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惠州市 2025 届高三第二次调研考试试题
高三数学参考答案与评分细则
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题满分 5分，共 40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C B A A D C
1.【解析】因为 B x 0 x 4 , 所以 A B x 2 x 4 . 故选：B.
2
2.【解析】因为 z 2 1 0 ，即 z 2 1，所以 z i ，所以 z 1 1 i 12 1 2 .
故选：D.
9a 36d 27
3.【解析】设等差数列 a 1n 的公差为 d ，由已知得： ,解得 a1 1，d 1，
a1 9d 8
所以 a100 a1 99d 1 99 98．故选：C．
4.【解析】连接 FB，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， BC 平面 ABB1A1，棱 BC的中点为 E，
则 BE 平面 ABB1A1，而 BF 平面 ABB1A1，故 BE BF ，
则 EFB即为直线 EF 与平面 ABB1A1所成角，
设正方体棱长为 2，则 BE 1,BF B F 2 21 B1B 1 4 5 ，
2 2 sin EFB BE 1 6则 EF BF BE 6 ，故 ．故选：B.EF 6 6
2 5
5．【解析】由 b 2 ， (2a b) b 3，得 2a b b 2a b 2 3 ，即 a b ,
2
5
a 2 a b a a b 5 3 5由已知得 ，所以向量b在向量 a上的投影向量为 2 a
2 ( 3，1) ( ，)．
a a a 4 8 8
故选：A．
a 1
6.【解析】若函数 f (x) 在 (1,

) 1上单调递增，则 ，解得 a ，
1 2a 0 2
所以“ a 0 ”是“函数 f (x) 在 (1, )上单调递增”的充分不必要条件．故选：A．
高三数学答案 第 1页，共 11页
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7.【解析】设优弧 BC所在圆的圆心为O ,半径为 ,连接OA,OB,OC .易知“水滴”的“竖直高度”
OA R 2R OA R 4 5为 ,“水平宽度”为 , 由题意知 ,解得OA R . 因为 AB与圆弧相切于点 B ,
2R 3 3
所以OB AB .在 Rt ABO中, sin BAO OB R 3 5 ，又 BAO (0, ) ,OA R 5 2
3
2 4
所以 cos BAO 1 sin BAO ，由对称性知, BAO CAO ,则 BAC 2 BAO ,
5
所以 sin BAC 2sin BAO cos BAO 2 3 4 24 .故选：D.
5 5 25
8.【解析】根据已知条件设理科女生有 x1人，理科男生有 x2人；文科女生有 y1 人，文科男生有 y2 人；
根据题意可知： x1 x2 y1 y2 ， x1 y1 x2 y2 ，
根据同向不等式可加的性质有： x1 x2 x1 y1 y1 y2 x2 y2 ，即 x1 y2 ，所以理科女生多于文
科男生，C 正确.
其他选项没有足够证据论证.
故选：C.
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题满分 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11
全部正确选项 AD ABD ACD
9.【解析】数据从小到大排列为:1，1，2，3，3，3，3，4，5，5．
对于 A，该组数据的极差为5 1 4，故 A正确；
1 2 2 3 4 4 5 2
对于 B，众数为 3，平均数为 3，两者相等，故 B 错误；
10
1 2 2 2
对于 C，方差为 (1 3) 2 (2 3) 1 (3 3) 4 (4 3)
2 1 (5 3)2 2 1.8，故 C错误；10
对于 D，10 80% 8 ，这组数据的第 80 百分位数为第 8 个数和第 9个数的平均数 4.5，故 D 正确．
故选：AD．
10.【解析】由图像可知： f x max 2 ， A 2 ；
高三数学答案 第 2页，共 11页
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又 f 0 2sin 1 1 ，故 sin ，又 ，所以 ，所以 A 项正确；
2 2 6
7 7 7
已知 f 2sin 0，由五点作图法可知： ，解得： 2，所以 B项正确；
12 12 6 12 6
f x 2sin 故 2x ；则 xf (x ) 2x sin 2x ，设 h(x) xf (x

) 2x sin 2x，
6 12 12
则 h( x) 2( x) sin( 2x) 2x sin 2x h(x) y xf (x ，所以函数 ) 是偶函数，故 C 项错误；
12
g(x) f (x ) 2sin 2(x

) 2sin(2x

) 2cos (2x )

6 6 6 6 2 6
2cos( 2x) 2cos(2x ) ，所以 D项正确；
3 3
故选：ABD.
2 2 2
11.【解析】A选项，经验算，点 ( ,0)和 ( 1,1)的坐标满足曲线 L的方程： x (y x ) 1，所以点
2
( 2 ,0)和 ( 1,1)均在 L上，故 A 项正确；
2
B 选项，OP x2 y2 2 2，因为曲线 L：x (y x ) 1关于 y轴对称，当 x 0 时，x2 (y x)2 1，
x cos , y x sin , 设 ， ，
2 2
2 2
所以 OP x y2 cos2 (cos sin )2 1 cos 2 1 sin 2
2
3 1
sin 2 1 cos 2 3 5 sin(2 ) ，其中 tan ，
2 2 2 2 2
OP 3 5 5 1 3 5 5 1所以 ， OP ，所以 OP 的最大值和最小值之和
min 2 2 2 max 2 2 2
为 5 ，故 B 项错误；
2 2
C 选项，因为曲线 L： x (y x ) 1关于 y轴对称，当 x 0 时， x2 (y x)2 1，
则 (y x)2 1 x2 ，所以 y x 1 x2 ，因求点 P的纵坐标的最大值，故取 y x 1 x2 ，
又 y2 （x 1 x2
1
）2 1 2x 1 x2 1 2 x2 (1 x2 ) 1 x2 (1 x2 ) 2 2(当且仅当 x 时
2
等号成立)，所以 y 2 ，故 C 项正确；
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2 2
D 选项， PA PB 2 3 y x等价于点 P在椭圆 1内（包含椭圆），由 B项可知，即满足：
3 2
3(1 cos 2 )
2(cos sin )2 3cos2 6，即 2(1 sin 2 ) 6，整理得：
2
3
4sin 2 3cos 2 5，即5sin(2 ) 5，其中其中 tan ，即 sin(2 ) 1恒成立，则故
4
D 项正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 32 513. 14. e2
5
12.【解析】当 x 1时，二项式展开式各项的系数和为 25 32.故答案为：32.
2
13.【解析】由题意知 AF1 a c, F1F2 2c, F1B c a，且三者成等比数列，则 F1F2 AF1 F1B
4c2 (c a)(c a) c2 a2 e2 1 e 5 5即 ，所以 ，所以 . 故答案为： .
5 5 5
b 1 b 1
14.【解析】设方程 ln(ax ) x2 的实根为 x0 ，则 ln(ax ) x20 0 ，2 4 2 4
b x2 1 10 b x20
所以 ax0 e 4 ，即 ax0 e 4 0 .2 2
y x2 10
设点 P(a,b) ,则点 P在直线 x0x e 4 0上.2
x2 10 4
y x2 1 e0
设点O(0,0)到直线 x 4 的距离为 ，则 d ，0x e 0 d2 x2 10 4
t
t x2 1 f (t) e (t 1
t
设 0 ， ) ，则 f ' (t)
e (t 1)
，
4 t 2 t 2
1
求得 f (t)在 ，1 上单调递减，在 1， 上单调递增，所以 f (t)min f (1) e， 2
则 d f (t) e，又 a2 b2 OP 2 2,由几何意义可知 OP d，所以 a2 b2 OP e2 .
高三数学答案 第 4页，共 11页
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3 b a 3 a e 0 e3
检验：当 t 1时， x0 ，由 2 2
2
，解得 ；
2 a2 b2 e2
e
b 2
3 b 3
a e 0 a e
由 2 2 2，解得 ，所以则 a2 b2 可以取到最小值 e2 .
e
a
2 b2 e2

b
2
故答案为： e2 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分，其中第一小问 6 分，第二小问 7 分。）
1 1 1
【解析】（1）因为： f 1 1 0 ，所以切点坐标为： 1, ，··························· 1 分2 2 2
f x x 2又 1 ， ····························································································· 2 分
x
所以 f 1 2， ································································································ 3 分
即所求切线的斜率为 2 .
1
所以切线方程为： y 2 x 1 ， ······································································· 5 分
2
化简得： 4x 2y 3 0，
所以曲线 y f x 在点 (1，f 1 )处的切线方程为 4x 2y 3 0．
·························································································································· 6 分
3
【注】切线方程写成 y 2x 不扣分
2
2
x 2f x x 1 2 x x 2 x 1 （2） ，（ x 0） ········································8 分
x x x
由 f ' (x) 0 得 x 2；由 f ' (x) 0 得0 x 2. ············································ 10 分
所以 f x 在 1，2 上单调递减，在 2,e 上单调递增. ················································· 11 分
所以函数 f x 在区间 1,e 上的极小值为 f 2 2ln 2，也是最小值.
所以函数 f x 在区间 1,e 上的最小值为 2ln 2 .
························································································································ 13 分
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16．（本小题满分 15 分，其中第一小问 5 分，第二小问 10 分。）
【解析】（1）证明：已知 PA 底面 ABCD，且 BC 底面 ABCD，
所以 PA BC . ··································································································· 2 分
由 ACB 90 , 可得 BC AC .············································································ 3 分
又 PA AC A,PA, AC 平面 PAC , ································································· 4 分
所以 BC 平面 PAC ． ······················································································ 5 分
（2）取CD的中点 E．由 AB∥ CD , BAD 120 ，可得 ADC 60 ，
又因为 AD CD 1，所以三角形 ADC是正三角形，················································· 6 分
故 AE CD , AE AB . ··················································································7 分
在Rt ACB中， BAC 60 , AC 1，所以 AB 2 . ·············································8 分
可建立如图所示的空间直角坐标系，
A 0,0,0 ,P 0,0, 3 ,C 3 , 1 ,0 ,D 3 1 求得 2 2 , ,0 ,B 0,2,0 ，························ 9 分 2 2
3
由（1）可知， BC ( , 3 ,0) 是平面 PAC的一个法向量，·····································10 分
2 2
DC n 0
设平面 PDC的一个法向量为 n (a,b,c)，则 ，
PC n 0
b 0

即 3 1 ， ··················································································11 分
a b 3c 0 2 2
3
令 a 3，得 n ( 3,0, )， ···········································································12 分
2
设平面 PCD与平面 PCA的夹角为 ，
3
BC n
cos cos BC,n 2 5所以 .
BC n 3 15
5

2
5
所以平面 PCD与平面 PCA夹角的余弦值为 .
5
························································································································ 15 分
高三数学答案 第 6页，共 11页
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BC n
【注】写出公式 cos cos BC,n 给一分，代入数据给一分，结果计算正确给一分
BC n
17．（本小题满分 15 分，其中第一小问 7 分，第二小问 8 分。）
x2 y2 1
【解析】(1)直线 l与双曲线C有两个不同的交点，则方程组 有两组不同的实数根，
y kx 1
整理得 (1 k 2 )x 2kx 2 0 . ··············································································· 2 分
1 k 2 0
，··············································································2 2 4 分
4k 4(1 k ) ( 2) 0
解得 2 k 2 且 k 1， ·········································································· 6 分
双曲线C与直线 l有两个不同的交点时， k的取值范围是 ( 2, 1) ( 1,1) (1, 2) ．
·························································································································· 7 分
（2）解法一：设交点 A(x1, y1),B(x2 , y2 ) ，
由(1)知双曲线C与直线 l联立的方程为 (1 k 2 )x 2kx 2 0 .
2k 2
由韦达定理得： x1 x2 2 , x1x2 2 ，···················································· 8 分1 k 1 k
则 AB 1 k 2 x x 1 k 22 1 (x2 x )
2
1 4x1x2 ··············································9 分
2
1 k 2 ( 2k 2 )
2 4( 2 ) 1 8 4k 2 k
2
2 ········································ 10 分1 k 1 k 1 k
d 1又O到直线 l的距离 ， ········································································11 分
1 k 2
1 2 k 2
所以 OAB的面积 S OAB AB d 22 ，············································· 12 分2 1 k
k 0 k 6解得 或 ， ·················································································· 14 分
2
6
又因为 2 k 2 且 k 1，所以 k 0 或 k .
2
6
所以当 k 0或 k 时， OAB的面积为 2 . ··················································15 分
2
高三数学答案 第 7页，共 11页
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【注】漏掉 k 0扣一分
解法二：设交点 A(x1, y y1),B(x2 , y2 ) ，直线 l与 轴交于点D(0, 1) ，
由(1)知双曲线C与直线 l联立的方程为 (1 k 2 )x 2kx 2 0 .
2k 2
由韦达定理得： x1 x2 2 , x1x2 2 ，···················································· 8 分1 k 1 k
1 1
当 A,B在双曲线的一支上且 x1 x2 时， S OAB S OAD S OBD ( x1 x2 ) x1 x ；2 2 2
当 A,B在双曲线的两支上且 x1 x2 时， S OAB S
1
OAD S OBD ( x
1
1 x2 ) x2 2 1
x2
1
综上， S OAB x1 x2 . ················································································ 10 分2
【注】未讨论两种情况、直接写对面积公式的扣一分
1 2
由已知得 S OAB x1 x2 2 ，故 (x1 x2 ) 8 ，即 (x1 x
2
2 2
) 4x1x2 8
( 2k )2 2所以 2 4( 2 ) 8 ，········································································· 12 分1 k 1 k
解得 k 0或 k 6 ，·······················································································14 分
2
6
又因为 2 k 2 且 k 1，所以 k 0 或 k .
2
所以当 k 0或 k 6 时， OAB的面积为 2 .··················································· 15 分
2
18．（本小题满分 17 分，其中第一小问 10 分，第二小问 7 分。）
【解析】（1）由 a b c，则 A B C . ······························································· 1 分

由 A B C ，则 A B C 3A，故0 A , ··············································2 分
3
所以0 tan A 3 ， ·························································································· 3 分
因为 tan A为整数，所以 tan A 1， ········································································4 分
解法一：由 tan A 1，可得 A

， B C 3 . 因为 A B C，所以 B为锐角，
4 4

则 B ,所以 C ，············································································ 6 分
4 2 4 2
所以角 A，B，C均为锐角，所以 tan A，tan B，tanC均为正整数，
又 tan A 1，所以 tanC tan B 2 ,
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tan B tan(3 C) 1 tanC由 2，································································ 8 分
4 1 tanC
解得 tanC 3，所以 tan B 2, tanC 3 .
综上， tan A 1，tan B 2，tanC 3 .
经检验，当 tan A 1，tan B 2 时，因为 tan(A B)
tan A tan B 1 2
3 tanC
1 tan A tan B 1 1 2
所以 A B C ,符合题意. ··············································································10 分
【注】未检验扣一分
3
解法二：由 tan A 1，可得 A ， B C .
4 4
3 B C 2B 3 因为 A B C ，所以 ,则 B ，
4 4 8
所以1 tan B tan 3 . ···················································································6 分
8
2 tan 3
tan 3 8 1 tan2 3 3 由 3 ，则 2 tan 1 0 ，4 1 tan 2 8 8
8
解得 tan 3 1 2 tan 3 或 1 2 （舍去），
8 8
故1 tan B 1 2 ， ························································································8 分
又 2 1 2 3， tan B为正整数，所以 tan B 2 ，··················································9 分
tan A tan B 1 2
所以 tanC tan(A B) 3,
1 tan A tan B 1 1 2
综上， tan A 1，tan B 2，tanC 3 . ···································································· 10 分
（2）由（1）可知， tan B 2, tanC 3 2 5 10 3 10，则 sin B , cosC , sinC ，
5 10 10
························································································································ 12 分
a b c

在 ABC中，由正弦定理 sin sin B sinC ，
4
b a sin B 2 10a c a sinC 3 5a
可得 5 ， 5 ，····················································14 分sin sin
4 4
1 10a
又 AC的中点为D，所以CD b ，
2 5
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在 ABC中，由余弦定理得： BD2 CD2 CB2 2CD CB cosC
( 10 a)2 a2 2 10 a a 10 ······································································ 15 分
5 5 10
a2
所以 BD a，···································································································· 16 分
所以 cos CDB cosC 10 .
10
························································································································ 17 分
19．（本小题满分 17 分，其中第一小问 4 分，第二小问 7 分，第三小问 6 分。）
【解析】（1）因为 an 是12项0 1数列，当且仅当n 3p( p N , p 4) 时， an 0 ，
所以当 n 3p 2 和 n 3p 1( p N , p 4) 时， an 1. ··········································1 分
设数列 ( 1)nan 的所有项的和为 S，
S ( 1)a ( 1)2a ( 1)4a ( 1)5a ( 1)7a ( 1)8则 1 2 4 5 7 a8 ( 1)
10a 1110 ( 1) a11 ······ 2 分
( 1) ( 1)2 ( 1)4 ( 1)5 ( 1)7 ( 1)8 ( 1)10 ( 1)11
( 1) 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( 1)
0
所以数列 ( 1)nan 的所有项的和为0 . ·····································································4 分
（2）①证明：因为数列 an ， bn 是从集合M k 中任意取出的两个数列，
所以数列 an ， bn 为 k项0 1数列，
所以 X 的可能取值为：1,2,3, ,k . ········································································ 5 分
M C0 C1 C2 Ck 2k因为集合 k 中元素的个数共有 k k k k 个，····································6 分
当 X m(m 1,2, ,k)时，则数列 an ， bn 中有m项取值不同，有 k m项取值相同，
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Cm 2kk
A2 Cm所以 P(X m) 2 k (m 1,2, ,k) , ···················································· 2
7 分
C2k 2
k 1
所以随机变量 X 的分布列为：
X 1 2 3 …… k
P C
1
k C
2 3 k
k Ck C…… k
2k 1 2k 1 2k 1 2k 1
·························································································································· 8 分
m m k! (k 1)! m 1
因为mCk k kCk 1 (m N
,1 m k) ，
m!(k m)! (m 1)! (k 1) (m 1) !
·························································································································· 9 分
E(X ) 1 C
1 2
k 2 Ck k C
k 1
所以 k (1C1 2C 2 3C 3 kC k )
2k 1 2k 1 2k 1 2k 1 k k k k
k k 1 k 1
(C 0 C1 C 2 C k 1 k 2 k 2 k
2k 1 k 1 k 1 k 1 k 1
) ，
2k 1 2k 2
E(X ) k即 . ·································································································· 11 分
2
②解：由条件 P B A P B A P(AB) P(AB) P(B) P(AB)得： ，·················· 12 分P(A) P(A) 1 P(A)
所以 P(AB) 1 P(A) P(A) P(B) P(AB) ，
化简得： P(AB) P(A)P(B)，············································································· 14 分
所以 P(AB) P(B)P(AB) P(A)P(B) P(B)P(AB) ，
则 P(AB) 1 P(B) P(B) P(A) P(AB)
即 P AB P B P B P AB ，········································································· 16 分
P AB P AB
所以 ，即 P A | B P A | B .
P B P B
························································································································ 17 分
高三数学答案 第 11页，共 11页
{#{QQABLQAAogAgAgAAAQgCQQkwCgCQkhCCAQgOwFAIIAIAyBFABAA=}#}惠州市2025届高三第二次调研考试试题
数学
全卷满分150分，时间120分钟，
2024.10
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填
写在答题卡上。
2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目
的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3,非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，
写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分，
1.已知集合A={2≤x<5},集合B={x2-4x<0,则AnB=C
A.(05)
B.[2,4)
C.(45)
D.(-0,0)U[2,+o0)
2.已知复数z满足z2+1=0,则z+1=()
A.3
B.2
C.1
D.√2
3.已知等差数列{am}前9项的和为27，ao=8,.则a10=(
)
A.100
B.99
C.98
D.97
4.在正方体ABCD-ABCD中，棱BC,AB,的中点分别为E,F,则直线EF与平面
ABB,4所成角的正弦值为(
A.⑤
B.6
c.2w5
D.30
6
5
6
5.已知向量a,b满足：a=(5,1),16=V2，(2a-b)b=3,则向量6在向量a上
的投影向量为()
B.
C.
数学试题
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6.已知函数f(x)=log2(x2-2ax),a∈R,则“a≤0”是“函数f(x)在(1，+oo)上单
调递增”的（〉
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何
体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段AB,AC和优弧BC所围成的平面图形，
其中点B,C所在直线与水平面平行，AB和AC与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直
高度”与“水平宽度”(“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的
长度的最大值)的比位为写，则sin∠BAC=(
)
3-5
A.
B.5
4
c.
25
D.24
25
8.在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多于文科生，女生多于
男生，则关于本次学生样本的数据中，结论一定成立的是()
A.理科男生多于文科女生
B.文科女生多于文科男生
C.理科女生多于文科男生
D.理科女生多于理科男生
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9.某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关
于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3,4,3,1,5,3,2,5,1,3.则关于
这组数据的结论正确的是
A.极差是4
B.众数小于平均数
C.方差是2
D.数据的第80百分位数为4.5
10.函数f()=Asi血(@x+p>0,@>0,<写)的部分图象如图所示，现将(y)的图
象向左平移个单位长度，得到函数g()的图象，则下列结论正确的是（
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第2页，共5页

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