值域为,则实数的取值范围为 .5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,若的值域是,求的值.2.(2024上·陕西渭南·高一校考期末)已知函数,对于任意两个不相等的实数,,都有成立,则实数的取值范围是 .3.(2024上·新疆乌鲁木齐·高一校联考期末)不等式的解集为 .4.(2024上·山西长治·高一校联考期末)已知函数,则不等式的解集为 .高频考点七:指数函数的最值角度1:求已知指数型函数的值域典型例题例题1.(2024·全国·高三专题练习)函数的最小值为 .例题2.(2024上·广东深圳·高一校考期末)已知定义在上的函数()(1)若,求函数在上的最大值;(2)若存在,使得,求实数的取值范围.角度2:根据指数函数最值求参数典型例题例题1.(2024·全国·高三专题练习)已知函数.若函数的最大值为1,则实数( )A. B. C. D.例题2.(2024上·河南·高三校联考阶段练习)已知函数,若恒成立,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.角度3:含参指数(型)函数最值典型例题例题1.(2024上·云南昆明·高一统考期末)已知函数,.(1)当时,求的最小值;(2)记的最小值为,求的解析式.练透核心考点1.(2024上·北京·高三阶段练习)若函数有最小值,则t的取值范围是( )A. B. C. D.2.(2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末)函数在区间上的最小值是,则的值是 .3.(2024上·吉林·高一长春外国语学校校联考期末)已知函数,.(1)时,求的值域;(2)若的最小值为4,求的值.4.(2023上·江苏连云港·高一校考阶段练习)设函数是定义在上的奇函数.(1)求的值,并判断的单调性(不证明);(2)若,且在上的最小值为,求的值.第四部分:新定义题1.(2023上·上海·高一校考阶段练习)对于定义域在上的函数,定义.设区间,对于区间上的任意给定的两个自变量的值、,当时,总有,则称是的“函数”.(1)判断函数是否存在“函数”,请说明理由;(2)若非常值函数是奇函数,求证:存在“函数”的充要条件是存在常数,使得;(3)若函数与函数的定义域都为,且均存在“函数”,求实数的值.21世纪教育网(www.21cnjy.com)第05讲 指数与指数函数目录第一部分:基础知识 1第二部分:高考真题回顾 2第三部分:高频考点一遍过 3高频考点一:指数与指数幂的运算 3高频考点二:指数函数的概念 5高频考点三:指数函数的图象 7角度1:判断指数型函数的图象 7角度2:根据指数型函数图象求参数 8角度3:指数型函数图象过定点问题 9角度4:指数函数图象应用 10高频考点四:指数(型)函数定义域 15高频考点五:指数(型)函数的值域 17角度1:指数函数在区间上的值域 17角度2:指数型复合函数值域 17角度3:根据指数函数值域(最值)求参数 19高频考点六:指数函数单调性 22角度1:由指数(型)函数单调性求参数 22角度2:根据指数函数单调性解不等式 23高频考点七:指数函数的最值 26角度1:求已知指数型函数的值域 26角度2:根据指数函数最值求参数 27第四部分:新定义题(解答题) 32第一部分:基础知识(1)概念:式子叫做根式,其中叫做根指数,叫做被开方数.(2)性质:①(且);②当为奇数时,;当为偶数时,2、分数指数幂①正数的正分数指数幂的意义是(,,且);②正数的负分数指数幂的意义是(,,且);③0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.3、指数幂的运算性质①;②;③.4、指数函数及其性质(1)指数函数的概念函数(,且)叫做指数函数,其中指数是自变量,函数的定义域是.(2)指数函数的图象和性质底数图象性质 定义域为,值域为图象过定点当时,恒有; 当时,恒有 当时,恒有; 当时,恒有在定义域上为增函数 在定义域上为减函数注意 指数函数(,且)的图象和性质与的取值有关,应分与来研究第二部分:高考真题回顾1.(2023·天津·统考高考真题)设,则的大小关系为( )A. B.C. D.【答案】D【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【详解】由在R上递增,则,由在上递增,则.所以.故选:D2.(2022·浙江·统考高考真题)已知,则( )A.25 B.5 C. D.【答案】C【分析】根据指数式与对数式的互化,幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出.【详解】因为,,即,所以.故选:C.3.(2022·北京·统考高考真题)已知函数,则对任意实数x,有( )A. B.C. D.【答案】C【分析】直接代入计算,注意通分不要计算错误.【详解】,故A错误,C正确;,不是常数,故BD错误;故选:C.第三部分:高频考点一遍过高频考点一:指数与指数幂的运算典型例题例题1.(2024上·湖北·高一校联考期末)计算: .【答案】24【分析】由指数幂运算和对数运算可求.【详解】.故答案为:24例题2.(2024上·河南漯河·高一漯河高中期末)计算.(1);(2).【答案】(1)3(2)2【分析】(1)利用分数指数幂的运算法则计算即可;(2)先将根式转化为指数幂,利用指数的运算法则计算即可.【详解】(1)=;(2).练透核心考点1.(2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末)化简求值.(1)(2)【答案】(1)(2)7【分析】(1)利用分数指数幂和根式的运算公式,即可化解求值;(2)利用对数运算法则和运算公式,化解求值.【详解】(1);(2).2.(2024上·湖南长沙·高一统考期末)计算下列各式的值:(1);(2).【答案】(1)(2)1【分析】(1)根据指数幂的运算法则,化简求值,即得答案;(2)根据对数的运算法则,化简求值,即得答案;【详解】(1)原式.(2)原式.高频考点二:指数函数的概念典型例题例题1.(2024上·内蒙古呼伦贝尔·高二校考期末)已知指数函数且,则( )A.3 B.2 C. D.【答案】A【分析】先根据函数值求出,再求函数值即可.【详解】,故选:A.例题2.(2024上·云南昆明·高一期末)若指数函数的图象经过点,求的解析式及的值.【答案】,【分析】设,由可求出的值,可得出函数的解析式,进而可求得的值.【详解】解:设指数函数,则,解得,所以,,故.练透核心考点1.(多选)(2024·江苏·高一假期作业)若函数是指数函数,则实数的值为( )A. B. C. D.【答案】AB【分析】根据指数函数的定义求解.【详解】因为函数是指数函数,所以,解得或.故选:AB2.(2024上·山东枣庄·高一校考期末)若指数函数的图象经过点,则 .【答案】/【分析】采用待定系数法,结合指数函数所过点可求得函数解析式,代入即可.【详解】设指数函数且,过点,,解得:,,.故答案为:.高频考点三:指数函数的图象角度1:判断指数型函数的图象典型例题例题1.(2024下·浙江温州·高一浙江省乐清中学校联考开学考试)在同一直角坐标系中,函数与的图像可能是( )A. B. C. D. 【答案】D【分析】分和两种情况,利用函数的单调性进行判断即可.【详解】对于A,B,当时,函数在R上为单调递减函数;又,所以在区间和区间上单调递减,且当时,,故A和B均错误;对于C,当时,函数在R上为单调递增函数,又,所以在区间和区间上单调递增,故C错误,D正确.故选:D.例题2.(2024上·江西宜春·高一校考期末)函数的图象是( )A. B. C. D. 【答案】A【分析】根据图象变换可得函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的,由此可得出结论【详解】因为函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的,而的图象过点,且在上是增函数,所以的图象过点,且在上是增函数,故选:A角度2:根据指数型函数图象求参数典型例题例题1.(2024·上海·高一专题练习)若函数的图象与轴有公共点,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【分析】与有公共点,转化为与有公共点,结合函数图象,可得结果.【详解】与有公共点,即与有公共点,图象如图可知故选:B【点睛】本题考查了函数的交点问题,考查了运算求解能力和数形结合思想,属于基础题目.例题2.(多选)(2024·全国·高一专题练习)函数的图象如图所示,其中为常数,则下列结论正确的是( )A. B. C. D.【答案】AD【分析】根据的单调性确定,由确定.【详解】,由图知为减函数,故,所以,故A正确C错误;由图知,所以,故B错误D正确.故选:AD角度3:指数型函数图象过定点问题典型例题例题1.(2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末)函数且的定点为 .【答案】【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定定点的坐标.【详解】因为且,令,得到,此时,所以函数的定点为,故答案为:.例题2.(2024上·广东江门·高一统考期末)已知函数(,且)的图象恒过定点 ,则 的坐标为 .【答案】【分析】根据指数型函数的性质求解即可.【详解】由函数可知,当时,,即函数图象恒过点.故答案为:角度4:指数函数图象应用典型例题例题1.(2024下·四川遂宁·高三射洪中学校考开学考试)函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】B【分析】根据函数奇偶性即可排除CD,由特殊点的函数值即可排除A.【详解】,则的定义域为R,又,所以为奇函数,图象关于原点对称,故排除CD,当时,,故排除A.故选:B.例题2.(2024上·安徽·高一校联考期末)函数在上的大致图象为( )A. B. C. D. 【答案】D【分析】根据给定函数的奇偶性,结合即可判断得解.【详解】依题意,,因此函数是偶函数,其图象关于y轴对称,排除AB;又,选项C不满足,D符合题意.故选:D例题3.(2024上·上海·高一上海南汇中学校考期末)已知函数的定义域为,值域为,则的最大值为( )A. B. C. D.2【答案】B【分析】根据题意画出函数图象,结合指数函数图象相关性质和对数的运算法则进行计算即可.【详解】由题意得,,作出函数图象如图所示, 令,解得或,则当,时,取得最大值,此时.故选:B练透核心考点1.(2024上·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末)函数的图象大致为( )A.B.C. D.【答案】D【分析】根据奇偶性可知函数为偶函数,结合赋值法和排除法即可求解.【详解】由题可知,,所以函数的定义域为,关于原点对称,又,所以函数为偶函数,排除A,C;又,排除B.故选:D.2.(多选)(2024上·湖南娄底·高一统考期末)在同一直角坐标系中,函数与的图象可能是( )A. B.C. D.【答案】AC【解析】按照、讨论,结合二次函数及指数函数的性质即可得解.【详解】若,则函数是R上的增函数,函数的图象的对称轴方程为,故A可能,B不可能;若,则函数是R上的减函数,,函数的图象与轴的负半轴相交,对称轴为,故C可能,D不可能.故选:AC.3.(多选)(2024上·江苏常州·高一统考期末)若函数(其中且)的图象过第一、三、四象限,则( )A. B.C. D.【答案】BD【分析】根据图象的性质可得:,即可求解.【详解】函数(其中且)的图象在第一、三、四象限,根据图象的性质可得:,即,故选:BD.4.(多选)(2024下·全国·高一开学考试)已知函数(且的图象如图所示,则函数的大致图象不可能为( )B.C.D.【答案】AD【分析】由指数函数的图象特征,结合幂函数在第一象限的图象特征可得答案.【详解】根据题意可得,的图象是向上平移a个单位得到的,结合幂函数的性质可知在上为单调递增函数,当a为奇数时,图象如C选项所示;当a为偶数时,图象如B选项所示,选项A,D不符合题意.故选:AD.5.(2024上·江苏徐州·高三校考开学考试)函数在区间上的图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】A【分析】判断函数为奇函数得到选项C错误,计算,得到选项D错误,根据时,,选项B错误,得到答案.【详解】函数,的定义域关于原点对称,,所以是奇函数,函数的图象关于原点对称,选项C错误;因为,所以选项D错误;当时,,选项B错误.故选:A.6.(2024上·福建宁德·高一统考期末)函数(且)的图象经过的定点坐标为 .【答案】【分析】由指数型函数的定点问题,令,即可得定点坐标.【详解】由函数(且),令,得,所以,所以函数(且)的图象经过的定点坐标为.故答案为:.7.(2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末)函数,且的图象恒过定点,点又在幂函数的图象上,则 .【答案】4【分析】由已知求出定点的坐标,根据待定系数法求出,从而可得结果.【详解】由,得,所以定点,设,又,得,所以,所以,故答案为:4.高频考点四:指数(型)函数定义域典型例题例题1.(2024上·山东威海·高一统考期末)函数的定义域为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】根据指数函数的单调性及二次根式的意义可求得原函数的定义域.【详解】对于函数,有,可得,解得,因此,函数的定义域为.故选:A.例题2.(2024上·北京·高二统考学业考试)函数的定义域为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】根据函数的解析式有意义,列出不等式,即可求解.【详解】由函数有意义,则满足,即,解得,所以函数的定义域为.故选:C.练透核心考点1.(2024·江苏·高一假期作业)函数的定义域为( )A. B.C. D.【答案】D【分析】函数的定义域满足,解得答案.【详解】函数的定义域满足,解得且.故答案为:D2.(2024上·安徽阜阳·高一统考期末)函数的定义域为 .【答案】【分析】根据偶次根式被开方数大于等于、中求解出的范围,则定义域可知.【详解】由题意可知,解得且,故函数的定义域为.故答案为:.高频考点五:指数(型)函数的值域角度1:指数函数在区间上的值域典型例题例题1.(2023上·广西南宁·高一校考期中)函数的值域是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】利用指数函数的单调性即可得解.【详解】因为是定义域在上的增函数.所以当时,,,所以的值域为.故选:C.例题2.(2023上·上海浦东新·高三上海南汇中学校考阶段练习)函数,的值域为 .【答案】【分析】根据函数的单调性求得正确答案.【详解】函数在区间上单调递增,所以,所以值域为.故答案为:角度2:指数型复合函数值域典型例题例题1.(2023上·福建三明·高一校联考期中)函数 在时的值域是 .【答案】【分析】利用指数函数性质,结合二次函数求出值域即得.【详解】当时,,函数,显然当,即时,,当,即时,,所以所求值域是.故答案为:例题2.(2023上·全国·高一专题练习)已知函数的图象经过点.(1)求实数的值;(2)求函数的定义域和值域.【答案】(1)(2)R ;【分析】(1)把已知点代入函数解析式计算即得;(2)根据函数解析式只需使分母不等于零,解不等式即得函数定义域,将函数式分离常数成,再从的值域开始,从内到外利用不等式性质推导出解析式的取值范围即得值域.【详解】(1)将点代入可得:,解得:.(2)由(1)可得:,要使函数有意义,须使,而此式恒成立,故函数的定义域为.因,当时,,,则,故,即函数的值域为.例题3.(2023上·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习)求函数的单调区间与值域.【答案】单调减区间是,单调增区间是;值域是【分析】单调性根据复合函数的单调性同增异减得出,值域根据换元法得出.【详解】函数,设.,当时,,,即.函数在上的值域是.又原函数是由和两个函数复合而成,第一个函数是单调减函数,第二个函数在区间上是单调增函数,在区间上是单调减函数函数的单调减区间是,单调增区间是.角度3:根据指数函数值域(最值)求参数典型例题例题1.(2023下·广东广州·高一校考期中)函数(且)的值域是,则实数( )A.3 B. C.3或 D.或【答案】C【分析】由指数函数的性质分别对和的情况讨论单调性并求值域,从而列方程组即可得到答案.【详解】函数(且)的值域为,又由指数函数的单调性可知,当时,函数在上单调递减,值域是所以有,即 ,解得;当时,函数在上单调递增,值域是所以有,即 ,解得.综上所述,或.故选:C.例题2.(2023上·全国·高一期末)如果函数 且在区间上的最大值是,则的值为( )A.3 B. C. D.3或【答案】D【分析】利用换元法,令,转化为二次函数,根据单调性及在区间上的最大值是,求出的值即可.【详解】令,则.当时,因为,所以,又因为函数在上单调递增,所以,解得(舍去).当时,因为,所以,又函数在上单调递增,则,解得(舍去).综上知或.故选:D.练透核心考点1.(2023上·新疆喀什·高一统考期末)的值域是( )A. B. C. D.【答案】D【分析】根据函数的单调性,即可求解函数的值域.【详解】函数单调递减,所以函数的最大值为,最小值为,所以函数的值域为.故选:D2.(2023上·广东东莞·高一东莞市东莞中学校考期中)函数的值域为 .【答案】【分析】根据指数函数的单调性进行求解即可.【详解】令,因为指数函数在R上单调递增,所以有,而,因此函数的值域为.故答案为:3.(2023上·黑龙江绥化·高三校考阶段练习)当时,函数的值域为 .【答案】【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得.【详解】因为,令,由于,则,则原函数可化为,,当时,取最小值,当时,取最大值,故,即.故答案为:4.(2023·江苏·高一专题练习)已知函数在区间上的值域为,则实数的取值范围为 .【答案】【分析】利用函数的最值求出,通过函数的值域,求出的取值范围【详解】,则在上递减,在上递增,所以当时,函数取得最小值0,由,得或,所以函数在区间上的值域为时,,故答案为:5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,若的值域是,求的值.【答案】0【分析】利用换元法,令,则,则由题意可知的值域为,从而可求出的值【详解】令,则,因为的值域是,即的值域是,所以的值域为,若,则为二次函数,其值域不可能为,若,则,其值域为,所以高频考点六:指数函数单调性角度1:由指数(型)函数单调性求参数典型例题例题1.(2024下·内蒙古赤峰·高三校考开学考试)若函数是上的减函数,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【分析】根据题意,利用指数函数、二次函数的单调性,以及分段函数的性质,列出不等式组,即可求解.【详解】由函数在上为单调递减函数,则满足,解得,即实数的取值范围为.故选:A.例题2.(2024上·湖南湘西·高一统考期末)若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【分析】由题意得:在上单调递增,根据二次函数的性质列不等式即可.【详解】由题意得:在上单调递增,所以对称轴,所以.故选:B.角度2:根据指数函数单调性解不等式典型例题例题1.(2024上·广东潮州·高一统考期末)已知函数,则满足的的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】A【分析】分析函数的奇偶性及其在上的单调性,将所求不等式变形为,解之即可.【详解】因为函数的定义域为,且,所以,函数为偶函数,则不等式等价于,因为函数、在上均为增函数,当时,单调递增,所以,,可得,解得,故原不等式的解集为.故选:A.例题2.(2024上·河北邯郸·高一统考期末)已知函数,则的解集为 .【答案】【分析】根据题意,求得函数的单调性与奇偶性,把不等式转化为,即可求解.【详解】由函数,可得其定义域为,且,所以为偶函数,当时,,可得在上单调递增,根据偶函数的性质,不等式,即为,可得,整理得,解得,所以的解集为.故答案为:.练透核心考点1.(2024·全国·高一专题练习)已知函数在区间上是增函数,则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】D【分析】根据指数型复合函数的单调性,可得关于a的不等式,解不等式即可得答案.【详解】由题意知函数由复合而成,在上为增函数,由复合函数的同增异减性,可知需为R上的增函数,故,∴,∴或,故选:D.2.(2024上·陕西渭南·高一校考期末)已知函数,对于任意两个不相等的实数,,都有成立,则实数的取值范围是 .【答案】【分析】根据函数的单调性列不等式,由此求得的取值范围.【详解】由于对于任意两个不相等的实数,,都有成立,所以在上单调递减,所以,解得,所以的取值范围是.故答案为:3.(2024上·新疆乌鲁木齐·高一校联考期末)不等式的解集为 .【答案】【分析】根据函数的单调性、一元二次不等式的解法求得正确答案.【详解】依题意,,即,由于在上单调递增,所以,,解得或,所以不等式的解集为.故答案为:4.(2024上·山西长治·高一校联考期末)已知函数,则不等式的解集为 .【答案】【分析】根据函数的单调性化简不等式,由此求得不等式的解集.【详解】在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,则由得,解得,即不等式的解集为.故答案为:高频考点七:指数函数的最值角度1:求已知指数型函数的值域典型例题例题1.(2024·全国·高三专题练习)函数的最小值为 .【答案】【解析】根据函数解析式,先令,将问题转为求函数在上的最值问题,根据单调性,即可求解.【详解】因为,,令,则,所以令,,因为指数函数与一次函数都是增函数,所以也是增函数,所以时,.故答案为:.例题2.(2024上·广东深圳·高一校考期末)已知定义在上的函数()(1)若,求函数在上的最大值;(2)若存在,使得,求实数的取值范围.【答案】(1)8(2)【分析】(1)换元,令,可得,结合二次函数求最值;(2)由,换元令,整理得,结合函数单调性分析求解.【详解】(1)若,则,因为,令,可得的图象开口向上,对称轴为,可知:当时,取得最大值,所以函数在上的最大值为8.(2)因为,即,整理得,令,当且仅当,即时,等号成立,则,,则,整理得,由题意可知:方程在内有解,因为在内单调递增,可知在内单调递增,则,可得,所以实数的取值范围为.角度2:根据指数函数最值求参数典型例题例题1.(2024·全国·高三专题练习)已知函数.若函数的最大值为1,则实数( )A. B. C. D.【答案】B【分析】令,由指数函数的单调性以及二次函数的性质得出.【详解】,令,则,当时,,解得.故选:B例题2.(2024上·河南·高三校联考阶段练习)已知函数,若恒成立,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】参变分离可得恒成立,结合基本不等式求出的最小值,即可求出参数的取值范围.【详解】因为恒成立,即恒成立,所以恒成立,又由(当且仅当时取等号),所以.故选:A.角度3:含参指数(型)函数最值典型例题例题1.(2024上·云南昆明·高一统考期末)已知函数,.(1)当时,求的最小值;(2)记的最小值为,求的解析式.【答案】(1)(2)【分析】(1)当时代入,再结合换元法和二次函数性质即可;(2)由(1)知,令,,则原函数可化为,根据对称轴与区间位置关系分情况讨论即可求得.【详解】(1)设,因为,则,则,,当时,,,∴时,,即当时,.(2)由(1)知,,其图象的对称轴为.①当时,在上单调递增,所以;②当时,,③当时,在上单调递减,所以.综上,练透核心考点1.(2024上·北京·高三阶段练习)若函数有最小值,则t的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【分析】设,将转化为关于的函数,讨论开口方向与对称轴判断即可.【详解】设,则,,有最小值.当时,二次函数开口向下,无最小值;当时,无最小值;当时,若在上有最小值,则对称轴,解得.令,,,当时,,,在上单调递增,故,故的值域为;(2)由(1)得,,对称轴,①当时,在上单调递增,,解得;②当时,在上单调递减,在上单调递增,无解,舍去;③当时,在上单调递减,,解得,舍去;综上所述,.4.(2023上·江苏连云港·高一校考阶段练习)设函数是定义在上的奇函数.(1)求的值,并判断的单调性(不证明);(2)若,且在上的最小值为,求的值.【答案】(1),R上单调递增;(2)【分析】(1)根据奇函数的定义可求的值,结合指数函数的单调性可直接判定的单调性;(2)先根据条件计算,利用换元法结合二次函数的性质计算即可.【详解】(1)由题意可知,此时,符合题意,即;因为均在R上单调递增,故在R上单调递增;(2)因为,即所以,令,由(1)可知时,,则,由二次函数的性质可知,若时,,若时,,与前提矛盾舍去;综上.第四部分:新定义题1.(2023上·上海·高一校考阶段练习)对于定义域在上的函数,定义.设区间,对于区间上的任意给定的两个自变量的值、,当时,总有,则称是的“函数”.(1)判断函数是否存在“函数”,请说明理由;(2)若非常值函数是奇函数,求证:存在“函数”的充要条件是存在常数,使得;(3)若函数与函数的定义域都为,且均存在“函数”,求实数的值.【答案】(1)不存在“函数”,理由见解析.(2)证明见解析(3)【分析】(1)根据题意,由即可判断;(2)根据题意,由“函数”的定义,分别验证其充分性以及必要性,即可证明;(3)根据题意,由“函数”的定义可得,若,均存在“函数”, 则存在“函数”,然后代入计算,即可得到结果.【详解】(1),当时,,当时,,因此,则该函数不存在“函数”.(2)充分性:若,则,任取,,所以存在“函数”;必要性:因为是奇函数,则,任取,因为,是一个“函数”,所以,则,当时,则,,所以,即,所以,可得,从而有,即是一个常数,设为,则.(3)假设,均存在“函数”,任取,则,,则,则存在“函数”,因此均存在“函数”,令,定义域为关于原点对称,且,则是定义在上的奇函数,由(2)可知,存在使得恒成立,则,又时,若函数与函数均为“函数”,符合题意.综上可知,.【点睛】关键点睛:本题主要考查了新定义中“函数”的概念,以及函数奇偶性的应用,难度较大,解答本题的关键在于利用好题干中“函数”的定义,以及利用好(2)中的结论解决(3)中的问题.21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源预览