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第01讲 函数的概念及其表示
目录
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 3
第三部分：高频考点一遍过 3
高频考点一：函数的概念 3
高频考点二：函数定义域 5
角度1：具体函数的定义域 5
角度2：抽象函数定义域 5
角度3：已知定义域求参数 5
高频考点三：函数解析式 6
角度1：凑配法求解析式（注意定义域） 6
角度2：换元法求解析式（换元必换范围） 6
角度3：待定系数法 7
角度4：方程组消去法 7
高频考点四：分段函数 8
角度1：分段函数求值 8
角度2：已知分段函数的值求参数 9
角度3：分段函数求值域（最值） 9
高频考点五：函数的值域 10
角度1：二次函数求值域 10
角度2：分式型函数求值域 10
角度3：根式型函数求值域 10
角度4：根据值域求参数 11
第四部分：典型易错题型 12
备注：求函数解析式容易忽略定义域 12
备注：抽象函数定义域问题容易忽视了，单独一个“”的取值范围叫定义域 12
第五部分：新定义题（解答题） 12
第一部分：基础知识
1、函数的概念
设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，.
其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域
与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
2、同一（相等）函数
函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3、函数的表示
函数的三种表示法
解析法（最常用） 图象法（解题助手） 列表法
就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值. 就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值. 就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.
4、分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
5、高频考点结论
5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式型函数：分母不等于零.
(2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为
(4)的定义域是.
(5)(且)，，的定义域均为.
(6)(且)的定义域为.
(7)的定义域为.
5.2函数求值域
（1）分离常数法：
将形如()的函数分离常数，变形过程为：
，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.
（2）换元法：
如：函数，可以令，得到，函数
可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
（3）基本不等式法和对勾函数
（4）单调性法
（5）求导法
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·北京·统考高考真题）已知函数，则 ．
2．（2022·北京·统考高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的概念
典型例题
例题1．（2024上·福建福州·高一福建省福清第一中学校考阶段练习）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2024上·四川泸州·高一统考期末）托马斯说：“函数是近代数学思想之花”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（ ）
A． B． C． D．
练透核心考点
1．（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如下图所示，则的值为（ ）
1 2 3
4 3
A． B．0 C．3 D．4
2．（多选）（2024上·陕西安康·高一校考期末）下列各图中，是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
高频考点二：函数定义域
角度1：具体函数的定义域
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）函数的定义域为（ ）
A．且 B． C． D．
例题2．（2024上·北京东城·高三统考期末）函数的定义域为 .
角度2：抽象函数定义域
典型例题
例题1．（2024上·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024上·福建龙岩·高一福建省武平县第一中学校联考期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
角度3：已知定义域求参数
典型例题
例题1．（2024上·吉林通化·高三校考阶段练习）已知函数的定义域是R，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则的值为 ．
练透核心考点
1．（2024上·山西太原·高一山西大附中校考期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024上·山西长治·高一校联考期末）函数的定义域为 .
3．（2024·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则实数a的取值范围为 .
4．（2024·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则实数的值为 ．
高频考点三：函数解析式
角度1：凑配法求解析式（注意定义域）
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知，则函数 ，= ．
例题2．（2024上·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校联考期末）已知（a，b均为常数），且．
(1)求函数的解析式；
角度2：换元法求解析式（换元必换范围）
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知，求的解析式.
角度3：待定系数法
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数是一次函数，且，则（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
例题2．（2024·江苏·高一专题练习）设二次函数满足，且，求的解析式.
角度4：方程组消去法
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知满足，则解析式为 ．
例题2．（2024·江苏·高一专题练习）已知，求函数的解析式．
练透核心考点
1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江苏·高一专题练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·全国·高三专题练习）若函数满足方程且，则：
（1） ；（2） ．
4．（2024·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数满足，则 .
5．（2024·江苏·高一专题练习）求下列函数的解析式
(1)设函数是一次函数，且满足，求的解析式
(2)设满足，求的解析式
6．（2024·江苏·高一专题练习）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式；
（2）已知，求的解析式；
高频考点四：分段函数
角度1：分段函数求值
典型例题
例题1．（2024上·江西南昌·高一校联考期末）已知函数，，则（ ）
A． B． C． D．0
例题2．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）已知函数，则 ．
角度2：已知分段函数的值求参数
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数且，则（ ）
A．-16 B．16 C．26 D．27
例题2．（2024上·江苏常州·高三统考期末）已知函数若，则实数的值为 ．
角度3：分段函数求值域（最值）
典型例题
例题1．（2024上·河南南阳·高一校联考期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024上·四川达州·高一统考期末）已知函数，则的最大值是（ ）
A．60 B．58 C．56 D．52
练透核心考点
1．（2024上·云南大理·高一统考期末）已知，，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．2
例题1．（2024·全国·高一假期作业）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024上·江西宜春·高一校考期末）已知函数.
(1)求的解析式；
(2)求的值域.
角度4：根据值域求参数
典型例题
例题1．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024·上海·高一假期作业）已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为 .
例题3．（2024上·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
练透核心考点
1．（2024上·广东广州·高二广东实验中学校联考期末）函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．4
2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．已知，，则函数的值域为 ．
4．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域是或，则此函数的定义域为 .
5．（2024·全国·高三专题练习）求函数的值域为 .
6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则常数 ．
7．（2024·江苏·高一假期作业）求下列函数的值域.
(1)
(2)
第四部分：典型易错题型
备注：求函数解析式容易忽略定义域
1．（2023上·广东佛山·高一校考期中）已知函数，则函数的解析式为 ．
2．（2023上·江苏盐城·高一校考期中）若函数，则 ．
备注：抽象函数定义域问题容易忽视了，单独一个“”的取值范围叫定义域
1．（2023上·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·江西赣州·高一江西省信丰中学校考阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 .
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知函数的定义域为，若存在实数，使得，都满足，则称函数为“三倍函数”.
(1)判断函数是否为“三倍函数”，并说明理由；
(2)若函数，为“三倍函数”，求的取值范围.
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第01讲 函数的概念及其表示
目录
第一部分：基础知识 1
第二部分：高考真题回顾 3
第三部分：高频考点一遍过 4
高频考点一：函数的概念 4
高频考点二：函数定义域 6
角度1：具体函数的定义域 6
角度2：抽象函数定义域 6
角度3：已知定义域求参数 7
高频考点三：函数解析式 9
角度1：凑配法求解析式（注意定义域） 9
角度2：换元法求解析式（换元必换范围） 10
角度3：待定系数法 11
角度4：方程组消去法 12
高频考点四：分段函数 15
角度1：分段函数求值 15
角度2：已知分段函数的值求参数 16
角度3：分段函数求值域（最值） 17
高频考点五：函数的值域 20
角度1：二次函数求值域 20
角度2：分式型函数求值域 21
角度3：根式型函数求值域 22
角度4：根据值域求参数 23
第四部分：典型易错题型 27
备注：求函数解析式容易忽略定义域 27
备注：抽象函数定义域问题容易忽视了，单独一个“”的取值范围叫定义域 28
第五部分：新定义题（解答题） 29
第一部分：基础知识
1、函数的概念
设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，.
其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域
与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
2、同一（相等）函数
函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3、函数的表示
函数的三种表示法
解析法（最常用） 图象法（解题助手） 列表法
就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值. 就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值. 就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.
4、分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
5、高频考点结论
5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式型函数：分母不等于零.
(2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为
(4)的定义域是.
(5)(且)，，的定义域均为.
(6)(且)的定义域为.
(7)的定义域为.
5.2函数求值域
（1）分离常数法：
将形如()的函数分离常数，变形过程为：
，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.
（2）换元法：
如：函数，可以令，得到，函数
可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
（3）基本不等式法和对勾函数
（4）单调性法
（5）求导法
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·北京·统考高考真题）已知函数，则 ．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数，所以.
故答案为：1
2．（2022·北京·统考高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或， 解得 .
【详解】解：若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，
解得，
综上可得；
故答案为：0（答案不唯一），1
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的概念
典型例题
例题1．（2024上·福建福州·高一福建省福清第一中学校考阶段练习）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数定义作出判断.
【详解】根据函数定义，在定义域内，对于任意的，只能有唯一确定的与其对应，ABC满足要求，
D选项，在定义域内对于，有两个确定的与其对应，D错误.
故选：D
例题2．（2024上·四川泸州·高一统考期末）托马斯说：“函数是近代数学思想之花”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用函数的定义，逐项判断即可.
【详解】对于A，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，A不是；
对于B，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，B不是；
对于C，集合中的每个元素按对应关系，在集合中都有唯一元素与之对应，C是；
对于D，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，D不是.
故选：C
练透核心考点
1．（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如下图所示，则的值为（ ）
1 2 3
4 3
A． B．0 C．3 D．4
【答案】D
【分析】观察函数图象得，再利用数表求解即得.
【详解】观察函数的图象，得，由数表得，
所以.
故选：D
2．（多选）（2024上·陕西安康·高一校考期末）下列各图中，是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据函数的定义判断即可.
【详解】根据函数的定义，对于定义域内的每一个值都有唯一的一个值与之对应，
可看出BD满足.
故选：BD
高频考点二：函数定义域
角度1：具体函数的定义域
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）函数的定义域为（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】C
【分析】可直接求出函数的定义域进行判断.
【详解】由题得，解得，即函数的定义域为.
故选：
例题2．（2024上·北京东城·高三统考期末）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据分式的分母不为，对数的真数大于求解即可.
【详解】，
解得且，
函数的定义域为.
故答案为：.
角度2：抽象函数定义域
典型例题
例题1．（2024上·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抽象函数的定义域可得满足，结合根式的意义即可求解.
【详解】因为函数的定义域为，
所以满足，即，
又，即，
所以，解得.
所以函数的定义域为.
故选：D.
例题2．（2024上·福建龙岩·高一福建省武平县第一中学校联考期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可.
【详解】设，依题意可得，解得，所以，
所以的定义域为，值域为，且，
对于函数，则，解得，
即函数的定义域是.
故选：B
角度3：已知定义域求参数
典型例题
例题1．（2024上·吉林通化·高三校考阶段练习）已知函数的定义域是R，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，建立恒成立的不等式，再分类讨论求解作答.
【详解】依题意，，不等式恒成立，
当时，恒成立，则，
当时，有，解得，则，因此
所以的取值范围是
例题2．（2024·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则的值为 ．
【答案】
【分析】由定义域得一元二次不等式的解，从而由二次不等式的性质可得参数值．
【详解】由题意的解是，
所以，解得，，所以．
故答案为：．
练透核心考点
1．（2024上·山西太原·高一山西大附中校考期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】根据题意可得，解得且．
故选：C
.
故选：C
2．（2024上·山西长治·高一校联考期末）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据根号下部分大于等于0建立不等式求解即可.
【详解】令，则或，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：
3．（2024·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意转化为在恒成立，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数的定义域为，即在恒成立，
结合一元二次方程的性质，则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
4．（2024·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】函数定义域满足，根据解集结合根与系数的关系解得答案.
【详解】的定义域满足：，解集为，
故且，解得.
故答案为：
高频考点三：函数解析式
角度1：凑配法求解析式（注意定义域）
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知，则函数 ，= ．
【答案】 11
【分析】利用换元法可求出，进一步可得.
【详解】令，则，
所以，所以，
所以.
故答案为：；.
例题2．（2024上·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校联考期末）已知（a，b均为常数），且．
(1)求函数的解析式；
【答案】(1)
【分析】（1）由，代入函数解析式求出，得函数的解析式；
【详解】（1）由，得，即，
由，
可得解得
所以
角度2：换元法求解析式（换元必换范围）
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据换元法求函数解析式.
【详解】令，可得.
所以，
因此的解析式为.
故选：D.
例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知，求的解析式.
【答案】
【分析】令，则，代入函数解析式可得解.
【详解】由，令，则，
所以，
所以.
【点睛】本题主要考查了已知的解析式求解析式的求解，解题的关键是换元法，但是需要主要定义域的变化，属于基础题
角度3：待定系数法
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数是一次函数，且，则（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
【答案】A
【分析】设，根据恒成立可得a，b，然后可解.
【详解】设，
则，
整理得，
所以，解，
所以，所以.
故选：A
例题2．（2024·江苏·高一专题练习）设二次函数满足，且，求的解析式.
【答案】
【分析】根据题意设，由求出c，由可求得，即可得答案.
【详解】设二次函数为，
因为，所以，所以，
又因为，
即，
所以，解得：，
所以函数解析式为.
角度4：方程组消去法
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知满足，则解析式为 ．
【答案】
【分析】用代得出一个式子，利用方程思想求解函数解析式.
【详解】由 ①
用代可得， ②
由①②可得：
故答案为：
例题2．（2024·江苏·高一专题练习）已知，求函数的解析式．
【答案】
【分析】通过构造方程组的方法来求得的解析式.
【详解】①，
以替换，得②，
得：，
所以.
练透核心考点
1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据条件，通过配凑即可求出结果.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
2．（2024·江苏·高一专题练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法直接求解即可.
【详解】令，，则，，
所以，
所以的解析式为：
故选：B.
3．（2024·全国·高三专题练习）若函数满足方程且，则：
（1） ；（2） ．
【答案】
【分析】令可得；用替换，再解方程组可得答案.
【详解】令可得：，所以；
由①得，②，
联立①②可得：.
故答案为：①；②.
4．（2024·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数满足，则 .
【答案】
【解析】由题意利用方程思想求得函数的解析式即可.
【详解】因为，
所以，
同除以2得，
两式相加可得，即.
故答案为：.
【点睛】求函数解析式常用方法：
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)方程法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
5．（2024·江苏·高一专题练习）求下列函数的解析式
(1)设函数是一次函数，且满足，求的解析式
(2)设满足，求的解析式
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）利用消元法求函数解析式.
【详解】（1）设一次函数的解析式为，
则，
所以，解得，或，
所以或.
（2）由①，
得②，
①②得，
即.
6．（2024·江苏·高一专题练习）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式；
（2）已知，求的解析式；
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）设出，根据题目条件得到方程组，求出，，得到函数解析式；
（2）换元法求出函数解析式，注意自变量取值范围.
【详解】（1）由题意，设函数为，
，
，
即，由恒等式性质，得，
，，
所求函数解析式为
（2）令，则，，
因为，所以，
所以.
高频考点四：分段函数
角度1：分段函数求值
典型例题
例题1．（2024上·江西南昌·高一校联考期末）已知函数，，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】由题意首先将代入得的值，进一步将代入即可求解.
【详解】由题意，解得，
所以.
故选：C.
例题2．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）已知函数，则 ．
【答案】
【分析】由，从而可求解.
【详解】由题意知当，，则，
所以.
故答案为：.
角度2：已知分段函数的值求参数
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数且，则（ ）
A．-16 B．16 C．26 D．27
【答案】C
【分析】根据函数解析式，结合指数对数运算性质分类讨论进行求解即可.
【详解】当时，，
当时，，
所以，
故选：C
例题2．（2024上·江苏常州·高三统考期末）已知函数若，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】利用分段函数求解即可.
【详解】，，．
故答案为：
角度3：分段函数求值域（最值）
典型例题
例题1．（2024上·河南南阳·高一校联考期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】法一，根据题意，分别求出当时与当时的最值，即可得到分段函数的值域；法二，画出的草图，数形结合可求出值域；
【详解】法一：因为且，
所以当时，，当时，；
当时，，
所以函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为.
法二：画出的草图，如图所示，由图象可知函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为.

故选：D
例题2．（2024上·四川达州·高一统考期末）已知函数，则的最大值是（ ）
A．60 B．58 C．56 D．52
【答案】C
【分析】分和两种情况讨论，结合二次函数和反比例函数的性质即可得解.
【详解】当时，，
此时，
当时，在上单调递减，
此时，
综上所述，.
故选：C.
练透核心考点
1．（2024上·云南大理·高一统考期末）已知，，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先得到，再作出其图象求解.
【详解】解：由题意得：，
其图象，如图所示：

由图象知：函数y的值域为，
故选：A
2．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算即得.
【详解】函数，则，
所以.
故选：A
3．（多选）（2024上·山东济宁·高一统考期末）已知，若，则所有可能的值是（ ）
A．－1 B． C．1 D．
【答案】BD
【分析】利用函数的解析式，结合指数、对数运算可求得结果.
【详解】由已知可得
或或，
解得，或.
故选：BD
4．（2024·全国·模拟预测）函数的值域为 ．
【答案】
【分析】分别计算出分段函数每段函数取值范围后取并集即可得.
【详解】当时，，
当时，，
所以的值域为．
故答案为：.
高频考点五：函数的值域
角度1：二次函数求值域
典型例题
例题1．（2024上·上海·高一校考期末）函数，的最小值是 .
【答案】
【分析】根据二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为的图象开口向上，对称轴为，
又，所以的最小值是.
故答案为：.
例题2．（2024上·湖南衡阳·高一统考期末）已知二次函数满足．
(1)求的解析式．
(2)求在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，则，利用换元法代入可求得的解析式；
（2）由（1）可得函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案.
【详解】（1）令，则，
，∴.
（2）因为，
所以的图象对称轴为，在上递减，在上递增，
∴，，
即的值域为.
角度2：分式型函数求值域
典型例题
例题1．（2024上·山西太原·高一山西大附中校考期中）函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先分离常数，再确定分式函数值域，最后确定整个函数的值域.
【详解】，
而由函数向右平移3个单位得到，
所以得值域和的值域相同，都为，
所以得值域为，
故选：B
例题2．（2024上·上海·高一上海中学校考期末）函数的值域是 ．
【答案】
【分析】利用分离常数项整理化简函数解析式，根据指数函数的性质以及不等式性质，可得答案.
【详解】由题意可知，函数，
由，，或，则或，
即函数值域为.
故答案为：
角度3：根式型函数求值域
典型例题
例题1．（2024·全国·高一假期作业）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域.
【详解】令，，则，
所以函数，函数在上单调递增，
时，有最小值，
所以函数的值域为.
故选：C
例题2．（2024上·江西宜春·高一校考期末）已知函数.
(1)求的解析式；
(2)求的值域.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）换元法求解析式；
（2）求复合函数的值域，先由内层二次函数配方法求值域，再由幂函数的性质可得函数值域.
【详解】（1）令，则，
所以，
故.
（2）由（1）知，
设，图象开口向上，
由，
，的值域为，
令，则的值域即函数的值域，
由函数在单调递增，则，的值域为.
故的值域为.
角度4：根据值域求参数
典型例题
例题1．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助的值域为可得要取遍所有的正数，对进行分类讨论即可得.
【详解】若函数的值域为，则要取遍所有的正数．
所以或，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A．
例题2．（2024·上海·高一假期作业）已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】分类讨论，在时由可得．
【详解】时，不合题意，
因此且，∴，
故答案为：．
例题3．（2024上·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围.
【详解】当时，，此时，
当且时，，
此时，且，所以不满足；
当且时，，
由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以，此时，
若要满足的值域为，只需要，解得；
当且时，因为均在上单调递增，
所以在上单调递增，且时，，时，，
所以此时，此时显然能满足的值域为；
综上可知，的取值范围是，
故答案为：.
练透核心考点
1．（2024上·广东广州·高二广东实验中学校联考期末）函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】设，根据辅助角公式，结合三角函数的性质求解.
【详解】由，解得，故的定义域为.
设，
则，
其中，，
∵，则，
∴当，即时，
取最大值，即函数的最大值是.
故选：B.
2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可.
【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示：
由图可知，当或时，两图象相交，
若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论：
当时，显然两图象之间不连续，即值域不为；
同理当,值域也不是；
当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是；
综上可知，实数的取值范围是.
故选：B
3．（2024·全国·高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．已知，，则函数的值域为 ．
【答案】
【分析】根据题意，将变形，分析其取值范围，结合取整函数定义，分析得到答案.
【详解】根据题意，设，
则，
当时，，所以，即，所以，此时的取值为1；
当时，，所以，即，所以，此时的取值为；
综上，的值域为，
故答案为：.
4．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域是或，则此函数的定义域为 .
【答案】
【分析】利用反函数,可将原函数化为,(其中或),求出的值域即得的定义域.
【详解】，其中或，
当时,是减函数,此时，
当时,是减函数,此时，
∴函数的定义域为.
故答案为：.
5．（2024·全国·高三专题练习）求函数的值域为 .
【答案】
【分析】通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，要注意的是原函数是给定定义域的，要在定义域内求值域.
【详解】令，则，
容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为，
，所以该函数在时取到最大值，当时，函数取得最小值，
所以函数值域为.
故答案为：
6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则常数 ．
【答案】7或
【详解】因为，所以，
，即，
因为函数的值域为，
所以是方程的两个根，
所以，，
解得或，所以7或.
故答案为：7或.
7．（2024·江苏·高一假期作业）求下列函数的值域.
(1)
(2)
【答案】(1)
备注：抽象函数定义域问题容易忽视了，单独一个“”的取值范围叫定义域
1．（2023上·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据条件先求解出的定义域，然后结合分式分母不、对数的真数大于列出关于的不等式组，由此求解出的定义域.
【详解】依题意，函数的定义域为，
所以，即函数的定义域为，
所以在函数中有，解得，
所以的定义域为，
故选：A.
2．（2023上·江西赣州·高一江西省信丰中学校考阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 .
【答案】
【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法求出的定义域，和的解集，即可求解.
【详解】由题意得函数的定义域是，
令，所以，即，解得，
由，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知函数的定义域为，若存在实数，使得，都满足，则称函数为“三倍函数”.
(1)判断函数是否为“三倍函数”，并说明理由；
(2)若函数，为“三倍函数”，求的取值范围.
【答案】(1)不是“三倍函数”，理由见解析
(2)
【分析】（1）假设是“三倍函数”，得到，从而得以判断；
（2）变换得到，的值域是，根据值域关系排除的情况，得到，分析可得，从而得解.
【详解】（1）不是“三倍函数”，理由如下：
因为，，
假设是“三倍函数”，
则存在实数，使得，都满足，
即，即，
因为的值域为，的值域为，不满足条件，
故函数不是“三倍函数”.
（2）因为，为“三倍函数”，
所以存在，，都，有，
即，
当时，的值域是，
则在的值域包含，
当时，，则，
若，即，则，，
此时值域的区间长度不超过，而区间长度为，不满足题意；
于是，即，，
要使在的值域包含，
则在的最小值至少要小于等于，
又时，在上单调递减且，
故有，解得，
此时取，的值域是，
而，，故在的值域包含，满足题意；
所以的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将题目的新定义问题，转化为函数的值域的包含问题，从而得解.
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