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第四章
4.2.2 换底公式
1.理解换底公式的证明过程.
2.能灵活地将换底公式和对数的运算法则结合起来,进行对数运算.
对数的运算性质
思考：1.对数式log24log39可化为2×2=4,那么你会化简log23log32吗
不会,因为两个对数的底数与真数都是最简的形式,难以求出最后结果,因而需要引入对数的新公式.
你能使用科学计算器计算lg2、lg3、 ln2、ln3吗？
lg2≈0.3010, lg3≈0.4771
ln2≈0.6931，ln3≈1.0986
你能使用科学计算器计算log23吗？
解:设log23=x,则2x=3,
两边取自然对数得:
两边取常用对数得:
由上述计算你可得出什么结论？
论证换底公式
换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算．
换底公式真神奇
一数等于两数比
真数加底变分子
原底加底变分母
换底公式的结论
？
？
？
？
换底公式的理解
√
例1.计算:
(1)log1627·log8132; (2)(log43+log83)(log32+log92).
分析：在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．
一、换底公式的求值
1.在求对数式的值时,若底数不同,运用换底公式化为同底的对数,再利用对数运算性质计算.
2.要注意换底公式的正用、逆用及常用推论的应用.
归纳
例2.（1）已知a=log23，则用a的代数式表示log38-log26=（ ）
A. B. 2a-1 C. D.4a-1
解析：log38-log26=3log32-log26=3log32-log23-1
A
二、换底公式在对数表示中的应用
例2. （2）设a>0,且a≠1,x,y满足logax+3logxa-logxy=3,用logax表示logay,并求当x取何值时,logay取得最小值.
统一为a为底
复合二次，配方法；也可以用换元法，将来重点讲.
例3.设 ，求 的值.
三、换底公式在条件求值中的应用
归纳
1.在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.
2.对于这类连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式就可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.
例4.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%,估计约经过多少年,该物质的剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).
解: 设最初的质量是1,经过x年,剩留量是y.则
经过1年,剩留量是y=0.841;
经过2年,剩留量是y=0.842;
......
经过x年,剩留量是y=0.84x .
所以，约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半.
四、换底公式与数学文化
1.设log34·log48·log8m=log416，则m的值为（ ）
A. B. 9 C. 18 D.27
解析：log34·log48·log8m=
又log416=2，所以log3m=2，∴m=32=9.
B
2.已知log62=p,log65=q,则lg 5=　　　　　.(用p,q表示)
解析：lg5=
答案：
3.已知 ，求证：
4.某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ=μ0e-λt,其中μ0,λ是正常数.经检测,当t=2时,μ=0.90μ0,则当稳定性系数降为0.50μ0时,该种汽车已使用的年数为　　　　　.(结果精确到1,参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
1.换底公式及其结论；
2.换底公式在求值等方面的应用.
数学素养：
1.通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养．
2.通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养.

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