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4.2.2平面直角坐标系（二）六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：坐标系中描点
【经典例题1】已知：，，
(1)在坐标系中描出各点，画出 ABC；
(2)求 ABC的面积；
(3)设点P在y轴上，且与 ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)点的坐标为或
【分析】本题考查的是坐标与图形，三角形的面积的计算，清晰的分类讨论是解本题的关键；
（1）根据A，B，C的坐标描出各点，再连接即可；
（2）过点向、轴作垂线，垂足为、，再利用割补法求解面积即可；
（3）根据的面积求出，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：如图所示： ABC为所求，
（2）解：过点向、轴作垂线，垂足为、．
四边形的面积，的面积，
的面积，的面积
的面积四边形的面积的面积的面积的面积
．
（3）解：∵点在轴上，
∴的面积，
即，解得：．
所以点的坐标为或．
所以点的坐标为或．
【变式训练1-1】在平面直角坐标系中
(1)在图中描出，，；
(2)连接、、，试判断 ABC的形状；
(3)求 ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2) ABC是直角三角形
(3) ABC的面积＝25
【分析】此题主要考查了描点，勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是正确画出图形，算出、、的长．
（1）根据题目中给出的点的坐标描出点；
（2）连接、、，利用勾股定理结合网格算出、、的长，根据数据可得到，由勾股定理逆定理可得是直角三角形；
（3）根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：，
，
，
，
，
，
是直角三角形；
（3）解： ABC的面积．
【变式训练1-2】（1）画平面直角坐标系中，并描出下列各点：，，，；
（2）连接，，，，求四边形的面积．
【答案】（）描点见解析；（）．
【分析】（）平面直角坐标系中，描出各点即可；
（）过作轴于点，过作轴于点，根据即可求解；
本题考查了点的坐标，三角形的面积，梯形的面积，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（）如图，
（）如图，过作轴于点，过作轴于点，
∴，，，，，
∴
．
【变式训练1-3】在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别为，，．
(1)在图中的平面直角坐标系中画出三角形；
(2)若在上，且轴，求的值．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（）在平面内描出点，然后连接各点即可；
（）由轴，可得点与点的横坐标相同，列出方程，再解方程即可；
本题考查了平面直角坐标系，点的坐标特征，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）如图所示，
∴三角形即为所求；
（2）∵在上，且轴，，
∴ ，
解得：．
【变式训练1-4】已知，，，四个点．
(1)在图中描出四个点，顺次连接；
(2)直接写出线段之间的关系；
(3)在y轴上是否存在点，使若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，
(3)存在，，
【分析】本题考查了坐标与图形、三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）根据题意画出图象即可；
（2）结合图象即可得出答案；
（3）先计算出．设在轴上存在点，使，列方程计算即可得出答案．
【详解】（1）解：画出图象如图所示：
（2）解：由图象可得：，；
（3）解：∵．
设在轴上存在点，使
∴，即
解得：
∴在y轴上存在，使．
【变式训练1-5】在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)若点M在y轴上，求点M的坐标：
(2)在平面直角坐标系中描出点A和点B；
(3)连接A、B、O三点，求三角形的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)8
【分析】本题考查了坐标与图形性质，坐标轴上点的坐标特征．
（1）根据y轴上的点的横坐标为0，列式求解；
（2）根据点A和点B的坐标描点即可；
（3）根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）∵点M在y轴上，
∴，
∴，
∴点M的坐标为
（2）如图，
（3）三角形的面积．
题型二：坐标与图形
【经典例题2】如图，在平面直角坐标系中，，点C在第一象限，，求点C的坐标．
【答案】点C坐标．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，作，垂足为M，证明，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，作，垂足为M，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
∴点C坐标；
【变式训练2-1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边与轴正方向的夹角为，且点的横坐标为2．
(1)求正方形的面积；
(2)写出点、点、点的坐标，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)，，；理由见解析．
【分析】本题考查含的直角三角形特征，全等三角形的性质和判定，平面直角坐标系，正方形的性质及其运用，熟练掌握正方形的性质及其运用是解题的关键；
（1）过点作轴，垂足为点，在中，求出的长度，即可求解；
（2）由勾股定理可得，进而求得的长度，过点作轴于点，作轴交的延长线于，证明，求得，求得的长度，进而求解；
【详解】（1）过点作轴，垂足为点，
在中
，
；
（2）理由如下：过A作轴于E，
由（1）知，在中，由勾股定理得：，
，
；
过点作轴于点，作轴交的延长线于，
，
∴
，
，
，
，
，
，
，
，
，
【变式训练2-2】如图,,,点、,则点的坐标是
【答案】
【分析】如图,过点作过点作通过证明可得即可求解．
【详解】如图,过点作过点作
∵点、
∴
∵
∴且
∴且
∴
∴
∴
∴点
故答案为：
【点睛】本题借助于坐标与图形性质,重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质,解题的关键是做高线构造全等三角形．
【变式训练2-3】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，象限内点的坐标特征，利用数形结合思想解决问题是关键．过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得到，，即可得到点的坐标．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
点的坐标为，
，，
，，
点在第二象限，
点的坐标是，
故答案为：
【变式训练2-4】如图， ABC中，，，，线段上有一点P（不含端点），连接，动点M从A点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度运动到点P，再沿线段以每秒个单位长度的速度运动到点C后停止，当点M在整个运动过程中用时最少时，点P的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据时间的表达式，分别作轴，轴，使、交于D，过点P作于点E，连接，利用，C点坐标特点构造等腰直角三角形，找到和之间关系，放在同一个三角形中，两边之和大于第三边找到与关系，为垂线的时候最短，即可找到P点坐标．
【详解】解：P在整个过程中用时：
如图分别作轴，轴，使、交于D，过点P作于点E，连接，
，，，
∴，，
，
，
为等腰直角三角形，
∴，
∵，
也是等腰直角三角形，
，
，
当时，取得最小值，
即点E在点处时，运动时间最小，即与的交点为点P的位置，
此时点P的横坐标为，
设直线的解析式为，
将点，代入解析式得，
解得:，
∴解析式为，
将代入，得，
∴当P的坐标为，点P在整个运动过程中用时最少，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角坐标系下动点问题，二元一次方程组，最短路径问题，构造等腰直角三角形，将有关线段放在一个三角形中，利用三角形成形条件，找到最短路径下P点的坐标是解答本题的关键．
【变式训练2-5】在平面直角坐标系中，三角形的面积为3，三个顶点的坐标分别为，，，且a，b均为负整数，点C在如图所示的网格中，则点C的坐标是 ．
【答案】或或
【分析】根据三角形面积公式，在第三象限内找出格点使的面积为3，然后写出点坐标．本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系，记住各象限内点的坐标特征．也考查了三角形面积公式．
【详解】解：、均为负整数，
点在第三象限，
当以为底边时，
∵的面积为3，
则，则；
当以为底边时，
∵的面积为3，
则，
则，，
当时，如图所示：
则，
∴此时的面积为3；
点坐标．不在要求的网格中，应舍去，
故答案为：或或．
题型三：实际问题中用坐标表示位置
【经典例题3】在中国象棋棋盘的部分示意图上建立如图所示的平面直角坐标系，“車”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键在于根据已知条件确定原点，先确定坐标系的原点和每一格的单位长度，根据坐标系可直接得到答案．
【详解】解：∵“車”所在位置的坐标为，
∴确定点O是平面直角坐标系的原点，且每一格的单位长度是1，
∴“炮”所在位置的坐标为．
【变式训练3-1】已知，，若白棋A 飞挂后，黑棋C 尖顶，黑棋C 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了坐标确定位置，利用A、B两点的坐标确定平面直角坐标系是解题关键．
根据已知A，B两点的坐标建立坐标系，然后确定其它点的坐标．
【详解】解：根据，，建立平面直角坐标系如图所示：
∴．
故选：D
【变式训练3-2】2023年12月16日，“横跨”花溪、南明、云岩和乌当四区的贵阳地铁3号线正式开通运营．“北京路”是其中的一个换乘站，若以“北京路”为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，若用表示“喷水池”，则可以表示“贵阳一中”的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标确定位置，根据平面直角坐标系解答即可．
【详解】解：如图所示：
“贵阳一中”的坐标是，
故选：A．
【变式训练3-3】2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为，，则点B的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标．
【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为，，
∴建立坐标系如图所示：
∴点B的坐标为．
故答案为：．
【变式训练3-4】如图是一组密码的一部分，为了保密，不同情况采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”．目前，已破译出“怕方温”的真实意思是“都是水”．破译后“再青都”的真实意思是“ ”．
【答案】昨天到
【分析】本题考查了坐标确定位置，发现规律是解答本题的关键．解答本题的关键是发现对应字之间的规律．根据题意可以发现对应字之间的规律，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
“怕方温”的真实意思是“都是水”，“怕”所对应的字为“都”，是“怕”字先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到的“都”，其他各个字对应也是这样得到的，
破译后“再青都”的真实意思是“昨天到”，
故答案为：昨天到．
【变式训练3-5】我国水墨画发展有着悠远历史，相传始于唐代，成于五代，盛于宋元，明清及近代以来续有发展，重于意境优美，图为水墨画“早有蜻蜓立上头”，若将其放在平面直角坐标系中，点，，则点C坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了点的坐标，根据已知点的坐标，找出原点，建立平面直角坐标系，然后根据点的位置，写出点的坐标．解题关键是熟练掌握根据已知点的坐标，找出坐标原点．
【详解】解：如图所示，根据点，，建立坐标系，如图所示：
∴点坐标为：，
故答案为：．
【变式训练3-6】如图所示，一个小正方形网格的边长表示．A同学上学时从家中出发，先向东走，再向北走就到达学校．
(1)以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立平面直角坐标系；
(2)B同学家的坐标是；
(3)在你所建的平面直角坐标系中，如果C同学家的坐标为，请你在图中描出表示C同学家的点．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．
（1）由于同学上学时从家中出发，先向东走250米，再向北走50米就到达学校，则可确定点位置，然后画出直角坐标系；
（2）利用第一象限点的坐标特征写出点坐标；
（3）根据坐标的意义描出点．
【详解】（1）以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，建立平面直角坐标系如图所示．
（2）同学家的坐标是，
故答案为：；
（3）C同学家的坐标为(在平面直角坐标系中如图所示．
题型四：用方位角和距离确定物体的位置
【经典例题4】北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震，震源深度10公里．以下能够准确表示这次地震震中位置的是（ ）
A．北纬 B．东经
C．甘肃西南方向 D．北纬，东经
【答案】D
【分析】本题考查了坐标确定位置，理解坐标的定义是解题的关键．根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可．
【详解】解：A．北纬无法确定这次地震震中位置，故此选项不合题意；
B．东经无法确定这次地震震中位置，故此选项不合题意；
C．甘肃西南方向无法确定这次地震震中位置，故此选项不合题意；
D．北纬，东经能确定这次地震震中位置，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式训练4-1】如图，食堂在教室的北偏西，的位置，那么教室在食堂的 的位置．
【答案】南偏东，
【分析】本题考查了方向角的概念，利用有序实数对表示位置，根据题意算出，再结合题干的条件，即可解题．
【详解】解：如图所示：
由平行线的性质可得：，
食堂在教室的北偏西，的位置，
∴教室在食堂的南偏东，的位置；
故答案为：南偏东，．
【变式训练4-2】一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置为（北偏东，），救生船接到报警后准备前往救援，请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置 ．
【答案】南偏西，
【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，遇险船相对于救生船的位置为南偏西，，
故答案为：南偏西，．
【变式训练4-3】某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示．例如，北偏东方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东的时刻是2时，那么这个地点就用代码020045来表示，按这种表示的方式，南偏西方向66千米的位置，可用代码表示为 ．

【答案】070066
【分析】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解代码的各位数字的实际意义是解题的关键．根据代码编写要求，第1、2、3、4位数字表示时间，第5、6位数字表示距离，再根据南偏西方向方向与对应，然后写出即可．
【详解】解：∵南偏西方向的时刻是，
∴南偏西方向66千米的位置，可用代码表示为070066．
故答案为：070066．
【变式训练4-4】如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为，．
(1)按照此方法表示目标A，B，D，E的位置．A：_______；B：_______；D：_______；E：_______；
(2)若目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站，写出目标A，B，D，E的实际位置；
(3)若另有目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处，写出G，H的位置表示．
【答案】(1)，，，
(2)目标A的实际位置为北偏东距观测站，目标B的实际位置为正北方向距观测站，目标D的实际位置为南偏西距观测站，目标E的实际位置为南偏东距观测站
(3)，
【分析】本题考查了用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置，理解题意、熟练掌握用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置是解题的关键．
（1）根据“目标C，F的位置表示为，”， 表示目标A，B，D，E的位置即可；
（2）根据“目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站”，求出每一圈表示，观察图形，根据用方向角和距离确定物体的位置，写出目标A，B，D，E的实际位置即可；
（3）根据“目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处”，观察图形并计算，写出G，H的位置表示即可．
【详解】（1）解：∵目标C，F的位置表示为，，
∴按照此方法表示：，，，，
故答案为：，，，；
（2）解：∵，，目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站，
∴，
又∵，，，，
∴，，，，
∴目标A的实际位置为北偏东距观测站，目标B的实际位置为正北方向距观测站，目标D的实际位置为南偏西距观测站，目标E的实际位置为南偏东距观测站；
（3）解：∵目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处，
∴，，，，
∴，．
【变式训练4-5】“四大街、八小巷，七十二条绵绵巷．”形象地反映出大同城方正的街巷棋盘格局．传统的棋盘式里坊格局，是大同古城显著的城市风格和特色．如图是古城内部分建筑物的平面示意图．若魁星楼的坐标为，纯阳宫的坐标为．
(1)请你根据题目条件在图中画出平面直角坐标系，并写出关帝庙的坐标；
(2)若华严寺的坐标为，太平楼的坐标为，请在图中标出华严寺和太平楼的位置；
(3)如图，纯阳宫与九龙狱的图上距离为个单位长度，如果1个单位长度表示140米，请你用方向和距离描述纯阳宫相对于九龙狱的位置；反过来如何用方向和距离描述九龙狱相对于纯阳宫的位置．
【答案】(1)图见解析，）
(2)华严寺和太平楼的位置见解析
(3)纯阳宫在九龙狱的南偏西，米处；九龙狱在纯阳宫的北偏东，米处
【分析】本题主要考查了在实际问题中用坐标表示位置，方位角相关知识，掌握用坐标表示位置以及方位角是解题的关键．
（）建立平面直角坐标系即可得出．
（2）利用坐标轴相关知识表示坐标即可．
（3）根据图象，利用方位角表示位置即可．
【详解】（1）建立平面直角坐标系如下图所示，关帝庙的坐标为．
（2）华严寺和太平楼的位置如上图所示．
（3）纯阳宫在九龙狱的南偏西，它们之间的距离为（米）．
所以纯阳宫在九龙狱的南偏西，米处；
九龙狱在纯阳宫的北偏东，米处．
题型五：根据方位描述确定物体的位置
【经典例题5】某同学要从学校回家，所有道路的方向是向西或向北，若他的路线是．则阴影部分覆盖的数对可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查根据方位描述确定物体的位置，根据题中平移规则求解即可．
【详解】解：∵所有道路的方向是向西或向北，
∴某同学的路线是．
故选：A．
【变式训练6-1】如图为小丽使用微信与小红的对话记录，据图中两个人的对话记录，若下列有一种走法能从银泰城出发走到小红家，此走法为（ ）
A．向北直走100米，再向东直走700米 B．向北直走300米，再向西直走400米
C．向北直走400米，再向东直走300米 D．向北直走700米，再向西直走100米
【答案】D
【分析】如图，根据对话画出图形，进而得出从银泰城出发走到小红家的路线．
【详解】解：如图所示
从银泰城出发走到小红家：向北直走700米，再向西直走100米．
故选D．
【点睛】本题考查用方位描述物体的位置，根据描述正确画出方位图是解题的关键．
【变式训练6-2】107路公交车线路运行图如下：
(1)107路公交车从起始站出发，向______行______到达农场，再向______偏______ ______度方向行______到达公园．
(2)由市民广场向______方向行______到达政府大楼，再向______偏______ ______度方向行________到达体育馆．
(3)107路公交车从体育馆向南偏东的方向行到达终点站．请在图中画出终点站的位置．
【答案】(1)正东方向，，北，东，，
(2)正南，，北，东，，
(3)画图见解析
【分析】本题考查的是根据方向和距离，确定物体的位置；
（1）依据图上标注的各种信息，以及地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”就可以直接填写答案；
（2）依据图上标注的各种信息，以及地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”就可以直接填写答案；
（3）先计算体育馆到终点站的图上距离：（厘米），再依据距离和方向确定终点站的位置即可；
【详解】（1）解： 107路公交车从起始站出发，向正东方向行到达农场，再向北偏东方向行到达公园，
（2）解：由市民广场向正南方向行到达政府大楼，再向北偏东方向行到达体育馆；
（3）解：图上距离：；
终点站位置如图：
；
【变式训练6-3】如图，以学校为参照点，分别写出商场、书店、游泳馆和车站的位置．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查依据方向角和距离确定物体的位置．
确定物体的位置要有三个步骤：（1）定观察点，（2）量角度，（3）算距离，据此即可进行解答．
【详解】解：商场在学校北偏西方向上，距离学校；
书店在学校北偏东方向上，距离学校；
游泳馆在学校南偏西方向上，距离学校；
车站在学校南偏东方向上，距离学校．
【变式训练6-4】如图，杭州亚运会数字火炬手和吉祥物琼琮、宸宸、莲莲在的方格每小格边长为上沿着网格线运动数字火炬手从处出发去寻找、、处的吉祥物，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，如果从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中：
(1)______，______；______，______； ______；
(2)若数字火炬手的行走路线为，则数字火炬手走过的路程为______m；
(3)若数字火炬手从处去寻找最后一棒火炬手汪顺的行走路线依次为，，，，请在图中标出最后一棒火炬手汪顺的位置点．
【答案】(1) ，；，0；；
(2)10；
(3)见解析．
【分析】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解标记的两个数的实际意义是解题的关键．
（1）根据标记的第一个数字表示左、右方向，第二个数字表示上、下方向依次写出即可；
（2）根据运动路线列式计算即可得解；
（3）在图中依次表示出各位置，然后确定出点的位置即可．
【详解】（1）解：根据题中的新定义得：，，；
（2）解：若数字火炬手的行走路线为，则数字火炬手走过的路程为．
（3）解：如图所示，点为火炬手汪顺的位置．
【变式训练6-5】七（1）班同学到绶溪公园开展劳动实践活动，李想和陈臻根据景区示意图描述延寿桥的位置，图中小正方形的边长表示．
李想：“延寿桥在森林秘境西北方向约处．”
陈臻：“我通过建立平面直角坐标系，得到延寿桥的坐标是．

(1)根据信息画出平面直角坐标系；并用方位和距离描述山地公园相对于森林秘境的位置．
(2)写出公园内状元码头、绶溪水街的坐标．
【答案】(1)见解析，山地公园在森林秘境的正南方向，距离；
(2)状元码头的坐标为、绶溪水街的坐标．
【分析】（1）根据题意建立直角坐标系，再描述山地公园的位置即可；
（2）根据（1）中的直角坐标系，即可得出对应坐标．
【详解】（1）解：如图，以森林秘境为原点建立直角坐标系，
由景区示意图可知，山地公园在森林秘境的正南方向，距离；

（2）解：由（1）直角坐标系可知，状元码头的坐标为、绶溪水街的坐标．
【点睛】本题考查了方位、坐标与图形，根据题意正确建立直角坐标系是解题关键．
【变式训练6-6】如果下面每个小正方形的对角线长，请按要求填一填，画一画．

(1)学校的位置用数对表示是 （ ， ）；公园的位置是，请在图中标出公园的位置；
(2)学校东偏北方向处是小桥，请在图中标出小桥的位置；
(3)公园位于小桥的 偏 方向上，距离是 ．
【答案】(1)，图见解析；
(2)图见解析；
(3)东，南（或南，东），．
【分析】本题考查了学生对数对位置的掌握与应用．
（1）从图上即可得出学校的位置；
（2）根据题干描述在图上标出小桥的位置即可；
（3）从第二小题得到的图上，即可判断出公园位于小桥位置．
【详解】（1）解：学校的位置用数对表示是，公园的位置是如图：

（2）解：∵小桥在学校东偏北方向处，
∴用数对表示小桥的位置为：，如图：

（3）解：如图可知，

则公园位于小桥的东偏南或南偏东方向上，距离是．
题型七：点坐标规律探索
【经典例题7】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动：另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2024次相遇点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查点坐标规律探索、行程问题中的相遇问题，通过计算找到坐标变化规律是解答的关键．根据坐标与图形可得四边形的各边长，结合点P、Q的速度求得两点相遇点的坐标，找出坐标变化规律即可求解．
【详解】解：∵点，，，，
∴，，
∴四边形的周长为，
由题意，经过1秒时，两点在点处相遇，随后，两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为（秒），
∴第二次相遇点是边的中点；
第三次相遇点是点；
第四次相遇点为点；
第五次相遇点为点，
第六次相遇点为点，……，
由此发现，每五次相遇点重合一次，
∵，
∴第2024次相遇点与第四次相遇点重合，即，
故选：B．
【变式训练7-1】如图，在平面直角坐标系中，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，第2024秒瓢虫在（ ）处．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了点的坐标规律探索，能够找到规律是解题关键．
根据坐标可知，，求出循环爬行一周用时秒，然后计算，根据余数可确定最后的位置．
【详解】解：∵，
∴，，
∵一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，
∴爬行一周所需的时间为：秒，
∵，
∴在第2023秒时，瓢虫在点，
∴到第2024秒时，瓢虫从点往点跑了秒钟，即跑了2个单位长度，
故在第2024秒时，瓢虫的坐标为，
故选：A．
【变式训练7-2】如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，….根据这个规律，点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查平面直角坐标系当中点的规律，正确找出平面直角坐标系当中点的规律是解题的关键．
根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，由图可知，被4除余1的点在第三象限的角平分线的点上，再根据第三象限内点的符号得出答案即可．
【详解】解：∵，，，，，，…，
∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线的直线上，
由规律可得，，即点在第三象限的角平分线的直线上，
∴点，
故答案为：．
【变式训练7-3】如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点…，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标规律探索问题，旨在考查学生的抽象概括能力，由题意可得的坐标为，的坐标为，据此即可求解．
【详解】解：由题意可知：的坐标为，的坐标为
∵
∴点的坐标是，即
故答案为：
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4.2.2平面直角坐标系（二）六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：坐标系中描点
【经典例题1】已知：，，
(1)在坐标系中描出各点，画出 ABC；
(2)求 ABC的面积；
(3)设点P在y轴上，且与 ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．
【变式训练1-1】在平面直角坐标系中
(1)在图中描出，，；
(2)连接、、，试判断 ABC的形状；
(3)求 ABC的面积．
【变式训练1-2】（1）画平面直角坐标系中，并描出下列各点：，，，；
（2）连接，，，，求四边形的面积．
【变式训练1-3】在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别为，，．
(1)在图中的平面直角坐标系中画出三角形；
(2)若在上，且轴，求的值．
【变式训练1-4】已知，，，四个点．
(1)在图中描出四个点，顺次连接；
(2)直接写出线段之间的关系；
(3)在y轴上是否存在点，使若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练1-5】在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)若点M在y轴上，求点M的坐标：
(2)在平面直角坐标系中描出点A和点B；
(3)连接A、B、O三点，求三角形的面积．
题型二：坐标与图形
【经典例题2】如图，在平面直角坐标系中，，点C在第一象限，，求点C的坐标．
【变式训练2-1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边与轴正方向的夹角为，且点的横坐标为2．
(1)求正方形的面积；
(2)写出点、点、点的坐标，并说明理由．
【变式训练2-2】如图,,,点、,则点的坐标是
【变式训练2-3】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，，则点的坐标是 ．
【变式训练2-4】如图， ABC中，，，，线段上有一点P（不含端点），连接，动点M从A点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度运动到点P，再沿线段以每秒个单位长度的速度运动到点C后停止，当点M在整个运动过程中用时最少时，点P的坐标是 ．
【变式训练2-5】在平面直角坐标系中，三角形的面积为3，三个顶点的坐标分别为，，，且a，b均为负整数，点C在如图所示的网格中，则点C的坐标是 ．
题型三：实际问题中用坐标表示位置
【经典例题3】在中国象棋棋盘的部分示意图上建立如图所示的平面直角坐标系，“車”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】已知，，若白棋A 飞挂后，黑棋C 尖顶，黑棋C 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】2023年12月16日，“横跨”花溪、南明、云岩和乌当四区的贵阳地铁3号线正式开通运营．“北京路”是其中的一个换乘站，若以“北京路”为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，若用表示“喷水池”，则可以表示“贵阳一中”的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为，，则点B的坐标为 ．
【变式训练3-4】如图是一组密码的一部分，为了保密，不同情况采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”．目前，已破译出“怕方温”的真实意思是“都是水”．破译后“再青都”的真实意思是“ ”．
【变式训练3-5】我国水墨画发展有着悠远历史，相传始于唐代，成于五代，盛于宋元，明清及近代以来续有发展，重于意境优美，图为水墨画“早有蜻蜓立上头”，若将其放在平面直角坐标系中，点，，则点C坐标为 ．
【变式训练3-6】如图所示，一个小正方形网格的边长表示．A同学上学时从家中出发，先向东走，再向北走就到达学校．
(1)以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立平面直角坐标系；
(2)B同学家的坐标是；
(3)在你所建的平面直角坐标系中，如果C同学家的坐标为，请你在图中描出表示C同学家的点．
题型四：用方位角和距离确定物体的位置
【经典例题4】北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震，震源深度10公里．以下能够准确表示这次地震震中位置的是（ ）
A．北纬 B．东经
C．甘肃西南方向 D．北纬，东经
【变式训练4-1】如图，食堂在教室的北偏西，的位置，那么教室在食堂的 的位置．
【变式训练4-2】一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置为（北偏东，），救生船接到报警后准备前往救援，请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置 ．
【变式训练4-3】某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示．例如，北偏东方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东的时刻是2时，那么这个地点就用代码020045来表示，按这种表示的方式，南偏西方向66千米的位置，可用代码表示为 ．

【变式训练4-4】如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为，．
(1)按照此方法表示目标A，B，D，E的位置．A：_______；B：_______；D：_______；E：_______；
(2)若目标C的实际位置是北偏西距观测站，目标F的实际位置是南偏西距观测站，写出目标A，B，D，E的实际位置；
(3)若另有目标G在东南方向距观测站处，目标H在南偏东距观测站处，写出G，H的位置表示．
【变式训练4-5】“四大街、八小巷，七十二条绵绵巷．”形象地反映出大同城方正的街巷棋盘格局．传统的棋盘式里坊格局，是大同古城显著的城市风格和特色．如图是古城内部分建筑物的平面示意图．若魁星楼的坐标为，纯阳宫的坐标为．
(1)请你根据题目条件在图中画出平面直角坐标系，并写出关帝庙的坐标；
(2)若华严寺的坐标为，太平楼的坐标为，请在图中标出华严寺和太平楼的位置；
(3)如图，纯阳宫与九龙狱的图上距离为个单位长度，如果1个单位长度表示140米，请你用方向和距离描述纯阳宫相对于九龙狱的位置；反过来如何用方向和距离描述九龙狱相对于纯阳宫的位置．
题型五：根据方位描述确定物体的位置
【经典例题5】某同学要从学校回家，所有道路的方向是向西或向北，若他的路线是．则阴影部分覆盖的数对可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】如图为小丽使用微信与小红的对话记录，据图中两个人的对话记录，若下列有一种走法能从银泰城出发走到小红家，此走法为（ ）
A．向北直走100米，再向东直走700米 B．向北直走300米，再向西直走400米
C．向北直走400米，再向东直走300米 D．向北直走700米，再向西直走100米
【变式训练6-2】107路公交车线路运行图如下：
(1)107路公交车从起始站出发，向______行______到达农场，再向______偏______ ______度方向行______到达公园．
(2)由市民广场向______方向行______到达政府大楼，再向______偏______ ______度方向行________到达体育馆．
(3)107路公交车从体育馆向南偏东的方向行到达终点站．请在图中画出终点站的位置．
【变式训练6-3】如图，以学校为参照点，分别写出商场、书店、游泳馆和车站的位置．
【变式训练6-4】如图，杭州亚运会数字火炬手和吉祥物琼琮、宸宸、莲莲在的方格每小格边长为上沿着网格线运动数字火炬手从处出发去寻找、、处的吉祥物，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，如果从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中：
(1)______，______；______，______； ______；
(2)若数字火炬手的行走路线为，则数字火炬手走过的路程为______m；
(3)若数字火炬手从处去寻找最后一棒火炬手汪顺的行走路线依次为，，，，请在图中标出最后一棒火炬手汪顺的位置点．
【变式训练6-5】七（1）班同学到绶溪公园开展劳动实践活动，李想和陈臻根据景区示意图描述延寿桥的位置，图中小正方形的边长表示．
李想：“延寿桥在森林秘境西北方向约处．”
陈臻：“我通过建立平面直角坐标系，得到延寿桥的坐标是．

(1)根据信息画出平面直角坐标系；并用方位和距离描述山地公园相对于森林秘境的位置．
(2)写出公园内状元码头、绶溪水街的坐标．
【变式训练6-6】如果下面每个小正方形的对角线长，请按要求填一填，画一画．

(1)学校的位置用数对表示是 （ ， ）；公园的位置是，请在图中标出公园的位置；
(2)学校东偏北方向处是小桥，请在图中标出小桥的位置；
(3)公园位于小桥的 偏 方向上，距离是 ．
题型七：点坐标规律探索
【经典例题7】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动：另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2024次相遇点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】如图，在平面直角坐标系中，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，第2024秒瓢虫在（ ）处．
A． B． C． D．
【变式训练7-2】如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，，….根据这个规律，点 的坐标为 ．
【变式训练7-3】如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点…，则点的坐标是 ．
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